2019屆江蘇專(zhuān)版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章推理與證明11.2直接證明與間接證明講義

§11.2直接證明與間接證明高考數(shù)學(xué)1.綜合法是“由因?qū)Ч?即從已知條件出發(fā),推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論.因此,綜合法又叫做順推法或由因?qū)Ч?綜合法格式——從已知條件出發(fā),順著推證,由“已知”得“推知”,由

“推知”得“未知”,逐步推出求證的結(jié)論,這就是綜合法的格式,它的

常見(jiàn)書(shū)面表達(dá)是“①∵……,∴……

”或“?”.2.分析法是“執(zhí)果索因”,一步步尋求上一步成立的充分條件,因此分析

法又叫做逆證法或執(zhí)果索因法.分析法格式——與綜合法正好相反,它是從要求證的結(jié)論出發(fā),倒著分

析,由未知想需知,由需知逐漸地靠近已知(已知條件,已經(jīng)學(xué)過(guò)的定義、

定理、公理、公式、法則等等).這種證明方法的關(guān)鍵在于需保證分析知識(shí)清單過(guò)程的每一步都是可以逆推的,它的常見(jiàn)書(shū)面表達(dá)是“②要證……,

只需……

”或“?”.3.數(shù)學(xué)中的命題都有題設(shè)(條件)和結(jié)論兩部分.當(dāng)我們證明一個(gè)命題時(shí),

不直接從題設(shè)出發(fā)去推證結(jié)論成立,而是從否定這個(gè)命題的結(jié)論出發(fā),

通過(guò)正確、嚴(yán)密的邏輯推理,由此引出一個(gè)新的結(jié)論,而這個(gè)新結(jié)論與

題設(shè)矛盾(或與已知的定義、公理或定理相矛盾,或者自相矛盾),得出原

結(jié)論的反面不正確,從而肯定原結(jié)論是正確的,這種間接證明的方法叫

做③反證法

.4.應(yīng)用反證法證明數(shù)學(xué)命題,一般有下面幾個(gè)步驟:第一步:分清命題“p?q”的條件和結(jié)論;第二步:做出與命題結(jié)論q相矛盾的假設(shè)?q;第三步:由p和?q出發(fā),應(yīng)用正確的推理方法,推出矛盾結(jié)果;第四步:斷定產(chǎn)生矛盾結(jié)果的原因是開(kāi)始所做出的假設(shè)?q不真,于是原

結(jié)論q成立,從而間接地證明了命題p?q為真.所說(shuō)的矛盾結(jié)果,通常是指推出的結(jié)果與已知公理、已知定義、已知定

理或已知條件矛盾,與臨時(shí)假設(shè)矛盾以及自相矛盾等各種情況.解有關(guān)證明問(wèn)題的常用解題技巧與方法在實(shí)際證明問(wèn)題時(shí),我們往往同時(shí)從已知條件與結(jié)論出發(fā),尋求它們之

間的聯(lián)系.具體來(lái)說(shuō),一方面從問(wèn)題的已知條件出發(fā),用前進(jìn)型分析法經(jīng)

邏輯推理導(dǎo)出中間結(jié)果;另一方面從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā),用追溯型分析法

回溯到中間,即導(dǎo)出同一個(gè)中間結(jié)果,從而溝通思路使問(wèn)題得到解決.例

(2016浙江理,20,15分)設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足

≤1,n∈N*.(1)證明:|an|≥2n-1(|a1|-2),n∈N*;(2)若|an|≤

,n∈N*,證明:|an|≤2,n∈N*.方法方法技巧證明(1)由

≤1得|an|-

|an+1|≤1,故

-

≤

,n∈N*,所以

-

=

+

+…+

≤

+

+…+

<1,因此|an|≥2n-1(|a1|-2).(2)任取n,且n∈N*,由(1)知,對(duì)于任意m>n,

-

=

+

+…+

≤

+

+…+

<

,故|an|<

·2n≤

·2n=2+

·2n.從而對(duì)于任意m>n,均有|an|<2+

·2n.

①由m的任意性得|an|≤2.否則,存在n0∈N*,有|

|>2,取正整數(shù)m0>lo