5-2-運(yùn)動(dòng)的合成與分解(人教版2019必修第二冊(cè))(解析版)

第2節(jié)運(yùn)動(dòng)的合成與分解【知識(shí)梳理】一、一個(gè)平面運(yùn)動(dòng)的實(shí)例1．實(shí)驗(yàn)觀察蠟塊的運(yùn)動(dòng)蠟塊在豎直玻璃管內(nèi)向上勻速運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，將玻璃管沿水平方向向右做勻速運(yùn)動(dòng)，觀察到蠟塊向右上方運(yùn)動(dòng)。2．蠟塊的位置：蠟塊沿玻璃管勻速上升的速度設(shè)為vy，玻璃管向右勻速移動(dòng)的速度設(shè)為vx。從蠟塊開始運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻計(jì)時(shí)，于是，在時(shí)刻t，蠟塊的位置P可以用它的x、y兩個(gè)坐標(biāo)表示x＝vxt，y＝vyt。3．蠟塊運(yùn)動(dòng)的軌跡由以上兩式消去t，得y＝eq\f(vy,vx)x，由于vx和vy均是常量，所以蠟塊運(yùn)動(dòng)的軌跡是一條過原點(diǎn)的直線。y＝eq\f(vy,vx)x為軌跡方程。4．蠟塊的速度由勾股定理可得：v＝eq\r(v\o\al(2,x)＋v\o\al(2,y))，v與x軸正方向間夾角的正切為tanθ＝eq\f(vy,vx)。二、運(yùn)動(dòng)的合成與分解1．合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)：一個(gè)物體同時(shí)參與幾個(gè)運(yùn)動(dòng)，那么物體實(shí)際發(fā)生的運(yùn)動(dòng)叫做合運(yùn)動(dòng)，參與的那幾個(gè)運(yùn)動(dòng)叫做分運(yùn)動(dòng)。2．運(yùn)動(dòng)的合成與分解(1)運(yùn)動(dòng)的合成：由已知的分運(yùn)動(dòng)求合運(yùn)動(dòng)的過程。(2)運(yùn)動(dòng)的分解：由已知的合運(yùn)動(dòng)求分運(yùn)動(dòng)的過程。(3)運(yùn)算法則：運(yùn)動(dòng)的合成與分解遵從矢量運(yùn)算法則?！痉椒ㄍ黄啤恳?、對(duì)運(yùn)動(dòng)的合成與分解的理解■方法歸納1．合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的關(guān)系獨(dú)立性一個(gè)物體同時(shí)參與兩個(gè)運(yùn)動(dòng)，其中的任一個(gè)分運(yùn)動(dòng)并不會(huì)因?yàn)橛辛硗獾姆诌\(yùn)動(dòng)的存在而有所改變。即各分運(yùn)動(dòng)是互相獨(dú)立的、互不影響的等時(shí)性各個(gè)分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)總是同時(shí)開始，同時(shí)結(jié)束，經(jīng)歷的時(shí)間相等。不是同時(shí)發(fā)生的運(yùn)動(dòng)不能進(jìn)行運(yùn)動(dòng)的合成等效性各分運(yùn)動(dòng)合成起來和合運(yùn)動(dòng)效果相同，即分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng)可以“等效替代”同體性合運(yùn)動(dòng)和它的分運(yùn)動(dòng)必須對(duì)應(yīng)同一個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)，一個(gè)物體的合運(yùn)動(dòng)不能分解為另一個(gè)物體的分運(yùn)動(dòng)2．運(yùn)動(dòng)的合成與分解法則運(yùn)動(dòng)的合成與分解是指描述物體運(yùn)動(dòng)的各物理量即位移、速度、加速度的合成與分解．由于它們都是矢量，所以它們都遵循矢量的合成與分解法則．①兩分運(yùn)動(dòng)在同一直線上時(shí)，同向相加，反向相減．②不在同一直線上，按照平行四邊形定則進(jìn)行合成或分解．3．合運(yùn)動(dòng)與分運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)和軌跡的關(guān)系：兩直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)和軌跡，由各分運(yùn)動(dòng)性質(zhì)及合初速度與合加速度的方向和大小關(guān)系決定．①兩個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)一定是勻速直線運(yùn)動(dòng)．②一個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)和一個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)是勻變速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)二者共線時(shí)為勻變速直線運(yùn)動(dòng)，不共線時(shí)為勻變速曲線運(yùn)動(dòng)．③兩個(gè)勻變速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)一定是勻變速運(yùn)動(dòng)．若合初速度方向與合加速度方向在同一條直線上，則是直線運(yùn)動(dòng)；若合初速度方向與合加速度方向不在一條直線上，則是曲線運(yùn)動(dòng)．【例1】如圖甲所示，在一端封閉、長(zhǎng)約1m的玻璃管中注滿清水，水中放一個(gè)直徑略小于玻璃管內(nèi)徑的圓柱形紅蠟塊R，將玻璃管的開口端用膠塞塞緊。把玻璃管迅速豎直倒置，紅蠟塊R就沿玻璃管由管口A勻速上升，在紅蠟塊剛從管口A開始勻速上升的同時(shí)，將玻璃管由靜止開始水平向右勻加速移動(dòng)（如圖乙所示），直至紅蠟塊上升到管底B的位置（如圖丙所示）。以地面為參考系，以紅蠟塊開始勻速運(yùn)動(dòng)的位置為原點(diǎn)，以水平向右為x軸正方向，豎直向上為y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系，描繪紅蠟塊R在這一運(yùn)動(dòng)過程中的軌跡，圖中可能正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意可知紅蠟塊豎直向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，水平向右做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，合運(yùn)動(dòng)為勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，其速度方向與水平方向的夾角的正切值為由上式可知θ隨t的增大而逐漸減小，而蠟塊速度方向沿軌跡切線方向，所以紅蠟塊實(shí)際運(yùn)動(dòng)的軌跡可能是C。故選C?！踞槍?duì)訓(xùn)練1】在雜技表演中，猴子沿豎直桿向上做初速度為0、加速度為a的勻加速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)人頂著直桿以速度v0水平勻速前進(jìn)，經(jīng)過時(shí)間t，猴子沿桿向上移動(dòng)的高度為h，人頂桿沿水平地面移動(dòng)的距離為x，如圖所示．關(guān)于猴子的運(yùn)動(dòng)情況，下列說法中正確的是（

）A．相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)軌跡為直線B．相對(duì)地面做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)C．t時(shí)刻猴子相對(duì)地面的速度大小為v0＋atD．t時(shí)間內(nèi)猴子相對(duì)地面的位移大小為2【答案】B【詳解】A．猴子在水平方向上做勻速直線運(yùn)動(dòng)，豎直方向上做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，猴子相對(duì)地面的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線，A錯(cuò)誤；B．因?yàn)楹镒邮艿降暮贤饬愣?加速度恒定)，所以相對(duì)地面猴子做的是勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，B正確；C．t時(shí)刻猴子對(duì)地的水平速度為v0，豎直速度為at，因此和速度大小為v＝，C錯(cuò)誤；D．t時(shí)間內(nèi)猴子對(duì)地的位移大小為s＝，D錯(cuò)誤。故選B。二、小船過河問題■方法歸納小船過河問題可以基于以下幾點(diǎn)進(jìn)行理解和分析：(1)將船實(shí)際的運(yùn)動(dòng)看做船隨水流的運(yùn)動(dòng)和船在靜水中的運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)．(2)如圖所示，v水為水流速度，v靜水表示船在靜水中的速度，將船的速度v靜水沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解，則v水－v靜水cosθ為船實(shí)際上沿水流方向的運(yùn)動(dòng)速度，v⊥＝v靜水sinθ為船垂直于河岸方向的運(yùn)動(dòng)速度．兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)情況相互獨(dú)立、互不影響．1．過河的最短時(shí)間過河時(shí)間僅由v靜水垂直于河岸的分量v⊥決定，即t＝eq\f(d,v⊥)，與v水無關(guān)．要使過河時(shí)間最短，應(yīng)使垂直河岸方向的速度最大，如圖所示，當(dāng)sinθ＝1，即v靜水垂直于河岸時(shí)，過河所用時(shí)間最短，最短時(shí)間為t＝eq\f(d,v靜水)，與v水無關(guān)．2．過河的最小位移過河位移由實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡的方向決定，要使過河位移最小，應(yīng)使合位移(或合速度)與河岸方向的夾角最大．(1)當(dāng)v水<v靜水時(shí)，過河的最小位移即河的寬度．如圖所示，為了使過河位移等于河寬d，這時(shí)船頭應(yīng)指向河的上游，并與河岸成一定的角度θ，使船的合速度v的方向與河岸垂直．此時(shí)，v水－v靜水cosθ＝0，過河時(shí)間t＝eq\f(d,v)＝eq\f(d,\r(v\o\al(2,靜水)－v\o\al(2,水))).(2)當(dāng)v水>v靜水時(shí)，不論船的航向如何，總是被水沖向下游．此時(shí)合速度v與河岸方向的夾角α越大，船過河的位移越?。敲?，在什么條件下α角最大呢？如圖所示，以v水的矢尖為圓心，以v靜水的大小為半徑畫圓，當(dāng)合速度與圓相切時(shí)，α角最大．由三角形的相似性，最小位移為s＝eq\f(v水,v靜水)d，過河時(shí)間t＝eq\f(s,v)＝eq\f(v水d,v靜水\r(v\o\al(2,水)－v\o\al(2,靜水))).【例2】如圖所示，一條小船渡河，河水流速，船在靜水中速度，船頭方向與河岸垂直。關(guān)于小船的運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是（）A．小船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡與岸垂直B．此時(shí)小船的渡河時(shí)間不是最短C．小船相對(duì)于岸的速度大小為D．小船相對(duì)于岸的速度大小為【答案】C【詳解】B．由于船頭方向與河岸垂直，可知此時(shí)小船的渡河時(shí)間最短，故B錯(cuò)誤；ACD．小船相對(duì)于岸的速度大小為設(shè)合速度與河岸的夾角為，則有解得可知小船的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌跡與岸不垂直，故C正確，AD錯(cuò)誤。故選C。【針對(duì)訓(xùn)練2】如圖所示，河水流速以及渡船在靜水中的劃行速度大小均恒定，渡船從平直河岸邊的A處開始渡河，當(dāng)船頭方向垂直河岸時(shí)，渡船到達(dá)正對(duì)岸岸邊B處下游的C處，A、C連線與水流方向的夾角為60°。若要使渡船從A處開始渡河，能夠沿直線到達(dá)B處，則船頭方向與水流反方向的夾角θ的正切值應(yīng)為（）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)船在靜水中的速度為v1，水速為v2，則當(dāng)船垂直渡河時(shí)得故選A。三、關(guān)聯(lián)速度問題■方法歸納繩、桿關(guān)聯(lián)問題是指物拉繩(桿)或繩(桿)拉物問題．高中階段研究的繩都是不可伸長(zhǎng)的，桿都是不可伸長(zhǎng)和不可壓縮的，即繩或桿的長(zhǎng)度不會(huì)改變，所以解題的原則是：把物體的實(shí)際速度分解為垂直于繩(桿)和平行于繩(桿)兩個(gè)分量，根據(jù)沿繩(桿)方向的分速度大小相等求解．常見的模型如圖所示．【例3】如題圖所示，汽車通過繩子繞過定滑輪連接重物M一起運(yùn)動(dòng)，不計(jì)滑輪摩擦和繩子質(zhì)量，已知重物M以v勻速向上運(yùn)動(dòng)，連接汽車的輕繩與水平方向夾角為θ，汽車的速度用v汽表示。則（）A． B．C．汽車做勻速運(yùn)動(dòng) D．汽車做勻加速運(yùn)動(dòng)【答案】B【詳解】AB．將汽車速度沿繩與垂直于繩分解，沿繩的分速度與重物速度相等，則解得A錯(cuò)誤，B正確；CD．根據(jù)上述，重物M以v勻速向上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)汽車向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，減小，可知汽車速度減小，即汽車減速運(yùn)動(dòng)，CD錯(cuò)誤。故選B。【針對(duì)訓(xùn)練3】A、B兩物體通過一根跨過定滑輪的輕繩相連放在水平面上，現(xiàn)物體B以的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，如圖所示，當(dāng)繩被拉成與水平面夾角分別是、時(shí)。物體A的運(yùn)動(dòng)速度為（繩始終有拉力）（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】將A物體的速度沿著繩子方向與垂直繩子方向進(jìn)行分解，則有沿著繩子方向的速度大小為；將B物體的速度沿著繩子方向與垂直繩子方向進(jìn)行分解，則有沿著繩子方向的速度大小為。由于沿著繩子方向速度大小相等，故有所以物體A的運(yùn)動(dòng)速度為故選B。【鞏固提升】1．質(zhì)量為2kg的質(zhì)點(diǎn)在xOy平面上做曲線運(yùn)動(dòng)，在x方向的速度圖像和y方向的位移圖像如圖所示，下列說法中正確的是（）A．質(zhì)點(diǎn)的初速度大小為3m/sB．質(zhì)點(diǎn)所受的合外力為3N，做勻變速曲線運(yùn)動(dòng)C．2s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)的位移大小約為17mD．2s末質(zhì)點(diǎn)速度大小為6m/s【答案】B【詳解】A．由x方向的速度圖像可知，初速度為3m/s，由y方向的位移圖像可知在y方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度為vy=4m/s，由平行四邊形定則可知，質(zhì)點(diǎn)的初速度為故A錯(cuò)誤；B．由x方向的速度圖像可知，在x方向的加速度為1.5m/s2，受力Fx=3N，由y方向的位移圖像可知在y方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受力Fy=0，所以質(zhì)點(diǎn)的合力為3N，由于質(zhì)點(diǎn)的初速度方向與合外力方向不在一條直線上，所以質(zhì)點(diǎn)做勻加速曲運(yùn)動(dòng)，故B正確；C．2s內(nèi)x軸方向的位移為，y軸方向的位移為所以質(zhì)點(diǎn)在2s末內(nèi)的位移為故C錯(cuò)誤；D．2s末x軸方向的速度為，，y軸方向的速度為：，所以質(zhì)點(diǎn)在2s末的速度為故D錯(cuò)誤。故選B。2．在我校某周年校慶活動(dòng)上，一小型無人機(jī)在空中航拍，將其運(yùn)動(dòng)沿水平方向和豎直方向分解，水平位移x隨時(shí)間t變化的圖像如圖甲所示，豎直方向的速度隨時(shí)間變化的圖像如圖乙所示。關(guān)于無人機(jī)的運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是（）A．內(nèi)做勻加速曲線運(yùn)動(dòng) B．時(shí)速度大小為C．內(nèi)加速度大小為 D．內(nèi)位移大小為【答案】A【詳解】A．由圖可知，在水平方向一直做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在豎直方向上，在內(nèi)，做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，因此在內(nèi)，物體的合運(yùn)動(dòng)為勻加速曲線運(yùn)動(dòng)，故A正確；B．時(shí)，由圖可知，水平速度，豎直速度，故故B錯(cuò)誤；C．s內(nèi)，水平加速度為零，豎直加速度也為零，故加速度為零，故C錯(cuò)誤；D．s內(nèi)，水平位移為4m，豎直位移為合位移為故D錯(cuò)誤。故選A。3．物體在直角坐標(biāo)系xOy所在的平面內(nèi)由O點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，x軸方向的加速度隨時(shí)間變化圖像如圖a所示，y軸方向速度隨時(shí)間變化的圖像如圖b所示，物體的初速度為2m/s，則對(duì)該物體運(yùn)動(dòng)過程的描述正確的是（）A．物體在0～2s做直線運(yùn)動(dòng)，在2s～3s做曲線運(yùn)動(dòng)B．物體在0～2s的加速度大小為，2s～3s的加速度大小為C．物體在0～2s和2s～3s內(nèi)位移之比為D．物體2s末速度最大，最大值為【答案】D【詳解】A．物體在0～2s內(nèi)，x方向做ax1=1m/s2的勻加速運(yùn)動(dòng)，y方向做勻速運(yùn)動(dòng)，可知合運(yùn)動(dòng)是曲線運(yùn)動(dòng)；在2s～3s內(nèi)，y方向的加速度為，x方向做初速度vx=2m/s，加速度為ax=2m/s2的勻減速運(yùn)動(dòng)；y方向做初速度vy=2m/s，加速度為ay2=2m/s2的勻減速運(yùn)動(dòng)，則合加速度方向與合初速度方向共線，可知物體做直線運(yùn)動(dòng)。選項(xiàng)A錯(cuò)誤；B．物體在0～2s的加速度大小為a=ax1=1m/s2；2s～3s內(nèi)ax2=1m/s2；則2s～3s的加速度大小為選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C．物體在0～2s內(nèi)位移x1=；合位移2s～3s內(nèi)位移的位移；合位則之比為選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D．因2s末在x方向和y方向都要做勻減速運(yùn)動(dòng)，可知物體2s末速度最大，最大值為選項(xiàng)D正確。故選D。4．民族運(yùn)動(dòng)會(huì)上有一直線側(cè)向騎射項(xiàng)目如圖所示，運(yùn)動(dòng)員騎在沿直線奔跑的馬上，彎弓放箭射擊跑道外側(cè)的固定目標(biāo)，假設(shè)運(yùn)動(dòng)員騎馬奔馳的速度為v1，運(yùn)動(dòng)員靜止時(shí)射出的弓箭速度為v2，跑道距離固定目標(biāo)的最近距離為d，要想命中目標(biāo)且射出的箭在空中飛行時(shí)間最短（不考慮空氣阻力的影響），則（）A．運(yùn)動(dòng)員放箭處離目標(biāo)的距離為B．運(yùn)動(dòng)員放箭處離目標(biāo)的距離為C．箭射到固定目標(biāo)的最短時(shí)間為D．箭射到固定目標(biāo)的最短時(shí)間為【答案】B【詳解】要想在最短的時(shí)間內(nèi)射中目標(biāo)，箭應(yīng)該垂直于馬的運(yùn)動(dòng)方向射出，如圖所示箭在空中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為其合運(yùn)動(dòng)速度為則放箭處離目標(biāo)的距離為故ACD錯(cuò)誤，B正確。故選B。5．唐僧、悟空、沙僧和八戒師徒四人想劃船渡過一條寬150m的河，他們?cè)陟o水中劃船的速度大小為3m/s，河水的流速為5m/s，對(duì)于這次劃船過河，他們有各自的看法，其中正確的是（）A．唐僧說：我們要想到達(dá)正對(duì)岸就得朝著正對(duì)岸劃船，最短時(shí)間需要50sB．悟空說：我們要想節(jié)省時(shí)間就得朝著正對(duì)岸劃船，最短時(shí)間需要30sC．沙僧說：我們要想少走點(diǎn)路就得朝著正對(duì)岸劃船。最短路程需要150mD．八戒說：今天這種情況我們是不可能到達(dá)正對(duì)岸的，渡河最短路程需要250m【答案】D【詳解】AB．因在靜水中劃船的速度大小為3m/s，河水的流速為5m/s，大于船在靜水的速度，時(shí)間最短時(shí)需要朝著正對(duì)岸劃船，最短時(shí)間但此時(shí)船要到達(dá)正對(duì)岸的下游，不可能到達(dá)正對(duì)岸，故AB錯(cuò)誤；C．因船速小于河水流速，則合速度方向不可能垂直正對(duì)岸，即船不可能到達(dá)正對(duì)岸，最小位移不可能是150m，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；D．當(dāng)合速度與船速度垂直時(shí)，渡河的位移最小，此時(shí)船頭偏向上游，但渡河位移要偏向下游，最短路程因此D正確。故選D。6．如圖，阿瑋要渡過湍急的河水游到河對(duì)岸去，已知水流的速度是2m/s，阿瑋游泳的速度是1m/s，岸寬30m，阿瑋想盡量不被水沖得太遠(yuǎn)，則到達(dá)對(duì)岸時(shí)，偏離正對(duì)岸的最小距離為（）A．30m B． C． D．60m【答案】C【詳解】如圖阿瑋到達(dá)對(duì)岸時(shí)，要偏離正對(duì)岸的距離最小，則需要游泳的方向與阿瑋的合速度方向垂直，所以則由可得阿瑋到達(dá)對(duì)岸時(shí)，偏離正對(duì)岸的最小距離故選C。7．一條船要在最短時(shí)間內(nèi)渡過寬為100m的河，已知河水的流速與船離河岸的距離變化的關(guān)系如圖甲所示，船在靜水中的速度與時(shí)間的關(guān)系如圖乙所示，則以下判斷中正確的是（）A．船渡河的最短時(shí)間25sB．船運(yùn)動(dòng)的軌跡可能是直線C．船在河水中航行的平均加速度大小為D．船在河水中的最大速度是【答案】D【詳解】A．當(dāng)船頭垂直河岸時(shí)渡河時(shí)間最短，則有，A錯(cuò)誤；B．船在垂直河岸方向上做勻速運(yùn)動(dòng)，在沿河岸方向上做變速運(yùn)動(dòng)，因此軌跡一定是曲線，B錯(cuò)誤；C．船在河水中航行過程，船的速度先增大后減小，但在河岸兩邊的速度相同，故整個(gè)航行過程的速度變化量為，則船在河水中航行的平均加速度大小為，C錯(cuò)誤；D．船在河水中的最大速度為，D正確；故選D。8．如圖所示，水平固定的光滑細(xì)長(zhǎng)桿上套有一物塊Q，跨過懸掛于O點(diǎn)的輕小光滑圓環(huán)的細(xì)線一端連接Q，另一端懸掛一物塊P。設(shè)細(xì)線的左邊部分與水平方向的夾角為，初始時(shí)很小，現(xiàn)將P、Q由靜止同時(shí)釋放，關(guān)于P、Q以后的運(yùn)動(dòng)，下列說法正確的是（