2019屆江蘇專用高考數(shù)學大一輪復(fù)習第八章立體幾何與空間向量8.3直線平面平行的判定與性質(zhì)講義理蘇教版

§8.3直線、平面平行的判定與性質(zhì)基礎(chǔ)知識自主學習課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學習

文字語言圖形語言符號語言判定定理如果平面外一條直線和

的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行(簡記為“線線平行?線面平行”)∵

，

，

，∴____1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理知識梳理這個平面內(nèi)l∥aa?αl?αl∥α性質(zhì)定理如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面與這個平面相交，那么這條直線就和

平行(簡記為“線面平行?線線平行”)∵

，

，

，∴l(xiāng)∥b交線l∥αl?βα∩β＝b2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面內(nèi)有兩條

都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行(簡記為“線面平行?面面平行”)∵

，

，

，

，

，∴α∥β相交直線a∥βb∥βa∩b＝Pa?αb?α性質(zhì)定理如果兩個平行平面同時和第三個平面

，那么所得的兩條

平行∵

，

，

，∴a∥b相交交線α∥βα∩γ＝aβ∩γ＝b知識拓展重要結(jié)論(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a⊥α，a⊥β，則α∥β；(2)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即若a⊥α，b⊥α，則a∥b；(3)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若α∥β，β∥γ，則α∥γ.思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平面.(

)(2)若一條直線平行于一個平面，則這條直線平行于這個平面內(nèi)的任一條直線.(

)(3)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.(

)×××(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.(

)(5)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行，則a∥α.(

)(6)若α∥β，直線a∥α，則a∥β.(

)√××考點自測1.(教材改編)下列命題中不正確的有________.①若a，b是兩條直線，且a∥b，那么a平行于經(jīng)過b的任何平面；②若直線a和平面α滿足a∥α，那么a與α內(nèi)的任何直線平行；③平行于同一條直線的兩個平面平行；④若直線a，b和平面α滿足a∥b，a∥α，b?α，則b∥α.答案解析①②③①中，a可以在過b的平面內(nèi)；②中，a與α內(nèi)的直線可能異面；③中，兩平面可相交；④中，由直線與平面平行的判定定理知，b∥α，正確.2.設(shè)l，m為直線，α，β為平面，且l?α，m?β，則“l(fā)∩m＝?”是“α∥β”的___________條件.答案解析必要不充分當平面與平面平行時，兩個平面內(nèi)的直線沒有交點，故“l(fā)∩m＝?”是“α∥β”的必要條件；當兩個平面內(nèi)的直線沒有交點時，兩個平面可以相交，∴l(xiāng)∩m＝?是α∥β的必要不充分條件.3.(2016·鹽城模擬)下列命題中，正確的序號為________.①平面內(nèi)一個三角形各邊所在的直線都與另一個平面平行，則這兩個

平面平行；②平行于同一個平面的兩個平面平行；③若兩個平面平行，則位于這兩個平面內(nèi)的直線也互相平行；④若兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面.答案解析由面面平行的判定定理和性質(zhì)知①②④正確.對于③，位于兩個平行平面內(nèi)的直線也可能異面.①②④4.(教材改編)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為DD1的中點，則BD1與平面ACE的位置關(guān)系為______.答案解析平行連結(jié)BD，設(shè)BD∩AC＝O，連結(jié)EO，在△BDD1中，O為BD的中點，所以EO為△BDD1的中位線，則BD1∥EO，而BD1?平面ACE，EO?平面ACE，所以BD1∥平面ACE.5.如圖是長方體被一平面所截得的幾何體，四邊形EFGH為截面，則四邊形EFGH的形狀為___________.答案解析平行四邊形∵平面ABFE∥平面DCGH，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四邊形EFGH的形狀是平行四邊形.題型分類深度剖析題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)命題點1直線與平面平行的判定例1

如圖，四棱錐P－ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝

AD，E，F(xiàn)，H分別為線段AD，PC，CD的中點，AC與BE交于O點，G是線段OF上一點.(1)求證：AP∥平面BEF；證明連結(jié)EC，∵AD∥BC，BC＝

AD，∴BC綊AE，∴四邊形ABCE是平行四邊形，∴O為AC的中點.又∵F是PC的中點，∴FO∥AP，F(xiàn)O?平面BEF，AP?平面BEF，∴AP∥平面BEF.(2)求證：GH∥平面PAD.證明連結(jié)FH，OH，∵F，H分別是PC，CD的中點，∴FH∥PD，∴FH∥平面PAD.又∵O是BE的中點，H是CD的中點，又FH∩OH＝H，∴平面OHF∥平面PAD.又∵GH?平面OHF，∴GH∥平面PAD.∴OH∥AD，∴OH∥平面PAD.幾何畫板展示命題點2直線與平面平行的性質(zhì)例2

(2017·鎮(zhèn)江月考)如圖，四棱錐P－ABCD的底面是邊長為8的正方形，四條側(cè)棱長均為.點G，E，F(xiàn)，H分別是棱PB，AB，CD，PC上共面的四點，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.(1)證明：GH∥EF；證明因為BC∥平面GEFH，BC?平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.同理可證EF∥BC，因此GH∥EF.(2)若EB＝2，求四邊形GEFH的面積.解答如圖，連結(jié)AC，BD交于點O，BD交EF于點K，連結(jié)OP，GK.因為PA＝PC，O是AC的中點，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在底面內(nèi)，所以PO⊥底面ABCD.又因為平面GEFH⊥平面ABCD，且PO?平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.因為平面PBD∩平面GEFH＝GK，所以PO∥GK，且GK⊥底面ABCD，從而GK⊥EF.所以GK是梯形GEFH的高.由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，從而KB＝

DB＝

OB，即K為OB的中點.再由PO∥GK得GK＝

PO，即G是PB的中點，且GH＝

BC＝4.由已知可得OB＝

，所以GK＝3.故四邊形GEFH的面積S＝·GK判斷或證明線面平行的常用方法(1)利用線面平行的定義(無公共點)；(2)利用線面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)；(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(α∥β，a?α?a∥β)；(4)利用面面平行的性質(zhì)(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β).思維升華跟蹤訓練1如圖所示，CD，AB均與平面EFGH平行，E，F(xiàn)，G，H分別在BD，BC，AC，AD上，且CD⊥AB.求證：四邊形EFGH是矩形.證明∵CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，∴CD∥EF.同理HG∥CD，∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四邊形EFGH為平行四邊形.∴CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF為異面直線CD和AB所成的角.又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴平行四邊形EFGH為矩形.題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3

(2016·鎮(zhèn)江模擬)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，AC，A1B1，A1C1的中點，求證：(1)B，C，H，G四點共面；證明∵G，H分別是A1B1，A1C1的中點，∴GH是△A1B1C1的中位線，∴GH∥B1C1.又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC，∴B，C，H，G四點共面.(2)平面EFA1∥平面BCHG.證明∵E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，∴EF∥BC.∵EF?平面BCHG，BC?平面BCHG，∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，∴四邊形A1EBG是平行四邊形，∴A1E∥GB.∵A1E?平面BCHG，GB?平面BCHG，∴A1E∥平面BCHG.∵A1E∩EF＝E，∴平面EFA1∥平面BCHG.引申探究1.在本例條件下，若D為BC1的中點，求證：HD∥平面A1B1BA.證明如圖所示，連結(jié)HD，A1B，∵D為BC1的中點，H為A1C1的中點，∴HD∥A1B，又HD?平面A1B1BA，A1B?平面A1B1BA，∴HD∥平面A1B1BA.2.在本例條件下，若D1，D分別為B1C1，BC的中點，求證：平面A1BD1∥平面AC1D.證明如圖所示，連結(jié)A1C交AC1于點M，∵四邊形A1ACC1是平行四邊形，∴M是A1C的中點，連結(jié)MD，∵D為BC的中點，∴A1B∥DM.∵A1B?平面A1BD1，DM?平面A1BD1，∴DM∥平面A1BD1.又由三棱柱的性質(zhì)知，D1C1綊BD，∴四邊形BDC1D1為平行四邊形，∴DC1∥BD1.又DC1?平面A1BD1，BD1?平面A1BD1，∴DC1∥平面A1BD1，又∵DC1∩DM＝D，DC1，DM?平面AC1D，∴平面A1BD1∥平面AC1D.證明面面平行的方法(1)面面平行的定義；(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行；(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行；(4)兩個平面同時平行于第三個平面，那么這兩個平面平行；(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.思維升華跟蹤訓練2如圖所示，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點.求證：(1)BE∥平面DMF；證明如圖所示，連結(jié)AE，設(shè)DF與GN交于點O，連結(jié)AE，則AE必過O點，連結(jié)MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO.因為BE?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)平面BDE∥平面MNG.證明因為N，G分別為平行四邊形ADEF的邊AD，EF的中點，所以DE∥GN.因為DE?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.因為M為AB的中點，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN.因為BD?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG.因為DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線，所以平面BDE∥平面MNG.題型三平行關(guān)系的綜合應(yīng)用例4

(2016·鹽城模擬)如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中點，問在棱AB上是否存在一點E，使DE∥平面AB1C1？若存在，請確定點E的位置；若不存在，請說明理由.解答幾何畫板展示方法一存在點E，且E為AB的中點時，DE∥平面AB1C1.下面給出證明：如圖，取BB1的中點F，連結(jié)DF，則DF∥B1C1，∵AB的中點為E，連結(jié)EF，ED，則EF∥AB1，B1C1∩AB1＝B1，∴平面DEF∥平面AB1C1.而DE?平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.方法二假設(shè)在棱AB上存在點E，使得DE∥平面AB1C1，如圖，取BB1的中點F，連結(jié)DF，EF，ED，則DF∥B1C1，又DF?平面AB1C1，B1C1?平面AB1C1，∴DF∥平面AB1C1，又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，∴平面DEF∥平面AB1C1，∵EF?平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，又∵EF?平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，∴EF∥AB1，∵點F是BB1的中點，∴點E是AB的中點.即當點E是AB的中點時，DE∥平面AB1C1.利用線面平行的性質(zhì)，可以實現(xiàn)與線線平行的轉(zhuǎn)化，尤其在截面圖的畫法中，常用來確定交線的位置，對于最值問題，常用函數(shù)思想來解決.思維升華跟蹤訓練3

(2016·南京模擬)如圖所示，在四面體ABCD中，截面EFGH平行于對棱AB和CD，試問截面在什么位置時其截面面積最大？解答幾何畫板展示∵AB∥平面EFGH，平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG，EH.∴AB∥FG，AB∥EH，∴FG∥EH，同理可證EF∥GH，∴截面EFGH是平行四邊形.設(shè)AB＝a，CD＝b，∠FGH＝α(α即為異面直線AB和CD所成的角或其補角).又設(shè)FG＝x，GH＝y(tǒng)，則由平面幾何知識可得

，兩式相加得

＋

＝1，即y＝(a－x)，∴S?EFGH＝FG·GH·sin

α＝x··(a－x)·sinα＝

x(a－x).∵x>0，a－x>0且x＋(a－x)＝a為定值，當且僅當x＝a－x時等號成立.此時x＝

，y＝.即當截面EFGH的頂點E、F、G、H分別為棱AD、AC、BC、BD的中點時截面面積最大.典例

(14分)如圖，在四棱錐S－ABCD中，已知底面ABCD為直角梯形，其中AD∥BC，∠BAD＝90°，SA⊥底面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，tan∠SDA＝.(1)求四棱錐S－ABCD的體積；(2)在棱SD上找一點E，使CE∥平面SAB，并證明.立體幾何中的探索性問題答題模板系列5規(guī)范解答答題模板解

(1)∵SA⊥底面ABCD，tan∠SDA＝

，SA＝2，∴AD＝3. [2分]由題意知四棱錐S－ABCD的底面為直角梯形，且SA＝AB＝BC＝2，VS－ABCD＝·SA··(BC＋AD)·AB＝

×2××(2＋3)×2＝. [6分](2)當點E位于棱SD上靠近D的三等分點處時，可使CE∥平面SAB. [8分]證明如下：取SD上靠近D的三等分點為E，取SA上靠近A的三等分點為F，連結(jié)CE，EF，BF，則EF綊

AD，BC綊

AD，∴BC綊EF，∴CE∥BF. [12分]又∵BF?平面SAB，CE?平面SAB，∴CE∥平面SAB. [14分]返回解決立體幾何中的探索性問題的步驟第一步：寫出探求的最后結(jié)論；第二步：證明探求結(jié)論的正確性；第三步：給出明確答案；第四步：反思回顧，查看關(guān)鍵點、易錯點和答題規(guī)范.返回課時作業(yè)1.(2016·南通模擬)有下列命題：①若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則直線l∥α；②若直線a在平面α外，則a∥α；③若直線a∥b，b∥α，則a∥α；④若直線a∥b，b∥α，則a平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線.其中真命題的個數(shù)是_____.答案解析1命題①，l可以在平面α內(nèi)，不正確；命題②，直線a與平面α可以是相交關(guān)系，不正確；命題③，a可以在平面α內(nèi)，不正確；命題④正確.12345678910111213142.(2016·蘇北四校聯(lián)考)如圖是一個幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點.在此幾何體中，給出下列四個結(jié)論：①直線BE與直線CF是異面直線；②直線BE與直線AF是異面直線；③直線EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正確結(jié)論的序號為______.答案解析②③1234567891011121314因為EF綊

AD，AD綊BC，所以EF綊

BC，所以E，B，C，F(xiàn)四點共面，所以BE與CF共面，所以①錯誤；因為AF?平面PAD，E∈平面PAD，E?直線AF，B?平面PAD，所以BE與AF是異面直線，所以②正確；因為EF∥BC，EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以EF∥平面PBC，所以③正確；由于不能推出線面垂直，故平面BCE⊥平面PAD不成立，所以④錯誤.12345678910111213143.對于空間中的兩條直線m，n和一個平面α，下列命題中的真命題是_____.①若m∥α，n∥α，則m∥n；

②若m∥α，n?α，則m∥n；③若m∥α，n⊥α，則m∥n；

④若m⊥α，n⊥α，則m∥n.答案解析④對①，直線m，n可能平行、異面或相交，故①錯誤；對②，直線m與n可能平行，也可能異面，故②錯誤；對③，m與n垂直而非平行，故③錯誤；對④，垂直于同一平面的兩直線平行，故④正確.12345678910111213144.(2016·南京、徐州、連云港聯(lián)考)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，則下列正確命題的序號是_____.①若m∥n，m⊥β，則n⊥β；

②若m∥n，m∥β，則n∥β；③若m∥α，m∥β，則α∥β；

④若n⊥α，n⊥β，則α⊥β.答案解析①如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這一平面，①正確；若m∥n，m∥β，則n∥β或n?β，②不正確；若m∥α，m∥β，則α，β可能平行也可能相交，③不正確；若n⊥α，n⊥β，則α∥β，④不正確.12345678910111213145.如圖，L，M，N分別為正方體對應(yīng)棱的中點，則平面LMN與平面PQR的位置關(guān)系是______.答案解析平行1234567891011121314如圖，分別取另三條棱的中點A，B，C，將平面LMN延展為平面正六邊形AMBNCL，因為PQ∥AL，PR∥AM，且PQ與PR相交，AL與AM相交，所以平面PQR∥平面AMBNCL，即平面LMN∥平面PQR.12345678910111213146.(2016·全國甲卷)α，β是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；③如果α∥β，m?α，那么m∥β；④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等.其中正確的命題有_______.答案解析②③④當m⊥n，m⊥α，n∥β時，兩個平面的位置關(guān)系不確定，故①錯誤，經(jīng)判斷知②③④均正確，故正確答案為②③④.12345678910111213147.設(shè)α，β，γ是三個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，在命題“α∩β＝m，n?γ，且________，則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組，使該命題為真命題.①α∥γ，n?β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m?γ.可以填入的條件有________.答案解析①或③由面面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當n∥β，m?γ時，n和m在同一平面內(nèi)，且沒有公共點，所以平行，③正確.12345678910111213148.在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中點，設(shè)Q是CC1上的點，則點Q滿足條件______________時，有平面D1BQ∥平面PAO.答案解析Q為CC1的中點1234567891011121314假設(shè)Q為CC1的中點.因為P為DD1的中點，所以QB∥PA.連結(jié)DB，因為O是底面ABCD的中心，所以D1B∥PO，又D1B?平面PAO，QB?平面PAO，且PA∩PO于P，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB于B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故點Q滿足條件，Q為CC1的中點時，有平面D1BQ∥平面PAO.12345678910111213149.將一個真命題中的“平面”換成“直線”、“直線”換成“平面”后仍是真命題，則該命題稱為“可換命題”.給出下列四個命題：①垂直于同一平面的兩直線平行；②垂直于同一平面的兩平面平行；③平行于同一直線的兩直線平行；④平行于同一平面的兩直線平行.其中是“可換命題”的是______.(填命題的序號)答案解析①③1234567891011121314由線面垂直的性質(zhì)定理可知①是真命題，且垂直于同一直線的兩平面平行也是真命題，故①是“可換命題”；因為垂直于同一平面的兩平面可能平行或相交，所以②是假命題，不是“可換命題”；由公理4可知③是真命題，且平行于同一平面的兩平面平行也是真命題，故③是“可換命題”；因為平行于同一平面的兩條直線可能平行、相交或異面，故④是假命題，故④不是“可換命題”.123456789101112131410.空間四邊形ABCD的兩條對棱AC、BD的長分別為5和4，則平行于兩條對棱的截面四邊形EFGH在平移過程中，周長的取值范圍是______.答案解析(8,10)∴GH＝5k，EH＝4(1－k)，∴周長＝8＋2k.又∵0<k<1，∴周長的取值范圍為(8,10).1234567891011121314*11.在三棱錐S－ABC中，△ABC是邊長為6的正三角形，SA＝SB＝SC＝15，平面DEFH分別與AB，BC，SC，SA交于點D，E，F(xiàn)，H.D，E分別是AB，BC的中點，如果直線SB∥平面DEFH，那么四邊形DEFH的面積為____.答案解析1234567891011121314如圖，取AC的中點G，連結(jié)SG，BG.易知SG⊥AC，BG⊥AC，SG∩BG＝G，故AC⊥平面SGB，所以AC⊥SB.因為SB∥平面DEFH，SB?平面SAB，平面SAB∩平面DEFH＝HD，則SB∥HD.同理SB∥FE.1234567891011121314又D，E分別為AB，BC的中點，則H，F(xiàn)也為AS，SC的中點，從而得HF綊

AC綊DE，所以四邊形DEFH為平行四邊形.又AC⊥SB，SB∥HD，DE∥AC，所以DE⊥HD，所以四邊形DEFH為矩形，其面積S＝HF·HD＝(AC)·(SB)＝.123456789101112131412.如圖，E、F、G、H分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中點.求證：(1)EG∥平面BB1D1D；證明1234567891011121314取B1D1的中點O，連結(jié)GO，OB，∵OG綊

B1C1，BE綊

BC，∴OG綊BE，∴四邊形BEGO為平行四邊形，故OB∥EG，又EG?平面BB1D1D，OB?平面BB1D1D，∴EG∥平面BB1D1D.1234567891011121314(2)平面BDF∥平面B1D1H.證明1234567891011121314由題意可知BD∥B1D1.如圖，連結(jié)HB、D1F，易證四邊形HBFD1是平行四邊形，故HD1