2025年中考數(shù)學(xué)幾何模型歸納訓(xùn)練專題18全等三角形模型之倍長中線與截長補(bǔ)短模型解讀與提分精練（全國版）

專題18全等三角形模型之倍長中線與截長補(bǔ)短模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（倍長中線模型、截長補(bǔ)短模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運(yùn)用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每一個題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.倍長中線模型 2模型2.截長補(bǔ)短模型 10 20模型1.倍長中線模型中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線。所謂倍長中線模型，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法。（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）。倍長中線在全等三角形的輔助線做法中，難度不是特別大，相對好理解和掌握。練習(xí)時要記住下面三點(diǎn)：①見中點(diǎn)，先倍長；②證明8字全等；③找關(guān)系。1）倍長中線模型（中線型）條件：AD為△ABC的中線。結(jié)論：證明：延長AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連結(jié)CE?！逜D為△ABC的中線，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）2）倍長類中線模型（中點(diǎn)型）條件：△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，E為AB邊上一點(diǎn)（不同于端點(diǎn)）。結(jié)論：△EDB≌△FDC。證明：延長ED，使DF=DE，連接CF。∵D為BC邊的中點(diǎn)，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）3）倍長類中線模型拓展（中點(diǎn)+平行線型）條件：AB∥CD，E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)（不同于端點(diǎn)）。結(jié)論：△AFE≌△CGE。證明：延長FE，交DC的延長線于點(diǎn)G。∵E為AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS）若“中點(diǎn)+平行線型”按“中點(diǎn)型”來倍長，則需證明點(diǎn)G在CD上，為了避免證明三點(diǎn)共線，點(diǎn)G就直接通過延長相交得到。因?yàn)橛衅叫芯€，內(nèi)錯角相等，故根據(jù)“AAS”或“ASA”證明全等。這里“中點(diǎn)+平行線型”可以看做是“中點(diǎn)型”的改良版。例1．（2024·廣東·?？级＃┚C合與實(shí)踐：小明遇到這樣一個問題，如圖1，中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的取值范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長到，使，連接，構(gòu)造，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決請回答：(1)小明證明用到的判定定理是：________；（填入你選擇的選項(xiàng)字母）A．

B．

C．

D．(2)的取值范圍是________．小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點(diǎn)就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在正方形中，為邊的中點(diǎn)，、分別為，邊上的點(diǎn)，若，，，求的長．例2．（23-24遼寧錦州七年級期末）【問題提出】期末復(fù)習(xí)課上，數(shù)學(xué)丁老師出示了下面一個問題：如圖1，在中，是延長線的點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，且滿足，那么是的中點(diǎn)，請你說明理由．【思路探究】小王同學(xué)從條件出發(fā)分析解題思路：以為腰構(gòu)造等腰和平行八字型全等三角形，如圖2，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)，先應(yīng)用等腰三角形的軸對稱性，再應(yīng)用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小張同學(xué)從結(jié)論出發(fā)分析解題思路：以為腰構(gòu)造等腰，將說明的問題轉(zhuǎn)化為說明的問題，如圖3，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，于是可得，再應(yīng)用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得．（1）請你選擇小張同學(xué)或小王同學(xué)的思路或按自己的思路寫出完整的解題過程；【學(xué)以致用】（2）請你在理解了小張同學(xué)或小王同學(xué)解題思路的基礎(chǔ)上，解答下面一道圖形較為復(fù)雜的同類問題：如圖4，在四邊形中，，過點(diǎn)作線段，且，連接，交的延長于點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．例3．（2024·江蘇·九年級?？计谥校締栴}情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE．請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據(jù)是．A．SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL(2)由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形之中．(3)【初步運(yùn)用】如圖②，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求證AE＝FE．(4)【靈活運(yùn)用】如圖③，在△ABC中，∠A＝90°，D為BC中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．試猜想線段BE、CF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．例4．（23-24九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）【問題探究】在學(xué)習(xí)三角形中線時，我們遇到過這樣的問題：如圖，在中，點(diǎn)D為邊上的中點(diǎn)，，，求線段長的取值范圍．我們采用的方法是延長線段到點(diǎn)E，使得，連結(jié)，可證，可得，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求的范圍，我們將這樣的方法稱為“三角形倍長中線”，則的范圍是：________．【拓展應(yīng)用】（1）如圖，在中，，，，，求的長．（2）如圖，在中，D為邊的中點(diǎn)，分別以為直角邊向外作直角三角形，且滿足，連結(jié)，若，則________．（直接寫出）模型2.截長補(bǔ)短模型截長補(bǔ)短模型分為截長模型和補(bǔ)短模型：適用于求證線段的和差倍分關(guān)系，截長補(bǔ)短的關(guān)鍵在于通過輔助線構(gòu)造出全等三角形、等腰三角形。該類題目條件中常出現(xiàn)等腰三角形（兩邊相等）、角平分線（兩角相等）等關(guān)鍵詞句，可采用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程（往往需證2次全等）。截長：指在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：指將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。條件：AD為△ABC的角平分線，∠B=2∠C。結(jié)論：AB＋BD＝AC。證明：法1（截長法）:在線段AC上截取線段AB′＝AB，連接DB?！逜D為△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS）∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C，∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。法2（補(bǔ)短法）:延長AB至點(diǎn)C′使得AC′＝AC，連接BC′。∵AD為△ABC的角平分線，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS）∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD，∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。例1．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）【方法探究】如圖1，在中，平分，，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系；嘉銘同學(xué)通過思考發(fā)現(xiàn)，可以通過“截長、補(bǔ)短”兩種方法解決問題：方法1：如圖2，在上截取，使得，連接，可以得到全等三角形，進(jìn)而解決此問題．方法2：如圖3，延長到點(diǎn)，使得，連接，可以得到等腰三角形，進(jìn)而解決此問題．（1）根據(jù)探究，直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系；【遷移應(yīng)用】（2）如圖4，在中，D是上一點(diǎn)，，，于，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【拓展延伸】（3）如圖5，為等邊三角形，點(diǎn)為延長線上一動點(diǎn)，連接．以為邊在上方作等邊，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)．若，求證：．例2．（23-24八年級上·河南漯河·期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補(bǔ)”可以通過“截長、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，請寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．例3．（23-24九年級上·江蘇南通·期中）如圖，四邊形是內(nèi)正方形，P是圓上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C，D不重合），連接．(1)若點(diǎn)P是弧上一點(diǎn)，①∠BPC度數(shù)為___________；②求證：；小明的思路為：這是線段和差倍半問題，可采用截長補(bǔ)短法，請按小明思路完成下列證明過程（也可按自己的想法給出證明）．證明：在的延長線上截取點(diǎn)E．使，連接．(2)探究當(dāng)點(diǎn)P分別在，，上，求的數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案，不需要證明．例4．（23-24八年級下·遼寧盤錦·期中）【閱讀理解】截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．（1）如圖1，是等邊三角形，點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，，探索線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．思路：延長到點(diǎn)，使，連接，根據(jù)，可證，易證得≌，得出是等邊三角形，所以，從而探尋線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．根據(jù)上述解題思路，請寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系是______；【拓展延伸】（2）如圖2，在中，，，若點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，，探索線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【知識應(yīng)用】（3）如圖3，兩塊斜邊長都為的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點(diǎn)之間的距離cm．

1．（2023秋·江西九江·八年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，則BC的長為．2．（2023·江蘇淮安·三模）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，D為邊的中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)H，使，連接．由，得，則與的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在中，平分，D為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作，交CA的延長線于點(diǎn)Q，交邊于點(diǎn)K．試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，，，D為邊的中點(diǎn)，連接，E為邊上一動點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F．①若．求的長度；②在射線上取一點(diǎn)G，且，連接，直接寫出的最小值．

3．（23-24九年級上·廣東梅州·階段練習(xí)）閱讀下面材料：某同學(xué)遇到這樣一個問題：如圖1，在中，是邊上的中線，點(diǎn)在邊上，與相交于點(diǎn)，求的值．他發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，通過構(gòu)造，經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決（如圖2）．請回答：(1)的值為___．(2)參考這個同學(xué)思考問題的方法，解決問題：如圖3，在中，，點(diǎn)在的延長線上，與邊上的中線的延長線交于點(diǎn)，求的值____；(3)在（2）的前提下，若，則________．4．（2024·山東·?？家荒＃╅喿x材料：如圖1，在中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，小亮在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長DE到點(diǎn)F，使，連接CF，證明，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．類比遷移：（1）如圖2，AD是的中線，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，且，求證：．小亮發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖2，延長AD至點(diǎn)M，使，連接MC，……請根據(jù)小亮的思路完成證明過程．方法運(yùn)用：（2）如圖3，在等邊中，D是射線BC上一動點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)），連接AD．把線段CD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，F(xiàn)是線段BE的中點(diǎn)，連接DF、CF．請你判斷線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．5．（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）[問題背景]在中，，求邊上的中線的取值范圍，小組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：延長到E，使得，再連接，把集中在中．(1)利用上述方法求出的取值范圍是_________；(2)[探究]如圖2，在中，為邊上的中線，點(diǎn)D在的延長線上，且，與相交于點(diǎn)O，若四邊形的面積為20，求的面積；(3)[拓展]如圖3，在四邊形中，，E為的中點(diǎn)，G、F分別為邊上的點(diǎn)，若，，，求的長．6．（2024·山西呂梁·一模）閱讀與思考：下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．“倍長中線法”中線是三角形中的重要線段之一，利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”加輔助線．如圖1．在中，平分，且恰好是邊的中點(diǎn)．求證：．

證明：如圖2，延長至點(diǎn)，使．∵是邊的中點(diǎn)∴．∵，，∴（依據(jù)）．∴．∵平分，∴，∴，∴，∴．任務(wù)：(1)材料中的“依據(jù)”是________．（填選項(xiàng)）A．

B．

C．

D．(2)在中，，，則邊上的中線長度的取值范圍是________．(3)如圖3，在四邊形中，，平分，且是的中點(diǎn)，，，求的長．7．（23-24八年級上·山西大同·期末）閱讀以下材料，完成以下兩個問題．[閱讀材料]已知：如圖，（）中，D、E在BC上，且，過D作交AE于點(diǎn)F，．求證：平分．結(jié)合此題，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，考慮倍長，并且要考慮連接哪兩點(diǎn)，目的是證明全等，從而轉(zhuǎn)移邊和角．有兩種考慮方法：①考慮倍長，如圖（1）所示；②考慮倍長，如圖（2）所示以圖（1）為例，證明過程如下：證明：延長至G，使，連接．在和中，，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴平分．問題1：參考上述方法，請完成圖（2）的證明．問題2：根據(jù)上述材料，完成下列問題：已知，如圖3，在中，是邊上的中線，分別以為直角邊向外作等腰直角三角形，，，，，求的長．8．（2024·河南南陽·一模）李老師善于通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，下面是李老師在“利用角的對稱性構(gòu)造全等模型”主題下設(shè)計(jì)的問題，請你解答．（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】①如圖1，是的角平分線，，在上截取，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是__________；②如圖2，的角平分線、相交于點(diǎn)P．當(dāng)時，線段與的數(shù)量關(guān)系是__________；（2）【探究遷移】如圖3，在四邊形中，，的平分線與的平分線恰好交于邊上的點(diǎn)P，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若，當(dāng)有一個內(nèi)角是時，直接寫出邊的長．9．（2023·湖南懷化·模擬預(yù)測）【證明體驗(yàn)】（1）如圖1，為的角平分線，，點(diǎn)E在上，．求證：平分．【思考探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G．若，，，求的長．【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，對角線平分，點(diǎn)E在上，．若，求的長．10．（23-24九年級上·浙江紹興·期中）定義：如圖1，在．中，把繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)并延長一倍得到，把繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，并延長一倍得到，連結(jié)．當(dāng)時，稱為的“倍旋三角形”，的邊上的中線叫做的“倍旋中線”．(1)如圖①，當(dāng)，時，“倍旋中線”的長為______；(2)如圖②，當(dāng)為等邊三角形時，“倍旋三角形”與的數(shù)量關(guān)系為______．(3)在圖③中，當(dāng)為任意三角形時，猜想“倍旋中線”與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．①

②

③11．（22-23九年級上·河南駐馬店·階段練習(xí)）如下表倍長中線（Methodoftimesthelengthofline）倍長中線的意思是：延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等，此法常用于構(gòu)造全等三角形，利用中線的性質(zhì)、輔助線、對頂角一般用“”證明對應(yīng)邊之間的關(guān)系．請用倍長中線法解答下面問題：在中，，是邊上的中線，點(diǎn)為射線上一動點(diǎn)．(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)在上，，與相交于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使得，連接，求的值．王林同學(xué)根據(jù)題意寫出了如下不完整的求解過程，請補(bǔ)全其過程．解：設(shè)，則；∵是邊上的中線，∴；∵在和中，∴（）∴=，∴；∴；又∵，∴；∴=．(2)類比探究如圖2，點(diǎn)在的延長線上，與的延長線交于點(diǎn)，，求的值．(3)拓展延伸在（2）的探究結(jié)論下，若，，求的長．12.（23-24九年級上·陜西西安·期中）閱讀下面材料，完成以下兩問：數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題．如圖，中，D為中點(diǎn)，且，M為中點(diǎn)，連接并延長交于N．探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．同學(xué)們經(jīng)過思考后，交流了自己的想法：小明：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)線段之間存在某種數(shù)量關(guān)系”．小強(qiáng)：“通過倍長不同的中線，可以得到不同的結(jié)論，但都是正確的”．小偉：“通過構(gòu)造、證明相似三角形、全等三角形，就可以將問題解決”．

(1)小偉在探索時，做法為：過B作交延長線于Q，構(gòu)造．請你按照他的做法，判斷與之間的數(shù)量關(guān)系為：________(2)如圖（2）：延長至H，使，連接，則結(jié)論：是否成立？請說明理由；(3)如圖（3）,證明：．13．（2024·廣西賀州·一模）閱讀與思考：下面是小王的數(shù)學(xué)改錯本上的改錯總結(jié)反思請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．截長補(bǔ)短法：有一類幾何題其命題主要是證明三條線段長度的“和”或“差”及其比例關(guān)系．這一類題目一般可以采取“截長”或“補(bǔ)短”的方法來進(jìn)行求解，所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段長度與已知線段長度相等，然后證明其中的另一條線段與已知的另一條線段的數(shù)量關(guān)系，所謂“補(bǔ)短”，就是將一條已知的較短的線段延長至與另一條已知的較短的線段長度相等，然后求出延長后的線段與最長的已知線段的數(shù)量關(guān)系．有的是采取截長補(bǔ)短法后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解…．如圖1，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，．是的直徑，．請說明線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．下面是該問題的部分解答過程：解：．理由如下：∵是的直徑，∴，∵，∴．如圖2，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)M，…．任務(wù)：(1)補(bǔ)全解答過程；(2)如圖3，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，．是的直徑，，則線段，，之間的數(shù)量關(guān)系式是______．14．（23-24八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）【閱讀理解】截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等，從而解決問題．（1）如圖①，△是等邊三角形，點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，連結(jié)，且，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系．解題思路：延長到點(diǎn)，使，連接，根據(jù)，則，因?yàn)榭勺C，易證得△≌△，得出△是等邊三角形，所以，從而探尋線段之間的數(shù)量關(guān)系．根據(jù)上述解題思路，請直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系是；【拓展延伸】（2）如圖②，在Rt△中，，．若點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【知識應(yīng)用】（3）如圖③，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知所對直角邊等于斜邊一半，則的長為_____________cm．（結(jié)果無需化簡）15．（2024·廣東深圳·?？家荒＃﹩栴}：如圖1，中，AB是直徑，，點(diǎn)D是劣弧BC上任一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），求證：為定值．思路：和差倍半問題，可采用截長補(bǔ)短法，先證明．按思路完成下列證明過程．證明：在AD上截取點(diǎn)E，使，連接CE．運(yùn)用：如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，與軸相切于點(diǎn)，與y軸相交于B、C兩點(diǎn)，且，連接AB、．(1)OB的長為___________．(2)如圖3，過A、B兩點(diǎn)作與y軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)M，與的延長線交于點(diǎn)N，連接AM、MN，當(dāng)?shù)拇笮∽兓瘯r，問的值是否變化，為什么?如果不變，請求出的值．16．（2024·河南·模擬預(yù)測）【問題背景】在四邊形中，，，，E、F分別是、上的點(diǎn)，且，試探究圖1中線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小晨同學(xué)認(rèn)為：延長到點(diǎn)G，使，連接，先證明，再證明，則可得到、、之間的數(shù)量關(guān)系是______．【探索延伸】在四邊形中如圖2，，，E、F分別是、上的點(diǎn)，，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由．【結(jié)論運(yùn)用】如圖3，在某次南海海域軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以80海里/小時的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東的方向以100海里/小時的速度前進(jìn)小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角（）為，試求此時兩艦艇之間的距離．

專題18全等三角形模型之倍長中線與截長補(bǔ)短模型全等三角形在中考數(shù)學(xué)幾何模塊中占據(jù)著重要地位，也是學(xué)生必須掌握的一塊內(nèi)容，本專題就全等三角形中的重要模型（倍長中線模型、截長補(bǔ)短模型）進(jìn)行梳理及對應(yīng)試題分析，方便掌握。大家在掌握幾何模型時，多數(shù)同學(xué)會注重模型結(jié)論，而忽視幾何模型的證明思路及方法，導(dǎo)致本末倒置。要知道數(shù)學(xué)題目的考察不是一成不變的，學(xué)數(shù)學(xué)更不能死記硬背，要在理解的基礎(chǔ)之上再記憶，這樣才能做到對于所學(xué)知識的靈活運(yùn)用，并且更多時候能夠啟發(fā)我們解決問題的關(guān)鍵就是基于已有知識、方法的思路的適當(dāng)延伸、拓展，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)幾何模型要能夠做到的就是：①認(rèn)識幾何模型并能夠從題目中提煉識別幾何模型；②記住結(jié)論，但更為關(guān)鍵的是記住證明思路及方法；③明白模型中常見的易錯點(diǎn)，因?yàn)槎鄶?shù)題目考察的方面均源自于易錯點(diǎn)。當(dāng)然，以上三點(diǎn)均屬于基礎(chǔ)要求，因?yàn)轭}目的多變性，若想在幾何學(xué)習(xí)中突出，還需做到的是，在平時的學(xué)習(xí)過程中通過大題量的訓(xùn)練，深刻認(rèn)識幾何模型，認(rèn)真理解每一個題型，做到活學(xué)活用！TOC\o"1-4"\h\z\u 2模型1.倍長中線模型 2模型2.截長補(bǔ)短模型 10 20模型1.倍長中線模型中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線。所謂倍長中線模型，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法。（注：一般都是原題已經(jīng)有中線時用，不太會有自己畫中線的時候）。倍長中線在全等三角形的輔助線做法中，難度不是特別大，相對好理解和掌握。練習(xí)時要記住下面三點(diǎn)：①見中點(diǎn)，先倍長；②證明8字全等；③找關(guān)系。1）倍長中線模型（中線型）條件：AD為△ABC的中線。結(jié)論：證明：延長AD至點(diǎn)E，使DE=AD，連結(jié)CE?！逜D為△ABC的中線，∴BD=CD，∵∠BDA=∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS）2）倍長類中線模型（中點(diǎn)型）條件：△ABC中，D為BC邊的中點(diǎn)，E為AB邊上一點(diǎn)（不同于端點(diǎn)）。結(jié)論：△EDB≌△FDC。證明：延長ED，使DF=DE，連接CF。∵D為BC邊的中點(diǎn)，∴BD=DC，∵∠BDE=∠CDF，∴△EDB≌△FDC（SAS）3）倍長類中線模型拓展（中點(diǎn)+平行線型）條件：AB∥CD，E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AB邊上一點(diǎn)（不同于端點(diǎn)）。結(jié)論：△AFE≌△CGE。證明：延長FE，交DC的延長線于點(diǎn)G?！逧為AC的中點(diǎn)，∴AE=CE，∵AB∥CD，∴∠A=∠ECG，∠AFE=∠G，∴△AFE≌△CGE（AAS）若“中點(diǎn)+平行線型”按“中點(diǎn)型”來倍長，則需證明點(diǎn)G在CD上，為了避免證明三點(diǎn)共線，點(diǎn)G就直接通過延長相交得到。因?yàn)橛衅叫芯€，內(nèi)錯角相等，故根據(jù)“AAS”或“ASA”證明全等。這里“中點(diǎn)+平行線型”可以看做是“中點(diǎn)型”的改良版。例1．（2024·廣東·?？级＃┚C合與實(shí)踐：小明遇到這樣一個問題，如圖1，中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，求的取值范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運(yùn)用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長到，使，連接，構(gòu)造，經(jīng)過推理和計(jì)算使問題得到解決請回答：(1)小明證明用到的判定定理是：________；（填入你選擇的選項(xiàng)字母）A．

B．

C．

D．(2)的取值范圍是________．小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點(diǎn)就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在正方形中，為邊的中點(diǎn)，、分別為，邊上的點(diǎn)，若，，，求的長．【答案】(1)A(2)；．【分析】（1）延長到，使，連接，根據(jù)對頂角相等，即可利用“”證明，得到答案；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得到的長，再利用三角形的三邊關(guān)系即可得到答案；延長交的延長線于點(diǎn)H，先利用“”證明，得到，，進(jìn)而得到的長，再證明垂直平分，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖，延長到，使，連接，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，在和中，，，故答案為：A；（2）解：，，，，，，，，故答案為：；解決問題：如圖，延長交的延長線于點(diǎn)H，四邊形是正方形，，為邊的中點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，正方形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，利用“倍長中線法”作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．例2．（23-24遼寧錦州七年級期末）【問題提出】期末復(fù)習(xí)課上，數(shù)學(xué)丁老師出示了下面一個問題：如圖1，在中，是延長線的點(diǎn)，是邊上一點(diǎn)，且滿足，那么是的中點(diǎn)，請你說明理由．【思路探究】小王同學(xué)從條件出發(fā)分析解題思路：以為腰構(gòu)造等腰和平行八字型全等三角形，如圖2，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)，先應(yīng)用等腰三角形的軸對稱性，再應(yīng)用三角形全等“”（或“”）的判定方法即可得，小張同學(xué)從結(jié)論出發(fā)分析解題思路：以為腰構(gòu)造等腰，將說明的問題轉(zhuǎn)化為說明的問題，如圖3，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，于是可得，再應(yīng)用三角形全等“”(或“”)的判定方法即可得．（1）請你選擇小張同學(xué)或小王同學(xué)的思路或按自己的思路寫出完整的解題過程；【學(xué)以致用】（2）請你在理解了小張同學(xué)或小王同學(xué)解題思路的基礎(chǔ)上，解答下面一道圖形較為復(fù)雜的同類問題：如圖4，在四邊形中，，過點(diǎn)作線段，且，連接，交的延長于點(diǎn)，猜想與的數(shù)量關(guān)系并說明理由．【答案】（1）見解析；（2），理由見解析．【分析】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形內(nèi)角和定理等知識，（1）小王同學(xué)的思路：如圖1，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)，則，根據(jù)題意證明出，得到；小張同學(xué)的思路：如圖2，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接，則，根據(jù)題意證明出，得到，進(jìn)而求解即可；（2）方法1：如圖3，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧，交的延長線于點(diǎn)，連接，證明出，得到；方法2：以點(diǎn)為圓心，以長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接，證明出，得到．【詳解】解∶（1）小王同學(xué)的思路：如圖1，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑畫弧，交的延長線于點(diǎn)，則．所以．因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．所以，即是的中點(diǎn)小張同學(xué)的思路：如圖2，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接，則．所以，因?yàn)?，所以．因?yàn)椋裕裕?，即是的中點(diǎn)；（2）猜想方法1：如圖3，以點(diǎn)為圓心，長為半徑作弧，交的延長線于點(diǎn)，連接，則．所以．因?yàn)?，所以，．所以．所以．又因?yàn)?，所以．所以．方?：如圖4，以點(diǎn)為圓心，以長為半徑畫弧，交于點(diǎn)，連接，則．所以．因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．所以．所以．因?yàn)?，所以．所以．所以．?．（2024·江蘇·九年級?？计谥校締栴}情境】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖①，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD至點(diǎn)E，使DE＝AD，連接BE．請根據(jù)小明的方法思考：(1)由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB，依據(jù)是．A．SAS；B.SSS；C.AAS；D.HL(2)由“三角形的三邊關(guān)系”可求得AD的取值范圍是．解后反思：題目中出現(xiàn)“中點(diǎn)”、“中線”等條件，可考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三角形之中．(3)【初步運(yùn)用】如圖②，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AC＝BF．求證AE＝FE．(4)【靈活運(yùn)用】如圖③，在△ABC中，∠A＝90°，D為BC中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．試猜想線段BE、CF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)A(2)1＜AD＜7(3)見解析(4)BE2+CF2＝EF2，證明見解析【分析】[問題情境](1)根據(jù)全等三角形的判定定理解答；(2)根據(jù)三角形的三邊關(guān)系計(jì)算；[初步運(yùn)用]延長AD到M，使AD=DM，連接BM，證明△ADC≌△MDB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；[靈活運(yùn)用]延長ED到點(diǎn)G，使DG=ED，連接GF，GC，證明△DBE≌△DCG，得到BE=CG，根據(jù)勾股定理解答．【解答】(1)解：在△ADC和△EDB中，，∴△ADC≌△EDB(SAS)，故選：A；(2)解：由(1)得：△ADC≌△EDB，∴AC=BE=6，在△ABE中，AB?BE<AE<AB+BE，即8?6<2AD<8+6，∴1<AD<7，答案為：1<AD<7；(3)解：延長AD到M，使AD=DM，連接BM，如圖②所示：∵AD是△ABC中線，∴CD=BD，在△ADC和△MDB中，，∴△ADC≌△MDB(SAS)，∴BM=AC，∠CAD=∠M，∵AC=BF，∴BM=BF，∴∠M=∠BFM，∵∠AFE=∠BFM，∴∠BFM=∠CAD=∠M，∴AE=FE；(4)解：線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系為：BE2+CF2=EF2；理由如下：延長ED到點(diǎn)G，使DG=ED，連接GF，GC，如圖③所示：∵ED⊥DF，DG=ED，∴EF=GF，∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD，在△BDE和△CDG中，，∴△DBE≌△DCG(SAS)，∴BE=CG，∠B=∠GCD，∵∠A=90°，∴∠B+∠ACB=90°，∴∠GCD+∠ACB=90°，即∠GCF=90°，∴Rt△CFG中，由勾股定理得：CF2+GC2=GF2，∴BE2+CF2=EF2．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查的是全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形三邊關(guān)系以及勾股定理的應(yīng)用等知識；熟練掌握三角形的三邊關(guān)系和勾股定理，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．例4．（23-24九年級上·吉林長春·階段練習(xí)）【問題探究】在學(xué)習(xí)三角形中線時，我們遇到過這樣的問題：如圖，在中，點(diǎn)D為邊上的中點(diǎn)，，，求線段長的取值范圍．我們采用的方法是延長線段到點(diǎn)E，使得，連結(jié)，可證，可得，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可求的范圍，我們將這樣的方法稱為“三角形倍長中線”，則的范圍是：________．【拓展應(yīng)用】（1）如圖，在中，，，，，求的長．（2）如圖，在中，D為邊的中點(diǎn)，分別以為直角邊向外作直角三角形，且滿足，連結(jié)，若，則________．（直接寫出）【答案】問題探究：；拓展應(yīng)用：（1）；（2）4【分析】問題探究：根據(jù)三角形三邊關(guān)系求出的范圍，進(jìn)而得到的范圍；拓展應(yīng)用：（1）延長到點(diǎn)E，使，連接，先證，得到，，在中，根據(jù)勾股定理求即可得到的值；（2）延長到點(diǎn)G，使，連接，根據(jù)，得到，證明，得到，進(jìn)而得到的值．【詳解】解：問題探究：在中，∵，∴，∴，故答案為：；拓展應(yīng)用：（1）如圖，延長到點(diǎn)E，使，連接，在和中，，∴，∴，，在中，，∴，∴；（2）如圖，延長到點(diǎn)G，使，連接，由（1）知，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形綜合題，判定并利用相似三角形的性質(zhì)求線段的長度是解決本題的關(guān)鍵．模型2.截長補(bǔ)短模型截長補(bǔ)短模型分為截長模型和補(bǔ)短模型：適用于求證線段的和差倍分關(guān)系，截長補(bǔ)短的關(guān)鍵在于通過輔助線構(gòu)造出全等三角形、等腰三角形。該類題目條件中常出現(xiàn)等腰三角形（兩邊相等）、角平分線（兩角相等）等關(guān)鍵詞句，可采用截長補(bǔ)短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程（往往需證2次全等）。截長：指在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；補(bǔ)短：指將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線段等于長線段。條件：AD為△ABC的角平分線，∠B=2∠C。結(jié)論：AB＋BD＝AC。證明：法1（截長法）:在線段AC上截取線段AB′＝AB，連接DB。∵AD為△ABC的角平分線，∴∠BAD=∠B′AD，∵AD=AD，∴△ABD≌△AB′D（SAS）∴∠B=∠AB′D，BD=B′D，∵∠B=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠AB′D=2∠C，∴∠B′DC=∠C，∴B′C＝B′D，∴BD=B′C，∵AB′＋B′C＝AC，∴AB＋BD＝AC。法2（補(bǔ)短法）:延長AB至點(diǎn)C′使得AC′＝AC，連接BC′?！逜D為△ABC的角平分線，∴∠C′AD=∠CAD，∵AD=AD，∴△C′AD≌△CAD（SAS）∴∠C′=∠C，∵∠B=2∠C，∴∠B=2∠C′，∴∠BDC′=∠C′，∴BC′＝BD，∵AB＋BC′＝AC′，∴AB＋BD＝AC。例1．（2024·遼寧大連·模擬預(yù)測）【方法探究】如圖1，在中，平分，，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系；嘉銘同學(xué)通過思考發(fā)現(xiàn)，可以通過“截長、補(bǔ)短”兩種方法解決問題：方法1：如圖2，在上截取，使得，連接，可以得到全等三角形，進(jìn)而解決此問題．方法2：如圖3，延長到點(diǎn)，使得，連接，可以得到等腰三角形，進(jìn)而解決此問題．（1）根據(jù)探究，直接寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系；【遷移應(yīng)用】（2）如圖4，在中，D是上一點(diǎn)，，，于，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【拓展延伸】（3）如圖5，為等邊三角形，點(diǎn)為延長線上一動點(diǎn)，連接．以為邊在上方作等邊，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)．若，求證：．【答案】（1）；（2），證明見解析；（3）證明見解析．【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)；（1）方法一：證明得到，，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和等腰三角形的判定證得，則，進(jìn)而可得結(jié)論；方法二：先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和外角性質(zhì)證得，再證明得到，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）在上取，連接，根據(jù)等邊對等角得出，根據(jù)三角形的外角的中得出，進(jìn)而得出，即可得證；（3）先證明，過作，交于點(diǎn)，證明，根據(jù)等角對等邊得出，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）證明：方法一：∵平分，∴，在和中，，，，∴∴，，∵，∴，∴，∴，∴；方法二：延長到點(diǎn)E，使得，連接，∴，則，∵，∴，∵平分，∴，在和中，，，，∴，∴，∵，∴；（2）在上取，連接，∵于，∴，∴，∵，，∴，∴，∴；（3）如圖所示，∵，為等邊三角形，∴，，∴∴，∴，∴，∴，過作，交于點(diǎn)，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，又，∴，∴，，，而，，∴，又∵，∴，∴，即．例2．（23-24八年級上·河南漯河·期末）（1）閱讀理解：問題：如圖1，在四邊形中，對角線平分，．求證：．思考：“角平分線+對角互補(bǔ)”可以通過“截長、補(bǔ)短”等構(gòu)造全等去解決問題．方法1：在上截取，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題；方法2：延長到點(diǎn)，使得，連接，得到全等三角形，進(jìn)而解決問題．結(jié)合圖1，在方法1和方法2中任選一種，添加輔助線并完成證明．（2）問題解決：如圖2，在（1）的條件下，連接，當(dāng)時，探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）問題拓展：如圖3，在四邊形中，，，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，請寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）見解析；（2），見解析；（3），見解析【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定；（1）方法1：在上截取，連接，證明，得出，，進(jìn)而得出，則，等量代換即可得證；方法：延長到，使，連接，證明，得出，，進(jìn)而得出，則，等量代換即可得證（2），，之間的數(shù)量關(guān)系為．方法1：在上截取，連接，由知，得出，為等邊三角形，證明，得出，進(jìn)而即可得證；方法：延長到，使，連接，由知，則，是等邊三角形，證明，得出，進(jìn)而即可得證；（3）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，和，得出，進(jìn)而即可得證．【詳解】解：（1）方法1：在上截取，連接，平分，，在和中，，，，，，，，，；方法2：延長到，使，連接，平分，，在和中，，，，，，，，，；（2），，之間的數(shù)量關(guān)系為．方法1：理由如下：如圖，在上截取，連接，由（1）知，，，，，為等邊三角形，，，，為等邊三角形，，，，，，．方法：理由：延長到，使，連接，由（1）知，，是等邊三角形，，，，，，，為等邊三角形，，，，，即，在和中，，，，，；（3）線段、、之間的數(shù)量關(guān)系為．連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，在和中，，，，，在和中，，，，，．例3．（23-24九年級上·江蘇南通·期中）如圖，四邊形是內(nèi)正方形，P是圓上一點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，C，D不重合），連接．(1)若點(diǎn)P是弧上一點(diǎn)，①∠BPC度數(shù)為___________；②求證：；小明的思路為：這是線段和差倍半問題，可采用截長補(bǔ)短法，請按小明思路完成下列證明過程（也可按自己的想法給出證明）．證明：在的延長線上截取點(diǎn)E．使，連接．(2)探究當(dāng)點(diǎn)P分別在，，上，求的數(shù)量關(guān)系，直接寫出答案，不需要證明．【答案】(1)①，②見解析(2)；；；證明見解析【分析】（1）①理由正方形的性質(zhì)和圓周角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)的一半解答即可；②在的延長線上截取點(diǎn)E．使，連接，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的判定與性質(zhì)解答即可；（2）利用截長補(bǔ)短法，依題意畫出相應(yīng)圖形，按小明思路完成解答即可．【詳解】（1）①解：，理由：∵四邊形是正方形，∴，∴的度數(shù)為，∴，故答案為：；②證明：在的延長線上截取點(diǎn)E，使．連接，如圖， ∵四邊形是內(nèi)接正方形，∴，又∵點(diǎn)P在上，∴四邊形為內(nèi)接四邊形∴．在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴；（2）當(dāng)點(diǎn)P在上時，；在上取點(diǎn)E，使，連接，如圖，∵四邊形是內(nèi)接正方形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P在上時，，在上取點(diǎn)E，使，連接，如圖，∵四邊形是內(nèi)接正方形，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)P在上時，，理由：在的延長線上截取點(diǎn)E，使，連接，如圖，∵四邊形是內(nèi)接正方形，∴，又∵點(diǎn)P在上，∴四邊形為內(nèi)接四邊形∴．在和中，，∴，∴．∵，∴，∴．∴為等腰直角三角形，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，圓周角定理，圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，本題是閱讀型題目，理解并熟練應(yīng)用截長補(bǔ)短法，構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線解答是解題的關(guān)鍵．例4．（23-24八年級下·遼寧盤錦·期中）【閱讀理解】截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一短邊相等，從而解決問題．

（1）如圖1，是等邊三角形，點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，，探索線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．解題思路：延長到點(diǎn)，使，連接，根據(jù)，可證，易證得≌，得出是等邊三角形，所以，從而探尋線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．根據(jù)上述解題思路，請寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系是______；【拓展延伸】（2）如圖2，在中，，，若點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，，探索線段、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【知識應(yīng)用】（3）如圖3，兩塊斜邊長都為的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，則兩塊三角板的直角頂點(diǎn)之間的距離cm．【答案】（1），見解析；（2）；見解析；（3）【分析】（1）由等邊三角形知，結(jié)合知，由知，證得，再證是等邊三角形得；（2）延長到點(diǎn)E，使，連接，先證得，，據(jù)此可得，由勾股定理知，繼而可得；（3）由直角三角形的性質(zhì)知，，利用（2）中的結(jié)論知，據(jù)此可得答案．【詳解】解：（1），理由如下：∵是等邊三角形，∴，∵，∴，又∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，即，∴，即，∴是等邊三角形，∴，即，故答案為：；（2），如圖2，延長到點(diǎn)E，使，連接，

∵，∴，∵，∴，∵，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴；（3）如圖3，連接，∵，∴，∴，由（2）知．∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．1．（2023秋·江西九江·八年級校考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，若AB＝5，AC＝13，AD＝6，則BC的長為．【答案】【分析】延長AD到E，使DE=AD，連接BE．先運(yùn)用SAS證明△ADC≌△EDB，得出BE=13．再由勾股定理的逆定理證明出∠BAE=90°，然后在△ABD中運(yùn)用勾股定理求出BD的長，從而得出BC=2BD．【詳解】解：延長AD到E，使DE=AD，連接BE．在△ADC與△EDB中，，∴△ADC≌△EDB（SAS），∴AC=BE=13．在△ABE中，AB=5，AE=12，BE=13，∴AB2+AE2=BE2，∴∠BAE=90°．在△ABD中，∠BAD=90°，AB=5，AD=6，∴BD=，∴BC=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及其逆定理，綜合性較強(qiáng)，難度中等．題中延長中線的一倍是常用的輔助線的作法．2．（2023·江蘇淮安·三模）【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在中，D為邊的中點(diǎn)，連接并延長至點(diǎn)H，使，連接．由，得，則與的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______．【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在中，平分，D為邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作，交CA的延長線于點(diǎn)Q，交邊于點(diǎn)K．試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在中，，，，D為邊的中點(diǎn)，連接，E為邊上一動點(diǎn)，連接交于點(diǎn)F．①若．求的長度；②在射線上取一點(diǎn)G，且，連接，直接寫出的最小值．

【答案】（1），；（2），見詳解；（3）①；②【分析】（1）證，得，，再由平行線的判定得即可；（2）延長至點(diǎn)，使，連接，證，得，，再平行線的性質(zhì)得，，然后證，即可得出結(jié)論；（3）①延長至，連接,先證明，得，，再證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可；②如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)動時，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，均同時減小，故點(diǎn)在點(diǎn)時，最小，再根據(jù)勾股定理即可．【詳解】（1）解：為邊的中點(diǎn)，，，，，，，，故答案為：，；（2）解：，理由如下：如圖2，延長至點(diǎn)，使，連接，

為的中點(diǎn)，，，，，，，，，，平分，，，；（3）解：①延長至，連接,為邊的中點(diǎn),，，，，，，在中，，，，D為邊的中點(diǎn)，，，，，，，，，，，

，，，②如圖，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)動時，點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動，均同時減小，故點(diǎn)在點(diǎn)時，最小，此時，，即，，，，，在中，，，在中，，．故的最小值為．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等和三角形相似是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．3．（23-24九年級上·廣東梅州·階段練習(xí)）閱讀下面材料：某同學(xué)遇到這樣一個問題：如圖1，在中，是邊上的中線，點(diǎn)在邊上，與相交于點(diǎn)，求的值．他發(fā)現(xiàn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，通過構(gòu)造，經(jīng)過推理和計(jì)算能夠使問題得到解決（如圖2）．請回答：(1)的值為___．(2)參考這個同學(xué)思考問題的方法，解決問題：如圖3，在中，，點(diǎn)在的延長線上，與邊上的中線的延長線交于點(diǎn)，求的值____；(3)在（2）的前提下，若，則________．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)輔助線的作法可得，，然后利用它們的性質(zhì)可得；（2）過點(diǎn)A作，交BE的延長線于點(diǎn)F，可得，，然后利用它們的性質(zhì)可得；（3）根據(jù)條件，得出的長，由勾股定理可得的長，再利用的性質(zhì)可求出的長．【詳解】（1）解：過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，∵是邊上的中線，∴，∵，∴，在和中，∴，∴．設(shè)，則，∵，∴，∴．故答案為：（2）①過點(diǎn)A作，交BE的延長線于點(diǎn)F，如圖，設(shè)，由得．∵E是AC中點(diǎn)，∴．∵，∴．在和中，，∴，∴．∵，∴，∴．∴的值為；故答案為：（3）當(dāng)時，∴，，∴．∵，∴，∴．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理和平行線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是正確的做出輔助線．4．（2024·山東·?？家荒＃╅喿x材料：如圖1，在中，D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，小亮在證明“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時，通過延長DE到點(diǎn)F，使，連接CF，證明，再證四邊形DBCF是平行四邊形即得證．類比遷移：（1）如圖2，AD是的中線，E是AC上的一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，且，求證：．小亮發(fā)現(xiàn)可以類比材料中的思路進(jìn)行證明．證明：如圖2，延長AD至點(diǎn)M，使，連接MC，……請根據(jù)小亮的思路完成證明過程．方法運(yùn)用：（2）如圖3，在等邊中，D是射線BC上一動點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)C的右側(cè)），連接AD．把線段CD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE，F(xiàn)是線段BE的中點(diǎn)，連接DF、CF．請你判斷線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系，并給出證明．【答案】（1）證明見解析；（2），證明見解析【分析】(1)延長AD至M，使，連接MC，證明，結(jié)合等角對等邊證明即可．(2)延長DF至點(diǎn)M，使，連接BM、AM，證明，△ABM是等邊三角形，代換后得證．【詳解】（1）證明：延長AD至M，使，連接MC．在和中，，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．（2）線段DF與AD的數(shù)量關(guān)系為：．證明如下：延長DF至點(diǎn)M，使，連接BM、AM，如圖2所示：∵點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，∴在和中，∵，∴∴，，∴∵線段CD繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段DE∴，，∴∵是等邊三角形∵，，∴∵，∴在和中，∵，∴∴，，∴∴是等邊三角形，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2024·四川達(dá)州·模擬預(yù)測）[問題背景]在中，，求邊上的中線的取值范圍，小組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖1）：延長到E，使得，再連接，把集中在中．(1)利用上述方法求出的取值范圍是_________；(2)[探究]如圖2，在中，為邊上的中線，點(diǎn)D在的延長線上，且，與相交于點(diǎn)O，若四邊形的面積為20，求的面積；(3)[拓展]如圖3，在四邊形中，，E為的中點(diǎn)，G、F分別為邊上的點(diǎn)，若，，，求的長．【答案】(1)(2)50(3)【分析】（1）證明得，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系求得的取值范圍，進(jìn)而完成解答；（2）連接．過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)T．證明得出，證出，設(shè)的面積為x，由四邊形面積列出方程求解即可；（3）延長至點(diǎn)M，使得，連接，過點(diǎn)M作，交的延長線于點(diǎn)N，證明，得到，，求出，則，繼而證明為等腰直角三角形，得到，則，利用勾股定理求出，同理可得．【詳解】（1）解：根據(jù)題意：延長到點(diǎn)E，使，再連接，∴，∵是邊上的中線，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．（2）解：如圖：連接．過點(diǎn)A作交的延長線于點(diǎn)T．∴，∵為邊上的中線，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，設(shè)的面積為x,∵，∴的面積為，∵，∴的面積為,的面積為，∵，∴的面積=的面積=,∴四邊形的面積的面積的面積，∴．∴的面積為50．（3）解：如圖，延長至點(diǎn)M，使得，連接，過點(diǎn)M作，交的延長線于點(diǎn)N，∵E為中點(diǎn)，∴，在和中，∴，∴，∵，∴，∴，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形三邊的關(guān)系、全等三角形的性質(zhì)與判定、等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，正確作出輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．6．（2024·山西呂梁·一模）閱讀與思考：下面是小宇同學(xué)的數(shù)學(xué)日記，請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．“倍長中線法”中線是三角形中的重要線段之一，利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”加輔助線．如圖1．在中，平分，且恰好是邊的中點(diǎn)．求證：．

證明：如圖2，延長至點(diǎn)，使．∵是邊的中點(diǎn)∴．∵，，∴（依據(jù)）．∴．∵平分，∴，∴，∴，∴．任務(wù)：(1)材料中的“依據(jù)”是________．（填選項(xiàng)）A．

B．

C．

D．(2)在中，，，則邊上的中線長度的取值范圍是________．(3)如圖3，在四邊形中，，平分，且是的中點(diǎn)，，，求的長．【答案】(1)A(2)(3)1【分析】本題主要考查運(yùn)用“倍長中線法”證明三角形全等，三角形三邊關(guān)系以及等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識：（1）根據(jù)證明過程可得出的依據(jù)；（2）運(yùn)用倍長中線法求出，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系求出的取值范圍，從而可得結(jié)論；（3）延長，交于點(diǎn)N，證明，得，結(jié)合角平分線定義得，得出，可求出【詳解】（1）解：根據(jù)證明過程可得的依據(jù)是，故選：A；（2）解：如圖，延長至點(diǎn)，使．連接,∵是邊的中點(diǎn)∴．∵，，∴．∴．又，∴即∴．（3）解：如圖，延長，交于點(diǎn)，∵，即，∴∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴又∴∴∵平分∴∴，∴∴7．（23-24八年級上·山西大同·期末）閱讀以下材料，完成以下兩個問題．[閱讀材料]已知：如圖，（）中，D、E在BC上，且，過D作交AE于點(diǎn)F，．求證：平分．結(jié)合此題，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，考慮倍長，并且要考慮連接哪兩點(diǎn)，目的是證明全等，從而轉(zhuǎn)移邊和角．有兩種考慮方法：①考慮倍長，如圖（1）所示；②考慮倍長，如圖（2）所示以圖（1）為例，證明過程如下：證明：延長至G，使，連接．在和中，，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴平分．問題1：參考上述方法，請完成圖（2）的證明．問題2：根據(jù)上述材料，完成下列問題：已知，如圖3，在中，是邊上的中線，分別以為直角邊向外作等腰直角三角形，，，，，求的長．【答案】見解析，6【分析】問題1：延長至G，使，連接，首先根據(jù)題意證明，然后得到，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)的，即可得到平分；問題2：延長至G，使，連接，首先根據(jù)中線的性質(zhì)得到，然后證明出，進(jìn)而得到，然后進(jìn)一步證明出，得到，即可求出的長．【詳解】問題1：證明：延長至G，使，連接，如圖（2）所示：在和中，，∴．∴．∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴平分．問題2：解：延長至G，使，連接，如圖（3）所示：∵是邊上的中線，∴，在和中，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意正確作出輔助線．8．（2024·河南南陽·一模）李老師善于通過合適的主題整合教學(xué)內(nèi)容，幫助同學(xué)們用整體的、聯(lián)系的、發(fā)展的眼光看問題，形成科學(xué)的思維習(xí)慣，下面是李老師在“利用角的對稱性構(gòu)造全等模型”主題下設(shè)計(jì)的問題，請你解答．（1）【觀察發(fā)現(xiàn)】①如圖1，是的角平分線，，在上截取，連接，則與的數(shù)量關(guān)系是__________；②如圖2，的角平分線、相交于點(diǎn)P．當(dāng)時，線段與的數(shù)量關(guān)系是__________；（2）【探究遷移】如圖3，在四邊形中，，的平分線與的平分線恰好交于邊上的點(diǎn)P，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，若，當(dāng)有一個內(nèi)角是時，直接寫出邊的長．【答案】（1）①；②；（2），理由見解析；（3）或10．【分析】（1）①運(yùn)用角平分線定義證明，即得；②在上取點(diǎn)D，使，連接，，根據(jù)三角形角平分線相交于一點(diǎn)，得到，證明，得到，，根據(jù)，證明，得到，根據(jù)四邊形內(nèi)角和性質(zhì)得到，得到，結(jié)合得到，得到，即得；（2）在上取點(diǎn)E，使，連接，得到，結(jié)合的平分線與的平分線恰好交于邊上的點(diǎn)P，證明，,即得；（3）設(shè)，則，當(dāng)時，得到，，過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，得到是等腰直角三角形，，根據(jù)，，證明，得到，，根據(jù)，，得到，，根據(jù)，，得到，，得到；當(dāng)時，過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，得到是等腰直角三角形，，根據(jù)，得到，結(jié)合，得到，，得到，，得到；當(dāng)時，，根據(jù)，得到，，得到不成立．【詳解】（1）①∵是的角平分線，∴，∵，，∴，∴；故答案為：；②在上取點(diǎn)D，使，連接，，∵的角平分線、相交于點(diǎn)P．∴平分，∴，∵，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故答案為：；（2），理由：在上取點(diǎn)E，使，連接，則，∵，∴，∵的平分線與的平分線恰好交于邊上的點(diǎn)P，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）設(shè)，則，當(dāng)時，，∴，∴，∴，過點(diǎn)E作于點(diǎn)G，則，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，∴，；當(dāng)時，，過點(diǎn)P作于點(diǎn)H，則，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，；當(dāng)時，，∵，∴，∴，∴不成立．綜上，或．

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線，全等三角形，銳角三角函數(shù)．熟練掌握角平分線定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，四邊形性質(zhì)，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，正切定義，是解決問題的關(guān)鍵．9．（2023·湖南懷化·模擬預(yù)測）【證明體驗(yàn)】（1）如圖1，為的角平分線，，點(diǎn)E在上，．求證：平分．【思考探究】（2）如圖2，在（1）的條件下，F(xiàn)為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)G．若，，，求的長．【拓展延伸】（3）如圖3，在四邊形中，對角線平分，點(diǎn)E在上，．若，求的長．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）根據(jù)得到，求出，即可證明結(jié)論；（2）先證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)角平分線的特點(diǎn)，在上截取，連接，構(gòu)造全等三角形以及相似三角形，由相似三角形的性質(zhì)即可得到答案．【詳解】解：（1）平分，，，，，，，平分；（2），，，，，，，，；（3）在上截取，連接，平分，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題的關(guān)鍵．10．（23-24九年級上·浙江紹興·期中）定義：如圖1，在．中，把繞點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)并延長一倍得到，把繞點(diǎn)A按順時針方向旋轉(zhuǎn)，并延長一倍得到，連結(jié)．當(dāng)時，稱為的“倍旋三角形”，的邊上的中線叫做的“倍旋中線”．①

②

③(1)如圖①，當(dāng)，時，“倍旋中線”的長為______；(2)如圖②，當(dāng)為等邊三角形時，“倍旋三角形”與的數(shù)量關(guān)系為______．(3)在圖③中，當(dāng)為任意三角形時，猜想“倍旋中線”與的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】(1)(2)(3)，證明見解析．【分析】（1）如圖1，首先證明，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解決問題；（2）如圖2，過點(diǎn)作，證，根據(jù)易得結(jié)論．（3）延長到，使得，連接，證四邊形是平行四邊形，再證明得，故可得結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，∵，∴∵，∴∴∵，∴，∵是的中點(diǎn)，∴；故答案為：．（2）如圖2，∵，，∴根據(jù)“倍旋中線”知等腰三角形，過作，垂足為∴，，∵是等邊三角形的邊的中點(diǎn)，且∴∴∴故答案為：．（3）結(jié)論：理由：如圖，延長到，使得，連接，∵，∴四邊形是平行四邊形∴，∵∴∵∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、含度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識的綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造相似三角形解決問題．11．（22-23九年級上·河南駐馬店·階段練習(xí)）如下表倍長中線（Methodoftimesthelengthofline）倍長中線的意思是：延長邊上（不一定是底邊）的中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等，此法常用于構(gòu)造全等三角形，利用中線的性質(zhì)、輔助線、對頂角一般用“”證明對應(yīng)邊之間的關(guān)系．請用倍長中線法解答下面問題：在中，，是邊上的中線，點(diǎn)為射線上一動點(diǎn)．(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，點(diǎn)在上，，與相交于點(diǎn)，延長至點(diǎn)，使得，連接，求的值．王林同學(xué)根據(jù)題意寫出了如下不完整的求解過程，請補(bǔ)全其過程．解：設(shè)，則；∵是邊上的中線，∴；∵在和中，∴（）∴=，∴；∴；又∵，∴；∴=．(2)類比探究如圖2，點(diǎn)在的延長線上，與的延長線交于點(diǎn)，，求的值．(3)拓展延伸在（2）的探究結(jié)論下，若，，求的長．【答案】(1)，，，，(2)(3)【詳解】（1）解：如圖所示，，設(shè)，則，∵是邊上的中線，∴，∵在和中，，（）∴，∴，∴，又∵，∴，∴．故答案是：，，，，．（2）解：如圖所示，是邊上的中線，延長至點(diǎn)，使得，連接，由（1）可知（），，，∴，，∴，∵，設(shè)，則，∴，，∴，故答案是：．（3）解：由（2）可知，，則，在中，，且，∵，∴，則，設(shè)，則，由得，，解方程得，，∴，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形中線變換問題，根據(jù)三角形中線性質(zhì)構(gòu)成三角形全等，相似，計(jì)算線段的長度，理解和掌握三角形全等、相似的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12.（23-24九年級上·陜西西安·期中）閱讀下面材料，完成以下兩問：數(shù)學(xué)課上，老師出示了這樣一道題．如圖，中，D為中點(diǎn)，且，M為中點(diǎn)，連接并延長交于N．探究線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．同學(xué)們經(jīng)過思考后，交流了自己的想法：小明：“通過觀察和度量，發(fā)現(xiàn)線段之間存在某種數(shù)量關(guān)系”．小強(qiáng)：“通過倍長不同的中線，可以得到不同的結(jié)論，但都是正確的”．小偉：“通過構(gòu)造、證明相似三角形、全等三角形，就可以將問題解決”．

(1)小偉在探索時，做法為：過B作交延長線于Q，構(gòu)造．請你按照他的做法，判斷與之間的數(shù)量關(guān)系為：________(2)如圖（2）：延長至H，使，連接，則結(jié)論：是否成立？請說明理由；(3)如圖（3）,證明：．【答案】(1)(2)成立，見解析(3)見解析【分析】（1）過B作交延長線于Q，構(gòu)造出全等三角形、相似三角形，再利用全等和相似的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）延長至H，使，連接，可得，進(jìn)一步可證得，得到，然后證明，即可得到結(jié)論：；（3）延長至，使，連接，延長至，使，可得、四邊形為平行四邊形，進(jìn)一步可證得，即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：過B作交延長線于Q，如圖：∴，∵D為中點(diǎn)，，∴，∴，∵M(jìn)為中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴；

（2）證明：延長至H，使，連接，如圖：∵D為中點(diǎn)，，∴，∴，∴，設(shè)，則，，∴，，∴；∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）證明：延長至，使，連接，延長至，使，連接，如圖：∵在和中，，∴，∴，，∴，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，，∴，∴；【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)，合理的添加輔助線是解題的關(guān)鍵．13．（2024·廣西賀州·一模）閱讀與思考：下面是小王的數(shù)學(xué)改錯本上的改錯總結(jié)反思請仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．截長補(bǔ)短法：有一類幾何題其命題主要是證明三條線段長度的“和”或“差”及其比例關(guān)系．這一類題目一般可以采取“截長”或“補(bǔ)短”的方法來進(jìn)行求解，所謂“截長”，就是將三者中最長的那條線段一分為二，使其中的一條線段長度與已知線段長度相等，然后證明其中的另一條線段與已知的另一條線段的數(shù)量關(guān)系，所謂“補(bǔ)短”，就是將一條已知的較短的線段延長至與另一條已知的較短的線段長度相等，然后求出延長后的線段與最長的已知線段的數(shù)量關(guān)系．有的是采取截長補(bǔ)短法后，使之構(gòu)成某種特定的三角形進(jìn)行求解…．如圖1，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，．是的直徑，．請說明線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．下面是該問題的部分解答過程：解：．理由如下：∵是的直徑，∴，∵，∴．如圖2，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)M，…．任務(wù)：(1)補(bǔ)全解答過程；(2)如圖3，四邊形是的內(nèi)接四邊形，連接，．是的直徑，，則線段，，之間的數(shù)量關(guān)系式是______．【答案】(1)見解析(2)，見解析【分析】（1）根據(jù)圓周角相等，，，繼而得到，，結(jié)合，得到，從而證明，得到，解答即可．（2）過點(diǎn)A作交于點(diǎn)N，利用圓的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值解答即可．【詳解】（1）解：∵是的直徑，∴，∵，∴．如圖，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)M，根據(jù)圓周角定理得，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∵∴，∴，∵，∴．（2）．理由如下：∵是的直徑，∴，∵，∴，，∴．如圖，過點(diǎn)A作交于點(diǎn)N，根據(jù)圓周角定理，得，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握圓周角定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值是解題的關(guān)鍵．14．（23-24八年級上·吉林長春·階段練習(xí)）【閱讀理解】截長補(bǔ)短法，是初中數(shù)學(xué)幾何題中一種輔助線的添加方法．截長就是在長邊上截取一條線段與某一短邊相等，補(bǔ)短是通過在一條短邊上延長一條線段與另一長邊相等，從而解決問題．（1）如圖①，△是等邊三角形，點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，連結(jié)，且，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系．解題思路：延長到點(diǎn)，使，連接，根據(jù)，則，因?yàn)榭勺C，易證得△≌△，得出△是等邊三角形，所以，從而探尋線段之間的數(shù)量關(guān)系．根據(jù)上述解題思路，請直接寫出之間的數(shù)量關(guān)系是；【拓展延伸】（2）如圖②，在Rt△中，，．若點(diǎn)是邊下方一點(diǎn)，，探索線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【知識應(yīng)用】（3）如圖③，兩塊斜邊長都為2cm的三角板，把斜邊重疊擺放在一起，已知所對直角