2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)易錯考點排查練立體幾何文含解析北師大版

PAGE10-易錯考點排查練立體幾何1.α和β是兩個不重合的平面,在下列條件中可判定平面α和β平行的是 ()A.α和β都垂直于平面γB.α內(nèi)不共線的三點到β的距離相等C.l,m是α平面內(nèi)的直線且l∥β,m∥βD.l,m是兩條異面直線且l∥α,m∥α,m∥β,l∥β【解析】選D.對于A,α,β可平行也可相交;對于B三個點可在β平面同側(cè)或異側(cè),對于C,l,m在平面α內(nèi)可平行,可相交.對于D正確證明如下:過直線l,m分別作平面與平面α,β相交,設(shè)交線分別為l1,m1與l2,m2,由已知l∥α,l∥β得l∥l1,l∥l2,從而l1∥l2,則l1∥β,同理m1∥β,所以α∥β.2.給出下列命題:①有一條側(cè)棱與底面兩邊垂直的棱柱是直棱柱;②底面為正多邊形的棱柱為正棱柱;③頂點在底面上的射影究竟面各頂點的距離相等的棱錐是正棱錐;④A,B為球面上相異的兩點,則通過A,B的大圓有且只有一個.其中正確說法的個數(shù)是 ()A.0個 B.1個 C.2個 D.3個【解析】選A.若側(cè)棱與底面兩條平行的兩邊垂直,則側(cè)棱與底面不肯定垂直,此時的棱柱不肯定是直棱柱,故①錯誤;底面為正多邊形的直棱柱為正棱柱,故②錯誤;頂點在底面上的射影究竟面各頂點的距離相等的棱錐,表示頂點在底面的射影落在底面的外心上,不肯定是正棱錐,故③錯誤;當(dāng)A,B為球的直徑的兩個端點時,通過A,B的大圓有多數(shù)個,故④錯誤.3.如圖,在下列四個正方體中,P,R,Q,M,N,G,H為所在棱的中點,則在這四個正方體中,陰影平面與P,R,Q所在平面平行的是 ()【解析】選A.A中,因為PQ∥AC∥A1C1,所以可得PQ∥平面A1BC1,又RQ∥A1B,可得RQ∥平面A1BC1,從而平面PQR∥平面A1BC1;B中,作截面可得P,Q,R所在平面∩平面A1BN=HN(H為C1D1中點),C中,作截面可得P,Q,R所在平面∩平面HGN=HN(H為C1D1中點),如圖:D中,作截面可得QN,C1M為兩條相交直線,因此P,Q,R所在平面與平面A1MC1不平行,如圖4.已知m,n是兩條不重合的直線,α,β是兩個不重合的平面,下列命題正確的是 ()A.若m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,則α∥βB.若m∥n,m⊥α,n⊥β,則α∥βC.若m⊥n,mα,nβ,則α⊥βD.若m⊥n,m∥α,n⊥β,則α⊥β【解析】選B.A選項,若m∥α,m∥β,n∥α,n∥β,則α∥β或α與β相交,故A錯;B選項,若m∥n,m⊥α,則n⊥α,又n⊥β,α,β是兩個不重合的平面,則α∥β,故B正確;C選項,若m⊥n,mα,則nα或n∥α或n與α相交,又nβ,α,β是兩個不重合的平面,則α∥β或α與β相交;故C錯;D選項,若m⊥n,m∥α,n⊥β,α,β是兩個不重合的平面,則α∥β或α與β相交,故D錯.5.如圖,是棱長為1的正方體的平面綻開圖,則在這個正方體中,以下結(jié)論正確的是 ()A.點A到EF的距離為3B.三棱錐C-DMN的體積是1C.EF與平面CDN所成的角是45°D.EF與MN所成的角是60°【解析】選D.依據(jù)正方體的平面綻開圖,畫出它的立體圖形如圖所示,對于A,連接ND,與EF交于O點,連接AO,則AO的長即點A到EF的距離,AO=AN2+NO2=對于B,三棱錐C-DMN的體積是13×34×22×233=1對于C,F點到平面CDN的距離為33,所以EF與平面CDN所成的角的正弦值為3322=63,故C錯誤;對于D,EF與MN所成的角即MC與6.有一個球的內(nèi)接圓錐,其底面圓周和頂點均在球面上,且底面積為3π.已知球的半徑R=2,則此圓錐的側(cè)面積為 ()A.23π B.6πC.6π或23π D.43π【解析】選C.圓錐CAB,D是底面圓心,O為球心,πr2=3π,所以r=3,(1)如圖①,OD=1=CD,D在OC上,所以CB=3+1=2,S側(cè)=12·π·2r·CB=23π.(2)如圖②,OD=OB2-B所以S側(cè)=12·π·2r·CB=12·π·23·27.已知直線l⊥平面α,直線m平面β,則下列四個命題正確的是 ()①α∥β?l⊥m;②α⊥β?l∥m;③l∥m?α⊥β;④l⊥m?α∥β.A.②④ B.①② C.③④ D.①③【解析】選D.因為直線l⊥平面α,直線m?平面β,若α∥β,則l⊥平面β,則有l(wèi)⊥m,①正確;如圖,由圖可知②不正確;因為直線l⊥平面α,l∥m,所以m⊥平面α,又m平面β,所以α⊥β,所以③正確;由②圖可知④不正確;所以正確的命題為①③.8.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,點M在棱AB上,且AM=13,點P在平面ABCD上,且動點P到直線A1D1的距離的平方與點P到點M的距離的平方的差為1,在以AB,AD為坐標(biāo)軸的平面直角坐標(biāo)系中,動點PA.圓 B.拋物線C.雙曲線 D.直線【解析】選B.如圖所示:正方體ABCD-A1B1C1D1中,作PQ⊥AD,Q為垂足,則PQ⊥面ADD1A1,過點Q作QR⊥D1A1,則D1A1⊥面PQR,PR即為點P到直線A1D1的距離,由題意可得PR2-PQ2=RQ2=1.又已知PR2-PM2=1,所以PM=PQ,即P到點M的距離等于P到AD的距離,依據(jù)拋物線的定義可得,9.點A、B在以PC為直徑的球O的表面上,且AB⊥BC,AB=2,BC=4,若球O的表面積是24π,則異面直線PB和AC所成角的余弦值為 ()A.33 B.32 C.1010【解析】選C.設(shè)球O的半徑為R,則4πR2=24π,故R=6,如圖所示:分別取PA,AB,BC的中點M,N,E,連接MN,NE,ME,AE,易知,PA⊥平面ABC,由于AB⊥BC,所以AC=AB2+BC2=25,所以PA=PC2-AC2=2,因為E為BC的中點,則AE=AB2+BE2=22,由于M,N分別為PA,AB的中點,則MN∥PB,且MN=AM2+AN2=2,同理NE∥AC,且NE=12AC=5ME=3,由余弦定理得:cos∠MNE=MN2+NE2-ME210.在四面體P-ABC中,△ABC是邊長為3的等邊三角形,PA=3,PB=4,PC=5,則四面體P-ABC的體積為 ()A.3 B.2 C.11 D.10【解析】選C.如圖,延長CA至D,使得AD=3,連接DB,PD,因為AD=AB=3,故△ADB為等腰三角形,又∠DAB=180°-∠CAB=120°,故∠ADB=12所以∠ADB+∠DCB=90°即∠DBC=90°,故CB⊥DB,因為PB=4,PC=5,BC=3,所以PC2=PB2+BC2,所以CB⊥PB,因DB∩PB=B,DB平面PBD,PB平面PBD,所以CB⊥平面PBD,所以V三棱錐P-CBD=V三棱錐C-PBD=13×CB×S△PBD因A為DC的中點,所以V三棱錐P-ABC=12V三棱錐P-CBD=16×3×S=12S△PBD因為DA=AC=AP=3,故△PDC為直角三角形,所以PD=CD2-PC2=36-25=11,故DB2=PD2+PB2,即△PBD為直角三角形,所以S△PBD=12×4×11=211所以V三棱錐P-ABC=11.11.如圖,在下列四個正方體中,A,B為正方體的兩個頂點,M,N,Q為所在棱的中點,則在這四個正方體中,直線AB與平面MNQ不垂直的是 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號()【解析】選D.對于A,AB為體對角線,M,N,Q分別為棱的中點,由中位線定理可得它們平行于所對應(yīng)的面對角線,連接另一條面對角線,由線面垂直的判定可得AB垂直于MN,MQ,NQ,可得AB垂直于平面MNQ;對于B,AB為上底面的對角線,明顯AB垂直于MN,與AB相對的下底面的面對角線平行,且與直線NQ垂直,可得AB垂直于平面MNQ;對于C,AB為前面的面對角線,明顯AB垂直于MN,QN在下底面且垂直于AB所在的面,即有AB垂直于QN,可得AB垂直于平面MNQ;對于D,AB為上底面的對角線,MN平行于前面的一條對角線,此對角線與AB所成角為60°,則AB不垂直于平面MNQ.12.如圖,在Rt△ABC中,AC=1,BC=x(x>0),D是斜邊AB的中點,將△BCD沿直線CD翻折,若在翻折過程中存在某個位置,使得CB⊥AD,則x的取值范圍是 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號()A.(0,3] B.2C.[3,23] D.(2,4]【解析】選A.取BC的中點E,翻折前如圖1,連接DE,則DE=12AC=12,又BC=x,所以AD=CD=BD=x2+12.翻折后,在圖2中,BC⊥AD的位置時,連接AE,由題意可得BC⊥DE,所以BC⊥平面ADE,所以BC⊥AE,又E為BC的中點,所以AB=AC=1,所以AE=1-x24.在△ADE中,有AD+DE>AE,AE+DE>AD,即x2+12+12>1如圖3,當(dāng)翻折到△B1CD與△ACD在一個平面內(nèi)時,若AD⊥B1C,則AD與B1C相交,即∠B1CD+∠CDA=90°.因為CD=BD=B1D,所以∠CBD=∠BCD=∠B1CD.又∠CBD+∠BCD,即∠CBD+∠BCD+∠B1CD=90°,所以∠CBD=∠BCD=∠B1CD=30°,所以∠BAC=60°.在Rt△ABC中,BC=AC·tan60°=1×3=3,即x=3,綜上可得x∈(0,3].13.如圖,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)棱長為2,底面三角形的邊長為1,則BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角是【解析】在Rt△BC1C中,BC=1,C1C=2?BC1=3,由于三棱柱ABC-A1B1C1為正棱柱,底面ABC與側(cè)面垂直,所以正三角形ABC中AC邊的高即為B到側(cè)面ACC1A1的距離,點B到平面ACC1A1的距離為32,答案:30°14.直二面角α-l-β的棱l上有一點A,在平面α,β內(nèi)各有一條射線AB,AC與l成45°角,ABα,ACβ,則∠BAC=.

【解析】如圖,在l上取D,設(shè)DB⊥AD,DC⊥AD,則因為二面角是直二面角,所以CD⊥DB,設(shè)AD=1,則DC=DB=1,AB=AC=BC=2,所以△ABC是等邊三角形,所以∠BAC=60°,假如在B′位置,則∠B′AC=180°-60°=120°.答案:60°或120°15.已知a,b為異面直線,且所成的角為70°,過空間一點作直線l,直線l與a,b均異面,且所成的角均為50°,則滿意條件的直線共有條. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】在空間取一點P,經(jīng)過點P分別作a∥a′,b∥b′,設(shè)直線a′,b′確定平面α,當(dāng)直線PM滿意它的射影PQ在a′,b′所成角的平分線上時,PM與a′所成的角等于PM與b′所成的角.因為直線a,b所成的角為70°,得a′、b′所成銳角等于70°.所以當(dāng)PM的射影PQ在a′、b′所成銳角的平分線上時,PM與a′、b′所成角的范圍是[35°,90°).這種狀況下,過點P有兩條直線與a′,b′所成的角都是50°.當(dāng)PM的射影PQ在a′,b′所成鈍角的平分線上時,PM與a′,b′所成角的范圍是[55°,90°).這種狀況下,過點P有0條直線與a′,b′所成的角都是50°.綜上所述,過空間隨意一點P可作與a,b所成的角都是50°的直線有2條.答案:216.已知點P在直徑為2的球面上,過點P作球的兩兩相互垂直的三條弦PA,PB,PC,若PA=PB,則PA+PB+PC的最大值為. 世紀(jì)金榜導(dǎo)學(xué)號

【解析】由于PA,PB,PC是直徑為2的球的三條兩兩相互垂直的弦,則PA2+PB2+PC2=2PA2+PC2=22,所以PA22設(shè)PA=2cosθ,PC=2sinθ0<θ所以PA+PB+PC=2PA+PC=22cosθ+2sinθ=23sinθ+φ,其中φ為銳角且tanφ=2,所以,PA+PB+PC的最大值為2答案:23給易錯點找題號序號易錯點題號練后感悟1忽視線段反向延長線的情形致錯.142空間思維較弱,翻折問題的性質(zhì)沒駕馭透徹致錯.123忽視異面直線所成角的范圍致錯.94憑主觀感受、主觀