高中數(shù)學(xué)第二章統(tǒng)計2.2用樣本估計總體2.2.1用樣本估計總體課件新人教版A

2.2.1用樣本的頻率分布估計總體分布1.了解分析數(shù)據(jù)的方法,知道估計總體頻率分布的方法.2.了解頻率分布折線圖和總體密度曲線,會畫頻率分布直方圖和莖葉圖.3.理解頻率分布直方圖和莖葉圖及其應(yīng)用.1.分析數(shù)據(jù)的方法(1)借助于圖形.用圖將各個數(shù)據(jù)畫出來,作圖可以達到兩個目的,一是從數(shù)據(jù)中提取信息;二是利用圖形傳遞信息.(2)借助于表格.用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式,通過改變數(shù)據(jù)的構(gòu)成形式,為我們提供解釋數(shù)據(jù)的新方式.2.頻率分布直方圖(1)繪制步驟:①求極差,即一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差.②決定組距與組數(shù).組距與組數(shù)的確定沒有固定的標(biāo)準(zhǔn).一般來說,數(shù)據(jù)分組的組數(shù)與樣本容量有關(guān),樣本容量越大,所分組數(shù)越多.當(dāng)樣本容量不超過100時,按照數(shù)據(jù)的多少,常分為5~12組.③將數(shù)據(jù)分組:按組距將數(shù)據(jù)分組,分組時,各組均為左閉右開區(qū)間,最后一組是閉區(qū)間.④

列頻率分布表.一般分四列:分組、頻數(shù)累計、頻數(shù)、頻率,最后一行是合計.其中頻數(shù)合計應(yīng)是樣本容量,頻率合計是1.⑤畫頻率分布直方圖.畫圖時,應(yīng)以橫軸表示樣本數(shù)據(jù),縱軸表示頻率/組距.其相應(yīng)組距上的頻率等于該組上的小長方形的面積.(2)意義:在頻率分布直方圖中,每個小長方形的面積表示相應(yīng)組的頻率,所有小長方形的面積的總和等于1.(3)頻率分布的估計:頻率分布是指各個小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例的大小,可以用樣本的頻率分布估計總體的頻率分布,頻率分布表是反映樣本的頻率分布的表格.通過頻率分布直方圖和頻率分布表可以看到樣本的頻率分布.歸納總結(jié)頻率分布直方圖的特征:直觀、形象地反映了樣本的分布規(guī)律,可以大致估計出總體的分布.但是從頻率分布直方圖中得不出原始的數(shù)據(jù)內(nèi)容,把數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖后,原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了.【做一做1】

如圖所示是一個容量為200的樣本的頻率分布直方圖,請根據(jù)圖形中的數(shù)據(jù)填空.(1)樣本數(shù)據(jù)落在[5,9)內(nèi)的頻率是

;

(2)樣本數(shù)據(jù)落在[9,13)內(nèi)的頻數(shù)是

.

答案:(1)0.32

(2)723.頻率分布折線圖和總體密度曲線(1)類似于頻數(shù)分布折線圖,連接頻率分布直方圖中各小長方形上端的中點,就得到頻率分布折線圖.一般地,當(dāng)總體中的個體數(shù)較多時,抽樣時樣本容量就不能太小.例如,如果要抽樣調(diào)查一個省乃至全國的居民的月均用水量,那么樣本容量就應(yīng)比調(diào)查一個城市的時候大.可以想象,隨著樣本容量的增加,作圖時所分的組數(shù)增加,組距減小,相應(yīng)的頻率折線圖會越來越接近于一條光滑曲線,統(tǒng)計中稱這條光滑曲線為總體密度曲線.歸納總結(jié)頻率分布折線圖反映了數(shù)據(jù)的變化趨勢.總體密度曲線反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的百分比,它能給我們提供更加精細的信息.(2)估計方法:實際上,盡管有些總體密度曲線是客觀存在的,但是在實際應(yīng)用中我們并不知道它的具體表達形式,需要用樣本來估計.由于樣本是隨機的,不同的樣本得到的頻率分布折線圖不同;即使對于同一個樣本,不同的分組情況得到的頻率分布折線圖也不同.頻率分布折線圖是隨樣本容量和分組情況的變化而變化的,因此不能由樣本的頻率分布折線圖得到準(zhǔn)確的總體密度曲線.【做一做2】

對于頻率分布折線圖與總體密度曲線的關(guān)系,下列說法中正確的是(

)A.頻率分布折線圖與總體密度曲線無關(guān)B.頻率分布折線圖就是總體密度曲線C.樣本容量很大的頻率分布折線圖就是總體密度曲線D.如果樣本容量無限增大,分組的組距無限縮小,那么頻率分布折線圖就會無限接近于一條光滑曲線,即為總體密度曲線答案:D4.莖葉圖(1)制作方法:將所有兩位數(shù)的十位數(shù)字作為莖,個位數(shù)字作為葉,莖相同者共用一個莖,莖按從小到大的順序從上向下列出,共莖的葉可以按從大到小(或從小到大)的順序同行列出(也可以沒有大小順序).(2)優(yōu)缺點:在樣本數(shù)據(jù)較少時,用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的效果較好.它不但可以保留所有信息,而且可以隨時記錄,這對數(shù)據(jù)的記錄和表示都能帶來方便.但是當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較多時,莖葉圖就顯得不太方便,因為每一個數(shù)據(jù)都要在圖中占空,如果數(shù)據(jù)很多,枝葉就會很長.歸納總結(jié)莖葉圖的特征:統(tǒng)計圖上沒有原始數(shù)據(jù)信息的損失,所有數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到;莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以隨時記錄,隨時添加,方便記錄與表示.【做一做3-1】

沒有信息的損失,所有的原始數(shù)據(jù)都可以從圖中得到的統(tǒng)計圖是(

)A.總體密度曲線 B.莖葉圖C.頻率分布折線圖 D.頻率分布直方圖答案:B【做一做3-2】

如圖是12名學(xué)生某次測試分?jǐn)?shù)的莖葉圖,由圖可知,這些分?jǐn)?shù)的最低分與最高分之和為

.

答案:1471.理解頻率分布直方圖剖析:(1)頻率分布直方圖中,每個小長方形的面積等于樣本中數(shù)據(jù)落在該組的頻率,也就是樣本中數(shù)據(jù)落在該組的百分比.(3)頻率分布直方圖中各小長方形的面積和等于1.(4)頻率分布指的是一個樣本數(shù)據(jù)在各個小范圍內(nèi)所占比例的大小.一般用頻率分布直方圖反映樣本的頻率分布.(5)頻率分布直方圖能夠把大量數(shù)據(jù)的分布情況直觀地表現(xiàn)出來,但是在頻率分布直方圖中我們讀不出原始的數(shù)據(jù).也就是說,在反映樣本的頻率分布方面,頻率分布表能確切地反映相關(guān)數(shù)據(jù),頻率分布直方圖能直觀地反映相關(guān)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,它們起著相互補充的作用.2.頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖和莖葉圖的優(yōu)缺點比較剖析:如下表:題型一題型二題型三頻率分布直方圖的繪制與應(yīng)用【例1】

一個農(nóng)技站為了考察某種麥穗長的分布情況,在一塊試驗地里抽取了100個麥穗,量得長度如下(單位:cm):6.5

6.4

6.7

5.8

5.9

5.9

5.2

4.0

5.4

4.65.8

5.5

6.0

6.5

5.1

6.5

5.3

5.9

5.5

5.86.2

5.4

5.0

5.0

6.8

6.0

5.0

5.7

6.0

5.56.8

6.0

6.3

5.5

5.0

6.3

5.2

6.0

7.0

6.46.4

5.8

5.9

5.7

6.8

6.6

6.0

6.4

5.7

7.46.0

5.4

6.5

6.0

6.8

5.8

6.3

6.0

6.3

5.65.3

6.4

5.7

6.7

6.2

5.6

6.0

6.7

6.7

6.05.6

6.2

6.1

5.3

6.2

6.8

6.6

4.7

5.7

5.75.8

5.3

7.0

6.0

6.0

5.9

5.4

6.0

5.2

6.06.3

5.7

6.8

6.1

4.5

5.6

6.3

6.0

5.8

6.3題型一題型二題型三根據(jù)上面的數(shù)據(jù)列出頻率分布表、繪出頻率分布直方圖,并估計長度在[5.75,6.05)cm之間的麥穗在這批麥穗中所占的百分比.分析:依據(jù)步驟畫出頻率分布直方圖;用樣本中的百分比(即頻率)來估計長度在[5.75,6.05)cm之間的麥穗在這批麥穗中所占的百分比.解:步驟是:(1)計算極差,7.4-4.0=3.4(cm).(2)決定組距與組數(shù).若取組距為0.3

cm,由于需分成12組,組數(shù)合適.于是取定組距為0.3

cm,組數(shù)為12.(3)將數(shù)據(jù)分組.使分點比數(shù)據(jù)多一位小數(shù),并且把第1小組的起點稍微減小一點.則所分的12個小組可以是[3.95,4.25),[4.25,4.55),[4.55,4.85),…,[7.25,7.55].題型一題型二題型三(4)列頻率分布表.對各個小組作頻數(shù)累計,然后數(shù)頻數(shù),算頻率,列頻率分布表,如下表所示:題型一題型二題型三題型一題型二題型三(5)畫頻率分布直方圖,如圖.從表中看到,樣本數(shù)據(jù)落在[5.75,6.05)之間的頻率是0.28,于是可以估計,在這塊地里,長度在[5.75,6.05)cm之間的麥穗約占28%.反思本題畫頻率分布直方圖時,小長方形的高易錯用該組的頻率的大小來表示.其原因是不清楚頻率分布直方圖縱軸的意義.由于畫頻率分布直方圖的步驟比較煩瑣,因此在實際操作的過程中要有足夠的耐心.題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練1】

為了檢測某種產(chǎn)品的質(zhì)量,抽取了一個容量為100的樣本,數(shù)據(jù)的分組情況與頻數(shù)如下:[10.75,10.85),3;[10.85,10.95),9;[10.95,11.05),13;[11.05,11.15),16;[11.15,11.25),26;[11.25,11.35),20;[11.35,11.45),7;[11.45,11.55),4;[11.55,11.65],2.(1)列出頻率分布表;(2)畫出頻率分布直方圖以及頻率分布折線圖;(3)根據(jù)上述圖表,估計數(shù)據(jù)落在[10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性是百分之幾;(4)估計數(shù)據(jù)小于11.20的可能性是百分之幾.題型一題型二題型三解:(1)頻率分布表如下:題型一題型二題型三(2)頻率分布直方圖及頻率分布折線圖如圖:(3)由上述圖表可知數(shù)據(jù)落在[10.95,11.35)范圍內(nèi)的頻率為0.13+0.16+0.26+0.20=0.75=75%,即數(shù)據(jù)落在[10.95,11.35)范圍內(nèi)的可能性是75%.(4)數(shù)據(jù)小于11.20的可能性即數(shù)據(jù)小于11.20的頻率,設(shè)為x,則(x-0.41)÷(11.20-11.15)=(0.67-0.41)÷(11.25-11.15),所以x-0.41=0.13,即x=0.54,從而估計數(shù)據(jù)小于11.20的可能性是54%.題型一題型二題型三莖葉圖的繪制與應(yīng)用【例2】

某中學(xué)高一(2)班甲、乙兩名同學(xué)自進入高中以來每次數(shù)學(xué)考試成績情況如下:甲的得分:95,75,86,89,71,65,76,88,94,110,107;乙的得分:83,86,93,99,88,103,98,114,98,79,101.畫出兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖.請根據(jù)莖葉圖對兩人的數(shù)學(xué)成績進行比較.分析:用中間的數(shù)字表示兩位同學(xué)得分的十位數(shù)和百位數(shù),兩邊的數(shù)字分別表示兩人每次數(shù)學(xué)考試成績的個位數(shù).題型一題型二題型三解:甲、乙兩人數(shù)學(xué)成績的莖葉圖如圖所示:從這個莖葉圖上可以看出,乙同學(xué)的得分情況是大致對稱的,且集中在90分左右;甲同學(xué)的得分情況除一個特殊得分外,也大致對稱,且集中在80分左右.因此乙同學(xué)發(fā)揮比較穩(wěn)定,且總體得分情況比甲同學(xué)好.題型一題型二題型三反思用莖葉圖表示數(shù)據(jù)的特點如下:(1)用莖葉圖表示數(shù)據(jù)有兩個突出的優(yōu)點,一是統(tǒng)計圖上沒有原始信息的損失,所有的數(shù)據(jù)信息都可以從莖葉圖中得到;二是莖葉圖可以在比賽時隨時記錄,用3|

3

8

9就表示了33,38,39這3個數(shù)據(jù),方便記錄與表示.(2)莖葉圖在樣本數(shù)據(jù)較少,較為集中且位數(shù)不多時比較適用.因為它較好地保留了原始數(shù)據(jù),所以可以幫助分析樣本數(shù)據(jù)的大致頻率分布.題型一題型二題型三【變式訓(xùn)練2】

在某高中籃球聯(lián)賽中,甲、乙兩名運動員的得分如下(單位:分):甲的得分:14,17,25,26,30,31,35,37,38,39,44,48,51,53,54;乙的得分:6,9,15,17,18,21,27,28,33,35,38,40,44,46,56.(1)用莖葉圖表示上面的樣本數(shù)據(jù);(2)分析甲、乙兩名運動員中哪一位發(fā)揮得更加穩(wěn)定.題型一題型二題型三解:(1)莖葉圖如圖所示:(2)從莖葉圖中可以看出,甲運動員的得分大致對稱,乙運動員的得分也大