2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題02三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏模型解讀與提分精練（全國(guó)版）

專題02三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏模型近年來(lái)各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）、翻角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.飛鏢模型（燕尾）模型 1模型2.風(fēng)箏（鷹爪）模型 5模型3.角內(nèi)（外）翻模型 7 9模型1.飛鏢模型（燕尾）模型飛鏢（燕尾）模型看起來(lái)特別簡(jiǎn)單，在復(fù)雜幾何圖形倒角時(shí)往往有巧妙的作用。因?yàn)槟Ｐ拖耧w鏢（回旋鏢）或燕尾，所以我們稱為飛鏢（燕尾）模型。圖1圖2圖3基本模型：條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結(jié)論：①；②。證明：連接AC并延長(zhǎng)至點(diǎn)P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。即：，故。拓展模型1：條件：如圖2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；結(jié)論：∠O=（∠A+∠C）。證明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC；根據(jù)飛鏢模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。拓展模型2：條件：如圖3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD；結(jié)論：∠O=（∠D-∠B）。證明：根據(jù)飛鏢模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B，∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB，∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B），∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO，∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B）例1．（2023·福建南平·八年級(jí)校考階段練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”．如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢?下面我們進(jìn)行認(rèn)識(shí)與探究：凹四邊形通俗地說(shuō)，就是一個(gè)角“凹”逃去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下：方法一：如圖2，連結(jié)AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連結(jié)CD并延長(zhǎng)至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，．．．．．．．．．．大家在探究的過(guò)程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論．任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是_________；(2)探索及應(yīng)用：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫(xiě)出該證明過(guò)程的剩余部分．例2．（2023·湖北·八年級(jí)專題練習(xí)）在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．例3．（2023·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的符號(hào)——箭號(hào)．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．

探究：（1）觀察“箭頭四角形”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；應(yīng)用：（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，若，則；②如圖3，、的2等分線（即角平分線）、相交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù)；拓展：（3）如圖4，，分別是、的2020等分線（），它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則度．例4.（2023·廣東·八年級(jí)期中）如圖，在三角形ABC中，，為三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AP，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D.求證：（1）；（2）.模型2.風(fēng)箏（鷹爪）模型圖1圖21）鷹爪模型：結(jié)論：∠A+∠O=∠1+∠2；證明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA；同理，∠2=∠CAO+∠COA；∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。2）鷹爪模型（變形）：結(jié)論：∠A+∠O=∠2-∠1。證明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA；同理，∠2=∠DAO+∠DOA；∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA）=∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。例1．（2023·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，、、分別為、、的外角判斷下列大小關(guān)系何者正確？（）A．B．C．D．例2．（2023·江蘇連云港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問(wèn)題情境】已知，在的兩邊上分別取點(diǎn)B、C，在的內(nèi)部取一點(diǎn)O，連接、．設(shè)，，探索與、、之間的數(shù)量關(guān)系．【初步感知】如圖1，當(dāng)點(diǎn)O在的邊上時(shí)，，此時(shí)，則與、、之間的數(shù)量關(guān)系是．【問(wèn)題再探】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在的內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出與、、之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)O在的外部時(shí)，與、、之間的數(shù)量關(guān)系是________；【拓展延伸】（1）如圖4，、的外角平分線相交于點(diǎn)P．①若，，則________°；②若且，則________°；③直接寫(xiě)出與、之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖5，的平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)Q，則________（用、表示）．例3．（23-24七年級(jí)下·山東聊城·期末）如圖，在中，，點(diǎn)、是邊、上的點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．令，，．(1)若點(diǎn)在線段上，如圖1所示，，求的值；(2)若點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，則、、之間的關(guān)系________；(3)若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，則、、之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由；(4)若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到外，如圖4所示，則請(qǐng)表示、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．模型3.角內(nèi)（外）翻模型圖3圖4條件：如圖3，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；證明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C；同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。條件：如圖4，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE外部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠2-∠1。證明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C；同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C）=∠EC’F+∠FCE=2∠C。例1．（23-24八年級(jí)上·廣西南寧·期中）如圖，在折紙活動(dòng)中，小李制作了一張的紙片，點(diǎn)，分別在邊AB，上，將沿著DE折疊壓平，與重合，若，則．例2．（23-24八年級(jí)下·山東德州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，把紙片沿折疊，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形的外面時(shí)，此時(shí)測(cè)得，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．例3．（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)?？计谥校?）如圖1，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置．則之間的數(shù)量關(guān)系為：_______；（2）如圖2，若將（1）中“點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置”變?yōu)椤包c(diǎn)落在四邊形外點(diǎn)的位置”，則此時(shí)之間的數(shù)量關(guān)系為：_________；（3）如圖3，將四邊形紙片（，與不平行）沿折疊成圖3的形狀，若，，求的度數(shù)；（4）在圖3中作出的平分線，試判斷射線的位置關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)在邊上向點(diǎn)移動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)重合），的大小隨之改變（其它條件不變），上述，的位置關(guān)系改變嗎？為什么？

1．（2024.山東七年級(jí)期中）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)A落在四邊形BCDE內(nèi)時(shí)，則∠A與∠1+∠2之間有始終不變的關(guān)系是（）A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）2．（2023·河南·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，與的角平分線交于，與的角平分線交于點(diǎn)，依此類推，與的角平分線交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．（2023·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4滿足的關(guān)系式是（

）A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3D．∠1＋∠4＝∠2－∠34．（2023春·河南洛陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在五邊形中，若去掉一個(gè)的角后得到一個(gè)六邊形，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．5．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將四邊形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形外點(diǎn)的位置，點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置，若，，則等于（）A． B． C． D．6．（2023·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖△ABC中，將邊BC沿虛線翻折，若∠1+∠2＝110°，則∠A的度數(shù)是度．7．（2023春·山東濰坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，將、按照如圖所示折疊，若，則°8．（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，用鐵絲折成一個(gè)四邊形ABCD（點(diǎn)C在直線BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分線的夾角∠E的度數(shù)為100°，可保持∠A不變，將∠BCD（填“增大”或“減小”）°．9．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的平分線，是的平分線，與交于，若，，則．10．（2023·重慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，如圖，P，Q為三角形ABC內(nèi)兩點(diǎn)，B，P，Q，C構(gòu)成凸四邊形．

求證：．11．（2023春·福建福州·七年級(jí)校考期末）如圖①，凹四邊形形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”，(1)如圖①，在規(guī)形中，若，，，則______°；(2)如圖②，將沿，翻折，使其頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，若，則______°；(3)如圖③，在規(guī)形中，、的角平分線、交于點(diǎn)E，且，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．12．（2023·北京·一模）在課外活動(dòng)中，我們要研究一種凹四邊形——燕尾四邊形的性質(zhì)．定義1：把四邊形的某些邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊有不在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形（如圖1）．（1）根據(jù)凹四邊形的定義，下列四邊形是凹四邊形的是（填寫(xiě)序號(hào)）；①②③定義2：兩組鄰邊分別相等的凹四邊形叫做燕尾四邊形（如圖2）．特別地，有三邊相等的凹四邊形不屬于燕尾四邊形．小潔根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形、菱形、矩形、正方形的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)燕尾四邊形的性質(zhì)進(jìn)行了探究.下面是小潔的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（2）通過(guò)觀察、測(cè)量、折疊等操作活動(dòng)，寫(xiě)出兩條對(duì)燕尾四邊形性質(zhì)的猜想，并選取其中的一條猜想加以證明；（3）如圖2，在燕尾四邊形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四邊形ABCD的面積（直接寫(xiě)出結(jié)果）．13．（2023春·福建福州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D①，凹四邊形形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”，(1)如圖①，在規(guī)形中，若，，，則______°；(2)如圖②，將沿，翻折，使其頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，若，則______°；(3)如圖③，在規(guī)形中，、的角平分線、交于點(diǎn)E，且，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．14．（2023·河北·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖①所示是一個(gè)飛鏢圖案，連接AB，BC，我們把四邊形ABCD叫做“飛鏢模型”．（1）求證：；（2）如圖②所示是一個(gè)變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點(diǎn)D，若，求的度數(shù)．15．（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于”．在三角形紙片中，點(diǎn)D，E分別在邊上，將沿折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)的位置．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在邊上時(shí)，若，則＝，可以發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在內(nèi)部時(shí)，且，，求的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)C落在外部時(shí)，若設(shè)的度數(shù)為x，的度數(shù)為y，請(qǐng)求出與x，y之間的數(shù)量關(guān)系．16．（2024·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D①，把紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在四邊形內(nèi)部點(diǎn)的位置，通過(guò)計(jì)算我們知道：.請(qǐng)你繼續(xù)探索：(1)如果把紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在四邊形的外部點(diǎn)的位置，如圖②，此時(shí)與之間存在什么樣的關(guān)系？(2)如果把四邊形沿時(shí)折疊，使點(diǎn)A、D落在四邊形BCFE的內(nèi)部、的位置，如圖③，你能求出、、與之間的關(guān)系嗎？（直接寫(xiě)出關(guān)系式即可）17．（2024·江蘇·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【概念學(xué)習(xí)】在平面中，我們把大于且小于的角稱為優(yōu)角，如果兩個(gè)角相加等于，那么稱這兩個(gè)角互為組角，簡(jiǎn)稱互組．（1）若、互為組角，且，則________；【理解運(yùn)用】習(xí)慣上，我們把有一個(gè)內(nèi)角大于的四邊形俗稱為鏢形．（2）如圖①，在鏢形中，優(yōu)角與鈍角互為組角，試探索內(nèi)角、、與鈍角之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展延伸】（3）如圖②，________；（用含的代數(shù)式表示）（4）如圖③，已知四邊形中，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，延長(zhǎng)、交于，、的平分線交于點(diǎn)，；①寫(xiě)出圖中一對(duì)互組的角________（兩個(gè)平角除外）；②直接運(yùn)用（2）中的結(jié)論，試說(shuō)明：；（5）如圖④，、分別為，的2019等分線（）．它們的交點(diǎn)從上到下依次為，，，…，．已知，，則_______．（用含、的代數(shù)式表示）18．（2023·云南保山·八年級(jí)?？计谥校┮阎狐c(diǎn)D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AD、CD．（1）如圖1，若∠A＝28°，∠B＝72°，∠C＝11°，求∠ADC；（2）如圖2，若存在一點(diǎn)P，使得PB平分∠ABC，同時(shí)PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的關(guān)系并證明；（3）如圖3，在（2）的條件下，將點(diǎn)D移至∠ABC的外部，其它條件不變，探究∠A，∠P，∠C的關(guān)系并證明．19．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知，在中，，點(diǎn)在上，過(guò)點(diǎn)的一條直線與直線、分別交于點(diǎn)、．(1)如圖1，，則______°．(2)如圖2，猜想、、之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，直接寫(xiě)出、、之間的數(shù)量關(guān)系______．

20．（23-24八年級(jí)下·貴州銅仁·期中）（1）如圖1，已知為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則____；（2）如圖2，已知中，，剪去后成四邊形，則____；（3）如圖3，當(dāng)時(shí)，將折成如圖3形狀，試求的度數(shù)（用含α的式子表示）．

專題02三角形中的倒角模型之燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏模型近年來(lái)各地考試中常出現(xiàn)一些幾何倒角模型，該模型主要涉及高線、角平分線及角度的計(jì)算（內(nèi)角和定理、外角定理等）。熟悉這些模型可以快速得到角的關(guān)系，求出所需的角。本專題就燕尾（飛鏢）型、風(fēng)箏（鷹爪）、翻角模型進(jìn)行梳理及對(duì)應(yīng)試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時(shí)，多數(shù)同學(xué)會(huì)注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對(duì)于所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用，并且更多時(shí)候能夠啟發(fā)我們解決問(wèn)題的關(guān)鍵就是基于已有知識(shí)、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識(shí)幾何模型并能夠從題目中提煉識(shí)別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見(jiàn)的易錯(cuò)點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯(cuò)點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中通過(guò)大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識(shí)幾何模型，認(rèn)真理解每一個(gè)題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 1模型1.飛鏢模型（燕尾）模型 1模型2.風(fēng)箏（鷹爪）模型 7模型3.角內(nèi)（外）翻模型 11 16模型1.飛鏢模型（燕尾）模型飛鏢（燕尾）模型看起來(lái)特別簡(jiǎn)單，在復(fù)雜幾何圖形倒角時(shí)往往有巧妙的作用。因?yàn)槟Ｐ拖耧w鏢（回旋鏢）或燕尾，所以我們稱為飛鏢（燕尾）模型。圖1圖2圖3基本模型：條件：如圖1，凹四邊形ABCD；結(jié)論：①；②。證明：連接AC并延長(zhǎng)至點(diǎn)P；在△ABC中，∠BCP=∠BAC+∠B；在△ACD中，∠DCP=∠CAD+∠D；又∵∠BAD=∠BAC+∠DAC，∠BCD=∠BCP+∠DCP；∴∠BAD+∠B+∠D=∠BCD。延長(zhǎng)BC交AD于點(diǎn)P；在△ABQ中，；在△CDQ中，。即：，故。拓展模型1：條件：如圖2，BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；結(jié)論：∠O=（∠A+∠C）。證明：∵BO平分∠ABC，OD平分∠ADC；∴∠ABO=∠ABC；∠ADO=∠ADC；根據(jù)飛鏢模型：∠BOD=∠ABO+∠ADO+∠A=∠ABC+∠ADC+∠A；∠BCD=∠ABC+∠ADC+∠A；∴2∠BOD=∠ABC+∠ADC+2∠A=∠BCD+∠A；即∠O=（∠A+∠C）。拓展模型2：條件：如圖3，AO平分∠DAB，CO平分∠BCD；結(jié)論：∠O=（∠D-∠B）。證明：根據(jù)飛鏢模型：=++，∴∠DCB-∠DAB=∠D+∠B，∵AO平分∠DAB，CO平分∠BCD，∴∠DCO=∠DCB，∠DAO=∠DAB，∴∠DCO-∠DAO=（∠DCB-∠DAB）=（∠D+∠B），∵∠DEA=∠OEC，∴∠D+∠DAO=∠O+∠DCO，∴∠D-∠O=∠DCO-∠DAO，∴∠D-∠O=（∠D+∠B）,即∠O=（∠D-∠B）例1．（2023·福建南平·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）請(qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)：有趣的“飛鏢圖”．如圖，這種形似飛鏢的四邊形，可以形象地稱它為“飛鏢圖”．當(dāng)我們仔細(xì)觀察后發(fā)現(xiàn)，它實(shí)際上就是凹四邊形．那么它具有哪些性質(zhì)呢？又將怎樣應(yīng)用呢?下面我們進(jìn)行認(rèn)識(shí)與探究：凹四邊形通俗地說(shuō)，就是一個(gè)角“凹”逃去的四邊形，其性質(zhì)有：凹四邊形中最大內(nèi)角外面的角等于其余三個(gè)內(nèi)角之和．（即如圖1，∠ADB=∠A+∠B+∠C）理由如下：方法一：如圖2，連結(jié)AB，則在△ABC中，∠C+∠CAB+∠CBA=180°，即∠1+∠2+∠3+∠4+∠C=180°，又：在△ABD中，∠1+∠2+∠ADB=180°，∴∠ADB=∠3+∠4+∠C，即∠ADB=∠CAD+∠CBD+∠C．方法二：如圖3，連結(jié)CD并延長(zhǎng)至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，．．．．．．．．．．大家在探究的過(guò)程中，還發(fā)現(xiàn)有很多方法可以證明這一結(jié)論．任務(wù)：(1)填空：“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是_________；(2)探索及應(yīng)用：根據(jù)“方法二”中輔助線的添加方式，寫(xiě)出該證明過(guò)程的剩余部分．【答案】(1)三角形的內(nèi)角和定理(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)解題過(guò)程作答即可；（2）連結(jié)CD并延長(zhǎng)至F，由三角形外角的性質(zhì)即可證明．【詳解】（1）由解題過(guò)程可得，“方法一”主要依據(jù)的一個(gè)數(shù)學(xué)定理是三角形的內(nèi)角和定理，故答案為：三角形的內(nèi)角和定理；（2）連結(jié)CD并延長(zhǎng)至F，∵∠1和∠3分別是△ACD和△BCD的一個(gè)外角，，，即．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理和三角形外角的性質(zhì)，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．例2．（2023·湖北·八年級(jí)專題練習(xí)）在社會(huì)實(shí)踐手工課上，小茗同學(xué)設(shè)計(jì)了一個(gè)形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數(shù)是（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線于O，連接AO，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出再利用鄰補(bǔ)角的性質(zhì)求出，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和求出，根據(jù)鄰補(bǔ)角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】延長(zhǎng)BE交CF的延長(zhǎng)線于O，連接AO，如圖，∵∴同理得∵∴∵∴∴∴,故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，多邊形內(nèi)角和，三角形的外角的性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是會(huì)添加輔助線，將已知條件聯(lián)系起來(lái)進(jìn)行求解．三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；鄰補(bǔ)角性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；多邊形內(nèi)角和：．例3．（2023·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1所示的圖形，像我們常見(jiàn)的符號(hào)——箭號(hào)．我們不妨把這樣圖形叫做“箭頭四角形”．

探究：（1）觀察“箭頭四角形”，試探究與、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由；應(yīng)用：（2）請(qǐng)你直接利用以上結(jié)論，解決以下兩個(gè)問(wèn)題：①如圖2，把一塊三角尺放置在上，使三角尺的兩條直角邊、恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，若，則；②如圖3，、的2等分線（即角平分線）、相交于點(diǎn)，若，，求的度數(shù)；拓展：（3）如圖4，，分別是、的2020等分線（），它們的交點(diǎn)從上到下依次為、、、…、．已知，，則度．【答案】（1），理由見(jiàn)詳解；（2）①30；②95°；（3）【分析】（1）連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，利用三角形外角的性質(zhì)得出左右兩邊相加即可得出結(jié)論；（2）①直接利用（1）中的結(jié)論有，再把已知的角度代入即可求出答案；②先根據(jù)求出，然后結(jié)合角平分線的定義再利用即可求解；（3）先根據(jù)求出，再求出的度數(shù)，最后利用求解即可．【詳解】（1）如圖，連接AD并延長(zhǎng)至點(diǎn)E，∵

又∵∴（2）①由（1）可知∵，∴②由（1）可知∵，∴平分，CF平分（3）由（1）可知∵，∴∵，分別是、的2020等分線（）∴∴【點(diǎn)睛】本題考查三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，掌握三角形外角的性質(zhì)和角平分線的定義是解題的關(guān)鍵．例4.（2023·廣東·八年級(jí)期中）如圖，在三角形ABC中，，為三角形內(nèi)任意一點(diǎn)，連結(jié)AP，并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D.求證：（1）；（2）.【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴∵，∴（2）過(guò)點(diǎn)作，交、于、，則，由（1）知∵，∴即（幾何證明中后一問(wèn)常常要用到前一問(wèn)的結(jié)論）模型2.風(fēng)箏（鷹爪）模型圖1圖21）鷹爪模型：結(jié)論：∠A+∠O=∠1+∠2；證明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA；同理，∠2=∠CAO+∠COA；∴∠1+∠2=∠BAO+∠BOA+∠CAO+∠COA=∠BAO+∠CAO+∠BOA+∠COA=∠BAC+∠BOC=∠A+∠O。2）鷹爪模型（變形）：結(jié)論：∠A+∠O=∠2-∠1。證明：∵∠1是三角形ABO的外角，∴∠1=∠BAO+∠BOA；同理，∠2=∠DAO+∠DOA；∴∠2-∠1=∠DAO+∠DOA-（∠BAO+∠BOA）=（∠DAO-∠BAO)+（∠DOA-∠BOA）=∠BAD+∠BOD=∠A+∠O。例1．（2023·四川綿陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD中，、、分別為、、的外角判斷下列大小關(guān)系何者正確？（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)多邊形的外角和是及三角形的外角定理求解判斷即可．【詳解】解：如圖，連結(jié)BD，延長(zhǎng)AD到E，，，，故選項(xiàng)A正確，符合題意；B不正確，不符合題意；多邊形的外角和是，∴∴故選項(xiàng)C不正確，不符合題意；選項(xiàng)D不正確，不符合題意．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，熟記多邊形的外角和是是解題的基礎(chǔ)．例2．（2023·江蘇連云港·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問(wèn)題情境】已知，在的兩邊上分別取點(diǎn)B、C，在的內(nèi)部取一點(diǎn)O，連接、．設(shè)，，探索與、、之間的數(shù)量關(guān)系．【初步感知】如圖1，當(dāng)點(diǎn)O在的邊上時(shí)，，此時(shí)，則與、、之間的數(shù)量關(guān)系是．【問(wèn)題再探】（1）如圖2，當(dāng)點(diǎn)O在的內(nèi)部時(shí)，請(qǐng)寫(xiě)出與、、之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由；（2）如圖3，當(dāng)點(diǎn)O在的外部時(shí)，與、、之間的數(shù)量關(guān)系是________；【拓展延伸】（1）如圖4，、的外角平分線相交于點(diǎn)P．①若，，則________°；②若且，則________°；③直接寫(xiě)出與、之間的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖5，的平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)Q，則________（用、表示）．【答案】[問(wèn)題再探]（1）結(jié)論：∠BOC=∠BAC+∠1+∠2．證明見(jiàn)解析；（2）∠BOC+∠BAC+∠1+∠2=360°；[拓展延伸]（1）①25；②20；③∠BOC=∠A+2∠P；（2）【分析】[問(wèn)題再探]（1）如圖2中，結(jié)論：．連接，延長(zhǎng)到．利用三角形的外角的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．（2）利用四邊形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題即可．[拓展延伸]（1）①求出，再利用結(jié)論，構(gòu)建關(guān)系式即可解決問(wèn)題．②根據(jù)，可得結(jié)論．③根據(jù)，可得結(jié)論．（2）結(jié)論：．設(shè)，．構(gòu)建方程組求解即可．【詳解】解：[問(wèn)題再探]（1）如圖2中，結(jié)論：．理由：連接，延長(zhǎng)到．，，．（2）如圖3中，結(jié)論：．理由：連接．，，，．[拓展延伸]①如圖4中，，，，、的外角平分線相交于點(diǎn)，，，故答案為：25．②，，，，故答案為：20．③，．（2）如圖5中，結(jié)論：．理由：設(shè)，．則有．②①可得，，即，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角的性質(zhì)，角平分線的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形解決，學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程組解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．例3．（23-24七年級(jí)下·山東聊城·期末）如圖，在中，，點(diǎn)、是邊、上的點(diǎn)，點(diǎn)是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．令，，．(1)若點(diǎn)在線段上，如圖1所示，，求的值；(2)若點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)，如圖2所示，則、、之間的關(guān)系________；(3)若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到邊的延長(zhǎng)線上，如圖3所示，則、、之間有何關(guān)系？猜想并說(shuō)明理由；(4)若點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到外，如圖4所示，則請(qǐng)表示、、之間的關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)猜想，理由見(jiàn)解析(4)，理由見(jiàn)解析【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)：（1）根據(jù)，可得，再根據(jù)平角的定義可得，則；（2）同（1）求解即可；（3）由三角形的外角的性質(zhì)知：，，據(jù)此可得結(jié)論；（4）由三角形的外角的性質(zhì)知：，，再由，則．【詳解】（1）解：∵在四邊形中，（四邊形內(nèi)角和可以看做連接對(duì)角線后兩個(gè)三角形的內(nèi)角和），，，∴∵，∴，∴；（2）解：∵在四邊形中，（四邊形內(nèi)角和可以看做連接對(duì)角線后兩個(gè)三角形的內(nèi)角和），，∴∵，∴，∴；（3）解：猜想，理由如下：設(shè)交于M，由三角形的外角的性質(zhì)知：，，，即；（4）解：，理由如下：設(shè)交于M，由三角形的外角的性質(zhì)知：，，，，，即，模型3.角內(nèi)（外）翻模型圖3圖4條件：如圖3，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE內(nèi)部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠1+∠2；證明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C；同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；∴∠1+∠2=∠ECC’+∠EC’C+∠FCC’+∠FC’C=∠ECC’+∠FCC’+∠EC’C+∠FC’C=∠EC’F+∠FCE=2∠C。條件：如圖4，將三角形紙片ABC沿EF邊折疊，當(dāng)點(diǎn)C落在四邊形ABFE外部時(shí)，結(jié)論：2∠C=∠2-∠1。證明：∵∠1是三角形CC’E的外角，∴∠1=∠ECC’+∠EC’C；同理，∠2=∠FCC’+∠FC’C；∴∠2-∠1=∠FCC’+∠FC’C-（∠ECC’+∠EC’C）=（FCC’-∠ECC’)+（∠FC’C--∠EC’C）=∠EC’F+∠FCE=2∠C。例1．（23-24八年級(jí)上·廣西南寧·期中）如圖，在折紙活動(dòng)中，小李制作了一張的紙片，點(diǎn)，分別在邊AB，上，將沿著DE折疊壓平，與重合，若，則．【答案】【分析】本題考查折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由折疊可得，，進(jìn)而可得，結(jié)合，可得，即可求解，掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵將沿著折疊壓平，與重合，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，故答案為：．例2．（23-24八年級(jí)下·山東德州·開(kāi)學(xué)考試）如圖，把紙片沿折疊，當(dāng)點(diǎn)落在四邊形的外面時(shí)，此時(shí)測(cè)得，，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握三角形外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)折疊的性質(zhì)得出，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出，再次利用三角形外角的性質(zhì)即可求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，設(shè)與交于點(diǎn)，，根據(jù)折疊的性質(zhì)，，，，，，，故選：．例3．（2023春·江蘇宿遷·七年級(jí)?？计谥校?）如圖1，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置．則之間的數(shù)量關(guān)系為：_______；（2）如圖2，若將（1）中“點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置”變?yōu)椤包c(diǎn)落在四邊形外點(diǎn)的位置”，則此時(shí)之間的數(shù)量關(guān)系為：_________；（3）如圖3，將四邊形紙片（，與不平行）沿折疊成圖3的形狀，若，，求的度數(shù)；（4）在圖3中作出的平分線，試判斷射線的位置關(guān)系，當(dāng)點(diǎn)在邊上向點(diǎn)移動(dòng)時(shí)（不與點(diǎn)重合），的大小隨之改變（其它條件不變），上述，的位置關(guān)系改變嗎？為什么？

【答案】（1），（2）；（3）；（4）位置不改變，．【分析】（1）連接，證明，結(jié)合，，再利用角的和差關(guān)系可得答案；（2）連接，證明，結(jié)合，，再利用角的和差關(guān)系可得答案；（3）如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則對(duì)折后與重合，由（2）的結(jié)論可得：，可得，再利用三角形的內(nèi)角和定理可得答案；（4）如圖，平分，平分，可得，，由對(duì)折可得：，，由（2）的結(jié)論可得：，即，證明，可得．【詳解】（1）結(jié)論：理由：連接，

沿折疊A和重合，∴∵，∴．（2）理由：連接，沿折疊A和重合，∴∵，∴；（3）如圖，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，則對(duì)折后與重合，由（2）的結(jié)論可得：，而，，∴，∴，∵，∴；（4），理由見(jiàn)解析如圖，平分，平分，∴，，

由對(duì)折可得：，，由（2）的結(jié)論可得：，即∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，三角形的外角的性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，熟記軸對(duì)稱的性質(zhì)并進(jìn)行解題是關(guān)鍵．1．（2024.山東七年級(jí)期中）如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)A落在四邊形BCDE內(nèi)時(shí)，則∠A與∠1+∠2之間有始終不變的關(guān)系是（）A．∠A=∠1+∠2B．2∠A=∠1+∠2C．3A=∠1+∠2D．3∠A=2（∠1+∠2）【答案】B【分析】本題問(wèn)的是關(guān)于角的問(wèn)題，當(dāng)然與折疊中的角是有關(guān)系的，∠1與∠AED的2倍和∠2與∠ADE的2倍都組成平角，結(jié)合△AED的內(nèi)角和為180°可求出答案．【詳解】∵△ABC紙片沿DE折疊，∴∠1+2∠AED=180°,∠2+2∠ADE=180°，∴∠AED=(180°?∠1),∠ADE=(180°?∠2)，∴∠AED+∠ADE=(180°?∠1)+(180°?∠2)=180°?(∠1+∠2)在△ADE中,∠A=180°?(∠AED+∠ADE)=180°?[180°?(∠1+∠2)]=(∠1+∠2)則2∠A=∠1+∠2，故選擇B項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查折疊和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì).2．（2023·河南·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在中，，與的角平分線交于，與的角平分線交于點(diǎn)，依此類推，與的角平分線交于點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分線，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求結(jié)果．【詳解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠ABC+∠ACB=160°，∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB，∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACD，∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1，∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB，同理可得∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB，∴∠ABD5+∠ACD5=160×=5°，∴∠BCD5+∠CBD5=155°，∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，角平分線，關(guān)鍵是找出其中的規(guī)律，利用規(guī)律解決問(wèn)題．3．（2023·廣東廣州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，∠1，∠2，∠3，∠4滿足的關(guān)系式是（

）A．∠1＋∠2＝∠3＋∠4B．∠1＋∠2＝∠4－∠3C．∠1＋∠4＝∠2＋∠3D．∠1＋∠4＝∠2－∠3【答案】D【分析】本題考查的是三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系．根據(jù)外角的性質(zhì)，可推出∠1+∠4=∠6，∠6=∠2-∠3，從而推出∠1+∠4=∠2-∠3【詳解】解：∵∠6是△ABC的外角，∴∠1+∠4=∠6①，又∵∠2是△CDF的外角，∴∠6=∠2-∠3②，由①和②得：∠1+∠4=∠2-∠3．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和外角，解題的關(guān)鍵是記住外角和定理．4．（2023春·河南洛陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在五邊形中，若去掉一個(gè)的角后得到一個(gè)六邊形，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得，根據(jù)平角的定義可得，從而求出結(jié)論．【詳解】解：∵，∴，∵，∴．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查的是三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握三角形的內(nèi)角和定理是解題關(guān)鍵．5．（2024·江蘇·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將四邊形紙片沿折疊，使點(diǎn)落在四邊形外點(diǎn)的位置，點(diǎn)落在四邊形內(nèi)點(diǎn)的位置，若，，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了四邊形的內(nèi)角和，三角形的內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，熟練掌握多邊形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)交于點(diǎn)，利用四邊形的內(nèi)角和定理得到：，利用四邊形的內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，等量代換的性質(zhì)求得的值，則結(jié)論可求．【詳解】解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，如圖，四邊形的內(nèi)角和為，，，．由折疊的性質(zhì)可得：．，．在和中，，，，，．，，，，，，，．故選：D．6．（2023·福建三明·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖△ABC中，將邊BC沿虛線翻折，若∠1+∠2＝110°，則∠A的度數(shù)是度．【答案】55/五十五【分析】延長(zhǎng)B'E，C'F，交于點(diǎn)D，依據(jù)∠A=∠D，∠AED+∠AFD=250°，即可得到∠A的度數(shù)．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)B'E，C'F，交于點(diǎn)D，由折疊可得，∠B=∠B'，∠C=∠C'，∴∠A=∠D，又∵∠1+∠2=110°，∴∠AED+∠AFD=360°-110°=250°，∴四邊形AEDF中，∠A=（360°-250°）=55°，故答案為：55．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造四邊形，利用四邊形內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算．7．（2023春·山東濰坊·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在中，，，將、按照如圖所示折疊，若，則°【答案】【分析】先根據(jù)折疊的性質(zhì)求出，，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，，進(jìn)而求出，然后求出四邊形內(nèi)角和，進(jìn)而得出，即可得出答案．【詳解】根據(jù)折疊性質(zhì)得，，．∵，，∴，，∴，，∴．在四邊形中，.∴，即，∴，∴．故答案為：265．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，折疊的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角和等，確定各角之間的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．8．（2023·河北保定·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，用鐵絲折成一個(gè)四邊形ABCD（點(diǎn)C在直線BD的上方），且∠A=70°，∠BCD=120°，若使∠ABC、∠ADC平分線的夾角∠E的度數(shù)為100°，可保持∠A不變，將∠BCD（填“增大”或“減小”）°．【答案】增大10【分析】利用三角形的外角性質(zhì)先求得∠ABE+∠ADE=30°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABC+∠ADC=60°，再利用三角形的外角性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖，連接AE并延長(zhǎng)，連接AC并延長(zhǎng)，∠BED=∠BEF+∠DEF=∠ABE+∠BAD+∠ADE=100°，∵∠BAD＝70°，∴∠ABE+∠ADE=30°，∵BE，DE分別是∠ABC、∠ADC平分線，∴∠ABC+∠ADC=2（∠ABE+∠ADE）=60°，同上可得，∠BCD=∠BAD+∠ABC+∠ADC=130°，130°-120°=10°，∴∠BCD增大了10°．故答案為：增大，10．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義等知識(shí)，熟練運(yùn)用題目中所給的結(jié)論是解題的關(guān)鍵．9．（2023春·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，是的平分線，是的平分線，與交于，若，，則．【答案】【分析】首先連接BC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，求出，∠1+∠2+∠3+∠4=70°；然后判斷出，再根據(jù)BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，判斷出；最后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，用即可求出∠A的度數(shù).【詳解】如下圖所示，連接BC，∵，∴，∵，∴，∴，∵BE是∠ABD的平分線，CF是∠ACD的平分線，∴∠3=∠5，∠4=∠6，又∵，∴，∴，∴.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和的應(yīng)用，熟練掌握相關(guān)角度的和差計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.10．（2023·重慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，如圖，P，Q為三角形ABC內(nèi)兩點(diǎn)，B，P，Q，C構(gòu)成凸四邊形．

求證：．【詳解】作直線PQ，分別與AB，AC交于點(diǎn)M，N由三角形的三邊關(guān)系可得=1\*GB3①+②+③得∴，即．11．（2023春·福建福州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D①，凹四邊形形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”，(1)如圖①，在規(guī)形中，若，，，則______°；(2)如圖②，將沿，翻折，使其頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，若，則______°；(3)如圖③，在規(guī)形中，、的角平分線、交于點(diǎn)E，且，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)20(2)54(3)；理由見(jiàn)解析【分析】（1）連接，并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出、，即可得出，根據(jù)，，，即可得出答案；（2）根據(jù)翻折得出，，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，在根據(jù)，列出關(guān)于的方程，解方程即可得出答案；（3）根據(jù)角平分線的定義結(jié)合解析（1）得出，，根據(jù)，，即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖1，連接，并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，則、，∴，即，∵，，，∴，故答案為：20；（2）解：∵將沿，翻折，頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．（3）解：；理由如下：如圖3，由（1）知，∵平分，∴，∵平分，∴，∵，，∴即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．12．（2023·北京·一模）在課外活動(dòng)中，我們要研究一種凹四邊形——燕尾四邊形的性質(zhì)．定義1：把四邊形的某些邊向兩方延長(zhǎng)，其他各邊有不在延長(zhǎng)所得直線的同一旁，這樣的四邊形叫做凹四邊形（如圖1）．（1）根據(jù)凹四邊形的定義，下列四邊形是凹四邊形的是（填寫(xiě)序號(hào)）；①②③定義2：兩組鄰邊分別相等的凹四邊形叫做燕尾四邊形（如圖2）．特別地，有三邊相等的凹四邊形不屬于燕尾四邊形．小潔根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形、菱形、矩形、正方形的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)燕尾四邊形的性質(zhì)進(jìn)行了探究.下面是小潔的探究過(guò)程，請(qǐng)補(bǔ)充完整：（2）通過(guò)觀察、測(cè)量、折疊等操作活動(dòng)，寫(xiě)出兩條對(duì)燕尾四邊形性質(zhì)的猜想，并選取其中的一條猜想加以證明；（3）如圖2，在燕尾四邊形ABCD中，AB=AD=6，BC=DC=4，∠BCD=120°，求燕尾四邊形ABCD的面積（直接寫(xiě)出結(jié)果）．【答案】（1）①；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【分析】（1）根據(jù)凹四邊形的定義即可得出結(jié)論；（2）由燕尾四邊形的定義可以得出燕尾四邊形的性質(zhì)；（3）連接BD，根據(jù)SΔABD-SΔBCD即可求出燕尾四邊形ABCD的面積．【詳解】解：（1）由凹四邊形的定義得出，圖①是凹四邊形．故答案是①；（2）①一組對(duì)角相等；②它是一個(gè)軸對(duì)稱圖形；①已知：如圖1，在凹四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC．求證：∠B=∠D．證明：連接AC．在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC．∴∠B=∠D．②由①知，△ABC≌△ADC，∴AC所在的直線是燕尾四邊形的對(duì)稱軸；（3）如圖2，連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于E；由（2）知，燕尾四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形，∴∠BCE=∠BCD=60°，∴∠CBE=30°，在Rt△BCE中，∠CBE=30°，BC=4，∴CE=BC=2，BE=CE=2，在Rt△ABE中，AB=6，BE=2，根據(jù)勾股定理得，AE=，∴S△ABC=S△ABE-S△CBE=BE?AE-BE?CE=BE（AE-CE）=×2×（2-2）=6-2∴燕尾四邊形ABCD的面積為2S△ABC=12?4．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形的面積公式，解本題的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形．13．（2023春·福建福州·七年級(jí)?？计谀┤鐖D①，凹四邊形形似圓規(guī)，這樣的四邊形稱為“規(guī)形”，(1)如圖①，在規(guī)形中，若，，，則______°；(2)如圖②，將沿，翻折，使其頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，若，則______°；(3)如圖③，在規(guī)形中，、的角平分線、交于點(diǎn)E，且，試探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【答案】(1)20(2)54(3)；理由見(jiàn)解析【分析】（1）連接，并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出、，即可得出，根據(jù)，，，即可得出答案；（2）根據(jù)翻折得出，，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出，在根據(jù)，列出關(guān)于的方程，解方程即可得出答案；（3）根據(jù)角平分線的定義結(jié)合解析（1）得出，，根據(jù)，，即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖1，連接，并延長(zhǎng)到點(diǎn)E，則、，∴，即，∵，，，∴，故答案為：20；（2）解：∵將沿，翻折，頂點(diǎn)A，B均落在點(diǎn)O處，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，∴．（3）解：；理由如下：如圖3，由（1）知，∵平分，∴，∵平分，∴，∵，，∴即．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．14．（2023·河北·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖①所示是一個(gè)飛鏢圖案，連接AB，BC，我們把四邊形ABCD叫做“飛鏢模型”．（1）求證：；（2）如圖②所示是一個(gè)變形的飛鏢圖案，CE與BF交于點(diǎn)D，若，求的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）240°【分析】（1）延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，根據(jù)三角形外角性質(zhì)可證，，運(yùn)用角的等量轉(zhuǎn)換即可證明．（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)，運(yùn)用第（1）題的方法可證，，和是對(duì)頂角，可推出的度數(shù)等于2倍的度數(shù)，計(jì)算得出答案．【詳解】（1）證明：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，如圖：∵是的外角，∴．∵是的外角，∴，∴．（2）解：∵和是對(duì)頂角，∴．由（1）的結(jié)論可知，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角性質(zhì)，靈活運(yùn)用三角形外角性質(zhì)是解題關(guān)鍵．15．（2023春·江蘇連云港·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）我們?cè)谛W(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了“三角形內(nèi)角和等于”．在三角形紙片中，點(diǎn)D，E分別在邊上，將沿折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)的位置．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)C落在邊上時(shí)，若，則＝，可以發(fā)現(xiàn)與的數(shù)量關(guān)系是；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)C落在內(nèi)部時(shí)，且，，求的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)C落在外部時(shí)，若設(shè)的度數(shù)為x，的度數(shù)為y，請(qǐng)求出與x，y之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)，互余(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平角定義求出，再利用折疊性質(zhì)即可求出，然后利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)平角定義求出，，然后利用折疊性質(zhì)可得，然后利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)平角定義求出，再利用折疊性質(zhì)即可求出，然后利用三角形內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵，∴，由折疊得：.∴，∵，∴與的數(shù)量關(guān)系是互余．（2）解：∵，∴，由折疊得：∴，∴的度數(shù)為；（3）解：如圖：∵，∴，由折疊得：，∴，∴與x，y之間的數(shù)量關(guān)系：．【點(diǎn)睛】本題考擦汗折疊性質(zhì)和三角形內(nèi)角和，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)是關(guān)鍵．16．（2024·江蘇揚(yáng)州·七年級(jí)校考期末）如圖①，把紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在四邊形內(nèi)部點(diǎn)的位置，通過(guò)計(jì)算我們知道：.請(qǐng)你繼續(xù)探索：(1)如果把紙片沿折疊，使點(diǎn)A落在四邊形的外部點(diǎn)的位置，如圖②，此時(shí)與之間存在什么樣的關(guān)系？(2)如果把四邊形沿時(shí)折疊，使點(diǎn)A、D落在四邊形BCFE的內(nèi)部、的位置，如圖③，你能求出、、與之間的關(guān)系嗎？（直接寫(xiě)出關(guān)系式即可）【答案】(1)(2)【分析】（1）連接，由外角的性質(zhì)得到，做差即可得到答案；（2）由圖形折疊的性質(zhì)可知，兩式相加變形后即可得到答案．【詳解】（1）連接，∵，，∴；（2）由圖形折疊的性質(zhì)可知，兩式相加得，，即，∴，即：．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．17．（2024·江蘇·七年級(jí)統(tǒng)考期中）【概念學(xué)習(xí)】在平面中，我們把大于且小于的角稱為優(yōu)角，如果兩個(gè)角相加等于，那么稱這兩個(gè)角互為組角，簡(jiǎn)稱互組．（1）若、互為組角，且，則________；【理解運(yùn)用】習(xí)慣上，我們把有一個(gè)內(nèi)角大于的四邊形俗稱為鏢形．（2）如圖①，在鏢形中，優(yōu)角與鈍角互為組角，試探索內(nèi)角、、與鈍角之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；【拓展延伸】（3）如圖②，________；（用含的代數(shù)式表示）（4）如圖③，已知四邊形中，延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，延長(zhǎng)、交于，、的平分線交于點(diǎn)，；①寫(xiě)出圖中一對(duì)互組的角________（兩個(gè)平角除外）；②直接運(yùn)用（2）中的結(jié)論，試說(shuō)明：；（5）如圖④，、分別為，的2019等分線（）．它們的交點(diǎn)從上到下依次為，，，…，．已知，，則_______．（用含、的代數(shù)式表示）【答案】（1）225°；（2）鈍角∠BCD=∠A+∠B+∠D；（3）2α；（4）①優(yōu)角∠PCQ與鈍角∠PCQ；②見(jiàn)解析；（5）【分析】（1）根據(jù)互為組角的定義可知∠2=360°-∠1，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；（2）根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理可得∠A+∠B+優(yōu)角∠BCD+∠D=360°，根據(jù)周角的定義可得優(yōu)角∠BCD+鈍角∠BCD=360°′，再利用等式的性質(zhì)得出鈍角∠BCD=∠A+∠B+∠D；（3）兩次運(yùn)用鏢形中的角的關(guān)系可得；（4）①根據(jù)互為組角的定義及周角的