《電磁波-傳輸.輻射.傳播》課件第2章

第2章傳輸線2.1傳輸線的基本概念

2.2均勻傳輸線的行波和特性阻抗2.3無損耗傳輸線的一般性質(zhì)

2.4反射系數(shù)和行波系數(shù)

2.5阻抗計算圓圖

2.6傳輸線的匹配

2.7有損耗傳輸線

2.8傳輸功率和效率

2.1傳輸線的基本概念

在無線電設備的高頻部件之間以及高頻部分與天線之間的連接線，在其長度與工作波長差不多或比工作波長更長時，電流和電壓將以波動形式沿線傳播。這時，沿線各處的電流電壓大小和正負都不相同，而不像普通交流電路那樣全部電路中的電流和電壓在各處都是同時變化的。具有這種性質(zhì)的用來傳送電磁能量的導體系統(tǒng)通稱為傳輸線。用來連接高頻輸出或輸入部分與天線之間的傳輸線又常稱為饋線。實際上，在有線通信中，使用的長途通信線上，也呈現(xiàn)出了電流電壓的波動性質(zhì)。

圖2-1傳輸線的等效參數(shù)(a)集中參數(shù)；

(b)分布參數(shù)

是否考慮分布參數(shù)決定于線的長度。這個長度是相對于波長而言的。在低頻，即使線很長，例如1km，但對頻率為50Hz，波長為6000km的交流電來說，它卻很短，可以不必計較線本身的分布電感和電容。因為，在這樣長的波中，即使在10km的長度上也察覺不到電流和電壓的差異。如果導線只有1m長，但對3000MHz的波來說，相當于10個波長，在此線上各處電流與電壓的大小和正負都不相同，有10個周期性的變化。這時，必須計及分布參數(shù)的作用。因為，1m長的線對3GHz來說，已是很長的線了。所以，常常又把傳輸線稱為長線。

現(xiàn)在，我們以直線電壓的傳播為例，來解釋有限速度的波動過程。如圖2-2所示，設想有一個直流電壓接通于傳輸線，這個電壓不可能立刻布于雙線之間而需要經(jīng)過一段時間。在電源剛接通時，先經(jīng)過一段時間對第一個電容充電，達到電壓U0。這時第二個電容尚未充電，于是第一個電容必然通過電感放電給第二個電容。由于電感有反抗電流變化的作用，故放電過程又需要經(jīng)過一段時間。在第一個電容放電時，其電壓降低，低于電源電壓U0

，于是電源又對第一個電容充電。而當?shù)诙€電容充電到一定電壓時又通過電感放電給第三個電容。這樣一步一步下去，一方面，前一個電容不斷地通過電感放電給下一個電容；另一方面，電源不斷補充電荷維持一定的電壓。這就形成了在電路上的直流電壓波。并且，正是由于電感對電流變化的反抗作用和電容對電壓變化的反抗作用，這種充電、放電過程在線上以有限的速度傳播，

而不是瞬時傳遞的。

圖2-2電壓波的傳播

2.2均勻傳輸線的行波和特性阻抗

實際工作中使用的傳輸線如圖2-3所示，其中各部分的電感、電容等是不一樣的。以帶有絕緣支架的雙導線和同軸線為例，可以看到，在有支架處和無支架處，至少漏電的電導和線間的電容是不一樣的。因此，這些參數(shù)不是沿導線均勻分布的。為了使這類問題的數(shù)量分析簡化，我們采用理想的情況，即認為不論在線路的哪一處，它在單位長度上的電感、電容、電阻和電導都是相等的。

這樣的傳輸線叫做均勻傳輸線。

圖2-3常用的傳輸線

電路的各種參數(shù)，在整個線路上不能把它們集中起來，但在Δz長度的小范圍之內(nèi)，可以把它們集中起來。在這樣的一段線路上可以用已知電路規(guī)律來處理，這種理想化的情況及其等效的參數(shù)如圖2-4所示。圖2-4(b)是不考慮導線本身的電阻和線間的漏電導，只考慮電場和磁場時的情況，

圖2-4(c)是最一般的情況。

圖2-4均勻傳輸線的等效參數(shù)(a)雙導線；

(b)

無損耗等效；(c)

有損耗等效

設想傳輸線無損耗并且是無限長，電壓和電流波將沿導線向一個方向傳播。這時電路上只有一個方向的行波。從電源來看，不斷有能量送出去而沒有返回，就相當于有一電阻性負載吸收了全部電磁能量而無返回。既然是電阻性負載就表明在此單一方向的行波中電壓和電流是同相的。對于一段有限長的傳輸線，如果我們能夠找到一個適當數(shù)值的電阻性負載阻抗，把它接在終端，其效果相當于把傳輸線轉變成為無限長線，線上只有行波，則這個阻抗值稱為傳輸線的特性阻抗(又稱波阻抗)。它的具體數(shù)值是由導線的形狀尺寸和分布狀況來決定的，與傳輸線的長短無關。在無損耗的情況下，它與頻率無關，而且是實數(shù)。下面我們來導出它的表示式。

令L和C分別表示傳輸線上單位長度的電感量和電容量，設Δt代表電壓和電流波在線上經(jīng)過Δz長度所需要的時間。如以v代表波速，則Δz=vΔt。在Δz這一段內(nèi)的電感量是LΔz，電容量是CΔz。參考圖2-5，令ΔI表示A點流入的與C點流入的電流之差；ΔU表示AB間電壓和CD間電壓之差。根據(jù)電磁感應定律，電壓的增加值應與Δz段內(nèi)電流變化引起的感應電動勢數(shù)值相等，即電流的增加值與注入Δz段內(nèi)的電荷增加值相等，

即

圖2-5求行波的電流電壓關系

為簡單起見，我們認為在Δt時間內(nèi)，向右傳播的波中其電壓和電流的零點由A點移至C點，如圖2-5下部電流電壓曲線所示。這樣一來，上兩式中的ΔU和ΔI就分別等于U和I，再考慮到v=Δz/Δt，則上兩式可寫為

(2-1)從這兩式出發(fā)，

經(jīng)過簡單的代數(shù)運算，

可以得到以下幾個重要結果：

特性阻抗為

(2-2)單位是Ω(歐姆)。

波速(相速)為

(2-3)單位是m/s(米/秒)。在正弦波的情況下，由第1章1.3節(jié)式(1-9)可得相移常數(shù)為

(2-4)單位是rad/s(弧度/秒)。當傳輸線是理想導體且線間的介質(zhì)是空氣時，它的介電常數(shù)和導磁率與真空的很相近。這時，式(2-3)所表示的相速為一固定的值，即真空中的光速v=3×108m/s。有了這些參數(shù)之后，在波源是簡諧振動的條件下，傳輸線上電流和電壓的行波關系式分別為

(2-5)這種行波狀態(tài)表示在圖2-6中，圖上同時也簡單地表明了電場和磁場的分布。電流和電壓行波沿導線從電源至終端以速度v運動。但用電壓表沿導線在任一點測量，所得的結果都為一定值。

這是由于電壓表所測得的是平均值(或有效值)的緣故。

圖2-6電壓和電流行波

對給定的傳輸線，計算電流所產(chǎn)生的磁場能求出單位長電感L；計算電荷所產(chǎn)生的電場能夠求出單位長電容C，再利用式(2-2)就能算出其特性阻抗。常用的有關公式列于表2-1中。

表2-1常用的有關公式

2.3無損耗傳輸線的一般性質(zhì)

實際的傳輸線不可能獲得理想的完全行波狀態(tài)。它總是存在著一個入射波和一個反射波。只是在不同條件下，兩者所占的成分不相同。因此，特性阻抗不能反映這種一般情況下的傳輸線性質(zhì)，而必須找出代表傳輸線一般特性的阻抗。我們稱它為傳輸線阻抗?，F(xiàn)在計算均勻無損耗線的阻抗。在計算中通常以負載端為坐標原點，向波源端為坐標正方向。這樣一來，如果用z表示從終端向電源端的距離，則入射波應表示為ejαz；反射波應表示為e-jαz。在一般情況下，線上任一點處的電壓和電流都是入射波和反射波之和，即兩個相反方向的行波之和：

再根據(jù)上節(jié)所講的知識，對無損耗傳輸線相應的電流可表示為

其中，A，B分別為兩個電壓波的振幅，在此還是一對未定常數(shù)。電流反射波前面的負號是依據(jù)一般的規(guī)定，即與正向電流相比，反向電流應為負值。對電壓反射波不需反號，因為由圖2-7可知，對所設的電流正值方向來說，正向電壓與反向電壓的正方向都是使a點為正，b點為負。A，B兩個常數(shù)的值，可以由給定負載端的電壓、電流來定，也可由給定電源端的電壓、電流來定?，F(xiàn)在我們以給定負載端的電壓UL和電流IL來定它們，即要求圖2-7阻抗計算

把這個條件代入上兩式可得

由此解出

把此結果代入前式，并令

(2-6)則得

(2-7)或者，考慮到歐拉公式

以及式(2-6)，

經(jīng)過演算，能夠把式(2-7)化為

(2-8)其中，UL和IL是終端負載的電壓和電流。在一般情況下，它們是復數(shù)。把上兩式相除，并且考慮α=2π/λ以及在終端ZL=UL/IL，就可算出無損耗傳輸線接入任意負載ZL后，在線上任一段的阻抗，即（2-9）可見，這個阻抗不僅與負載、頻率(波長)、在線上所取的距離和線本身的特性阻抗有關，而且還是一個沿線的長度作周期變化的函數(shù)。它能夠反映無損耗線終端接任意負載阻抗ZL的基本性能。

1.終端接入匹配負載

這時，ZL=Zc，由式(2-9)可知，Z=Zc。反射波為零，線上只有一個單方向傳輸?shù)男胁ǎ慈肷洳?。此外，阻抗與線的長度無關，也就是說，只要接入Zc，不論接到傳輸線的哪一段上，

傳輸線阻抗都等于線的特性阻抗。

2.終端短路這時，ZL=0，UL=0，由式(2-9)可知

Z=jZctanαz

(2-10)由式(2-8)可知

(2-11)依照我們以前的約定，將式(2-11)乘以ejωt再取實部即得瞬時變化的函數(shù)關系：(2-12)當終端短路，電磁能傳輸?shù)浇K端時，能量不被吸收，將要送回電源，于是有反射波存在。同時，由于全部能量都不吸收，故反射波與入射波的振幅相同。這樣，入射波與反射波疊加起來在全部線路上形成電流、電壓的駐波。駐波的腹波與波節(jié)是固定的。但對于終端短路的線來說，在短路端是電流駐波的波腹和電壓駐波的波節(jié)，這一點可由圖2－8說明。當波傳到終端時，正電荷和負電荷都分別通過短路線返回來，因此，在終端的兩頭總是同時帶有異號電荷，與電荷相聯(lián)系的電壓(與電壓成正比)相應地抵消到最小，于是終端形成電壓波節(jié)。至于電流，則由于異號電荷的反向流動等于同號電荷的同方向流動，故終端電流總是相加成為最大，形成波腹。然后，從終端算起，電流、電壓的波節(jié)與波腹依次交替出現(xiàn)，

如圖2-9所示。

電壓駐波，在終端是波節(jié)，以后從終端到電源，每隔半個波長的地點都是波節(jié)。至于電流駐波，它的第一個波節(jié)在距終端λ/4處。此外，從式(2-10)可知，這時傳輸線相當于一個電抗，并且從終端算起周期性地表現(xiàn)為串聯(lián)諧振、感抗、并聯(lián)諧振、容抗。以后再重復出現(xiàn)，如圖2-9所示。圖上也畫出了相對于終端的沿線電流和電壓的相位變化曲線。由此可見，每經(jīng)歷半個波長，電流和電壓都有180°的相對相移。圖2-8短路端的電荷運動

圖2-9短路線的相位、

電流、

電壓和阻抗的沿線分布

3.終端開路

這時，ZL=∞,IL=0，

由式(2-9)可知

Z=-jZccotαz

由式(2-8)可知

(2-14)經(jīng)過同樣的數(shù)學變換，得到電壓、

電流的瞬時值分別為

(2-15)當終端開路，電磁能傳輸?shù)浇K端時，能量不被吸收，將要送回電源，于是有反射波存在，同時，由于全部能量都不吸收，故反射波與入射波的振幅相同，這樣，入射波與反射波疊加起來，形成電流、電壓的駐波。對于終端開路的長線來說，在開路端是電壓駐波的波腹和電流駐波的波節(jié)。這一點可由圖2-10來說明。

當波傳到終端時，由于開路，正電荷與負電荷都要沿原來的導線返回來，因此，在終端兩頭總是帶有較多的同號電荷。與電荷相聯(lián)系的電壓相應地增加到最大，于是終端形成電壓波腹。至于電流，則由于同號電荷的反向流動而抵消至最小，形成電流波節(jié)。電壓駐波在終端是波腹，以后從終端起算，每隔λ/4，電壓與電流的波腹和波節(jié)交替出現(xiàn)一次。此外，從式(2－13)可知，傳輸線的輸入阻抗是一個電抗。從終端起依次為并聯(lián)諧振、容抗、串聯(lián)諧振和感抗。然后，再重復出現(xiàn)，如圖2-11所示。圖上也畫出了相對于終端的沿線電壓和電流的相位變化曲線。

由此可見，每經(jīng)歷半個波長，電流和電壓都有180°的相對相移。

無損耗短路線和開路線的這些性能在實用上有很大的意義。由于長度小于λ/4的短路線相當于電感，小于λ/4的開路線相當于電容，因此能夠把它們配合起來構成諧振電路。當無損耗短路線和開路線用作諧振線時，可以獲得很高的Q值。Q值的計算公式可依一般的表示式導出。利用式(2-2)、

式(2-3)和式(2-4)即得

(2-16)其中，Zc是特性阻抗(Ω)；R是單位長的電阻(Ω/m)；λ是工作波長。例如，有一同軸線Zc=60Ω,R=0.1Ω/m，在工作于λ=60cm時可算出這樣高的Q值在普通集中參數(shù)的諧振回路中是無法做到的。

圖2-10開路端的電荷運動

圖2-11開路線相位、電流、電壓和阻抗的沿線分布

除用作諧振線外，無損耗短路線和開路線還可用作濾波器。圖2-12是用λ/4短路線并聯(lián)接入和λ/4開路線串聯(lián)接入，以濾除偶次諧波的例子。當無損耗線的長度為λ/4，且終端短路時，阻抗相當于并聯(lián)諧振為無限大。但對于二次諧波，卻是λ/2長的傳輸線，它的阻抗相當于串聯(lián)諧振為零。如果終端開路，則基波為λ/4長的傳輸線，對其二次諧波阻抗為無限大，相當于并聯(lián)諧振。這樣如把λ/4短路線并聯(lián)接入，會使偶次諧波被短路；把λ/4開路線串聯(lián)接入，會使偶次諧波斷路，由此達到濾除偶次諧波的作用。并聯(lián)接入的λ/4線還可用作金屬絕緣支架，因為，對基頻它的阻抗無限大。當然，用在這種場合，

必須要求工作頻帶很窄才行。

圖2-12濾波器

4.終端接電抗或電阻

對無損耗傳輸線，終端接入純電感或純電容時，仍然沒有功率消耗，在線上有完全的電流和電壓駐波。不同的是波節(jié)點和波腹點不在終端。但是，電壓或電流本身的波節(jié)(或波腹)之間相距λ/2以及電壓與電流的波節(jié)之間相距λ/4的規(guī)律仍然是成立的。在這種情形下，可以用一段電抗與之相等的開路線或短路線來代替電感或電容。代替之后，可用開路線或短路線的方法判定波腹點和波節(jié)點。最后按實際的線長截去，則得實際的節(jié)點或腹點位置，

如圖2-13所示。

圖2-13電抗負載

當終端接入不等于特性阻抗的純電阻時，由于電阻負載將吸收功率，反射波的振幅減小，它和入射波疊加之后，不再是完全的駐波，即駐波的最小點不為零。但最小點和最大點的位置仍與開路線和短路線的相同。當ZL=RL>Zc時，終端是電壓的波腹，電流的波節(jié)。當ZL=RL<Zc時，終端是電流的波腹，電壓的波節(jié)。

這兩種情況如圖2-14所示。

圖2-14電阻負載

5.阻抗變換特性

從上面的一些特殊情況可以看出，傳輸線的阻抗，每經(jīng)過λ/2又會重復。從式(2－9)可知這個性質(zhì)在一般情況下對無損耗傳輸線來說也是對的。因為,以z±(λ/2)代入式(2-9)后，由于其結果不會改變傳輸線阻抗Z的性質(zhì)。所以，長度為λ/2的一段無損耗傳輸線相當于一個1∶1

的阻抗變換器。

圖2-15倒相器

利用這一點以及每經(jīng)歷λ/2電流和電壓有180°相移的性質(zhì)，在給天線陣的各個天線元饋電時有很重要的意義。圖2-15是這種饋電方式的示意圖。這種線路的連接稱為倒相器。在圖中由λ/2短路線的性質(zhì)可知，A、B點都是地電位，至天線1和天線2的饋線，阻抗不變，但電流(或電壓)有180°的相移。從式(2-9)還可以看出，

如果線長為l=λ/4，則傳輸線的阻抗為

因此，如果把Z認為是一種傳輸線的特性阻抗，令它為Z1,把ZL認為是另一種傳輸線的特性阻抗，令它為Z2，則可以把一段λ/4長的傳輸線的特性阻抗Zc調(diào)整到使(2-17)即

這就能夠使特性阻抗不同的兩段傳輸線匹配。例如，設Z2=75Ω,Z1=300Ω，那么可算出Zc=150Ω?？梢姡x特性阻抗為150Ω的一段長度為λ/4的傳輸線串入，它能把75Ω的特性阻抗變換為300Ω，以達到匹配，如圖2-16所示。圖2-16λ/4阻抗變換器

在無損耗均勻傳輸線的終端接上一般性負載時，沿線的電流、電壓以及阻抗的變化是單接電阻和電抗的組合。這時，終端既不是波腹點也不是波節(jié)點；在電流和電壓的波節(jié)處最小值也不是零。但是各自的波腹或波節(jié)之間相距λ/2，以及電壓和電流的波節(jié)(波腹)每隔λ/4交替出現(xiàn)則是一樣的。至于阻抗的變化仍然是在電壓的波腹與電流的波節(jié)處出現(xiàn)并聯(lián)諧振，在諧振點電流與電壓同相，傳輸線阻抗為純電阻。

2.4反射系數(shù)和行波系數(shù)

電壓反射系數(shù)已知在傳輸線上任一處電流、

電壓的復數(shù)式分別為

(2-18)(2-19)其中“+”號表示入射波，“-”號表示反射波。如果我們規(guī)定電壓的反射波與入射波之比為電壓反射系數(shù)，并用ρ表示，則

在這種情況下，

式(2-18)可寫為

(2-20)在終端負載處z=0，電壓反射系數(shù)即為

(2-21)在一般情況下它是復數(shù)。|ρ0|是終端反射系數(shù)的大小，它的值不可能超過1。利用這個結果，線上任一處的反射系數(shù)就可寫成

(2-22)

2.電壓的最大值和最小值

終端接入一般性負載的無損耗均勻傳輸線，其最大值(波腹)和最小值(波節(jié))有確定的大小和位置，如圖2-17所示。利用反射系數(shù)的關系能夠簡便地把它表示出來。由式(2－20)和式(2-22)可以寫出

其中，第一個因子U+0ejαz的振幅是一定的，即|U+0|。在第二個因子中，如果￠0-2αz=0，則為最大值，即1+|ρ0|。這時電壓的最大振幅為

(2-23)(2-22)在第二個因子中，如果￠0-2αz=±π，則為最小值，即1-|ρ0|。這時電壓的最小振幅為從負載端起算的第一電壓最大值的位置由￠0-2αz=0決定。若令zmax1表示，則(2-25)由于最小值與最大值的距離相差λ/4，因此，若令zmin1表示電壓的第一最小值位置，則

(2-26)圖2-17計算波腹點和波節(jié)點

3.行波系數(shù)

從式(2-23)和式(2-24)可以規(guī)定傳輸線的行波系數(shù)和駐波系數(shù)的計算公式，即行波系數(shù)

(2-27)駐波系數(shù)(也稱駐波比)(2-28)這兩個參量是互為倒數(shù)的，即KS=1。行波系數(shù)的大小表示進入負載而不反射的行波成分大小，它的范圍是0≤K≤1。駐波系數(shù)表示不為負載吸收的反射成分大小，它的范圍是1≤S≤∞。有的人傾向于使用行波系數(shù)，有的人傾向于使用駐波系數(shù)。由上兩式可以算出(2-29)

4.反射系數(shù)與阻抗的關系

利用式(2-19)，

經(jīng)過與導出式(2-20)相類似的過程(詳細計算從略)，

可以導出

(2-30)將此式與式(2-20)相除，再考慮到式(2-6)，就得到線上任一處的阻抗與反射系數(shù)的關系：

(2-31)或

(2-32)在終端，Z=ZL,ρ=ρ0，于是上兩式可寫為

(2-33)可見，如果能夠求得終端反射系數(shù)ρ0，則在已知傳輸線特性阻抗的情況下能算出負載阻抗?；蛘?，反過來已知負載阻抗ZL時可求ρ0。終端的ρ0和ZL求得之后，通過式(2-32)，線上任一處的ρ就能算出。而由式(2-32)或式(2-31)，又可算出任一處的傳輸線阻抗。下面舉一例來說明上面所引入的一些關系式的應用。

設用已知傳輸線測天線的阻抗，如圖2-18所示。已測得Umax=250V,Umin=50V，第一個電壓最小值位置距負載端為0.15m。已知工作波長λ=1m，傳輸線的特性阻抗Zc=125Ω。由此算出行波系數(shù)為由￠0-2αz=π知，，由此算出￠0=288°，也就是￠0=72°，于是ρ0=0.66e-j72°，再由式(2－33)算出負載(天線)的阻抗為

圖2-18測天線阻抗

5.電壓波腹與波節(jié)處的阻抗

由式(2-31)得

由式(2-23)、

式(2-27)和式(2-28)可知，

在電壓的波腹處

(2-34)它是實數(shù)，

表明在電壓的波腹處電壓和電流同相。

同理，從式(2-24)可算出在電壓的波節(jié)處

(2-35)它也是實數(shù)，

即在電壓的波節(jié)處電壓與電流同相。

2.5阻抗計算圓圖

在工程計算中，常常采用列線圖，以求迅速地得到計算的結果。在傳輸線問題中，用得最多的是阻抗計算圖。由于這個計算圖中所有的列線都在一個圓內(nèi)，因此又簡稱圓圖。下面我們先介紹圓圖的構成，然后通過實例說明它的使用方法。圓圖所依據(jù)的基本原理是式(2-31)，

即

它表明在傳輸線特性阻抗給定之后，傳輸線上任一點的阻抗和在該點的反射系數(shù)有一一對應的關系。在實際構成圓圖時，

不是直接使用上式而是改寫為

(2-36)稱為相對阻抗，又叫歸一化阻抗。它是把實際的阻抗值用傳輸線的特性阻抗Zc去除的結果。它是一個無量綱的量。用相對阻抗畫出的圓圖，對任何傳輸線都適用。

ρ本身是一個復數(shù)，它可以表示為極坐標的形式，也可以表示為直角坐標的形式。當ρ表示為極坐標形式時，利用式(2-22)可以寫為

這里θ=￠0-2αz。從這個關系參照圖2-19可知由終端向電源方向移動時，θ減小，相當于順時針轉動，由電源向負載移動時，θ增大，相當于逆時針轉動。其次，沿傳輸線移動λ/2時，反射系數(shù)經(jīng)歷一周，這是因為當z=λ/2時，2αz=2×(2π/λ)(λ/2)=2π的緣故。最后，由于反射系數(shù)的大小不會超過1，因此它的極坐標表示只能限制在半徑為1的圓周之內(nèi)。把以上三點畫出來就得到如圖2-20所示的圓圖，圖上各個同心圓代表反射系數(shù)的大小。沿傳輸線移動的距離以波長為單位來表示。它的起點為實軸左邊的端點(即￠0=π處)。在這個圖內(nèi)，任一點與圓心的連線之長度就是與該點相應的反射系數(shù)的大小，這根線與實軸的夾角就是相應的幅角。

圖2-19反射系數(shù)的極坐標表示

圖2-20反射系數(shù)圓圖

在這里應該指出：在實際的圓圖計算中前式的￠0決定于負載阻抗，而對每一個負載阻抗的值，都能在圓圖上找到一個相應的點。這一點從極坐標關系來看也就代表了ρ0=|ρ0|ej￠0

。它是計算的起點。另一方面，當把ρ表示為直角坐標的形式時可令ρ=u+jv

而又能寫成。由此利用式(2-36)能夠算出以u、v為坐標變量，以、為參數(shù)的兩組圓，它們的方程如下：相對電阻圓相對電抗圓

圖2-21電阻和電抗圓圖

圖2-22阻抗圓圖

【例2.1】如圖2-23所示，已知負載阻抗為ZL=25+j25,傳輸線的特性阻抗為Zc=50Ω。求自終端算起z=0.2λ處的傳輸線阻抗值。為了計算，先求相對阻抗，即

在圓圖上查出與此相當?shù)囊稽c為P1，然后以P1點和中心點的距離為半徑，順時針轉0.2λ到達P2點。從圖上查出P2點的相對阻抗為Z2=2-j1.04。再乘以50Ω，即得Z2=100-j52Ω。這個過程都表示在圖2-23中。

圖2-23例2.1圖

在此計算中，實際上已經(jīng)用了反射系數(shù)的概念，因為P1與中心點的距離畫出之后就得到了與之相應的反射系數(shù)。順時針轉到P2點也就是求在P2點的反射系數(shù)。和P2點的反射系數(shù)相應的相對阻抗值可直接從圖上讀出。可見，反射系數(shù)在此起了媒介作用。

圖2-24例2.2圖

【例2.2】如圖2-24所示，已知傳輸線的特性阻抗Zc=200Ω，線長l=0.6λ，電源端的輸入阻抗Z=70-j147Ω，求負載阻抗。

首先求出相對阻抗Z=(70-j147)/200=0.35+j0.735。根據(jù)這個數(shù)值在圓圖上找到P點。線上0.6λ相當于向負載端轉0.6λ的長度。經(jīng)過逆時針旋轉之后轉至0.294λ處。因為0.5λ相當于轉一周，0.6λ相當于轉一周之后再轉0.1λ。這樣，達到了Q點。從圓圖上查出相對阻抗為1.8-j2。由此算出負載阻抗ZL=(1.8-j2)×200=360-j400Ω。阻抗圓圖不僅可用于計算阻抗，也能用于計算導納。因為導納與阻抗的關系為Y=1/Z,所以從式(2-36)可知相對導納就是其中，Yc=1/Zc是特性阻抗的倒數(shù)，稱為特性導納。然而，這個導納與反射系數(shù)的關系和式(2-36)表明的阻抗與反射系數(shù)的關系是不同的，所以不能把阻抗圖用于計算導納。但若令ρ′=-ρ，則在此式中，G表示相對電導，B表示相對電納。它在數(shù)學形式上和式(2－36)完全一致。因此，阻抗圓圖也是計算導納的圓圖。只需注意從-ρ變?yōu)棣选?，相當于表示反射系?shù)的點在阻抗圓圖上轉過±π(即±180°)的位置。所以，只要把原來表示阻抗的點與中心點連接再延長到與中心點對稱的位置，則該位置的點就是相應的導納值，計算導納的圓圖如圖2-25所示。在此圖中，上半圓面上各點表示電容性導納(B>0),下半圓面上各點表示電感性導納(B<0)。當然，在實際計算中，并不需要重新畫圓圖，而只要記住上述求倒數(shù)的方法即可。圖2-25導納圓圖

【例2.3】如圖2-26所示，已知傳輸線的特性阻抗為Zc=100Ω，線長0.12λ，終端負載阻抗為ZL=50+j150，求傳輸線電源輸入端的輸入導納。

圖2-26例2.3圖

先算相對阻抗為ZL=0.5+j1.5，在圓圖上查出a點。由a轉180°至b點，b點的值就是和ZL相對應的相對導納值YL。然后，向電源(順時針)轉0.12λ到0.532λ處，亦即0.032λ處，相應的點為c點。從c點讀出的值就是所求的相對導納，即Y=0.15+j0.21,此題中Yc=1/Zc=0.01Ω，所以，實際輸入導納為Y=(0.15+j0.21)×0.01=0.0015+j0.0021Ω。此題還可用另一方法計算，即先不求和ZL相應的導納YL，而先依照例2.1的方法計算輸入阻抗Z，然后把Z的點旋轉180°得到導納值Y。其結果與上述方法的結果完全相同。還必須著重指出的是，能夠從相對(歸一化)阻抗(或導納)圓圖上直接讀出行波系數(shù)K和駐波系數(shù)S的數(shù)值。因為，圓圖中橫軸上的各點X=0,Z=R，傳輸線的阻抗如果落在橫軸上就表明線上的電流和電壓同相。因此，這些點也就是線上的諧振點，在電壓極大點與電流極小點表示并聯(lián)諧振，這時Z=Zmax=Rmax，在電壓極小點與電流極大點表示串聯(lián)諧振，這時Z=Zmin=Ｒmin。在實軸右邊Z=Ｒ>1,它是Zmax=Ｒmax的點；在實軸左邊Z=R<1,它是Zmin=Ｒmin的點，前者是電壓波腹點，后者是電壓波節(jié)點。而由式(2-34)和式(2-35)可知Zmax=ZcS，

Zmin=ZcK

所以

即橫軸左方的各個R值與行波系數(shù)K一樣，橫軸右方的各個R值與駐波系數(shù)S一樣，

如圖2-27所示。

圖2-27行波系數(shù)與駐波系數(shù)

【例2.4】用傳輸線測負載阻抗，如圖2-28所示。已知特性阻抗為Zc=125Ω，離負載最近的電壓波節(jié)點為0.3m，工作波長λ=1.6m，行波系數(shù)K=0.2,求負載阻抗ZL。

Umin1所在之點與負載的距離，按波長計算為0.3/1.6=0.187λ。行波系數(shù)K=0.2，也就是說Umin1處的相對阻抗為Ｒmin=0.2。它在實軸左方a點，由此，以oa為半徑向負載轉0.187λ，達到b點。b點所在的值就是負載阻抗的歸一化值，即ZL=1.09-j1.85再乘以特性阻抗Zc=125Ω，就得實際的負載阻抗值ZL=136.25-j231.25Ω。圖2-28例2.4圖

【例2.5】如圖2-29所示，已知傳輸線終端接入的負載阻抗為40+j25Ω，傳輸線的特性阻抗Zc=50Ω,求駐波系數(shù)。

相對負載阻抗Zc=(40+j25)/50=0.8+j0.5。它在圓圖上為A點。以OA為半徑作圓交實軸右方于B點處的Rmax=1.79=S，由此求得電壓駐波系數(shù)。B點相當于電壓波腹點，它與負載的距離為0.25λ-0.116λ=0.134λ。圖2-29例2.5圖2.6傳輸線的匹配

1.串聯(lián)匹配串聯(lián)匹配的基本方法是串入式(2-17)所表示的λ/4阻抗變換器進行匹配。但在這個公式中，Z1Z2和Zc都是實數(shù)。因此，如果負載不是純電阻，就應在傳輸線上找到阻抗為純電阻的地方(即電壓波腹或波節(jié)處)再串入。下面用一例子來說明此種方法。設有一廣播電臺的短波發(fā)射天線阻抗為150+j150Ω，發(fā)射機與天線間傳輸線特性阻抗為Zc=600Ω，載波波長為λ=20m，試計算λ/4匹配線應接入的位置和它的特性阻抗。

我們利用圓圖(見圖2-30)來計算，具體計算見圖2-31。

圖2-30圓圖

圖2-31串聯(lián)匹配

先求相對負載阻抗，即ZL=(150+j150)/600=0.25+j0.25，它在圓上的位置是A點，與之相應的距離在0.043λ處。然后用A點與圓圖中心的距離為半徑作圓交橫軸于PQ兩點。P點距負載端0.25λ-0.043λ=0.207λ，傳輸線阻抗為純電阻，相當于第一個電壓的波腹點Zmax=Rmax=4.4。Q點距負載端0.5λ-0.043λ=0.457λ，傳輸線阻抗也是純電阻，相當于第一個電壓的波節(jié)點Zmin=Rmin=0.24。如在相當于P點的位置接入1/4波長線，則依式(2-17)，該線的特性阻抗為由平行雙線的特性阻抗公式(D>>d)(見2.2節(jié)表2-1)可知，要得到這樣的特性阻抗，雙線的中心距離和線徑之比大約要為

這樣的傳輸線在結構上不易實現(xiàn)。

為此，必須改在相當于Q點的位置接入。在這一點Rmin=600×0.24=144Ω，于是所需的匹配線特性阻抗為

這時，雙線的中心距離和線徑之比約為

這是容易實現(xiàn)的結構。因此，在第一個電壓的波節(jié)處接入匹配線較好。這一點的位置在λ=20m時與天線距離為0.457×20=9.14m。

也就是說，在距天線9.14m處串入一個長度為5m特性阻抗為Zc=294Ω的一段傳輸線就可使匹配線和發(fā)射機之間是單一的行波。但在λ/4線上仍然存在著駐波。這個例子是雙導線的。在同軸線的情況下，如果要串入1/4波長阻抗變換器，則可以改變其內(nèi)導體的粗細或填充厚度為l的介質(zhì)，以得到所需的特性阻抗數(shù)值，如圖2-32所示。l的大小決定于波長和介質(zhì)的相對介電常數(shù)εr。它的計算公式為 。這是因為在介質(zhì)中比在空氣中波長要縮短，縮短至原來的 ，所以，用介質(zhì)填充的長度l比在空氣中的λ/4短。圖2-32同軸線的串聯(lián)匹配

2.單枝節(jié)匹配

串聯(lián)匹配在實用上不如并聯(lián)匹配方便，所以在實際工作中大多使用并聯(lián)匹配。其基本方法是把負載阻抗化為相對導納，再利用圓圖確定匹配線接入的位置和匹配線的長度。這種方法稱為枝節(jié)匹配。用作匹配的枝節(jié)是與主線有相同特性阻抗的短路線，圖2-33所示是單枝節(jié)匹配示意圖。我們?nèi)杂蒙侠齺碚f明單枝節(jié)匹配的方法。

圖2-33單枝節(jié)匹配

先把負載阻抗變?yōu)閷Ъ{，由于給定的負載阻抗為ZL=150+j150，在Zc=600Ω時相對阻抗為ZL=0.25+j0.25。這在圓圖上是A點，將此點與圓圖中心相連延長到對稱位置得到B點。B點的值就是相對導納值，即YL=2-j2。單枝節(jié)匹配方法的第一步就是自負載端起找相對電導G=1的位置。為此把OB向電源轉到與G=1的圓相交的一點C，兩點之間的距離為0.321λ-0.292λ=0.029λ。這就是說在λ=20m時，距負載端為d=0.029×20=0.58m處，傳輸線相對導納為Y=1-j1.6，匹配枝節(jié)應在此處接入。第二步是決定匹配的短路枝節(jié)長短。它在接入處應有j1.6的相對電納，才能使合成Y=1+j0，以達到匹配。為此，把應接入的短路枝點看成另一個傳輸線。由于其終端短路，因此它的終端導納為∝+j0。這在導納圓圖上是P點。這個相對導納值變到0+j1.6的位置在何處呢?它應為G=0的圓與B=+1.6的圓的交點，即在圓圖上的Q點。P點順時針轉至Q點所經(jīng)歷的波長為(0.25+0.161)λ，即0.411λ=0.411×20=8.22m。這就是說用于匹配的單枝節(jié)短路線長度應為l=8.22m。單枝節(jié)接入的位置不止一個，而有兩個，因為從B點繼續(xù)轉下去到D點也會和G=1的圓相交。由這一點的電納B也能決定枝節(jié)的長度。既然傳輸線和負載匹配的本質(zhì)是消除反射波，那么，上述頻帶匹配就是要求在一定的工作頻段內(nèi)消除反射波或者使行波系數(shù)達到設計要求。上述的串聯(lián)匹配元件和并聯(lián)匹配枝節(jié)的物理實質(zhì)也是引入新的等幅反相的反射波去抵消原來的反射波，使主傳輸線上是行波。圖2-34(a)表示不匹配時沿線電壓(對時間)平均值的分布；圖2-34(b)表示接入匹配枝節(jié)后的沿線電壓平均值的分布。圖2-34匹配元件的作用(a)行、

駐波傳輸線；

(b)

匹配傳輸線

由圖2-35可知，當兩段傳輸線的特性阻抗Zc1和Zc2相差很大時，用多段1/4波長變換器會減弱Zc1和Zc2之間阻抗突變的程度。這樣也就是減弱了反射波。另一方面，多段變換器連在一起時，每一連接處都有反射。在匹配時這些反射波都是完全抵消的。圖2-35(a)表示單段變換器情況下匹配時在A端的反射波矢量和。顯然在A處的反射波UA是從A到B，在B處反射又回到A處的反射波UB(經(jīng)歷了兩個λ/4)，兩者要相位相反、振幅相等才能保證在A端左方?jīng)]有反射波。圖2-35(b)中兩段的情況也是一樣的。圖2-35λ/4變換器(a)單段變換；

(b)兩段變換

圖2-36所示為漸變形匹配器的結構。對中心頻率和上下兩邊頻率的計算方法和前面講的一樣，然后在計算結果中權衡，選一個或幾個適當?shù)貪M足要求的枝節(jié)長短和接入的位置，構成要求阻抗和頻率的匹配器。

圖2-36漸變線(a)直線式；

(b)指數(shù)式

問題

1.設傳輸線特性阻抗Zc=50Ω，終端接入負載阻抗ZL=100+j50Ω，波長為50cm，求匹配短路單枝節(jié)接入的位置和長度。

2.設傳輸線特性阻抗Zc=75Ω，負載阻抗為純電阻ZL=250Ω，計算匹配單枝節(jié)的位置的長度(以波長λ表示)。

3.圖2-37是λ/4短路枝節(jié)和λ/4變換器同時應用以使匹配頻帶展寬的一種方法，試說明其作用原理。

4.圖2-38是開路枝節(jié)和λ/4變換器同時應用以使匹配頻帶展寬的一種方法，試說明其作用原理。圖2-37并聯(lián)枝節(jié)的λ/4變換器

圖2-38串聯(lián)枝節(jié)的λ/4變換器

2.7有損耗傳輸線

在波的傳輸過程中，如它所攜帶的能量不斷地轉化為其它形態(tài)(例如熱能)，則它的振幅在傳播中會連續(xù)減小。圖2-39就是這種衰減波在某一瞬間的情況。隨著時間的推移，波繼續(xù)沿z軸方向行進，但振幅連續(xù)下降。在最簡單的正弦波情況下振幅的衰減依e-βz而下降。這時要在表示行波的函數(shù)式中引入指數(shù)因子以反映有能量轉移而引起的振幅衰減，即等幅波

A0cos(ωt-αz)衰減波

A0e-βzcos(ωt-αz)在衰減波中，β稱為衰減常數(shù)。它等于傳播一個單位距離(即z=1)振幅衰減值的自然對數(shù)值。它的單位是Np/m或dB/m(奈培/米或分貝/米)。(1Np=8.686dB。)圖2-39衰減波

如果用復數(shù)表示正弦穩(wěn)態(tài)波，則上兩式可改為等幅波

A0e-jαz

衰減波

A0e-j(α-jβ)z

由此可見，要想描述衰減波，只要用α-jβ代替等幅波中的α即可。

在傳輸線中，如果考慮到線的電阻和線間的漏電電導，則沿線傳播的電壓波、電流波也是衰減波，

也應該表示為上述形式，

即

電壓波

電流波

U0e-βze-jαz

I0e-βze-jαz

(2-37)在這種情形下，衰減常數(shù)β和相位常數(shù)α都與傳輸線的參數(shù)有一個確定的關系。這個關系比無損耗情況要復雜得多。我們現(xiàn)在從等效的觀念來導出這些關系。參考圖2-40對正弦變化有下列關系：

其中，

(2-38)圖2-40計算等效關系

計入單位長電阻R和單位長電導G之后，傳輸線的分布參數(shù)可表示為圖2-41所示的電路。將式(2-38)中的L、C、R和G都看作單位長度上的數(shù)值，則在以式(2-38)代替式(2-2)中的L和C之后，可以算出計入損耗的特性阻抗表示式：(2-39)從這個結果可知，

在有損耗時，

行波電流與電壓不再同相。

圖2-41有耗線的分布參數(shù)

如果一方面用α-jβ代替α，一方面用式(2-38)代替L和C，則可由式(2-4)得到將此式兩邊平方，

再令實部和虛部相等，

則得

由此能夠解出

(2-40)

可見，在考慮到傳輸線的損耗時，表示傳播的一些參量不僅和單位長的電阻R以及單位長的電導G有關，也和頻率有關。在這種情況下，如果用v=ω/α計算相速，則相速也將與頻率有關。這種現(xiàn)象常稱為色散。這樣一來，信號在沿線傳播過程中由于其中含有各種不同頻率，會因各頻率的相速不同而引起失真。但因傳輸線當作饋線傳播距離不會很長，由這種色散而引起的失真很小，可以忽略。

(1)頻率較低使R>>ωL，且線間絕緣良好G=0，則

(2-41)(2-42)可見，在此情況下行波的電流和電壓有45°的固定相移。

(2)頻率較高使R>>ωL,G>>ωC，則(2-43)(2-44)(2-45)由此可見，在高頻的情況下，行波的電流與電壓仍舊是同相的，線上電流波、電壓波的相位常數(shù)和特性阻抗也與無損耗時是一樣的。傳輸損耗的問題由式(2-44)的衰減常數(shù)計算。通常由于線間絕緣較好，

還可認為G=0，

這時

(2