2025年滬科版八年級數(shù)學(xué)寒假預(yù)習(xí) 第09講 勾股定理的逆定理

第09講勾股定理的逆定理模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題；能夠運用勾股定理的逆定理證明直角三角形。1.勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形。2.如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）；驗證與是否具有相等關(guān)系，若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形。注意：當(dāng)時，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.考點01：判斷能否構(gòu)成直角三角形例題1．下列條件中，能判定為直角三角形的是（

）A． B．C． D．，【變式1-1】（24-25八年級上·江蘇宿遷·期中）下列四組數(shù)據(jù)中，能作為直角三角形三邊長的是（

）A．，， B．1，， C．，， D．7，12，13【變式1-2】由下列條件不能判定為直角三角形的是（

）A． B．C． D．【變式1-3】（24-25八年級上·四川成都·期中）在中，、、的對應(yīng)邊分別是a、b、c，下列條件中不能說明是直角三角形的是（

）A．，， B．C． D．考點02：在網(wǎng)格中判斷直角三角形例題2．（24-25八年級上·四川成都·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點，，均在正方形網(wǎng)格的格點上．(1)畫出關(guān)于x軸對稱的圖形，并寫出頂點的坐標(biāo)；(2)求出點B到的距離．【變式2-1】（24-25八年級上·重慶沙坪壩·期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，A、B、C三點均在正方形格點上，則的大小是（

）A． B． C． D．【變式2-2】（24-25八年級上·浙江寧波·期中）在如圖所示的方格圖中，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H均在小方格的頂點上，以其中三個點為頂點，能構(gòu)成個直角三角形．【變式2-3】（24-25八年級上·陜西西安·期中）如圖是由邊長為1的小正方形組成的正方形網(wǎng)格，的頂點都在格點（正方形的頂點）上．求證：．考點03：利用勾股定理逆定理求解例題3．（24-25八年級上·江蘇淮安·期中）如圖，已知是邊上的中線，若，，，求的面積．【變式3-1】（24-25八年級上·江蘇常州·期中）如圖，中，，，，B是延長線上的點，連接，若，(1)說明為直角，(2)求的長．【變式3-2】（24-25八年級上·陜西西安·期中）如圖，在中，，，D為邊上的一點，，．(1)求證：；(2)求的面積．【變式3-3】如圖，在中，點D在邊上，已知，點E在上，．(1)求證：；(2)若，求的長．考點04：勾股定理逆定理的實際應(yīng)用例題4．為了強化實踐育人，有效開展勞動教育和綜合實踐活動，我市某中學(xué)校園里現(xiàn)有一塊四邊形的空地，如圖所示，學(xué)校決定開發(fā)該空地作為學(xué)生勞動實踐基地．經(jīng)學(xué)校課外實踐活動小組測量得到：，．根據(jù)你所學(xué)過的知識，求四邊形的面積．【變式4-1】（24-25八年級上·甘肅蘭州·期中）已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地，如圖所示，現(xiàn)計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量，，，，，若每平方米草皮需要200元，問要多少投入？【變式4-2】（24-25八年級上·江蘇宿遷·期中）在學(xué)校組織的研學(xué)活動中，需要學(xué)生自己搭建帳篷．下圖是搭建帳篷的示意圖．在中，支架從帳篷頂點支撐在水平的支架上，且于點，經(jīng)測量得：，，．按照要求，帳篷支架與所夾的角需為直角．請通過計算說明學(xué)生搭建的帳篷是否符合條件．【變式4-3】（24-25八年級上·山西晉中·期中）如圖，某濕地公園有一塊四邊形草坪，公園管理處計劃修一條A到的小路，經(jīng)測量，，，，，．(1)求小路的長；(2)淇淇帶著小狗在草坪上玩耍，淇淇站在點處，小狗從點開始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到點A時停止奔跑，當(dāng)小狗在小路上奔跑時，小狗需要跑多少秒與淇淇的距離最近？一、單選題1．（24-25八年級上·安徽淮北·期中）下列長度的三條線段不能組成直角三角形的是（

）A．1，2， B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，5，72．（23-24八年級下·安徽合肥·期末）下列線段能組成直角三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，3．（23-24八年級下·安徽亳州·期末）由下列條件不能判定為直角三角形的是（

）A．B．C．，，（k為正整數(shù)）D．，，二、填空題4．（23-24八年級下·安徽亳州·期中）如圖，的三條邊，，，，則．5．（22-23八年級下·安徽阜陽·期末）如圖，已知A，B，C是海上的三座小島，島B在島A的北偏東方向上，距離為12海里，島C在島A的北偏東方向上，距離為13海里，島B和島C之間的距離為5海里，則島B在島C的北偏西方向上.6．（23-24八年級下·安徽滁州·期中）為貫徹《關(guān)于全面加強新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》的方針政策，幫助同學(xué)們更好地理解勞動的價值與意義，培養(yǎng)學(xué)生的勞動情感、勞動能力和勞動品質(zhì)，學(xué)校給八（1）班、八（2）班各分一塊三角形形狀的勞動試驗基地．（1）若班主任測量出八（1）班試驗基地的三邊長分別為，，，則這塊試驗基地的面積為（2）八（2）班的勞動試驗基地的三邊長分別為，，（如圖），則的面積為．三、解答題7．（23-24八年級下·安徽合肥·期末）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的三個頂點均在格點上，請按要求完成下列各題：(1)判斷的形狀，并說明理由；(2)求邊上的高．8．（23-24八年級下·安徽合肥·期中）如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是，每個小格的頂點叫格點，以格點為頂點分別按下列要求畫三角形．(1)使三角形的三邊長分別為，，（在圖甲中畫一個即可）；(2)使三角形為直角三角形，且面積為，要求至少有兩條邊不與網(wǎng)格線重合（在圖乙中畫一個即可）．9．（22-23八年級下·安徽阜陽·期中）如圖，是四邊形的對角線，．(1)求的度數(shù)．(2)求四邊形的面積．10．（23-24八年級下·安徽六安·期末）如圖，四邊形中，，過點作于點，點恰好是的中點，連接，，，．(1)直接寫出的長為______；(2)求的度數(shù)．

第09講勾股定理的逆定理模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題；能夠運用勾股定理的逆定理證明直角三角形。1.勾股定理的逆定理如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形。2.如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）；驗證與是否具有相等關(guān)系，若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形。注意：當(dāng)時，此三角形為鈍角三角形；當(dāng)時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.考點01：判斷能否構(gòu)成直角三角形例題1．下列條件中，能判定為直角三角形的是（

）A． B．C． D．，【答案】C【分析】本題考查了勾股定理的逆定理和三角形內(nèi)角和定理．根據(jù)直角三角形的判定可判斷選項A和B，C選項中根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及三個角的比例關(guān)系可求出為，根據(jù)勾股定理的逆定理可判斷選項D，即可得出答案．【解析】解：A、由無法得到為直角三角形，故本選項不符合題意；B、，，，無法得到為直角三角形，故本選項不符合題意；C、，，最大角，是直角三角形，故本選項符合題意；D、，，，，，不是直角三角形，故本選項不符合題意．故選：C．【變式1-1】（24-25八年級上·江蘇宿遷·期中）下列四組數(shù)據(jù)中，能作為直角三角形三邊長的是（

）A．，， B．1，， C．，， D．7，12，13【答案】B【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用．由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．【解析】解：A、，故不是直角三角形，故本選項不符合題意；B、，故是直角三角形，故本選項符合題意；C、，故是直角三角形，故本選項不符合題意；D、，故不是直角三角形，故本選項不符合題意；故選：B．【變式1-2】由下列條件不能判定為直角三角形的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查勾股定理的逆定理的應(yīng)用，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．由勾股定理的逆定理，三角形的內(nèi)角和定理逐一分析判斷即可．【解析】解：A、∵，，∴，是直角三角形，不符合題意；B、∵，，∴，是直角三角形，不符合題意；C、∵，∴故不能判定是直角三角形，符合題意；D、∵，∴，即，故是直角三角形，不符合題意；故選：C．【變式1-3】（24-25八年級上·四川成都·期中）在中，、、的對應(yīng)邊分別是a、b、c，下列條件中不能說明是直角三角形的是（

）A．，， B．C． D．【答案】D【分析】本題考查直角三角形的判定，通過三角形中一個角是直角，或者勾股定理的逆定理判斷．【解析】解：A、，，能說明是直角三角形，不合題意；B、，，，能說明是直角三角形，不合題意；C、，設(shè)，，，，，能說明是直角三角形，不合題意；D、，最大的角，不能說明是直角三角形，符合題意；故選D．考點02：在網(wǎng)格中判斷直角三角形例題2．（24-25八年級上·四川成都·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點，，均在正方形網(wǎng)格的格點上．(1)畫出關(guān)于x軸對稱的圖形，并寫出頂點的坐標(biāo)；(2)求出點B到的距離．【答案】(1)見解析，(2)2【分析】本題考查了作圖：軸對稱變換，勾股定理逆定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì)．（1）根據(jù)軸對稱的性質(zhì)即可畫出關(guān)于x軸對稱的圖形，進而寫出頂點的坐標(biāo)；（2）根據(jù)勾股定理逆定理可得為直角三角形，設(shè)點B到的距離為h，根據(jù)，即可求解．【解析】（1）解：如圖，即為所求；頂點的坐標(biāo)為；（2）解：根據(jù)題意得：，，∴為直角三角形，設(shè)點B到的距離為h，，，解得：，即點B到的距離為2．【變式2-1】（24-25八年級上·重慶沙坪壩·期中）如圖所示的正方形網(wǎng)格中，A、B、C三點均在正方形格點上，則的大小是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查勾股定理及其逆定理，先根據(jù)網(wǎng)格特點和勾股定理求得，再根據(jù)勾股定理的逆定理判斷即可．【解析】解：由題意，，，，∴，∴是直角三角形，且，故選：D．【變式2-2】（24-25八年級上·浙江寧波·期中）在如圖所示的方格圖中，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H均在小方格的頂點上，以其中三個點為頂點，能構(gòu)成個直角三角形．【答案】【分析】本題考查了在網(wǎng)格中判斷直角三角形，根據(jù)方格的特點準(zhǔn)確的數(shù)出直角三角形的個數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)如圖所示的方格圖，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H均在小方格的頂點上，以其中三個點為頂點，然后數(shù)一數(shù)直角三角形的個數(shù)即可得出答案．【解析】解：在如圖所示的方格圖中，點A，B，C，D，E，F(xiàn)，G，H均在小方格的頂點上，以其中三個點為頂點，構(gòu)成的直角三角形有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共個，故答案為：．【變式2-3】（24-25八年級上·陜西西安·期中）如圖是由邊長為1的小正方形組成的正方形網(wǎng)格，的頂點都在格點（正方形的頂點）上．求證：．【分析】本題考查了勾股定理和勾股定理的逆定理．根據(jù)勾股定理，求出，，的值，再根據(jù)勾股定理的逆定理，即可求出．【解析】解：∵在邊長為的小正方形組成的網(wǎng)格中，∴，，，∴，∴是直角三角形，∴．考點03：利用勾股定理逆定理求解例題3．（24-25八年級上·江蘇淮安·期中）如圖，已知是邊上的中線，若，，，求的面積．【答案】12【分析】本題考查了關(guān)于三角形面積計算的題，由是邊上的中線可得到，結(jié)合已知，利用勾股定理逆定理可得是直角三角形，過點A作，垂足為E，在中求出的長，即得高，即可求出面積．【解析】解：是邊上的中線是直角三角形且過A作，垂足為E，如圖：，【變式3-1】（24-25八年級上·江蘇常州·期中）如圖，中，，，，B是延長線上的點，連接，若，(1)說明為直角，(2)求的長．【答案】(1)(2)【分析】本題考查勾股定理定理及逆定理，根據(jù)逆定理得到是直角三角形，利用勾股定理求出是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)勾股定理逆定理確定即可得出結(jié)果；（2）利用勾股定理得出，結(jié)合圖形即可求解．【解析】（1）解：∵，，，∴，，∴，∴；（2）∵，∴，∵，，∴，∴．【變式3-2】（24-25八年級上·陜西西安·期中）如圖，在中，，，D為邊上的一點，，．(1)求證：；(2)求的面積．【答案】(1)見解析(2)84【分析】（1）根據(jù)，，，得，證明；（2）根據(jù)勾股定理，得，求得，計算的面積即可．本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）解：∵，，，∴，∴，∴；（2）解：根據(jù)勾股定理，得，∴，∴的面積為：．【變式3-3】如圖，在中，點D在邊上，已知，點E在上，．(1)求證：；(2)若，求的長．【答案】(1)見詳解(2)【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理證明是直角三角形，從而可得，即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得：證明，然后在中，利用勾股定理求出的長，即可解答．本題考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．【解析】（1）證明：，，，，，，是直角三角形，，；（2）解：，∴，∵，，，∴．考點04：勾股定理逆定理的實際應(yīng)用例題4．為了強化實踐育人，有效開展勞動教育和綜合實踐活動，我市某中學(xué)校園里現(xiàn)有一塊四邊形的空地，如圖所示，學(xué)校決定開發(fā)該空地作為學(xué)生勞動實踐基地．經(jīng)學(xué)校課外實踐活動小組測量得到：，．根據(jù)你所學(xué)過的知識，求四邊形的面積．【答案】【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，先連接，根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)勾股定理的逆定理說明是直角三角形，然后根據(jù)面積公式求出答案即可．【解析】如圖所示，連接，根據(jù)勾股定理，得．∵，∴，∴（）．【變式4-1】（24-25八年級上·甘肅蘭州·期中）已知某開發(fā)區(qū)有一塊四邊形的空地，如圖所示，現(xiàn)計劃在空地上種植草皮，經(jīng)測量，，，，，若每平方米草皮需要200元，問要多少投入？【答案】需要投入元【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理，如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形，在一個三角形中，即如果用a，b，c表示三角形的三條邊，如果，那么這個三角形是直角三角形．仔細分析題目，需要求得四邊形的面積才能求得結(jié)果．連接，在直角三角形中可求得的長，由、、的長度關(guān)系可得為一直角三角形，為斜邊；由此看，四邊形由和構(gòu)成，則容易求解．【解析】解：連接，如圖所示：在中，，在中，，而，即，∴為直角三角形，，，∴需要的投入為（元）．【變式4-2】（24-25八年級上·江蘇宿遷·期中）在學(xué)校組織的研學(xué)活動中，需要學(xué)生自己搭建帳篷．下圖是搭建帳篷的示意圖．在中，支架從帳篷頂點支撐在水平的支架上，且于點，經(jīng)測量得：，，．按照要求，帳篷支架與所夾的角需為直角．請通過計算說明學(xué)生搭建的帳篷是否符合條件．【答案】學(xué)生搭建的帳篷符合條件，見解析【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用；先根據(jù)勾股定理求得，，進而根據(jù)勾股定理的逆定理，即可求解．【解析】解：∵，∴．在中，，∴，∴．∴．在中，，∴，∴．∵，，∴；∴．∴學(xué)生搭建的帳篷符合條件．【變式4-3】（24-25八年級上·山西晉中·期中）如圖，某濕地公園有一塊四邊形草坪，公園管理處計劃修一條A到的小路，經(jīng)測量，，，，，．(1)求小路的長；(2)淇淇帶著小狗在草坪上玩耍，淇淇站在點處，小狗從點開始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到點A時停止奔跑，當(dāng)小狗在小路上奔跑時，小狗需要跑多少秒與淇淇的距離最近？【答案】(1)(2)當(dāng)小狗在小路上奔跑時，小狗需要跑秒與淇淇的距離最近．【分析】本題考查了勾股定理與勾股逆定理，等面積法，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）先運用勾股定理列式計算，即可作答．（2）先證明，再運用面積法，得出，根據(jù)勾股定理列式計算得出，最后結(jié)合運動速度，即可作答．【解析】（1）解：∵，，，∴在中，，∴小路的長為；（2）解：如圖所示：過B作，

依題意，當(dāng)小狗在小路上奔跑，且跑到點的位置時，小狗淇淇的距離最近．∵，．，∴，即，∴，則，即，∴∵小狗從點開始以的速度在小路上沿的方向奔跑，跑到點A時停止奔跑，∴，則當(dāng)小狗在小路上奔跑時，小狗需要跑秒與淇淇的距離最近．一、單選題1．（24-25八年級上·安徽淮北·期中）下列長度的三條線段不能組成直角三角形的是（

）A．1，2， B．6，8，10 C．5，12，13 D．3，5，7【答案】D【分析】本題考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足，那么這個三角形就是直角三角形．根據(jù)勾股定理的逆定理逐項判斷即可．【解析】解：A．，能組成直角三角形，不符合題意；B．，能組成直角三角形，不符合題意；C．，能組成直角三角形，不符合題意；D．，不能組成直角三角形，符合題意；故選：D．2．（23-24八年級下·安徽合肥·期末）下列線段能組成直角三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，判斷線段能否組成直角三角形，已知三角形三邊的長，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．根據(jù)勾股定理的逆定理進行判斷．【解析】A、，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤；B、，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤；C、，不能構(gòu)成直角三角形，故本選項錯誤；D、，能構(gòu)成直角三角形，故本選項正確；故選：D3．（23-24八年級下·安徽亳州·期末）由下列條件不能判定為直角三角形的是（

）A．B．C．，，（k為正整數(shù)）D．，，【答案】D【分析】本題考查了直角三角形的判定，根據(jù)所給選項依次計算判斷即可得；掌握勾股定理，三角形內(nèi)角和是解題的關(guān)鍵．【解析】解：∵，，∴，∴為直角三角形；∵，∴，∴為直角三角形；∵，，（k為正整數(shù)）；∴，∴為直角三角形；∵，，∴∴為直角三角形；綜上，選項D說法錯誤，符合題意；故選：D．二、填空題4．（23-24八年級下·安徽亳州·期中）如圖，的三條邊，，，，則．【答案】【分析】利用勾股定理逆定理判定是直角三角形，后直角三角形的面積公式計算即可，本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．【解析】∵，，，且，∴，∴，∴，故答案為：．5．（22-23八年級下·安徽阜陽·期末）如圖，已知A，B，C是海上的三座小島，島B在島A的北偏東方向上，距離為12海里，島C在島A的北偏東方向上，距離為13海里，島B和島C之間的距離為5海里，則島B在島C的北偏西方向上.【答案】【分析】本題主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理的逆定理得．先根據(jù)勾股定理的逆定理得，再根據(jù)方向角的定義和平行線的性質(zhì)計算即可．【解析】解：如圖，過點C作海里，海里，海里，，，，，，，∵，，島在島的北偏西方向上．故答案為：．6．（23-24八年級下·安徽滁州·期中）為貫徹《關(guān)于全面加強新時代大中小學(xué)勞動教育的意見》的方針政策，幫助同學(xué)們更好地理解勞動的價值與意義，培養(yǎng)學(xué)生的勞動情感、勞動能力和勞動品質(zhì)，學(xué)校給八（1）班、八（2）班各分一塊三角形形狀的勞動試驗基地．（1）若班主任測量出八（1）班試驗基地的三邊長分別為，，，則這塊試驗基地的面積為（2）八（2）班的勞動試驗基地的三邊長分別為，，（如圖），則的面積為．【答案】【分析】本題考查勾股定理及其逆定理的應(yīng)用；（1）利用勾股定理的逆定理判斷該三角形為直角三角形，進而求解即可；（2）過作交于點．設(shè)，則，利用勾股定理分別求得、、即可求解．【解析】（1）解：∵，∴該三角形為直角三角形，其中為斜邊，∴這塊試驗基地的面積為，故答案為：；（2）解：過作交于點．設(shè)，則．在和中，由勾股定理得，解得，在中，由勾股定理得,∴．故答案為：．三、解答題7．（23-24八年級下·安徽合肥·期末）如圖，在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，的