大學(xué)轉(zhuǎn)專業(yè)高等數(shù)學(xué)試卷

大學(xué)轉(zhuǎn)專業(yè)高等數(shù)學(xué)試卷一、選擇題

1.下列哪個(gè)函數(shù)在x=0處連續(xù)？

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x/(x^2+1)

D.f(x)=e^x

2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f(a)<f(b)，則下列結(jié)論正確的是：

A.存在唯一的x0∈(a,b)，使得f(x0)=(f(a)+f(b))/2

B.存在唯一的x0∈(a,b)，使得f(x0)>(f(a)+f(b))/2

C.存在唯一的x0∈(a,b)，使得f(x0)<(f(a)+f(b))/2

D.不存在x0∈(a,b)，使得f(x0)=(f(a)+f(b))/2

3.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，求f(x)的極值點(diǎn)。

4.下列哪個(gè)函數(shù)在x=0處可導(dǎo)？

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x/(x^2+1)

D.f(x)=e^x

5.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x，求f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(x)。

6.下列哪個(gè)函數(shù)在x=0處不可導(dǎo)？

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x/(x^2+1)

D.f(x)=e^x

7.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上可導(dǎo)，且f'(x)>0，則下列結(jié)論正確的是：

A.f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增

B.f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減

C.f(x)在區(qū)間[a,b]上存在極值

D.f(x)在區(qū)間[a,b]上不存在極值

8.已知函數(shù)f(x)=x^3-3x，求f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f''(x)。

9.下列哪個(gè)函數(shù)在x=0處二階可導(dǎo)？

A.f(x)=|x|

B.f(x)=x^2

C.f(x)=x/(x^2+1)

D.f(x)=e^x

10.設(shè)函數(shù)f(x)=x^3-3x，求f(x)的三階導(dǎo)數(shù)f'''(x)。

二、判斷題

1.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，一個(gè)函數(shù)如果存在極值點(diǎn)，那么這個(gè)極值點(diǎn)一定是可導(dǎo)的。（）

2.若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且f'(x)>0，則f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增。（）

3.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于0的點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)。（）

4.如果一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)不存在，那么這個(gè)點(diǎn)一定是函數(shù)的極值點(diǎn)。（）

5.在可導(dǎo)函數(shù)中，如果函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒為正，則該函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。（）

三、填空題

1.函數(shù)f(x)=x^3-3x在x=0處的導(dǎo)數(shù)值為______。

2.若函數(shù)f(x)=e^x+2x，則f'(x)=______。

3.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(x)+x^2，則f''(x)=______。

4.函數(shù)f(x)=x^2-2x+1在x=1處的二階導(dǎo)數(shù)值為______。

5.若函數(shù)f(x)在x=a處可導(dǎo)，則f(x)在x=a處的導(dǎo)數(shù)f'(a)等于______。

四、簡答題

1.簡述導(dǎo)數(shù)的定義及其幾何意義。

2.解釋函數(shù)的可導(dǎo)性、連續(xù)性和極限之間的關(guān)系。

3.如何判斷一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處是否存在極值？

4.簡述拉格朗日中值定理的內(nèi)容及其應(yīng)用。

5.請舉例說明如何使用羅爾定理證明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)。

五、計(jì)算題

1.計(jì)算極限：lim(x→0)(sinx/x)^2。

2.求函數(shù)f(x)=x^3-6x^2+9x+1在x=2處的導(dǎo)數(shù)。

3.已知函數(shù)f(x)=x^2+3x-4，求f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

4.求解微分方程：dy/dx=2x+3。

5.設(shè)函數(shù)f(x)=e^x*cos(x)，求f(x)的二階導(dǎo)數(shù)f''(x)。

六、案例分析題

1.案例分析：某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其產(chǎn)量Q與成本C之間的關(guān)系為C=0.5Q^2+10Q+200。假設(shè)該公司的固定成本為200元，求：

a)該公司的平均成本函數(shù)AC(Q)。

b)當(dāng)產(chǎn)量Q=100時(shí)，計(jì)算公司的平均成本AC(100)。

c)分析公司生產(chǎn)100件產(chǎn)品時(shí)的邊際成本MC(Q)。

2.案例分析：某城市居民對某種商品的消費(fèi)量Q與收入I之間的關(guān)系為Q=500-0.1I。假設(shè)該城市居民的平均收入為5000元，求：

a)該商品的邊際消費(fèi)傾向MPC(I)。

b)當(dāng)居民收入I=6000元時(shí)，計(jì)算該商品的消費(fèi)量Q(6000)。

c)分析收入增加時(shí)，該商品消費(fèi)量的變化趨勢。

七、應(yīng)用題

1.應(yīng)用題：某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，其總成本函數(shù)為C(x)=4x^2+8x+50，其中x為生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量。求：

a)當(dāng)生產(chǎn)量為10時(shí)，該企業(yè)的平均成本。

b)為了使平均成本最低，企業(yè)應(yīng)生產(chǎn)多少產(chǎn)品？

c)若企業(yè)希望利潤最大化，其最優(yōu)的生產(chǎn)量是多少？

2.應(yīng)用題：一個(gè)物體從靜止開始做勻加速直線運(yùn)動，加速度為a，運(yùn)動時(shí)間為t，求：

a)物體在時(shí)間t末的速度v。

b)物體在時(shí)間t內(nèi)所經(jīng)過的距離s。

c)若加速度a=2m/s^2，時(shí)間t=5s，求速度v和距離s。

3.應(yīng)用題：某城市居民對某種商品的消費(fèi)函數(shù)為C=100-0.5P，其中C為消費(fèi)量，P為商品價(jià)格。求：

a)當(dāng)商品價(jià)格為10元時(shí)，居民的平均消費(fèi)。

b)若居民的收入增加10%，求消費(fèi)函數(shù)的變化。

c)分析商品價(jià)格變動對消費(fèi)量的影響。

4.應(yīng)用題：某公司銷售一種產(chǎn)品，其需求函數(shù)為Q=500-5P，其中Q為銷售量，P為價(jià)格。公司的成本函數(shù)為C=1000+4Q。求：

a)公司的平均成本函數(shù)AC(Q)。

b)當(dāng)價(jià)格為50元時(shí)，公司的利潤。

c)若公司希望利潤最大化，應(yīng)設(shè)置什么樣的價(jià)格？

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識點(diǎn)總結(jié)如下：

一、選擇題答案：

1.C

2.A

3.x=0或x=2

4.B

5.3x^2-6x

6.A

7.A

8.6x-6

9.C

10.e^x*(cos(x)-sin(x))

二、判斷題答案：

1.×

2.√

3.√

4.×

5.√

三、填空題答案：

1.0

2.e^x+2

3.2/x+2x

4.1

5.f'(a)

四、簡答題答案：

1.導(dǎo)數(shù)的定義：導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，表示為f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h。幾何意義：導(dǎo)數(shù)表示曲線在某一點(diǎn)的切線斜率。

2.可導(dǎo)性、連續(xù)性和極限之間的關(guān)系：一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)可導(dǎo)，則該點(diǎn)一定連續(xù)；一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)，則在該點(diǎn)的極限存在；一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)的極限存在，則該點(diǎn)一定連續(xù)。

3.判斷函數(shù)在某一點(diǎn)是否存在極值的方法：計(jì)算函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，若導(dǎo)數(shù)為0，則該點(diǎn)可能為極值點(diǎn)，進(jìn)一步判斷左右導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，若左右導(dǎo)數(shù)異號，則該點(diǎn)為極值點(diǎn)。

4.拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則存在至少一點(diǎn)ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。

5.使用羅爾定理證明函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)的方法：首先證明函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)取值異號，然后應(yīng)用羅爾定理，存在至少一點(diǎn)c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

五、計(jì)算題答案：

1.1

2.f'(2)=2*2^2-2*2+3=7

3.最大值：f(3)=10，最小值：f(-1)=0

4.dy/dx=2x+3，分離變量得dy=(2x+3)dx，積分得y=x^2+3x+C

5.f''(x)=e^x*(-sin(x))+e^x*cos(x)=e^x*(cos(x)-sin(x))

六、案例分析題答案：

1.a)平均成本AC(Q)=(C(Q)+200)/Q=(0.5Q^2+10Q+200+200)/Q=0.5Q+10+200/Q

b)平均成本最低時(shí)，AC(Q)的導(dǎo)數(shù)等于0，即0.5-200/Q^2=0，解得Q=200

c)邊際成本MC(Q)=C'(Q)=2Q+8，當(dāng)Q=100時(shí)，MC(100)=2*100+8=208

2.a)v=at=a*t

b)s=(1/2)*a*t^2

c)速度v=2m/s^2*5s=10m/s，距離s=(1/2)*2m/s^2*(5s)^2=25m

七、應(yīng)用題答案：

1.a)平均成本AC(Q)=(4Q^2+8Q+50+200)/Q=4Q+8+250/Q

b)平均成本最低時(shí)，AC(Q)的導(dǎo)數(shù)等于0，即8-250/Q^2=0，解得Q=25

c)利潤L(Q)=Q(P(Q))-C(Q)=Q(500-5Q)-(1000+4Q)=500Q-5Q^2-1000-4Q=-5Q^2+496Q-1000，求導(dǎo)得L'(Q)=-10Q+496，令L'(Q)=0，解得Q=49.6

2.a)v=at=2t

b)s=(1/2)*a*t^2=(1/2)*2*t^2=t^2

c)s=10m，v=20m/s

3.a)平均消費(fèi)AC(P)=C(P)/Q=(100-0.5P)/(500-0.1P)=1000/(500-0.1P)

b)收入增加10%，消費(fèi)函數(shù)變?yōu)镃'(I)=0.9C(I)=0.9(100-0.5P)

c)商品價(jià)格上升，消費(fèi)量下降，反之亦然

4.a)平均成本AC(Q)=(1000+4Q)/Q+P(Q)=1000/Q+500-5Q

b)利潤L(Q)=Q(P(Q))-C(Q)=Q(500-5Q)-(1000+4Q)=-5Q^2+496Q-1000，當(dāng)P=50時(shí)，L(Q)=-5Q^2+496Q-1000

c)利潤最大化時(shí)，L'(Q)=-10Q+496=0，解得Q=49.6，此時(shí)價(jià)格P(Q)=500-5Q=500-5*49.6=500-248=252

本試卷涵蓋了以下知識點(diǎn)：

1.導(dǎo)數(shù)及其幾何意義

2.函數(shù)的可導(dǎo)性、連續(xù)性和極限之間的關(guān)系

3.極值及其求解方法

4.拉格朗日中值定理及其應(yīng)用

5.羅爾定理及其應(yīng)用

6.微分方程的求解

7.求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、二階導(dǎo)數(shù)和三階導(dǎo)數(shù)

8.平均成本、邊際成本和利潤的計(jì)算

9.消費(fèi)函數(shù)和收入函數(shù)的分析

10.應(yīng)用題的求解方法

各題型所考察的學(xué)生知識點(diǎn)詳解及示例：

1.選擇題：考察學(xué)生對基本概念和性質(zhì)的