多元函數(shù)教學課件

多元函數(shù)一、多元函數(shù)的概念預備知識1.在上冊我們研究一元函數(shù)的微積分學時，其概念、理論和方法都是基于一維空間中(即數(shù)軸上)的點集、兩點間距離、區(qū)間和鄰域等概念，為了將一元函數(shù)的微積分學推廣到多元函數(shù)的情形，必須將上述概念加以推廣，以供我們研究多元函數(shù)時使用.一、多元函數(shù)的概念1）平面點集和n維空間平面點集是指平面上滿足某個條件P的一切點構(gòu)成的集合.在平面解析幾何中，平面上的點與有序二元實數(shù)組之間建立了一一對應，由此可借助于平面坐標來描述平面點集.例如，平面上以原點為中心，以1為半徑的圓的內(nèi)部就是一個平面點集(見圖8-1)，它可表示成

E={(x,y)|x2+y2<1}.圖8-1一、多元函數(shù)的概念由平面解析幾何我們還知道，平面上任意兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)之間的距離為

|P1P2|=(x1－x2)2+(y1－y2)2.在空間解析幾何中，我們同樣建立了空間中的點與有序三元實數(shù)組之間的一一對應關(guān)系，也可用空間坐標來描述空間點集.例如，空間中以原點為球心，2為半徑的球面上的點構(gòu)成的點集，可表示為

M={(x,y,z)|x2+y2+z2=4}.一、多元函數(shù)的概念由空間解析幾何知道，空間中任意兩點P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z1)之間的距離公式為

|P1P2|=(x1－x2)2+(y1－y2)2+(z1－z2)2.上面我們把一維空間的點集和距離概念推廣到二維空間R2(平面點集)和三維空間R3(空間點集).類似地，我們可以把這個概念推廣到n元有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)所組成的集合Rn，稱為n維空間.n維空間中的點P與n元有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)之間建立了一一對應關(guān)系，可用n元有序數(shù)組(x1,x2,…,xn)來表示n維空間中的點P，其中(x1,x2,…,xn)稱為點P的坐標.一、多元函數(shù)的概念n維空間中任意兩點P1(x1,x2,…,xn),P2(y1,y2,…,yn)之間的距離為

|P1P2|=(x1－y1)2+(x2－y2)2+…+(xn－yn)2.(8-1)下面研究的有關(guān)內(nèi)容均建立在二維空間R2的基礎上，其結(jié)論可推廣到Rn中去.一、多元函數(shù)的概念2）鄰域設P0(x0,y0)是平面上一點，δ>0，以P0為中心，δ為半徑的圓的內(nèi)部點P(x,y)的全體構(gòu)成的點集，稱為點P0的δ鄰域，記作U(P0,δ)，即

U(P0,δ)={(x,y)|(x－x0)2+(y－y0)2<δ}.在點P0的δ鄰域內(nèi)，如果去掉中心點P0，則稱為點P0的δ去心鄰域，記作U

(P0,δ)，即

U

(P0,δ)={(x,y)|0<(x－x0)2+(y－y0)2<δ}.一、多元函數(shù)的概念3）內(nèi)點、外點、邊界點(1)內(nèi)點：設E是平面點集，P是平面上一點，如果存在P的某一鄰域，此鄰域內(nèi)的點都屬于E，則稱點P為點集E的內(nèi)點(見圖8-2).圖8-2一、多元函數(shù)的概念(2)外點：設E是平面點集，P是平面上一點，如果存在P的某一鄰域，此鄰域內(nèi)的點都不屬于E，則稱點P為點集E的外點(見圖8-3).圖8-3一、多元函數(shù)的概念(3)邊界點：設E是平面點集，P是平面上一點，如果P的任一鄰域內(nèi)既有屬于E的點，又有不屬于E的點，則稱點P為點集E的邊界點(見圖8-4).E的邊界點的全體稱為E的邊界.圖8-4一、多元函數(shù)的概念例如，單位圓內(nèi)的點都是圓的內(nèi)點，單位圓上的點都是圓的邊界點，單位圓外的點都是圓的外點，單位圓周為圓的邊界.邊界點可能屬于點集E，也可能不屬于點集E.注一、多元函數(shù)的概念4）開集和連通集如果集合E中的每個點都是內(nèi)點，則稱E是開集.對于開集E，如果E中的任何兩點都可以用E中的折線連接起來，則稱E是連通集.一、多元函數(shù)的概念5）區(qū)域和閉區(qū)域連通的開集E稱為區(qū)域或開區(qū)域.開區(qū)域E連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.在不混淆的情況下，開區(qū)域和閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域.一、多元函數(shù)的概念6）有界區(qū)域和無界區(qū)域?qū)τ谄矫鎱^(qū)域E，如果存在某一正數(shù)r，使得

EU(O,r)，其中O是坐標原點，則稱區(qū)域E為有界區(qū)域.否則，稱區(qū)域E為無界區(qū)域.例如，區(qū)域E={(x,y)|x2+y2<1}是有界區(qū)域；區(qū)域E={(x,y)|x2+y2≤1}是有界閉區(qū)域；區(qū)域E={(x,y)|x+y<1}是無界區(qū)域；區(qū)域E={(x,y)|x+y≤1}是無界閉區(qū)域.有界閉區(qū)域是我們今后學習中常用的.一、多元函數(shù)的概念引列1三角形的面積S和它的底邊長a，底邊上的高h之間有關(guān)系式S=12ah

.其中S，a，h是三個變量，當變量a，h在一定范圍(a>0,h>0)內(nèi)取定一對數(shù)值(a0,h0)時，根據(jù)給定的關(guān)系S就有一個確定的值S0=12a0h0與之對應.二元函數(shù)的定義2.引列2設Z表示居民人均消費水平，Y表示國民收入總額，P表示總?cè)丝跀?shù)，則有Z=S1S2YP，其中S1是消費率(國民收入總額中用于消費的部分所占的比例)，S2是居民消費率(消費總額中用于居民消費的部分所占的比例).顯然，對于每一個有序數(shù)組(Y,P)(Y>0,P>0并取整數(shù))，總有唯一確定的實數(shù)Z與之對應，使得以上關(guān)系式成立.此關(guān)系式反映了一個國家中居民人均消費水平依賴國民收入總額和總?cè)丝跀?shù).拋開上述兩個例題的具體含義，僅從數(shù)量關(guān)系來看，它們具有共同的屬性，抽出這些共性，概括出二元函數(shù)的定義.一、多元函數(shù)的概念定義1設有三個獨立的變量x，y，z和非空點集DR2，如果當變量x,y在其給定的范圍D內(nèi)，任取一對數(shù)值(x,y)時，變量z就按某一確定的對應法則f，總有確定的數(shù)值與它們對應，那么，變量z就稱為變量x,y的二元函數(shù)，記為z=f(x,y).其中x,y稱為自變量，函數(shù)z也稱為因變量，自變量x,y的取值范圍D稱為函數(shù)的定義域.二元函數(shù)可記為z=z(x,y)或z=g(x,y)等.類似地，可以給出三元函數(shù)的定義

u=f(x,y,z)，(x,y,z)∈DR3，n元函數(shù)的定義

u=f(x1,x2,…,xn)，(x1,x2,…,xn)∈DRn.一、多元函數(shù)的概念二元及其以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù).二元函數(shù)z=f(x,y)在點M(x0,y0)所取的函數(shù)值記為

或f(x0,y0).同一元函數(shù)一樣，函數(shù)的定義域和對應法則是二元函數(shù)的兩個要素.對于以解析式表示的二元函數(shù)，其定義域就是使該式子有意義的自變量的變化范圍.對于實際問題，在求定義域時，除使該式子有意義外，還要符合具體問題的實際意義.二元函數(shù)的定義域比較復雜，可以是全平面，可以是一條曲線，也可以是由曲線圍成的部分平面等.二元函數(shù)的定義域的求法同一元函數(shù)，可用不等式組或集合的形式表示.一、多元函數(shù)的概念求下列函數(shù)的定義域D，并畫出其圖形.【例1】一、多元函數(shù)的概念所以，函數(shù)的定義域D是以x=±2,y=±3為邊界的矩形閉區(qū)域(見圖8-5).圖8-5一、多元函數(shù)的概念即1<x2+y2≤4.所以，函數(shù)的定義域D是以原點為圓心的環(huán)形區(qū)域，是有界區(qū)域(見圖8-6).圖8-6一、多元函數(shù)的概念二元函數(shù)的幾何意義3.已知一元函數(shù)(即二元方程)一般表示平面上一條曲線.對于二元函數(shù)(即三元方程)，由空間解析幾何知識知道，它在空間直角坐標系中一般表示曲面.設P(x,y)是二元函數(shù)z=f(x,y)的定義域D內(nèi)的任意一點，則相應的函數(shù)值是z=f(x,y)，于是，有序數(shù)組x,y,z確定了空間一點M(x,y,z).當點P在D內(nèi)變動時，對應的點M就在空間變動，一般地形成一個曲面.我們稱之為二元函數(shù)z=f(x,y)的圖形(見圖8-7).圖8-7一、多元函數(shù)的概念定義域D就是曲面在xOy面上的投影區(qū)域.例如，函數(shù)z=a2－x2－y2(a>0)的圖形是球心在原點、半徑為a的上半球面(見圖8-8).一、多元函數(shù)的概念圖8-8二、二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)情況類似，對于二元函數(shù)z=f(x,y)，我們需要考察當自變量x,y無限趨近于常數(shù)x0,y0時，即當點P(x,y)無限逼近于點P0(x0,y0)時，對應的函數(shù)值的變化趨勢，這就是二元函數(shù)的極限問題.顯然，當x,y趨向于x0,y0時，可以看成點P(x,y)趨向于點P0(x0,y0)，記為P→P0或(x,y)→(x0,y0).若記ρ=|PP0|，即ρ=|PP0|=(x－x0)2+(y－y0)2，則可用ρ→0來表示P→P0或(x,y)→(x0,y0).下面給出當ρ→0時，函數(shù)f(x,y)無限逼近于確定的常數(shù)A的極限定義.二、二元函數(shù)的極限定義2設函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義(點P0可以除外)，如果對于任意給定的正數(shù)ε，都存在正數(shù)δ，當0<ρ=|PP0|<δ時，恒有|f(P)－A|<ε，則稱常數(shù)A為函數(shù)z=f(x,y)當P(x,y)→P0(x0,y0)時的極限，記為二元函數(shù)的極限運算與一元函數(shù)類似，不再重述.下面舉例說明.二、二元函數(shù)的極限【例2】二、二元函數(shù)的極限【例3】二、二元函數(shù)的極限【例4】二、二元函數(shù)的極限【例5】考察函數(shù)三、二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)連續(xù)的定義1.有了二元函數(shù)極限的定義，類似于一元函數(shù)的連續(xù)性定義，我們就可以很容易地給出二元函數(shù)連續(xù)的定義.三、二元函數(shù)的連續(xù)性定義3設函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當點P(x,y)趨近于點P0(x0,y0)時，函數(shù)z=f(x,y)的極限存在，且等于它在點P0(x0,y0)處的函數(shù)值，即則稱函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)處連續(xù)，否則，稱函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)處間斷，點P0(x0,y0)稱為該函數(shù)的間斷點.利用函數(shù)全增量的概念，連續(xù)定義可用另一種形式表述.三、二元函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義，當自變量x,y分別由x0變到x0+Δx，y0變到y(tǒng)0+Δy時，函數(shù)z=f(x,y)有增量

f(x0+Δx,y0+Δy)－f(x0,y0)，稱其為函數(shù)z=f(x,y)在點(x0,y0)的全增量，記為Δz，即Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)－f(x0,y0).三、二元函數(shù)的連續(xù)性三、二元函數(shù)的連續(xù)性定義4設函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當自變量x,y的增量Δx,Δy趨向于0時，對應的函數(shù)z=f(x,y)的全增量Δz也趨向于0，即

則稱函數(shù)z=f(x,y)在點P0(x0,y0)處連續(xù).如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)各點都連續(xù)，則稱函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù).三、二元函數(shù)的連續(xù)性對于閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)z=f(x,y)，則要求函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)和邊界上都連續(xù).當點P0(x0,y0)是區(qū)域D的邊界點時，極限

中的P→P0是指P在區(qū)域D內(nèi)所取的路線趨近于點P0(x0,y0)，極限中滿足0<(x－x0)2+(y－y0)2<δ的點P均指區(qū)域D內(nèi)的點.三、二元函數(shù)的連續(xù)性關(guān)于二元函數(shù)z=f(x,y)的