2025屆海南省創(chuàng)新中學(xué)協(xié)作校高三數(shù)學(xué)（上）12月考試卷附答案解析

屆海南省創(chuàng)新中學(xué)協(xié)作校高三數(shù)學(xué)（上）12月考試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為（

）A．9 B．8 C．5 D．43．等差數(shù)列滿足，，則（）A．6 B．10 C．12 D．244．某校組織50名學(xué)生參加慶祝中華人民共和國(guó)成立75周年知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這50名學(xué)生的成績(jī)都在區(qū)間內(nèi)，按分?jǐn)?shù)分成5組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖（不完整），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．成績(jī)?cè)谏系娜藬?shù)最多B．成績(jī)不低于70分的學(xué)生所占比例為C．50名學(xué)生成績(jī)的平均分小于中位數(shù)D．50名學(xué)生成績(jī)的極差為505．已知，，在x軸上方的動(dòng)點(diǎn)M滿足直線AM的斜率與直線BM的斜率之積為2，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，若對(duì)，，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．已知正三棱臺(tái)的側(cè)面積為6，，，則與平面ABC所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)滿足，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知函數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．與的圖象有相同的對(duì)稱軸B．與的值域相同C．與有相同的零點(diǎn)D．與的最小正周期相同10．人口問(wèn)題是當(dāng)今世界各國(guó)普遍關(guān)注的問(wèn)題.人口的年平均增長(zhǎng)率滿足，其中為經(jīng)過(guò)的時(shí)間，為時(shí)的人口總數(shù)（單位：萬(wàn)），為經(jīng)過(guò)年后的人口總數(shù)（單位：萬(wàn)）.下表為三市2022年人口總數(shù)及預(yù)計(jì)年平均增長(zhǎng)率情況：2022年人口總數(shù)年平均增長(zhǎng)率A市0.02～0.03B市0.04～0.05C市0.03利用上表數(shù)據(jù)，設(shè)A，B，C三市在2032年底人口總數(shù)的估計(jì)值分別為，，，則（

）A． B．C． D．11．到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之積為大于零的常數(shù)的點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線.設(shè)和且，動(dòng)點(diǎn)滿足，動(dòng)點(diǎn)的軌跡顯然是卡西尼卵形線，記該卡西尼卵形線為曲線，則下列描述正確的是（

）A．曲線的方程是B．曲線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱C．曲線與軸沒(méi)有交點(diǎn)D．的面積不大于三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，滿足，且，則．13．已知，，則.14．將1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字填入下方方格表中，要求每行和每列均有數(shù)字1，2，3，4．當(dāng)，時(shí)，共有種方法補(bǔ)全方格表；當(dāng)不固定，，的值時(shí)，共有補(bǔ)全方格表．1234四、解答題（本大題共5小題）15．在中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且，．（1）求角A；（2）若，的面積為，求的周長(zhǎng)．16．定義在上的函數(shù)同時(shí)滿足以下條件：①在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；②是偶函數(shù)；③在處的切線與直線垂直.(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)，求函數(shù)在上的最小值.17．如圖，在四棱錐中，，，，，平面⊥平面.(1)證明：⊥平面；(2)若，四棱錐的體積為2，求二面角的正弦值.18．已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為，且過(guò)三點(diǎn)，，中的兩點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)的直線交橢圓于，（，不在軸上）兩點(diǎn)，為橢圓的左頂點(diǎn)，記，的斜率分別為，，證明：為定值.19．馬爾科夫鏈因?yàn)槎韲?guó)數(shù)學(xué)家安德烈?馬爾科夫得名，其過(guò)程具備“無(wú)記憶”的性質(zhì)，即第次狀態(tài)的概率分布只跟第次的狀態(tài)有關(guān)，與第次狀態(tài)無(wú)關(guān).馬爾科夫鏈?zhǔn)歉怕式y(tǒng)計(jì)中的一個(gè)重要模型，也是機(jī)器學(xué)習(xí)和人工智能的基石，在強(qiáng)化學(xué)習(xí)、自然語(yǔ)言處理、金融領(lǐng)域、天氣預(yù)測(cè)等方面都有著極其廣泛的應(yīng)用.現(xiàn)有兩個(gè)盒子，各裝有2個(gè)黑球和1個(gè)紅球，現(xiàn)從兩個(gè)盒子中各任取一個(gè)球交換放入另一個(gè)盒子，重復(fù)進(jìn)行次這樣的操作后，記盒子中紅球的個(gè)數(shù)為，恰有1個(gè)紅球的概率為.(1)求的值；(2)求的值（用表示）；(3)求證：的數(shù)學(xué)期望為定值.

參考答案1．【答案】D【詳解】因?yàn)?，所?故選：D2．【答案】B【詳解】由題意，解不等式，得，所以，而，因此，所以中元素的個(gè)數(shù)為8．故選B.【易錯(cuò)警示】處理集合運(yùn)算的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一定要判斷集合中元素的屬性。如本題中，集合A中的元素是整數(shù)。3．【答案】C【詳解】設(shè)數(shù)列公差為d，由，，可得，解得，，則．故選：C4．【答案】D【詳解】設(shè)組的頻率為，則由各組頻率之和為1可得，解得；，，，，各組頻率依次為：，A項(xiàng)，組頻率最大，即成績(jī)?cè)谏系娜藬?shù)最多，故A正確；B項(xiàng)，成績(jī)低于70分的學(xué)生頻率為，即不低于70分的學(xué)生頻率為，所以成績(jī)不低于70分的學(xué)生所占比例為，故B正確；C項(xiàng)，根據(jù)頻率分布直方圖，可得50名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是，由，故50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為80，所以50名學(xué)生成績(jī)的平均分小于中位數(shù)，故選項(xiàng)C正確；D項(xiàng)，極差為數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，已知50名學(xué)生的成績(jī)都在區(qū)間內(nèi)，但成績(jī)的最大值不一定是100，最小值也不一定是，故極差小于等于，但不一定等于50，故D錯(cuò)誤.故選：D.5．【答案】B【詳解】設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由于，，根據(jù)直線與的斜率之積為．整理得，化簡(jiǎn)得：．故選：B6．【答案】C【詳解】由題意可知，，，當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f所以在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，因?yàn)閷?duì)，，所以，解得.故選：C7．【答案】A【詳解】設(shè)中心為，中心為O，如圖，連接，由正棱臺(tái)的性質(zhì)可知，，平面，平面，則，在直角梯形中，過(guò)作，垂足為，則，則四邊形為平行四邊形，且平面.所以即為所求與平面ABC所成角.在等腰梯形中過(guò)作，垂足為，設(shè)，則，則，在中，，由正三棱臺(tái)側(cè)面積為，可知梯形的面積為，故，解得，則，在四邊形中，，則，則在中，.故側(cè)棱與平面所成角的余弦值為.故選：A.8．【答案】A【分析】利用賦值法對(duì)進(jìn)行合理取值，即可得出選項(xiàng)中各函數(shù)值，得出結(jié)論.【詳解】令得；令得，所以；令得，所以；令得，所以；令4得.綜上,只有正確.故選A.9．【答案】AD【詳解】畫(huà)出函數(shù)的圖象如下圖所示：

易知的對(duì)稱軸為，值域?yàn)?，零點(diǎn)為，最小正周期為；易知，其圖象如下圖所示：

易知的對(duì)稱軸為，即，值域?yàn)?，零點(diǎn)為，最小正周期為；因此可得與的圖象有相同的對(duì)稱軸，它們的最小正周期相同.故選：AD10．【答案】BCD【詳解】因?yàn)?又因?yàn)?，所?設(shè)市的年平均增長(zhǎng)率為，；市的年平均增長(zhǎng)率為，；市的年平均增長(zhǎng)率為，.對(duì)于A：，因?yàn)?，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：，因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：由A知：，故D正確.故選：BCD11．【答案】ABD【分析】由已知，利用兩點(diǎn)間距離公式，可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，即可判斷A；由對(duì)稱性代入即可判斷B；在的軌跡方程中令，可解出，即可判斷C；由三角形的面積公式，即可判斷D.【詳解】設(shè)，由，得，化簡(jiǎn)得，故A正確；該方程中把改為或把改為方程均不變，故B正確；在方程中，令，得，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；，故D正確.故選ABD.12．【答案】/0.25【詳解】由得，兩式相減得，所以，則．故答案為：.13．【答案】/【詳解】由可得：，所以，則，因?yàn)?，所?故答案為：.14．【答案】424【詳解】當(dāng)，時(shí)，，此時(shí)有如下4種方法補(bǔ)全方格表．同理可得，當(dāng)，，時(shí)，有4種方法補(bǔ)全方格表，當(dāng)時(shí)，共有8種方法補(bǔ)全方格表．同理可得，當(dāng)或時(shí)，各有8種方法補(bǔ)全方格表，綜上，共有種方法補(bǔ)全方格表．15．【答案】（1）A（2）【詳解】解:（1）由,和余弦定理,,得,,所以；（2）,的面積為,解得,根據(jù)余弦定理,,所以,,所以的周長(zhǎng)為．16．【答案】解：（Ⅰ）；（Ⅱ）最小值【詳解】解：（1）.由題意知即解得所以函數(shù)的解析式為（2），.令得，所以函數(shù)在遞減，在遞增當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，.當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在單調(diào)遞減，綜上，在上的最小值17．【答案】(1)證明見(jiàn)詳解(2)【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接與交于點(diǎn)，，∴，∵，，，∴四邊形為正方形，∴，∵平面⊥平面且平面平面，平面，∴平面又∵且，∴，∴AD⊥平面（2）∵，為正方形中心，故，∴，又∵平面⊥平面且平面平面，平面，∴平面，∴如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，，∴，∴則由1）可知是平面的一個(gè)法向量，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則即設(shè)則，即是平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角為，則，∴18．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）（1）由題意易得，由橢圓的對(duì)稱性可得過(guò)三點(diǎn)，在橢圓上，即，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由（1）得，，可得，，所以.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為，顯然，過(guò)點(diǎn)則直線的方程為，設(shè)點(diǎn)，，將代入方程，并化簡(jiǎn)得：，可得：，，所以，綜上．19．【答案】(1)，(2)(3)證明見(jiàn)詳解【分析】（1）根據(jù)古典概型運(yùn)算公式，結(jié)合組合的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)古典概型運(yùn)算公式，可以得到含的代數(shù)式表示，運(yùn)用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列的定義進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)古典概型運(yùn)算公式，結(jié)合題意得到，，，之間的關(guān)