多元函數(shù)微分學(xué)2

以上公式中的導(dǎo)數(shù)稱為全導(dǎo)數(shù).6.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)椒▌t）鏈?zhǔn)椒▌t如圖示解解例3.設(shè)f，g為連續(xù)可微函數(shù)求解設(shè)解令記同理有

練習(xí)設(shè)其中f具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求解解2.設(shè)f具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，求7.隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)的求導(dǎo)公式（1）、一個(gè)方程,一個(gè)自變量的情形解法（1）公式令則法（2）兩邊求導(dǎo)法則（2）、一個(gè)方程,兩個(gè)自變量解令整理得解切平面的法向量設(shè)曲面方程為切平面方程為8.曲面的切平面與法線法線方程為特殊地：空間曲面方程形為曲面在M處的切平面方程為曲面在M處的法線方程為令解切平面方程為法線方程為解令切平面方程法線方程解設(shè)為曲面上的切點(diǎn),切平面方程為依題意，切平面方程平行于已知平面，得因?yàn)槭乔嫔系那悬c(diǎn)，所求切點(diǎn)為滿足方程切平面方程(1)切平面方程(2)極大值、極小值統(tǒng)稱為極值.使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).9.二元函數(shù)無條件極值(1)(2)(3)例1例２例３2、多元函數(shù)取得極值的條件注：1）極值點(diǎn)處的切平面平行于xoy平面；

2）使一階偏導(dǎo)數(shù)同時(shí)為零的點(diǎn)，稱為函數(shù)的駐點(diǎn).駐點(diǎn)極值點(diǎn)如何判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)？注意：求最值的一般方法：將函數(shù)在D內(nèi)的所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為最小值.3、多元函數(shù)的最值例1（03四01）某廠生產(chǎn)某產(chǎn)品甲和乙，出售的單價(jià)分別為10元和9元，生產(chǎn)甲產(chǎn)品x件與生產(chǎn)乙產(chǎn)品y件的總費(fèi)用是400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2)元，問兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各多少件時(shí)能夠取得最大利潤？解：利潤=總售價(jià)-總費(fèi)用L(x,y)=(10x+9y)-(400+2x+3y+0.01(3x2+xy+3y2))唯一駐點(diǎn)x=120,y=80第三步，比較以上兩步所得各函數(shù)值，最大者為M，最小者為m．故M=25，m=9．例2:求函數(shù)z=f(x,y)=x2+4y2+9在區(qū)域D：x2+y2≤4上的最大值M和最小值m.解:第一步，求f在域內(nèi)可能極值點(diǎn)函數(shù)值:

fx(x,y)=2x=0，fy(x,y)=8y=0

駐點(diǎn)(0,0),f(0,0)=9.第二步，求f在邊界上的可能最值點(diǎn)．在邊界x2+y2=4上，z=3y2+13，—2≤y≤2，

z’=0=>y=0(0,0),(0,-2),(0,2)例3設(shè)為其極值點(diǎn)，求

解：實(shí)例：小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買張磁盤，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為．設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果．問題的實(shí)質(zhì)：求在條件下的極值點(diǎn)．10、條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值：對(duì)自變量有附加條件的極值．（01四01）某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品需兩種原料A、B，產(chǎn)品的產(chǎn)量z與所需A原料數(shù)x及B的原料數(shù)y的關(guān)系式為z=x2+8xy+7y2,已知A原料的單價(jià)為1萬元/噸，B的單價(jià)為2萬元/噸，現(xiàn)有100萬元，如何購置原料，才能使該產(chǎn)品的產(chǎn)量最大？法一（化條件極值為無條件極值）將x+2y=100代入z=x2+8xy+7y2

Z=1002+400y-5y2Z’=0=>y=40唯一駐點(diǎn)購置x=20,y=40原料，才能使該產(chǎn)品的產(chǎn)量最大（01四01）某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品需兩種原料A、B，產(chǎn)品的產(chǎn)量z與所需A原料數(shù)x及B的原料數(shù)y的關(guān)系式為z=x2+8xy+7y2,已知A原料的單價(jià)為1萬元/噸，B的單價(jià)為2萬元/噸，現(xiàn)有100萬元，如何購置原料，才能使該產(chǎn)品的產(chǎn)量最大？法二（條件極值拉格朗日乘數(shù)法）

L=x2+8xy+7y2+λ(x+2y-100）x=20,y=40解則

2x=3y,y=2z解：(法一）設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為x和y，則x2+y2=a2L=x+y+a=x++aL′=1-由L′=0得：x=y=∴當(dāng)兩直角邊相等且等于時(shí)周長(zhǎng)最大。例2.在斜邊之長(zhǎng)為a的一切直角三角形中求有最大周長(zhǎng)的直角三角形解：(法二）設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為x和y，則x2+y2=a2L=x+y+a+λ（x2+y2-a2)∴當(dāng)兩直角邊相等且等于時(shí)周長(zhǎng)最大。例2.在斜邊之長(zhǎng)為a的一切直角三角形中求有最大周長(zhǎng)的直角三角形例3.證明點(diǎn)（x0,y0)到直線ax+by+c=0的（最短）距離為證明：設(shè)則問題就是在條件ax+by+c=0下求f(x,y)的最小值。構(gòu)造函數(shù)例4解分析:得例6：小王有200元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計(jì)算機(jī)磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買張磁盤，盒錄音磁帶達(dá)到最佳效果，效果函數(shù)為U(x,y)=lnx+lny

．設(shè)每張磁盤8元，每盒磁帶10元，問他如何分配這200元以達(dá)到最佳效果．問題的實(shí)