2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.4直線與圓圓與圓的位置關(guān)系講義文蘇教版

§9.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.判斷直線與圓的位置關(guān)系常用的兩種方法(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓半徑r的大小關(guān)系.

?相交；

?相切；

?相離.知識梳理(2)代數(shù)法：d<rd＝rd>r相交相切相離2.圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝

(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝

(r2>0).

方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程組成方程組的解的情況外離_____________外切_____________________d>r1＋r2無解d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解相交_______________________________內(nèi)切_________(r1≠r2)___________內(nèi)含___________(r1≠r2)_____|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|0≤d<|r1－r2|兩組不同的實(shí)數(shù)解一組實(shí)數(shù)解無解知識拓展1.圓的切線方程常用結(jié)論(1)過圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2.圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條.(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)如果兩個(gè)圓的方程組成的方程組只有一組實(shí)數(shù)解，則兩圓外切.(

)(2)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交.(

)(3)從兩圓的方程中消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程.(

)(4)過圓O：x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程是x0x＋y0y＝r2.(

)(5)過圓O：x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則O，P，A，B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2.(

)×××√√考點(diǎn)自測1.(2017·南京月考)直線x＋ay＋1＝0與圓x2＋(y－1)2＝4的位置關(guān)系是______.答案解析相交直線x＋ay＋1＝0必過定點(diǎn)(－1,0)，因?yàn)?－1)2＋(0－1)2<4，所以點(diǎn)(－1,0)在圓x2＋(y－1)2＝4的內(nèi)部，所以直線x＋ay＋1＝0與圓x2＋(y－1)2＝4相交.2.(2016·全國甲卷改編)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝_____.答案解析由圓的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0，得圓心坐標(biāo)為(1,4)，由點(diǎn)到直線的距離公式得解得a＝－.3.(2016·鹽城模擬)若直線x－y＋1＝0與圓(x－a)2＋y2＝2有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________.答案解析[－3,1]由題意可得，圓的圓心為(a,0)，半徑為

，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.幾何畫板展示4.圓C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0與圓C2：(x－2)2＋y2＝1的位置關(guān)系是_____.圓C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－3)2＝36.其圓心坐標(biāo)為C1(－1,3)，半徑r1＝6；圓C2的圓心坐標(biāo)為C2(2,0)，半徑r2＝1.∵<5＝r1－r2，∴圓C2在圓C1的內(nèi)部.答案解析內(nèi)含5.已知圓C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4與圓C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，則ab的最大值為____.答案解析由兩圓外切可得圓心(a，－2)，(－b，－2)間的距離等于兩圓半徑之和，即(a＋b)2＝(2＋1)2，即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號，即ab的最大值是.題型分類深度剖析題型一直線與圓的位置關(guān)系的判斷例1

(1)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是______.答案解析相交因?yàn)镸(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圓心O到直線ax＋by＝1的距離所以直線與圓相交.(2)(2016·南京月考)圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關(guān)系為______.答案解析相交直線2tx－y－2－2t＝0恒過點(diǎn)(1，－2)，∵12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5<0，∴點(diǎn)(1，－2)在圓x2＋y2－2x＋4y＝0內(nèi).∴直線2tx－y－2－2t＝0與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相交.判斷直線與圓的位置關(guān)系的常見方法(1)幾何法：利用d與r的關(guān)系.(2)代數(shù)法：聯(lián)立方程之后利用Δ判斷.(3)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法：若直線恒過定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交.上述方法中最常用的是幾何法，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系法適用于動(dòng)直線問題.思維升華跟蹤訓(xùn)練1過點(diǎn)A(，1)的直線l與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是________.答案解析設(shè)直線l的方程為y－1＝k(x－)，則圓心到直線l的距離d＝因?yàn)橹本€l與圓x2＋y2＝1有公共點(diǎn)，所以d≤1，題型二圓與圓的位置關(guān)系例2

(1)(2016·山東改編)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是

，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是______.答案解析相交∵圓M：x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，∴圓心坐標(biāo)為M(0，a)，半徑r1為a，圓心M到直線x＋y＝0的距離d＝

，由勾股定理得

＝a2，解得a＝2.又圓N的圓心坐標(biāo)N(1,1)，半徑r2＝1，∴M(0,2)，r1＝2.∴MN＝

，r1＋r2＝3，r1－r2＝1.∴r1－r2＜MN＜r1＋r2，∴兩圓相交.(2)如果圓C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0與圓O：x2＋y2＝4總相交，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________________.圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－a)2＝4，圓心坐標(biāo)為(a，a)，半徑為2.答案解析依題意得0<<2＋2，∴0<|a|<.∴a∈(－

，0)∪(0,).判斷圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般用幾何法，其步驟為(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長.(2)利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心距d，求r1＋r2，|r1－r2|.(3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論.思維升華跟蹤訓(xùn)練2已知兩圓x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值時(shí)兩圓外切；解答兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圓心分別為M(1,3)，N(5,6)，半徑分別為

和.當(dāng)兩圓外切時(shí)，解得m＝25＋.(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切；解答當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，因?yàn)槎▓A的半徑

小于兩圓圓心間距離5，故只有

＝5，解得m＝25－.(3)求m＝45時(shí)兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.解答兩圓的公共弦所在直線方程為(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0，所以公共弦長為題型三直線與圓的綜合問題命題點(diǎn)1求弦長問題例3

(2016·全國丙卷)已知直線l：mx＋y＋3m－

＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別做l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，若AB＝

，則CD＝____.4答案解析設(shè)AB的中點(diǎn)為M，由題意知，圓的半徑R＝

，AB＝

，所以O(shè)M＝3，解得m＝

，解得A(－3，)，B(0，)，則AC的直線方程為y－

＝－(x＋3)，BD的直線方程為y－

＝

，令y＝0，解得C(－2,0)，D(2,0)，所以CD＝4.命題點(diǎn)2直線與圓相交求參數(shù)范圍例4

(2015·課標(biāo)全國Ⅰ)已知過點(diǎn)A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn).(1)求k的取值范圍；解答由題設(shè)，可知直線l的方程為y＝kx＋1，因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)，所以<1.解得<k<.所以k的取值范圍為.(2)若

＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求MN.解答設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2).將y＝kx＋1代入方程(x－2)2＋(y－3)2＝1，整理得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.所以x1＋x2＝

，x1x2＝.

＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝

＋8.由題設(shè)可得

＋8＝12，解得k＝1，故圓心C在l上，所以MN＝2.所以l的方程為y＝x＋1.命題點(diǎn)3直線與圓相切的問題例5

已知圓C：(x－1)2＋(y＋2)2＝10，求滿足下列條件的圓的切線方程.(1)與直線l1：x＋y－4＝0平行；解答設(shè)切線方程為x＋y＋b＝0，∴切線方程為x＋y＋1±＝0.(2)與直線l2：x－2y＋4＝0垂直；解答設(shè)切線方程為2x＋y＋m＝0，∴切線方程為2x＋y±＝0.∴過切點(diǎn)A(4，－1)的切線斜率為－3，∴過切點(diǎn)A(4，－1)的切線方程為y＋1＝－3(x－4)，即3x＋y－11＝0.解答(3)過切點(diǎn)A(4，－1).直線與圓綜合問題的常見類型及解題策略(1)處理直線與圓的弦長問題時(shí)多用幾何法，即弦長的一半、弦心距、半徑構(gòu)成直角三角形.(2)圓的切線問題的處理要抓住圓心到直線的距離等于半徑，從而建立關(guān)系解決問題.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(1)(2015·課標(biāo)全國Ⅱ改編)過三點(diǎn)A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圓交y軸于M、N兩點(diǎn)，則MN＝_____.答案解析由已知，得

＝(3，－1)，

＝(－3，－9)，則

＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以

，即AB⊥BC，故過三點(diǎn)A、B、C的圓以AC為直徑，令x＝0，得(y＋2)2＝24，得其方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝25，解得y1＝－2－

，y2＝－2＋

，所以MN＝|y1－y2|＝.(2)若直線xcos

θ＋ysin

θ－1＝0與圓(x－1)2＋(y－sinθ)2＝

相切，且θ為銳角，則該直線的斜率是______.答案解析依題意得，圓心到直線的距離等于半徑，即|cos

θ＋sin2θ－1|＝

，|cos

θ－cos2θ|＝

，所以cos

θ－cos2θ＝

或cos

θ－cos2θ＝－(不符合題意，舍去).由cos

θ－cos2θ＝

，得cos

θ＝

，又θ為銳角，所以sinθ＝

，故該直線的斜率是－

＝－.考點(diǎn)分析與圓有關(guān)的最值問題及直線與圓相結(jié)合的題目是近年來高考高頻小考點(diǎn).與圓有關(guān)的最值問題主要表現(xiàn)在求幾何圖形的長度、面積的最值，求點(diǎn)到直線的距離的最值，求相關(guān)參數(shù)的最值等方面.解決此類問題的主要思路是利用圓的幾何性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化；直線與圓的綜合問題主要包括弦長問題，切線問題及組成圖形面積問題，解決方法主要依據(jù)圓的幾何性質(zhì).高考中與圓交匯問題的求解高頻小考點(diǎn)7一、與圓有關(guān)的最值問題典例1

(1)(2015·湖南改編)已知點(diǎn)A，B，C在圓x2＋y2＝1上運(yùn)動(dòng)，且AB⊥BC.若點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,0)，則

的最大值為___.7答案解析∵A，B，C在圓x2＋y2＝1上，且AB⊥BC，∴AC為圓的直徑，故

＝(－4,0)，設(shè)B(x，y)，則x2＋y2＝1且x∈[－1,1]，

＝(x－2，y)，∴

＝(x－6，y).∴當(dāng)x＝－1時(shí)有最大值

＝7.(2)過點(diǎn)(，0)引直線l與曲線y＝

相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積取最大值時(shí)，直線l的斜率等于_____.答案解析∵S△AOB＝

OA·OB·sin∠AOB＝

sin∠AOB≤.當(dāng)∠AOB＝

時(shí)，△AOB面積最大.此時(shí)O到AB的距離d＝.即kx－y－

＝0.設(shè)AB方程為y＝k(x－)(k<0)，由d＝

，得k＝－.(或k＝－tan∠OPH＝－).二、直線與圓的綜合問題典例2

(1)(2015·重慶改編)已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸，過點(diǎn)A(－4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則AB＝_____.答案解析6由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對稱軸，∴圓心C(2,1)在直線x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1).∴AC2＝36＋4＝40.又r＝2，∴AB2＝40－4＝36，∴AB＝6.(2)在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為____.∵∠AOB＝90°，∴點(diǎn)O在圓C上.設(shè)直線2x＋y－4＝0與圓C相切于點(diǎn)D，則點(diǎn)C與點(diǎn)O間的距離等于它到直線2x＋y－4＝0的距離，∴點(diǎn)C在以O(shè)為焦點(diǎn)，以直線2x＋y－4＝0為準(zhǔn)線的拋物線上，∴當(dāng)且僅當(dāng)O，C，D共線時(shí)，圓的直徑最小為OD.∴圓C面積的最小值為答案解析課時(shí)作業(yè)123456789101112131.(2015·廣東改編)平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是_________________________.設(shè)所求直線方程為2x＋y＋c＝0，依題有

，解得c＝±5，所以所求直線方程為2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.答案解析2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0圓C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25－m.又圓C1：x2＋y2＝1，∴C1C2＝5.又∵兩圓外切，∴5＝1＋

，解得m＝9.2.若圓C1：x2＋y2＝1與圓C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，則m＝____.答案解析9123456789101112133.(2016·鎮(zhèn)江模擬)已知集合M＝{(x，y)|x－3≤y≤x－1}，N＝{P|PA≥，A(－1,0)，B(1,0)}，則表示M∩N的圖形面積等于________.答案解析12345678910111213令P(x，y)，所以(x＋1)2＋y2≥2[(x－1)2＋y2]，所以x2－6x＋y2＋1≤0，所以(x－3)2＋y2≤8，所以點(diǎn)P的軌跡為以(3,0)為圓心的圓及圓的內(nèi)部.表示M∩N的圖形如圖中陰影部分所示，由于直線y＝x－3過圓心(3,0)，圓心(3,0)到直線y＝x－1的距離為

，直線y＝x－1與圓的兩個(gè)交點(diǎn)所對的圓心角為

，所以陰影部分面積為123456789101112134.(2016·泰州模擬)過點(diǎn)P(3,1)作圓C：(x－1)2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為____________.答案解析2x＋y－3＝0如圖所示：由題意知：AB⊥PC，kPC＝

，∴kAB＝－2，∴直線AB的方程為y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0.123456789101112135.若直線l：y＝kx＋1(k<0)與圓C：x2＋4x＋y2－2y＋3＝0相切，則直線l與圓D：(x－2)2＋y2＝3的位置關(guān)系是_____.答案解析相交因?yàn)閳AC的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝2，所以其圓心坐標(biāo)為(－2,1)，半徑為

，因?yàn)橹本€l與圓C相切.所以

，解得k＝±1，因?yàn)閗<0，所以k＝－1，所以直線l的方程為x＋y－1＝0.圓心D(2,0)到直線l的距離所以直線l與圓D相交.123456789101112136.(2016·鹽城一模)已知圓C：x2＋(y－3)2＝4，過A(－1,0)的直線l與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，若PQ＝

，則直線l的方程為_____________________.答案解析12345678910111213x＝－1或4x－3y＋4＝0當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x＝－1，符合題意；當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)，由PQ＝

，得圓心C到直線l的距離d＝

＝1，解得k＝

，此時(shí)直線l的方程為y＝(x＋1).故所求直線l的方程為x＝－1或4x－3y＋4＝0.7.(2016·全國乙卷)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若AB＝

，則圓C的面積為_____.答案解析4π圓C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圓心為C(0，a)，C到直線y＝x＋2a的距離d＝.又由AB＝

，得

＝a2＋2，解得a2＝2，所以圓的面積為π(a2＋2)＝4π.123456789101112138.(2016·常州模擬)已知點(diǎn)A(1,1)，B(1,3)，圓C：(x－a)2＋(y＋a－2)2＝4上存在點(diǎn)P，使PB2－PA2＝32，則圓心橫坐標(biāo)a的取值范圍為_______.答案解析[6,10]設(shè)P(x，y)，則PB2－PA2＝(x－1)2＋(y－3)2－(x－1)2－(y－1)2＝－4y＋8＝32，即y＝－6，由題意可得圓C與直線y＝－6有公共點(diǎn)，則|(2－a)－(－6)|≤2，即|a－8|≤2，解得6≤a≤10，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[6,10].123456789101112139.(2015·山東)過點(diǎn)P(1，)作圓x2＋y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則

＝___.答案解析由題意，圓心為O(0,0)，半徑為1.如圖所示，∵P(1，)，∴PB⊥x軸，PA＝PB＝.∴△POA為直角三角形，其中OA＝1，AP＝

，則OP＝2，∴∠OPA＝30°，∴∠APB＝60°.1234567891011121310.已知曲線C：x＝－

，直線l：x＝6，若對于點(diǎn)A(m，0)，存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得

＝0，則m的取值范圍為______.曲線C：x＝－

，是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的半圓，并且xP∈[－2,0]，對于點(diǎn)A(m,0)，存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得

＝0，說明A是PQ的中點(diǎn)，Q的橫坐標(biāo)為x＝6，∴m＝

∈[2,3].答案解析12345678910111213[2,3]11.已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在圓C外，過P作圓C的切線，設(shè)切點(diǎn)為M.(1)若點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到(1,3)處，求此時(shí)切線l的方程；解答12345678910111213把圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圓心為C(－1,2)，半徑r＝2.當(dāng)l的斜率不存在時(shí)，此時(shí)l的方程為x＝1，C到l的距離d＝2＝r，滿足條件.當(dāng)l的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，則l的方程為y－3＝k(x－1)，則

＝2，解得k＝－.即kx－y＋3－k＝0，∴l(xiāng)的方程為y－3＝－(x－1)，即3x＋4y－15＝0.綜上，滿足條件的切線l的方程為x＝1或3x＋4y－15＝0.12345678910111213(2)求滿足條件PM＝PO的點(diǎn)P的軌跡方程.解答設(shè)P(x，y)，則PM2＝PC2－MC2＝(x＋1)2＋(y－2)2－4，PO2＝x2＋y2，∵PM＝PO，∴(x＋1)2＋(y－2)2－4＝x2＋y2，整理得2x－4y＋1＝0，∴點(diǎn)P的軌跡方程為2x－4y＋1＝0.123456789101112