偏導(dǎo)數(shù)與全微分

偏導(dǎo)數(shù)與全微分一、偏導(dǎo)數(shù)

引例在報(bào)紙上經(jīng)常會(huì)看到關(guān)于城市大氣污染指數(shù)P的數(shù)據(jù)，其常用的運(yùn)算模型為P=x2+2xy+4xy2，其中x表示單位體積空氣中固體污染物的數(shù)量，如粉塵；y表示單位體積空氣中氣體污染物的數(shù)量，如汽車尾氣.那么這些污染物在空氣中含量的變化對(duì)指數(shù)的影響程度如何呢？下面通過偏導(dǎo)數(shù)來進(jìn)行分析.一、偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義1.當(dāng)考察圓柱體體積函數(shù)Vr,h=πr2h時(shí)，若底面半徑r保持不變，體積V主要取決于高h(yuǎn)的取值，也就是說當(dāng)自變量r固定時(shí)，Vr,h就是關(guān)于h的一元函數(shù)，從而體積V關(guān)于高h(yuǎn)的變化率可視為Vh對(duì)h的導(dǎo)數(shù).像這樣，多元函數(shù)中一個(gè)自變量發(fā)生變化，其余自變量固定，考慮函數(shù)對(duì)于該自變量的變化率就稱為該函數(shù)對(duì)于這個(gè)自變量的偏導(dǎo)數(shù).偏導(dǎo)數(shù)的引入有利于逐一研究多元函數(shù)中每個(gè)變量對(duì)函數(shù)的影響.一、偏導(dǎo)數(shù)定義1

設(shè)二元函數(shù)z=fx，y在點(diǎn)x0,y0的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)y固定在y0而x在x0處有增量Δx時(shí),相應(yīng)地，函數(shù)z=f(x,y)有增量（稱為函數(shù)對(duì)x的偏增量）f(x0+Δx,y0)－f(x0,y0)，若極限一、偏導(dǎo)數(shù)存在,則稱函數(shù)z=fx，y在點(diǎn)x0，y0處對(duì)x可導(dǎo)，此極限為函數(shù)z=fx，y在點(diǎn)x0，y0處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù),記為即類似地，當(dāng)x固定在x0，而y處有增量Δy時(shí)，相應(yīng)地，函數(shù)z=f(x,y)有增量（稱為函數(shù)對(duì)y的偏增量）一、偏導(dǎo)數(shù)f(x0,y0+Δy)－f(x0,y0),若極限存在,則稱函數(shù)z=fx，y在點(diǎn)x0，y0處對(duì)y可導(dǎo)，此極限為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)，記為一、偏導(dǎo)數(shù)定義2

如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)處對(duì)x(或?qū))的偏導(dǎo)數(shù)都存在，那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)也是關(guān)于x，y的二元函數(shù)，就稱這個(gè)函數(shù)為z=f(x,y)對(duì)x(或?qū))的偏導(dǎo)函數(shù)（簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)），記為一、偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)

是一個(gè)整體的記號(hào)，不能看作分子分母之商.注意一、偏導(dǎo)數(shù)

偏導(dǎo)數(shù)的概念還可推廣到二元以上的函數(shù).一、偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法2.由偏導(dǎo)數(shù)的定義知，函數(shù)對(duì)哪個(gè)自變量求偏導(dǎo)數(shù)，就先把其他變量看作常數(shù)，從而變成一元函數(shù)的求導(dǎo)問題.以二元函數(shù)z=f(x,y)為例，求

時(shí)，只要把y暫時(shí)看作常量而對(duì)x求導(dǎo)數(shù)；求

時(shí)，則只要把x暫時(shí)看作常量而對(duì)y求導(dǎo)數(shù).一、偏導(dǎo)數(shù)求z=xsinx+y的偏導(dǎo)數(shù).

解【例1】求z=x2+2xy+4xy2在點(diǎn)1,2處的偏導(dǎo)數(shù)．

解因?yàn)樗浴纠?】一、偏導(dǎo)數(shù)求的導(dǎo)數(shù)

解【例3】一、偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義3.設(shè)M0(x0,y0,f(x0,y0))為曲面z=f(x,y)上的一點(diǎn).過M0作平面y=y0，它與曲面的交線

是在平面y=y0上的一條曲線，故其方程為z=f(x,y0)，則導(dǎo)數(shù),即偏導(dǎo)數(shù)fx(x0,y0)就是該曲線在點(diǎn)M0處的切線M0Tx對(duì)x軸的斜率（見圖8-10）.同樣，偏導(dǎo)數(shù)fy(x0,y0)的幾何意義是平面x=x0與曲面z=f(x,y)的交線

在點(diǎn)M0處的切線M0Ty對(duì)y軸的斜率.一、偏導(dǎo)數(shù)圖8-10一、偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與連續(xù)性4.若一元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則它在該點(diǎn)未必具有導(dǎo)數(shù)，這點(diǎn)在多元函數(shù)中顯然同樣成立，即多元函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則它在該點(diǎn)未必具有偏導(dǎo)數(shù).例如，

為上半圓錐面，顯然在點(diǎn)(0,0)連續(xù)即,但故fx(0,0)不存在.由x,y的對(duì)稱性，fy(0,0)也不存在.一、偏導(dǎo)數(shù)若一元函數(shù)在某點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)時(shí)，則它在該點(diǎn)必定連續(xù).但對(duì)于多元函數(shù)來說，即使函數(shù)在某點(diǎn)存在對(duì)所有自變量的偏導(dǎo)數(shù)，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù).例如，f(x,y)=在（0，0）不連續(xù)，但卻存在偏導(dǎo)數(shù)，即一、偏導(dǎo)數(shù)這是因?yàn)槠珜?dǎo)數(shù)只刻畫了函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化特征.一、偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)5.定義3

設(shè)函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù)那么在D內(nèi)fx(x,y),fy(x,y)仍是關(guān)于x，y的二元函數(shù)，如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù)z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)按照對(duì)變量求導(dǎo)次序的不同有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)：一、偏導(dǎo)數(shù)類似地可定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)，既有關(guān)于x又有關(guān)于y的高階偏導(dǎo)數(shù)稱為混合偏導(dǎo)數(shù)，如一、偏導(dǎo)數(shù)設(shè)

解【例4】一、偏導(dǎo)數(shù)設(shè)

解在例4和例5中，兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)都相等，即這是偶然還是必然的呢？不妨再觀察一個(gè)例子.【例5】一、偏導(dǎo)數(shù)設(shè)求fxy(0,0)和fyx(0,0).

解因?yàn)?/p>

【例6】一、偏導(dǎo)數(shù)所以同理可求得fyx(0,0)=1.顯然，此例中fxy(0,0)≠fyx(0,0)，事實(shí)上二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等是有條件的.一、偏導(dǎo)數(shù)如果函數(shù)z=f(x,y)的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，那么在D內(nèi)該定理的結(jié)論對(duì)n元函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)也成立.定理1一、偏導(dǎo)數(shù)設(shè)f(x,y,z)=xy2+yz2+zx2，求各二階偏導(dǎo)數(shù)及fzzx(x,y,z).

解因?yàn)?/p>

【例7】一、偏導(dǎo)數(shù)

引例說明由例2的結(jié)果知，當(dāng)單位體積空氣中固體污染物的數(shù)量為1個(gè)單位，氣體污染物的數(shù)量為2個(gè)單位時(shí)，固體污染物每增加1個(gè)單位時(shí)，大氣污染指數(shù)將增大22個(gè)單位.同樣，當(dāng)氣體污染物的數(shù)量增加1個(gè)單位時(shí)，大氣污染指數(shù)將增大18個(gè)單位.二、全微分在第二章我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元函數(shù)y=f(x)微分的概念，現(xiàn)在用類似的思想和方法，通過多元函數(shù)的全增量，把一元函數(shù)微分的概念推廣到多元函數(shù)．在研究多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，只是某一個(gè)自變量變化，而其他的自變量視為常量，但在實(shí)際問題中，往往是幾個(gè)自變量同時(shí)在變動(dòng)，下面我們就來研究多元函數(shù)各個(gè)自變量同時(shí)變化時(shí)函數(shù)的變化情形．以二元函數(shù)為例，為此，我們引入二元函數(shù)全微分的概念．二、全微分全微分的概念1.

一般來說，計(jì)算函數(shù)的全增量是比較麻煩和復(fù)雜的，能否找到一個(gè)計(jì)算簡(jiǎn)單且準(zhǔn)確度較高的近似表達(dá)式呢？請(qǐng)看二元函數(shù)的全微分概念．二、全微分定義4

設(shè)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域有定義，如果函數(shù)在(x0,y0)處的全增量Δz可以表示成

Δz=AΔx+BΔy+α，（8-2）其中A,B與Δx,Δy無關(guān)僅與x0,y0有關(guān)，α是的高階無窮小，即為函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的全微分，記為dz，即二、全微分

dz=AΔx+BΔy．（8-3）這時(shí)也稱函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微．如果函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)每一點(diǎn)(x,y)都可微，則稱函數(shù)z=f(x,y)在區(qū)域D內(nèi)是可微的．在第二章的學(xué)習(xí)中，我們知道了一元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)與可微三者之間的關(guān)系，那么，對(duì)于二元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)與可微三者之間的關(guān)系又如何呢？在第二節(jié)我們知道了函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處偏導(dǎo)數(shù)存在，不能保證函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)，若函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微能否保證函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在呢？二、全微分如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)．證由函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，可得其中A,B與Δx,Δy無關(guān)僅與x0,y0有關(guān)，且定理2二、全微分所以故友即函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處連續(xù)．二、全微分定理2也告訴我們，如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處不連續(xù)，則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處一定不可微．連續(xù)是可微的必要條件．上面討論了可微與連續(xù)的關(guān)系，下面來分析二元函數(shù)可微與偏導(dǎo)數(shù)存在的關(guān)系．如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，如何求A，B呢？二、全微分（可微的必要條件）如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)存在，而且證因?yàn)楹瘮?shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微，所以其全增量可以表示為

Δz=f(x0+Δx,y0+Δy)－f(x0,y0)=AΔx+BΔy+α，定理3二、全微分其中A,B與Δx,Δy無關(guān)，上式對(duì)任意的Δx,Δy都成立，則當(dāng)Δy=0時(shí)也成立，這時(shí)全增量轉(zhuǎn)化為偏增量

Δzx=f(x0+Δx,y0)－f(x0,y0)=AΔx+α，而ρ=|Δx|，兩端同除以Δx得二、全微分兩邊取極限得即同理可證由此可知，當(dāng)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微時(shí)，必有二、全微分像一元函數(shù)一樣，我們規(guī)定Δx=dx,Δy=dy，則有由證明過程可知

（8-4）

（8-5）上面兩式的右端我們分別稱其為二元函數(shù)z=f(x,y)對(duì)x和對(duì)y的偏微分．二、全微分一元函數(shù)中，可微與可導(dǎo)是等價(jià)的，但在多元函數(shù)中，這個(gè)結(jié)論并不成立．例如，由前面的知識(shí)容易知道，函數(shù)在點(diǎn)(0,0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，但是g(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不連續(xù)，由定理2知g(x,y)在點(diǎn)(0,0)處不可微．因此，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在只是函數(shù)可微的必要條件．那么，全微分存在的充分條件是否存在呢？注意二、全微分（可微的充分條件）如果函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處的偏導(dǎo)數(shù)

連續(xù)，則函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處可微．證明略.常見的二元函數(shù)一般都滿足定理4的條件，從而它們都是可微函數(shù)．二元函數(shù)全微分的概念可以推廣到三元及其以上的函數(shù)．定理4二、全微分例如，設(shè)三元函數(shù)u=f(x,y,z)，如果三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)

都連續(xù)，則它可微且其全微分為

（8-6）二、全微分求函數(shù)

在點(diǎn)（2，1）處當(dāng)Δx=0.1,Δy=－0.2時(shí)的全增量與全微分．

解全增量為因?yàn)樗匀⒎譃椤纠?】二、全微分求函數(shù)z=x2y的全微分．

解因?yàn)椋匀⒎譃椤纠?】二、全微分求函數(shù)的全微分．

解因?yàn)樗匀⒎譃椤纠?0】二、全微分全微分形式的不變性2.設(shè)函數(shù)z=f(u,v)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分如果u,v又是x,y的函數(shù)u=φ(x,y)，v=ψ(x,y)，且兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù)的全微分為二、全微分

又因?yàn)槎?、全微分所以由此可見，無論u,v是自變量還是中間變量，全微分形式都是一樣的．這個(gè)性質(zhì)就是全微分形式的不變性．利用全微分形式的不變性可以降低復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的難度，在第六章學(xué)習(xí)微分方程時(shí)已經(jīng)用到過相關(guān)知識(shí)．二、全微分利用全微分形式的不變性，求復(fù)合函數(shù)

的偏導(dǎo)數(shù)

解

dz=d(e－ucosv)=－e－ucosvdu－e－usinvdv，du=dx－dy，dv=ydx+xdy．于是【例11】二、全微分又已知所以三、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用與一元函數(shù)類似，當(dāng)ρ→0時(shí)，二元函數(shù)z=f(x,y)的全增量與全微分之差是ρ的高階無窮小.由二元函數(shù)z=f(x,y)的全微分定義和全微分存在的充分條件可知，當(dāng)二元函數(shù)z=f(x,y)在點(diǎn)P(x,y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)f′x(x,y),f′y(x,y)連續(xù)，并且|Δx|和|Δy|都較小時(shí)，就有如下的近似計(jì)算公式

（8-7）三、全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用如果所考慮的是點(diǎn)(x0,y0)，則有

（8-8）這是求全增量的近似表達(dá)式．上式也可以寫成f(x0+Δx,y0+Δy)≈f(x0,y0)+f′x(x0,y0)Δx+f′y(x0,y0)Δy.(8-9）令x=x0+Δx,y=y0+Δy，得函數(shù)值的近