第06講-函數(shù)與方程(學(xué)生版)

第06講函數(shù)與方程（核心考點精講精練）1.4年真題考點分布4年考情考題示例考點分析關(guān)聯(lián)考點2023年新I卷，第15題,5分根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)求參數(shù)范圍余弦函數(shù)圖象的應(yīng)用2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是新高考卷的命題載體內(nèi)容，通常會結(jié)合其他知識點考查，需要掌握函數(shù)零點的定義，難度中等偏下，分值為5分【備考策略】1.結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)的零點與方程解的關(guān)系，會判斷函數(shù)零點所在區(qū)間及零點個數(shù)2.結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點，了解函數(shù)零點存在定理3.了解用二分法求方程的近似解，能借助計算工具用二分法求方程近似解【命題預(yù)測】本節(jié)內(nèi)容通常以函數(shù)為載體，考查函數(shù)零點，是新高考復(fù)習(xí)的重要內(nèi)容知識講解函數(shù)的零點一般的，對于函數(shù)，我們把方程的實數(shù)根叫作函數(shù)的零點。零點存在性定理如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有，那么函數(shù)在區(qū)間內(nèi)必有零點，即，使得注：零點存在性定理使用的前提是在區(qū)間連續(xù)，如果是分段的，那么零點不一定存在函數(shù)單調(diào)性對零點個數(shù)的影響如果一個連續(xù)函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，那么它的零點至多有一個。因此分析一個函數(shù)零點的個數(shù)前，可嘗試判斷函數(shù)是否單調(diào)4、幾個“不一定”與“一定”（假設(shè)在區(qū)間連續(xù)）（1）若，則“一定”存在零點，但“不一定”只有一個零點。要分析的性質(zhì)與圖象，如果單調(diào)，則“一定”只有一個零點（2）若，則“不一定”存在零點，也“不一定”沒有零點。如果單調(diào)，那么“一定”沒有零點（3）如果在區(qū)間中存在零點，則的符號是“不確定”的，受函數(shù)性質(zhì)與圖象影響。如果單調(diào)，則一定小于05、零點與單調(diào)性配合可確定函數(shù)的符號是一個在單增連續(xù)函數(shù)，是的零點，且，則時，；時，6、判斷函數(shù)單調(diào)性的方法（1）可直接判斷的幾個結(jié)論：①若為增（減）函數(shù)，則也為增（減）函數(shù)②若為增函數(shù)，則為減函數(shù)；同樣，若為減函數(shù)，則為增函數(shù)③若為增函數(shù)，且，則為增函數(shù)（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：判斷的單調(diào)性可分別判斷與的單調(diào)性（注意要利用的范圍求出的范圍），若，均為增函數(shù)或均為減函數(shù)，則單調(diào)遞增；若，一增一減，則單調(diào)遞減（此規(guī)律可簡記為“同增異減”）（3）利用導(dǎo)數(shù)進行判斷——求出單調(diào)區(qū)間從而也可作出圖象7、證明零點存在的步驟（1）將所證等式中的所有項移至等號一側(cè)，以便于構(gòu)造函數(shù)（2）判斷是否要對表達式進行合理變形，然后將表達式設(shè)為函數(shù)（3）分析函數(shù)的性質(zhì)，并考慮在已知范圍內(nèi)尋找端點函數(shù)值異號的區(qū)間（4）利用零點存在性定理證明零點存在考點一、求函數(shù)的零點1．（2022·安徽宣城·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若a1，a6為函數(shù)的兩個零點，則a3a4＝（

）A．-14 B．9 C．14 D．20【答案】D【分析】由韋達定理得a1+a6＝9，a1a6＝14，解得a1＝2，a6＝7，或a1＝7，a6＝2，分類討論即可得到答案.【詳解】∵等差數(shù)列{an}中，a1，a6為函數(shù)的兩個零點，∴a1＝2，a6＝7，或a1＝7，a6＝2，當(dāng)a1＝2，a6＝7時，，a3＝4，a4＝5，所以a3a4＝20．當(dāng)a1＝7，a6＝2時，，a3＝5，a4＝4，所以a3a4＝20．故選：D．【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，涉及到函數(shù)的零點問題，考查學(xué)生的基本計算能力，是一道容易題.2．（2023·吉林·通化市第一中學(xué)校校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知是函數(shù)的一個零點，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題可得，然后根據(jù)二倍角公式結(jié)合齊次式即得.【詳解】因為是函數(shù)的一個零點，所以，即，故，則．故選：D．1．（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）的零點為________．【答案】【解析】解方程，即可得出答案.【詳解】令，則或，解得故答案為：2．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，則______．【答案】2【分析】根據(jù)零點的定義，等價轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)求交點，根據(jù)反函數(shù)的定義，結(jié)合對稱性，可得答案.【詳解】由，得，函數(shù)與互為反函數(shù)，在同一坐標系中分別作出函數(shù)，，的圖象，如圖所示，則，，由反函數(shù)性質(zhì)知A，B關(guān)于對稱，則，.故答案為：.考點二、求函數(shù)零點或方程根或圖象交點個數(shù)1．（湖南·高考真題）函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【詳解】由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以其頂點為(2,1)，又f(2)＝2ln2∈(1,2)，可知點(2,1)位于函數(shù)f(x)＝2lnx圖象的下方，故函數(shù)f(x)＝2lnx的圖象與函數(shù)g(x)＝x2－4x＋5的圖象有2個交點．2．（全國·高考真題）函數(shù)在的零點個數(shù)為A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】令，得或，再根據(jù)x的取值范圍可求得零點.【詳解】由，得或，，．在的零點個數(shù)是3，故選B．【點睛】本題考查在一定范圍內(nèi)的函數(shù)的零點個數(shù)，滲透了直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．采取特殊值法，利用數(shù)形結(jié)合和方程思想解題．3．（北京·高考真題）函數(shù)的零點個數(shù)為A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【詳解】函數(shù)的零點，即令，根據(jù)此題可得，在平面直角坐標系中分別畫出冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖像，可得交點只有一個，所以零點只有一個，故選B【考點定位】本小題表面上考查的是零點問題，實質(zhì)上考查的是函數(shù)圖象問題，該題涉及到的圖像為冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)1．（湖南·高考真題）函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象的交點個數(shù)是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【詳解】試題分析：解：在同一坐標系中畫出函數(shù)的圖象和函數(shù)g（x）=log2x的圖象，如下圖所示：由函數(shù)圖象得，兩個函數(shù)圖象共有3個交點，故選C.考點：1.函數(shù)的圖象與圖象變化；2.零點個數(shù)．2．（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】函數(shù)在區(qū)間上的零點的個數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上的根的個數(shù).【詳解】求函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上的根的個數(shù).由，得或，解得：或或，所以函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)為3.故選：A.3．（2023·廣東肇慶·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時，，則在上的零點個數(shù)為（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】D【分析】由題意可得函數(shù)的周期為，令可知當(dāng)時，有兩個零點，又因為，即可得出在上的零點個數(shù).【詳解】因為函數(shù)滿足，所以，所以函數(shù)的周期為，當(dāng)時，，令，解得：或或（舍去），所以當(dāng)時，有兩個零點，所以在上的零點個數(shù)為，又因為，所以在上的零點個數(shù)為個.故選：D.4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)在函數(shù)的零點個數(shù)__________.【答案】4【分析】直接解方程即可得，注意首先把作為整體求解，即相當(dāng)于解方程，設(shè)其解為（可能多于一個），然后再解方程．【詳解】當(dāng)時，，，，，當(dāng)時，由，得；由，得，同理當(dāng)時，或，所以共有四個解，因此零點個數(shù)為4個，故答案為：4.【點睛】本題考查求函數(shù)零點個數(shù)，解題方法是解方程法．直接解方程即可得．注意分段函數(shù)需要分段求解．5．（全國·高考真題）函數(shù)在的零點個數(shù)為________．【答案】【分析】方法一：求出的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值即得零點個數(shù)．【詳解】［方法一］：【最優(yōu)解】由題可知，或解得,或故有3個零點．故答案為：．方法二：令，即，解得，，分別令，得，所以函數(shù)在的零點的個數(shù)為3．故答案為：．【整體點評】方法一：先求出的范圍，再根據(jù)余弦函數(shù)在該范圍內(nèi)的零點，從而解出，是該題的最優(yōu)解；方法二：先求出函數(shù)的所有零點，再根據(jù)題中范圍限制，找出符合題意的零點．6．（湖北·高考真題）函數(shù)的零點個數(shù)為_________．【答案】．【詳解】函數(shù)的零點個數(shù)等價于方程的根的個數(shù)，即函數(shù)與的圖象交點個數(shù)．于是，分別畫出其函數(shù)圖像如下圖所示，由圖可知，函數(shù)與的圖象有2個交點．考點三、用零點存在性定理判斷零點所在區(qū)間1．（全國·高考真題）在下列區(qū)間中，函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增，由,利用零點存在定理可得結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)在上連續(xù)單調(diào)遞增，且,所以函數(shù)的零點在區(qū)間內(nèi)，故選C.【點睛】本題主要考查零點存在定理的應(yīng)用，屬于簡單題.應(yīng)用零點存在定理解題時，要注意兩點：（1）函數(shù)是否為單調(diào)函數(shù)；（2）函數(shù)是否連續(xù).2．（北京·高考真題）已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，，所以由根的存在性定理可知：選C.考點：本小題主要考查函數(shù)的零點知識，正確理解零點定義及根的存在性定理是解答好本類題目的關(guān)鍵.1．（2023·海南·模擬預(yù)測）函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)零點存在性定理即可計算求解.【詳解】在連續(xù)不斷，且單調(diào)遞減，，所以零點位于，故選：C2．（2023·云南昆明·昆明一中?？寄M預(yù)測）函數(shù)的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用函數(shù)的零點存在定理判斷.【詳解】因為，，.所以函數(shù)的零點所在的區(qū)間為，故選：C3．（2023·重慶酉陽·重慶市酉陽第一中學(xué)校校考一模）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函數(shù)和的圖象，觀察交點橫坐標的范圍，然后利用零點存在定理判斷．【詳解】解：函數(shù)，畫出與的圖象，如下圖：當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)的零點所在的區(qū)間是．故選：D．4．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考二模）用二分法求方程近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】，判斷函數(shù)單調(diào)性，求出區(qū)間的端點的函數(shù)值，再根據(jù)零點的存在性定理即可得出答案.【詳解】令，因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，，所以函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點，所以用二分法求方程近似解時，所取的第一個區(qū)間可以是.故選：B.考點四、根據(jù)零點區(qū)間或個數(shù)求參數(shù)范圍1．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，結(jié)合已知，將問題轉(zhuǎn)化為與有個不同交點，分三種情況，數(shù)形結(jié)合討論即可得到答案.【詳解】注意到，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根即可，令，即與的圖象有個不同交點.因為，當(dāng)時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿足題意；當(dāng)時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿足題意；當(dāng)時，如圖3，當(dāng)與相切時，聯(lián)立方程得，令得，解得（負值舍去），所以.綜上，的取值范圍為.故選：D.【點晴】本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，是一道中檔題.1．（2023·山西陽泉·統(tǒng)考三模）函數(shù)在區(qū)間存在零點．則實數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)及函數(shù)零點的存在性定理即可求解.【詳解】由在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因為函數(shù)在區(qū)間存在零點，所以，即，解得，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：B.2．（2023·安徽滁州·?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上有零點，則實數(shù)m的取值范圍是________．【答案】【分析】先利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性判斷得在上都單調(diào)遞增，再利用零點存在定理得到，解之即可得解.【詳解】因為與在上都單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，因為在區(qū)間上有零點，所以，即，即，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.故答案為：.3．（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）已知是函數(shù)的一個零點，且，則的最小值為________．【答案】【分析】將代入，構(gòu)造直線方程，運用點到直線的距離求解.【詳解】因為是的一個零點，，將看作直線上一個點的坐標，則原題就變?yōu)椋呵螽?dāng)時，點到原點的距離的平方的最小值，原點到直線的距離為，，令，，當(dāng)時，,是增函數(shù)，在時，；故答案為：.4．（2023·湖南湘潭·統(tǒng)考二模）已知是函數(shù)的一個零點，且，則的最小值為__________．【答案】/.【分析】由題意得，設(shè)直線，則點是直線l上的一點，然后求出原點O到直線l的距離，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值即可.【詳解】由已知可得．不妨設(shè)直線，則點是直線l上的一點，原點O到直線l的距離，則，設(shè)，在上遞減，在遞增可得，所以的最小值為．故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)直線，則點是直線l上的一點，然后將問題轉(zhuǎn)化為則大于等于原點O到直線l的距離，再構(gòu)造函數(shù)，求出其最小值即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于較難題.5．（2023·福建廈門·廈門一中校考模擬預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則的最小值為______．【答案】【分析】設(shè)零點為，將方程看作點在直線上，而的最小值代表含義即是直線到點的距離，根據(jù)點到直線距離公式列式求解即可.【詳解】設(shè)函數(shù)的零點為，則，則點在直線上．因為零點存在，則，即，令，，令，，當(dāng)時，,單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，所以，的最小值為．故答案為：【點睛】思路點睛：某函數(shù)出現(xiàn)零點與雙參數(shù)問題時，常見思路為將零點當(dāng)作常數(shù)，則零點所對應(yīng)方程就成為關(guān)于雙參數(shù)的直線方程，將所求問題轉(zhuǎn)換為該直線與某點的位置關(guān)系問題進行求解.（注意：雖然零點在找直線方程時當(dāng)作常數(shù)看待，但得到問題所需解析式后，零點取值范圍將影響解析式取值范圍，這也就是零點范圍的作用.）6．（2023·浙江紹興·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，若在區(qū)間上有零點，則的最大值為__________.【答案】【分析】設(shè)，即可求出b，繼而求出的表達式，將看作主元，配方得，記，即可求解最大值.【詳解】設(shè)，則，此時，則，令，當(dāng)時，，記，則，所以在上遞增，在上遞減，故,所以，所以的最大值為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題是雙參數(shù)函數(shù)的零點問題，第一步消參：通過設(shè)零點，代入方程，得到其中一個參數(shù)的表達式，第二步主元法求最值：將所求表達式通過主元法（關(guān)于另一個參數(shù)）構(gòu)造函數(shù)求出最值，即可求解.【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．（2023·云南昭通·校考模擬預(yù)測）函數(shù)的零點所在的區(qū)間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合單調(diào)性和零點存在定理直接判斷即可.【詳解】易知為增函數(shù)，又，，故零點所在的區(qū)間是.故選：B.2．（2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點個數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】利用輔助角公式可得，令，從而解得在的零點個數(shù).【詳解】由，得，又，所以，所以或解得或.所以函數(shù)在的零點個數(shù)是2.故選：A.3．（2023·廣西玉林·博白縣中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)是奇函數(shù)，且，若是函數(shù)的一個零點，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用奇函數(shù)、函數(shù)零點的定義，列式求解作答.【詳解】因為是函數(shù)的一個零點，則，于是，即，而函數(shù)是奇函數(shù)，則有，所以.故選：D4．（2023·寧夏銀川·銀川一中?？既＃┖瘮?shù)在區(qū)間上存在零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)零點存在定理即可得，解出實數(shù)的取值范圍為.【詳解】由零點存在定理可知，若函數(shù)在區(qū)間上存在零點，顯然函數(shù)為增函數(shù)，只需滿足，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：D5．（2023·云南紅河·彌勒市一中?？寄M預(yù)測）已知關(guān)于的方程，存在兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值，利用數(shù)形結(jié)合的思想即可求解.【詳解】由題意可得，即在時有2個不同的解，設(shè)，根據(jù)雙勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，且，要使在時有2個不同的解，則，故選:D.6．（2023·河北·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若恰有兩個零點，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】將問題轉(zhuǎn)化為恰有兩個實數(shù)根，求導(dǎo)確定函數(shù)的單調(diào)性，進而畫出函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可確定的取值.【詳解】恰有兩個零點,即恰有兩個實數(shù)根，由于，所以恰有兩個實數(shù)根等價于恰有兩個實數(shù)根，令，則，當(dāng)時，，故當(dāng)此時單調(diào)遞增，當(dāng)，此時單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取極小值也是最小值，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，且單調(diào)遞增，在直角坐標系中畫出的大致圖象如圖：要使有兩個交點，則，故選：D7．（2023·湖南常德·常德市一中?？寄M預(yù)測）設(shè)表示m，n中的較小數(shù)．若函數(shù)至少有3個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】分析可知函數(shù)至少有一個零點，可得出，求出的取值范圍，然后對實數(shù)的取值范圍進行分類討論，即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可得有解，所以，解得或，當(dāng)時，必有，解得；當(dāng)時，必有，不等式組無解，綜上所述，，∴的取值范圍為.故選：A8．（2023·湖南邵陽·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)若存在實數(shù)，，，，滿足，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，畫出圖象，即可圖象以及函數(shù)的對稱性即可求解臨界位置，即可求解.【詳解】畫出的圖象如下圖：由題意可知，，由圖象可知關(guān)于直線對稱，所以，因此，當(dāng)時，，此時，當(dāng)時，，此時，當(dāng)存在，，，使得時，此時，故選：C9．（2023·湖南長沙·雅禮中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的零點分別為，，…，（），則（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【分析】由題意可得，所以的一個零點為0，令，求出的零點，即為零點，代入計算即可得答案．【詳解】令，則有，即，所以有，令，則，令，則有，即有，因為，所以，則，即有，當(dāng)時，等號成立，所以當(dāng)時，，所以共有3個零點，分別為0，，，所以．故選：A二、填空題10．（2023·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）請估計函數(shù)零點所在的一個區(qū)間______.【答案】【分析】根據(jù)零點存在性定理求解即可.【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)為上的減函數(shù),函數(shù)的圖像在上為一條連續(xù)不斷的曲線,又,,所以函數(shù)零點所在的一個區(qū)間為.故答案為:.【能力提升】一、多選題1．（2023·河北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)恰好有4個不同的零點，則實數(shù)的取值可以是（

）A． B． C．0 D．2【答案】BC【分析】令，則，將函數(shù)的零點問題分解成兩個步驟完成，先求的值，再求x的值，結(jié)合函數(shù)圖象分析運算.【詳解】由題意可知：當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，則；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，則；若函數(shù)恰好有4個不同的零點，令，則有兩個零點，可得：當(dāng)時，則，解得；當(dāng)時，則，可得；可得和均有兩個不同的實根，即與、均有兩個交點，不論與的大小關(guān)系，則，且，解得，綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.且，故A、D錯誤，B、C正確.故選：BC.

【點睛】方法點睛：利用函數(shù)零點求參數(shù)值或取值范圍的方法（1）利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解．（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解．（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．2．（2023·廣東佛山·?？寄M預(yù)測）設(shè)函數(shù)有4個零點，分別為，則下列說法正確的是（

）A． B．C．的取值與無關(guān) D．的最小值為10【答案】AD【分析】根據(jù)題意分析可得：原函數(shù)的4個零點可表示為直線與函數(shù)交點的橫坐標，結(jié)合圖象以及基本不等式逐項分析判斷.【詳解】令，可得：當(dāng)時，即，可得；當(dāng)時，即，可得，；當(dāng)時，即，可得，.原函數(shù)的4個零點可表示為直線與函數(shù)交點的橫坐標，對于選項A、C：如圖所示，是方程的兩個解，根據(jù)韋達定理可得：，即可知選項A成立，選項C不成立；對于選項B：因為，結(jié)合圖象可得，即可知選項B不成立；對于選項D：其中，則有，當(dāng)且僅當(dāng)時，成立，綜上所述：的最小值為10，選項D成立.故選：AD.

【點睛】方法點睛：利用函數(shù)零點求參數(shù)值或取值范圍的方法（1）利用零點存在的判定定理構(gòu)建不等式求解；（2）分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域(最值)問題求解；（3）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的上、下關(guān)系問題，從而構(gòu)建不等式求解．二、填空題3．（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)有三個不同的零點，其中有兩個正零點，則實數(shù)的取值范圍為____.【答案】【分析】依題意可得，顯然，兩邊取對數(shù)可得，令，，首先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得到函數(shù)圖象，再數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由，得，因為不是的零點，等式兩邊同時取對數(shù)得，即，令，，則，所以為奇函數(shù)，當(dāng)時，，所以所以當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時函數(shù)取得極大值，即，又因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以可得的圖象如下所示，

又因為有兩個正實根，所以.故答案為：4．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)在區(qū)間上存在零點，則的最小值為__________.【答案】【分析】設(shè)函數(shù)的零點為，則，則點在直線上，然后將問題轉(zhuǎn)化為點到直線的距離的最值問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解可得.【詳解】設(shè)函數(shù)的零點為，則，則點在直線上.因為表示與的距離，所以則的最小值即為原點到直線的距離的最小值平方，即，令，令，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，所以的最小值為.故答案為：5．（2023·浙江·校聯(lián)考模擬預(yù)測）若函數(shù)與函數(shù)的圖象恰有三個不同的交點，其中交點的橫坐標成等差數(shù)列，則的取值范圍為__________.【答案】【分析】把兩個函數(shù)圖象有三個交點轉(zhuǎn)化為三次方程有三個根的問題，設(shè)出三個根，利用恒等式建立關(guān)系并求解作答.【詳解】依題意，方程，即有三個不等實根，設(shè)兩個函數(shù)圖象的三個交點的橫坐標，即方程的三個根為，于是，整理得，因此，則，即有，解得或，所以的取值范圍是..故答案為：【點睛】思路點睛：涉及給定兩個函數(shù)圖象交點橫坐標問題，可以等價轉(zhuǎn)化為方程實根問題，再結(jié)合方程思想求解即可.6．（2023·江蘇無錫·輔仁高中?？寄M預(yù)測）設(shè)表示不超過的最大整數(shù)，如.已知函數(shù)有且只有4個零點，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出在上的單調(diào)性與最值，再求出時的解析式，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】設(shè)，則有且只有4個根.當(dāng)時，,當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，.當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，故函數(shù)的圖象如圖所示：因為，由圖可知.故答案為:.7．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測）函數(shù)，當(dāng)時，的零點個數(shù)為_____________；若恰有4個零點，則的取值范圍是______________.【答案】1【分析】第一空：當(dāng)時、時可得答案；第二空：至多有2個零點，故在上至少有2個零點，所以；分、、討論結(jié)合圖象可得答案.【詳解】第一空：當(dāng)時，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，無零點，故此時的零點個數(shù)是1；第二空：顯然，至多有2個零點，故在上至少有2個零點，所以；①若恰有2個零點，則，此時恰有兩個零點，所以，解得，此時；②若恰有3個零點，則，此時，所以恰有1個零點，符合要求；③當(dāng)時，，所以恰有1個零點，而至少有4個零點，此時至少有5個零點，不符合要求，舍去.綜上，或.故答案為：1；.【點睛】方法點睛：求零點的常用方法：①解方程；②數(shù)形結(jié)合；③零點存在定理；④單調(diào)+存在求零點個數(shù)，復(fù)雜的函數(shù)求零點，先將復(fù)雜零點轉(zhuǎn)化為較簡單函數(shù)零點問題.8．（2023·山西陽泉·陽泉市第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)的零點為，函數(shù)的零點為，給出以下三個結(jié)論：①；②；③.其中所有正確結(jié)論的序號為________.【答案】①③【分析】根據(jù)函數(shù)零點的定義結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性推出，可得.利用基本不等式可判斷①；結(jié)合二次函數(shù)單調(diào)性可判斷②；判斷出，即可推出，從而推出，即可判斷③.【詳解】由題意得，則，即和為的零點；而在R上單調(diào)遞增，且，在R上有且僅有一個零點，，又，①正確；又，而在上單調(diào)遞增，，②錯誤；，，則，而，故，即，③正確.綜上，所有正確結(jié)論的序號為①③，故答案為：①③【點睛】關(guān)鍵點睛：本題綜合性較強，涉及到函數(shù)零點以及單調(diào)性以及不等式證明相關(guān)知識，解答的關(guān)鍵在于根據(jù)，變式為，從而推出和為的零點，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，說明，以下問題則可順利解決.9．（2023·重慶萬州·重慶市萬州第三中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知函數(shù)若函數(shù)有八個不同的零點，從小到大依次為，，，，，，，，則的取值范圍為___________.【答案】【分析】由得，轉(zhuǎn)化為函數(shù)與的圖象有八個交點，畫出與的圖象，結(jié)合圖象進行分析求解.【詳解】由函數(shù)的解析式可知：時，，所以的圖象與在上的圖象關(guān)于直線對稱；時，，所以只需把在上的圖象向右平移6個單位即可得在上的圖象.由得，函數(shù)與的圖象如圖所示：

由，即有，由圖可知，，故，即，則，；由的圖象性質(zhì)，有，，，，則，，所以，因為，，所以，而對勾函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，，，，故答案為：.【點睛】方法點睛：分段函數(shù)的有關(guān)零點的問題通常用數(shù)形結(jié)合的方法，畫函數(shù)圖象時常考慮用函數(shù)的圖象變換結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）和函數(shù)圖象的對稱性.10．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？级＃┮阎瘮?shù)有三個零點，且，則__________.【答案】1【分析】令，由的圖象可得最多只有兩個解，所以由題意可知有兩解，且，由圖象可知有兩解，有一解，代入即可求出結(jié)果.【詳解】由，得，令，則，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上遞減，在上遞增，所以的圖象如圖所示，

由圖可知最多只有兩個解，若要有三解，則有兩解，且，因為函數(shù)有三個零點，且，所以由圖象可知有兩解，有一解，所以，故答案為：1【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是令，然后將問題轉(zhuǎn)化為有兩解，且有兩解，有一解，然后代入化簡即可，考查數(shù)形結(jié)合的思想，屬于較難題.【真題感知】一、單選題1．（天津·高考真題）函數(shù)f(x)=的零點所在的一個區(qū)間是A．（-2，-1） B．（-1,0） C．（0,1） D．（1,2）【答案】B【詳解】試題分析：因為函數(shù)f(x)=2+3x在其定義域內(nèi)是遞增的，那么根據(jù)f(-1)=,f（0）=1+0=1>0,那么函數(shù)的零點存在性定理可知，函數(shù)的零點的區(qū)間為（-1,0），選B．考點：本試題主要考查了函數(shù)零點的問題的運用．點評：解決該試題的關(guān)鍵是利用零點存在性定理，根據(jù)區(qū)間端點值的乘積小于零，得到函數(shù)的零點的區(qū)間．2．（山東·高考真題）設(shè)函數(shù)y＝x3與y＝的圖象的交點為(x0，y0)，則x0所在的區(qū)間是（

）A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)【答案】B【解析】函數(shù)y＝x3與y＝的圖象的交點的橫坐標即為的零點，將問題轉(zhuǎn)化為確定函數(shù)的零點所在區(qū)間的問題，再由函數(shù)零點的存在性定理可得到答案．【詳解】設(shè)，則是增函數(shù)，又.所以，所以x0所在的區(qū)間是(1，2)故選：B【點睛】本題考查函數(shù)圖象的交點，考查函數(shù)的零點，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建函數(shù)，正確運用函數(shù)零點存在定理，屬于中檔題.3．（浙江·高考真題）設(shè)函數(shù)，則在下列區(qū)間中函數(shù)不存在零點的是A． B． C． D．【答案】A【詳解】，因為，所以，，因此在上有零點，故在上有零點；，而，即，因此，故在上一定存在零點；雖然，但，又，即，從而，于是在區(qū)間上有零點，也即在上有零點，排除B，C，D，那么只能選A．4．（湖北·高考真題）關(guān)于的方程，給出下列四個命題：①存在實數(shù)，使得方程恰有2個不同的實根；②存在實數(shù)，使得方程恰有4個不同的實根；③存在實數(shù)，使得方程恰有5個不同的實根；④存在實數(shù)，使得方程恰有8個不同的實根.其中假命題的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】令，則，作出這兩個函數(shù)的圖象，利用兩個函數(shù)的圖象可得結(jié)果.【詳解】令，則，作出這兩個函數(shù)的圖象，如圖：由圖可知，當(dāng)時，只有一個大于的根，則方程恰有兩個實根；故①為真命題；當(dāng)時，由得或，當(dāng)時，，當(dāng)時，或，此時原方程恰有5個實根，故③為真命題；當(dāng)時，有兩個實根，兩個實根在內(nèi)，此時原方程有8個實根，故④為真命題；當(dāng)時，由得，則方程恰有4個實根；此時原方程恰有4個實根，故②為真命題.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：構(gòu)造兩個函數(shù)，利用兩個函數(shù)的圖象求解是本題的解題關(guān)鍵.5．（浙江·高考真題）已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點，則A． B．C． D．【答案】C【分析】當(dāng)時，最多一個零點；當(dāng)時，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性畫函數(shù)草圖，根據(jù)草圖可得．【詳解】當(dāng)時，，得；最多一個零點；當(dāng)時，，，當(dāng)，即時，，在，上遞增，最多一個零點．不合題意；當(dāng)，即時，令得，，函數(shù)遞增，令得，，函數(shù)遞減；函數(shù)最多有2個零點；根據(jù)題意函數(shù)恰有3個零點函數(shù)在上有一個零點，在，上有2個零點，如圖：且，解得，，．故選．【點睛】遇到此類問題，不少考生會一籌莫展.由于方程中涉及兩個參數(shù)，故按“一元化”想法，逐步分類討論，這一過程中有可能分類不全面、不徹底.6．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由最多有2個根，可得至少有4個根，分別討論當(dāng)和時兩個函數(shù)零點個數(shù)情況，再結(jié)合考慮即可得出.【詳解】最多有2個根，所以至少有4個根，由可得，由可得，（1）時，當(dāng)時，有4個零點，即；當(dāng)，有5個零點，即；當(dāng)，有6個零點，即；（2）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，無零點；當(dāng)時，，有1個零點；當(dāng)時，令，則，此時有2個零點；所以若時，有1個零點.綜上，要使在區(qū)間內(nèi)恰有6個零點，則應(yīng)滿足或或，則可解得a的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點睛：解決本題的關(guān)鍵是分成和兩種