2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第10章-第8節(jié) 二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布【課件】

第十章計數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布第8節(jié)二項分布、超幾何分布與正態(tài)分布1.理解二項分布、超幾何分布的概念，能解決一些簡單的實際問題.2.借助正態(tài)分布曲線了解正態(tài)分布的概念，并進(jìn)行簡單應(yīng)用.目

錄CONTENTS知識診斷自測01考點聚焦突破02課時分層精練03知識診斷自測1ZHISHIZHENDUANZICE1.伯努利試驗與二項分布(1)伯努利試驗____________________的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗稱為_________________.(2)二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝_____________，k＝0，1，2，…，n，稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作_________________.只包含兩個可能結(jié)果n重伯努利試驗X～B(n，p)2.兩點分布與二項分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量X服從兩點分布，則E(X)＝

___，D(X)＝________.(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝____，D(X)＝___________.p(1－p)npnp(1－p)p3.超幾何分布一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝__________，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.正態(tài)分布x＝μx＝μ(3)3σ原則①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.(4)正態(tài)分布的均值與方差若X～N(μ，σ2)，則E(X)＝____，D(X)＝______.μσ2常用結(jié)論與微點提醒1.思考辨析(在括號內(nèi)打“√”或“×”)(1)X表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是2的倍數(shù)的次數(shù)，則X服從二項分布.(

)(2)從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.(

)(3)n重伯努利試驗中各次試驗的結(jié)果必須相互獨立.(

)(4)正態(tài)分布是對于連續(xù)型隨機(jī)變量而言的.(

)√√√√A

3.(選修三P78例5改編)在含有3件次品的10件產(chǎn)品中，任取4件，X表示取到的次品數(shù)，則P(X＝2)＝________.解析由題意，X服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，4.(必修三P87T2改編)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，且P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，則c＝________.解析隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(3，1)，∵P(X＞2c－1)＝P(X＜c＋3)，考點聚焦突破2KAODIANJUJIAOTUPO考點一二項分布解由題意知，ξ的可能取值為0，1，2，3，感悟提升判斷某隨機(jī)變量服從二項分布的關(guān)鍵點(1)在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.(3)在每一次試驗中，試驗的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.解將這組數(shù)據(jù)從小到大進(jìn)行排列，7.4，7.8，8.3，8.5，8.5，8.6，8.9，9.1，9.5，9.9，因為75%×10＝7.5，所以第8個數(shù)據(jù)為所求，所以這組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為9.1.(2)將頻率視為概率，現(xiàn)從觀眾中隨機(jī)抽取3人對該電視劇進(jìn)行評價，記抽取的3人中評分超過9.0的人數(shù)為X，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差.解樣本中評分超過9.0的有3個，所以評分超過9.0的概率(頻率)為0.3，依題意，X的所有可能取值為0，1，2，3，且X～B(3，0.3)，考點二超幾何分布(2)若一次抽取3個機(jī)房，假設(shè)抽取的小型機(jī)房的個數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解X的可能取值為0，1，2，3.感悟提升1.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機(jī)變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：(1)考察對象分兩類；(2)已知各類對象的個數(shù)；(3)從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.2.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型.訓(xùn)練2(2024·鄭州調(diào)研)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤中有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.(1)求三種粽子各取到1個的概率；解令A(yù)表示事件“三種粽子各取到1個”，(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列，并求E(X).解X的所有可能值為0，1，2，且考點三正態(tài)分布ACA.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值B.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值小于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值C.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性D.甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性低于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性結(jié)合正態(tài)密度函數(shù)的圖象可知，μ1＝μ2，σ1<σ2，故甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值等于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的平均值，故A正確，B錯誤；甲工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性高于乙工廠生產(chǎn)零件尺寸的穩(wěn)定性，故C正確，D錯誤.BD解析對于A，由題意知，數(shù)學(xué)考試成績X的平均值為90，故A錯誤；對于B，根據(jù)N(90，σ2)(σ>0)中標(biāo)準(zhǔn)差的意義，σ的值越大則高于90分低于100分的人數(shù)越少，所以成績不低于100分的人數(shù)越多，故B正確；對于C，當(dāng)σ＝15時，感悟提升解決正態(tài)分布問題的三個關(guān)鍵點(1)對稱軸為x＝μ.(2)標(biāo)準(zhǔn)差為σ.(3)分布區(qū)間.由μ，σ利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率.注意只有在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.訓(xùn)練3(1)(2024·棗莊模擬)某地區(qū)有20000名考生參加了高三第二次調(diào)研考試.經(jīng)過數(shù)據(jù)分析，數(shù)學(xué)成績X近似服從正態(tài)分布N(72，82)，則數(shù)學(xué)成績位于[80，88]的人數(shù)約為(

)參考數(shù)據(jù)：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.A.455 B.2718 C.6346 D.9545B則數(shù)學(xué)成績位于[80，88]的人數(shù)約為0.1359×20000＝2718.(2)(多選)(2024·常州調(diào)研)已知在數(shù)學(xué)測驗中，某校學(xué)生的成績服從正態(tài)分布N(110，81)，其中90分為及格線，則下列結(jié)論中正確的有(附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈0.9545)(

)A.該校學(xué)生成績的期望為110B.該校學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差為9C.該校學(xué)生成績的標(biāo)準(zhǔn)差為81D.該校學(xué)生成績及格率超過95%ABD解析因為該校學(xué)生的成績服從正態(tài)分布N(110，81)，則μ＝110，方差σ2＝81，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝9，因為μ－2σ＝110－2×9＝92，所以該校學(xué)生成績的期望為110，標(biāo)準(zhǔn)差為9，該校學(xué)生成績及格率超過95%.所以A，B，D正確，C錯誤.微點突破

二項分布與超幾何分布的區(qū)別與聯(lián)系1.教材和考題中常涉及二項分布與超幾何分布，學(xué)生對這兩種模型的定義不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的題型，就認(rèn)為是超幾何分布，事實上，超幾何分布和二項分布確實有著密切的聯(lián)系，但也有明顯的區(qū)別.2.超幾何分布的抽取是不放回抽取，各次抽取不獨立，二項分布的抽取是有放回抽取，各次抽取相互獨立.當(dāng)超幾何分布所對應(yīng)的總體數(shù)量很大時可以近似地看作二項分布.例1

寫出下列離散型隨機(jī)變量的分布列，并指出其中服從二項分布的是哪些？服從超幾何分布的是哪些？ (1)X1表示n次重復(fù)拋擲1枚骰子出現(xiàn)點數(shù)是3的倍數(shù)的次數(shù).解X1的分布列為(2)有一批產(chǎn)品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n＞N)，抽出的次品件數(shù)為X2.解X2的分布列為(3)有一批產(chǎn)品共有N件，其中M件為次品，采用不放回抽取方法抽n件，出現(xiàn)次品的件數(shù)為X3(N－M＞n＞0，且M≥n).解X3的分布列為(2)設(shè)A答對的題數(shù)為X，B答對的題數(shù)為Y，若讓你投票決定參賽選手，你會選擇哪名學(xué)生？請說明理由.解X的可能取值為1，2，3，因為E(X)＝E(Y)，D(X)＜D(Y)，所以A與B答題的平均水平相當(dāng)，但A比B更穩(wěn)定.所以選擇學(xué)生A.訓(xùn)練

某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨機(jī)抽取該流水線上的40件產(chǎn)品作為樣本稱出它們的質(zhì)量(單位：克)，質(zhì)量的分組區(qū)間為[490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到樣本的頻率分布直方圖(如下圖).(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量；解質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為40×0.3＝12(件).(2)在上述抽取的40件產(chǎn)品中任取2件，設(shè)X為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求X的分布列；解質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為12件，則質(zhì)量未超過505克的產(chǎn)品數(shù)量為28件，X的取值為0，1，2，X服從超幾何分布.(3)從該流水線上任取2件產(chǎn)品，設(shè)Y為質(zhì)量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量，求Y的分布列.課時分層精練3KESHIFENCENGJINGLIANB2.(2024·湖州質(zhì)檢)設(shè)隨機(jī)變量X～N(μ，σ2)，且P(X≥a)＝0.5，P(X<b)＝3P(X≥b)，則P(X≤2a－b)＝(

) A.0.25 B.0.3 C.0.5 D.0.75A解析由已知得a＝μ，P(X<b)＝1－P(X≥b)，P(X≥b)＝0.25，故由正態(tài)曲線的對稱性可得P(X≤2a－b)＝P(X≥b)＝0.25.CACDD陰影部分的面積也可以表示為P(0≤X≤1)，而P(0≤X≤1)＝P(1≤X≤2)，D不正確.BD解析對于A，根據(jù)超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取，由此可知取出的最大號碼X不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計算概率，故A錯誤；對于B，取出的黑球個數(shù)Y符合超幾何分布的定義，將黑球視作第一類，白球視作第二類，可以用超幾何分布的數(shù)學(xué)模型計算概率，故B正確；7.(多選)(2024·廈門模擬)李明每天7：00從家里出發(fā)去學(xué)校，有時坐公交車，有時騎自行車.他各記錄了50次坐公交車和騎自行車所花的時間，經(jīng)數(shù)據(jù)分析得到：坐公交車平均用時30分鐘，樣本方差為36，騎自行車平均用時34分鐘，樣本方差為4.假設(shè)坐公交車用時X和騎自行車用時Y都服從正態(tài)分布，則(

)A.P(X>32)>P(Y>32)B.P(X≤36)＝P(Y≤36)C.李明計劃7：34前到校，應(yīng)選擇坐公交車D.李明計劃7：40前到校，應(yīng)選擇騎自行車BCD解析對于A，由條件可知X～N(30，62)，Y～N(34，22)，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可知P(Y>32)>0.5>P(X>32)，故A錯誤；對于B，P(X≤36)＝P(X≤30＋6)，P(Y≤36)＝P(Y≤34＋2)，所以P(X≤36)＝P(Y≤36)，故B正確；對于C，P(X≤34)>0.5＝P(Y≤34)，所以P(X≤34)>P(Y≤34)，故C正確；對于D，P(X≤40)<P(X<42)＝P(X<30＋12)，P(Y≤40)＝P(Y≤34＋6)，所以P(X≤40)<P(Y≤40)，故D正確.8.小趙計劃購買某種理財產(chǎn)品，設(shè)該產(chǎn)品每年的收益率為X，若P(X＞0)＝3P(X≤0)，則小趙購買該產(chǎn)品4年，恰好有2年是正收益的概率為________.27解析由題意得μ