定 積分的應用

定積分的應用一、定積分的元素法

定積分的所有應用問題，一般可按“分割、近似、求和、取極限”這四個步驟把所求量表示為定積分的形式.為更好地說明這種方法，先來回顧本章第一節(jié)中討論過的求曲邊梯形面積的問題.假設一曲邊梯形由連續(xù)曲線y=f(x)（f(x)≥0），x軸與兩條直線x=a，x=b所圍成，試求其面積A.

（1）分割用任意一組分點把區(qū)間［a,b］分成長度為Δxi(i=1,2,…,n）的n個小區(qū)間，相應地把曲邊梯形分成n個小曲邊梯形，記第i個小曲邊梯形的面積為ΔAi.

（2）近似第i個小曲邊梯形面積的近似值ΔAi≈f(ξi)Δxi(xi－1≤ξi≤xi).(3）求和所求曲邊梯形面積A的近似值（4）取極限所求曲邊梯形面積A的精確值其中λ=max{Δx1,Δx2,…,Δxn}.一、定積分的元素法

由上述過程可見，把區(qū)間［a,b］分割成n個小區(qū)間時，所求面積A（總量）也被相應地分成n個小曲邊梯形（部分量），而所求總量等于各部分量之和(即A=∑ni=1ΔAi)，這一性質(zhì)稱為所求總量對于區(qū)間［a,b］具有可加性.此外，以f(ξi)Δxi近似代替部分量ΔAi時，其誤差是一個比Δxi更高階的無窮小.這兩點保證了求和、取極限后能得到所求總量的精確值.對上述過程，在實際應用中可略去下標i，改寫如下：一、定積分的元素法

（1）分割把區(qū)間［a,b］分割為n個小區(qū)間，任取其中一個小區(qū)間［x,x+dx］（區(qū)間元素），用ΔA表示［x,x+dx］上小曲邊梯形的面積，于是，所求面積A=∑ΔA.一、定積分的元素法（2）近似取［x,x+dx］的左端點x為ξ.以點x處的函數(shù)值f(x)為高、dx為底的小矩形的面積f(x)dx(面積元素，記為dA）作為ΔA的近似值(見圖5-10)，即ΔA≈dA=f(x)dx.圖5-10一、定積分的元素法（3）求和所求曲邊梯形面積A的近似值A≈∑dA=∑f(x)dx.（4）取極限所求曲邊梯形面積A的精確值由上述分析，可以抽象出在應用學科中廣泛采用的將所求量U（總量)表示為定積分的方法——元素法，這個方法的主要步驟如下：一、定積分的元素法（1）根據(jù)具體問題，選取一個積分變量，如x為積分變量，并確定它的變化區(qū)間［a,b］，任?。踑,b］的一個區(qū)間元素［x,x+dx］，求出相應于這個區(qū)間元素上的部分量ΔU的近似值，即求出所求總量U的元素dU=f(x)dx.（2）根據(jù)dU=f(x)dx寫出表示總量U的定積分一、定積分的元素法

應用元素法解決實際問題時，用定積分所表示的量U有三個共同特征：(1)所求總量U的大小取決于某個變量x的一個變化區(qū)間［a,b］，以及定義在該區(qū)間上的函數(shù)f(x).(2)所求總量U關于區(qū)間［a,b］應具有可加性，即區(qū)間［a,b］上的總量U等于各子區(qū)間上的部分量之和.（3）部分量ΔU可以求近似值，且有f(x)dx=dU≈ΔU.一、定積分的元素法在通常情況下，要檢驗ΔU－f(x)dx是否為dx的高階無窮小并非易事，因此，在實際應用中要注意dU=f(x)dx的合理性.元素法的應用十分廣泛，以下幾節(jié)將介紹元素法在幾何、物理以及經(jīng)濟中的應用.一、定積分的元素法二、定積分在幾何中的應用求平面圖形的面積1.1）直角坐標系下平面圖形的面積

由定積分的幾何意義知，連續(xù)曲線y=f(x)(f(x)≥0)及直線x=a,x=b(a<b)與x軸所圍成的曲邊梯形的面積A是定積分其中被積表達式f(x)dx就是直角坐標系下的面積元素，它表示高為fx、底為dx的一個矩形面積.應用定積分，不但可以計算曲邊梯形的面積，還可以計算一些比較復雜的平面圖形的面積.（1）設平面圖形是由連續(xù)曲線y=fx,y=gx及直線x=a,x=b(a<b)圍成，且在［a,b］上fx≥gx(見圖5-11).圖5-11二、定積分在幾何中的應用

利用定積分的元素法，選x為積分變量,其變化區(qū)間為[a,b].在區(qū)間[a,b]上任取一小區(qū)間[x,x+dx]，則該區(qū)間上的面積元素dA近似等于高為f(x)－g(x)、底為dx的小矩形的面積,即dA=[f(x)－g(x)]dx,以面積元素為被積表達式，在a,b上積分，得所求平面圖形的面積二、定積分在幾何中的應用（2）平面圖形由連續(xù)曲線x=φ(y),x=ψ(y)及直線y=c,y=d(c<d)圍成，且在［c,d］上φ(y)≥ψ(y)(見圖5-12).圖5-12二、定積分在幾何中的應用

利用定積分的元素法，選y為積分變量,其變化區(qū)間為[c,d].在區(qū)間[c,d]上任取一小區(qū)間[y,y+dy],則該區(qū)間上的面積元素dA近似等于以φ(y)－ψ(y)為底、dy為高的小矩形的面積,即dA=[φ(y)－ψ(y)]dy,以面積元素為被積表達式，在區(qū)間c,d上積分,得所求平面圖形的面積二、定積分在幾何中的應用

如圖5-13所示，選x為積分變量,其變化區(qū)間為[0,1].在[0,1]上任取一小區(qū)間[x,x+dx]，其對應的面積元素dA=(ex－e－x)dx,于是【例1】圖5-13二、定積分在幾何中的應用

求由兩拋物線x=5y2,x=1+y2所圍成平面圖形的面積A.【例2】二、定積分在幾何中的應用其中A1為兩拋物線在第一象限部分與x軸所圍成的圖形的面積，如圖5-14所示.取y為積分變量，則面積元素為dA1=[(1+y2）－5y2]dy=(1－4y2)dy，所以圖5-14二、定積分在幾何中的應用

圖5-15二、定積分在幾何中的應用

由例2可以看出，求平面圖形的面積時，選擇恰當?shù)姆e分變量可使計算方便.通過兩種方法比較，體會選擇積分變量的重要性.二、定積分在幾何中的應用

解橢圓關于兩坐標軸都對稱,所以橢圓所圍成的面積為A=4A1,

其中A1為該橢圓在第一象限部分與兩坐標軸所圍圖形的面積,因此【例3】二、定積分在幾何中的應用

二、定積分在幾何中的應用設曲線的方程由極坐標形式給出r=r(θ)(α≤θ≤β).現(xiàn)在用元素法求由曲線r=r(θ)，射線θ=α和θ=β所圍成的曲邊扇形（見圖5-17）的面積A.2）極坐標系下平面圖形的面積圖5-17二、定積分在幾何中的應用

選取極角θ為積分變量，其變化范圍為［α,β］.任取其一個區(qū)間元素［θ,θ+dθ］，則相應于［θ,θ+dθ］區(qū)間的小曲邊扇形的面積可以用半徑為r=r(θ)、中心角為dθ的圓扇形的面積來近似代替，從而曲邊扇形的面積元素所求曲邊扇形的面積.（5-13）二、定積分在幾何中的應用

求三葉玫瑰線r=asin3θ圍成的全面積A（見圖5-18）.解令sin3θ=0,則θ=0；令sin3θ=1,則3θ=π/2,因此θ=π/6.應用公式（5-13）,則【例4】圖5-18二、定積分在幾何中的應用

求由曲線r(1+cosθ)=3和直線rcosθ=1所圍成圖形的面積A，如圖5-19所示.【例5】圖5-19二、定積分在幾何中的應用解法1

這里也可把它化為在直角坐標系下的曲線進行計算.二、定積分在幾何中的應用解法2

二、定積分在幾何中的應用求立體圖形的體積2.1）旋轉(zhuǎn)體體積

由一個平面圖形繞該平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體稱為旋轉(zhuǎn)體.這條直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.例如，圓柱可視為由矩形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，圓錐可視為直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，而球體可視為半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周而成的立體.這里主要考慮以x軸和y軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)體，下面利用元素法來推導求旋轉(zhuǎn)體體積的公式.二、定積分在幾何中的應用設旋轉(zhuǎn)體是由連續(xù)曲線y=f(x),直線x=a,x=b與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的（見圖5-20）.下面求旋轉(zhuǎn)體的體積V.圖5-20二、定積分在幾何中的應用取x為自變量，其變化區(qū)間為［a,b］.設想用垂直于x軸的平面將旋轉(zhuǎn)體分成n個小薄片，即把［a,b］分成n個區(qū)間元素，其中任一區(qū)間元素［x,x+dx］所對應的小薄片的體積可近似視為以f(x)為底半徑、dx為高的扁圓柱體的體積，即該旋轉(zhuǎn)體的體積元素dV=π［f(x)］2dx，從而，所求旋轉(zhuǎn)體的體積二、定積分在幾何中的應用

求由直線y=(r/h)x，x=h及x軸圍成的直角三角形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成的一個底半徑為r、高為h的圓錐體的體積（見圖5-21）.【例6】圖5-21二、定積分在幾何中的應用

解取x為積分變量，其變化區(qū)間為［0,h］.圓錐體中相應于［0,h］上任一小區(qū)間x,x+dx的薄片的體積近似等于底半徑為rhx、高為dx的扁圓柱體的體積，即體積元素

于是所求圓錐體的體積二、定積分在幾何中的應用用與上面類似的方法可以推出：由連續(xù)曲線x=φy,直線y=c,y=d(c<d)及y軸所圍成的曲邊梯形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體(見圖5-22)的體積為圖5-22二、定積分在幾何中的應用

求高為h的球缺的體積,其中球的半徑為R（見圖5-23）解此球缺可以看成由(R－h(huán)≤y≤R)的一段圓弧繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的,因而【例7】圖5-23二、定積分在幾何中的應用2）平行截面面積為已知的立體的體積

設一物體被垂直于某直線的平面所截的面積可求，則該物體可用定積分求其體積.不妨設直線為x軸，則在x處的截面面積A(x)是x的已知連續(xù)函數(shù)，求該物體介于x=a和x=b(a<b)之間的體積（見圖5-24）.圖5-24二、定積分在幾何中的應用取x為積分變量，它的變化區(qū)間為［a,b］，在微小區(qū)間［x,x+dx］上A(x)近似不變，即把［x,x+dx］上的立體薄片近似看成A(x)為底、dx為高的扁圓柱體，從而得到體積元素dV=A(x)dx,于是該物體的體積為二、定積分在幾何中的應用

求兩個柱面x2+y2=a2及x2+z2=a2(a>0)所圍成立體Σ的體積V.【例8】二、定積分在幾何中的應用

如圖5-25所示，畫出了立體Σ在第一卦限中的部分.由對稱性,它的體積是立體Σ的18,故由體積計算公式有圖5-25二、定積分在幾何中的應用【例9】二、定積分在幾何中的應用求平面曲線的弧長3.1）平面曲線弧長的概念直線的長度是可以直接度量的，而一條曲線段的長度一般不能直接度量.在介紹如何計算平面曲線的弧長之前，首先要建立平面曲線弧長的概念.由初等幾何知，求圓周長的方法是：利用圓內(nèi)接正多邊形的周長作為圓周長的近似值，令多邊形的邊數(shù)無限增多而取極限，就可定出圓周的周長.這里也可以類似地來定義平面曲線弧長的概念.二、定積分在幾何中的應用定義設A，B是曲線弧L上的兩個端點，在L上插入分點A=M0,M1,…,Mi,…,Mn－1,Mn=B,并依次連結(jié)相鄰分點得一內(nèi)接折線(見圖5-26).設曲線弧L的弧長為s，則圖5-26二、定積分在幾何中的應用定理

光滑曲線弧是可求長的.二、定積分在幾何中的應用2）平面曲線弧長的計算由于光滑曲線弧是可求長的，故可應用定積分來計算弧長.下面利用定積分的元素法來討論弧長的計算公式.（1）直角坐標情形.設函數(shù)y=f(x)在區(qū)間［a,b］上有一階連續(xù)導數(shù)，即曲線y=f(x)為［a,b］上的光滑曲線，求此光滑曲線的弧長s.二、定積分在幾何中的應用如圖5-27所示，取x為積分變量，它的變化區(qū)間為［a,b］，任取其上一區(qū)間元素［x,x+dx］，相應于該元素上的一小段弧的長度近似等于該曲線在點(x,f(x))處的切線上相應的一小段的長度，而切線上相應小段的長度為（5-14）圖5-27二、定積分在幾何中的應用【例10】圖5-28二、定積分在幾何中的應用

二、定積分在幾何中的應用【例11】圖5-29二、定積分在幾何中的應用

二、定積分在幾何中的應用【例11】二、定積分在幾何中的應用三、定積分在物理中的應用求變力沿直線所做的功1.

由初等物理知識知，一個與物體位移方向一致而大小為F的常力，將物體移動了距離s時所做的功為W=F·s.如果物體在運動過程中受到變力的作用，則可利用定積分元素法來計算物體受變力沿直線所做的功.一般的，假設F(x)是［a,b］上的連續(xù)函數(shù)，下面討論在變力F(x)的作用下，物體從x=a移動到x=b時所做的功W（見圖5-31）.圖5-31

取x為積分變量，其變化區(qū)間為［a,b］.在［a,b］上任取一小區(qū)間［x,x+dx］，物體由點x移動到x+dx的過程中受到的變力近似視為物體在點x處受到的常力F(x)，則功元素為dW=F(x)dx，于是，物體受變力F(x)的作用從x=a移動到x=b時所做的功為

在實際應用中，許多問題都可以轉(zhuǎn)化為物體受變力作用沿直線所做的功的情形.下面通過具體例子來說明.三、定積分在物理中的應用

半徑為r的球沉入水中,球的上部與水面相切,球的密度為1,現(xiàn)將球從水中取出,需做多少功?解建立如圖5-32所示的坐標系，將半徑為r的球取出水面,在整個運動過程中,球所受的力F(x)為F(x)=G－F浮,【例13】圖5-32三、定積分在物理中的應用

三、定積分在物理中的應用

設40N的力使彈簧從自然長度0.1m拉長到0.15m,問需要做多大的功才能克服彈性恢復力,將伸長的彈簧從0.15m處再拉長0.03m?解根據(jù)胡克定律（在彈性限度內(nèi)，拉伸（或壓縮）彈簧所需的力與伸長量（或壓縮量）成正比），如圖5-33建立坐標系，有F(x)=kx.【例14】圖5-33三、定積分在物理中的應用又因為40N的力使彈簧從自然長度0.1m拉長到0.15m時，其伸長量為0.05m,因而F(0.05)=40,即0.05k=40,可得k=800,則F(x)=800x,故彈簧從0.15m拉長到0.18m，所做的功為三、定積分在物理中的應用求水壓力2.

由物理學知,在距水面深為h處的壓強為p=ρgh（其中ρ為水的密度，g為重力加速度）,并且在同一點處的壓強在各個方向是相等的.若一面積為A的平板水平地放置在距水面深度為h處,則平板一側(cè)所受到的水壓力為P=pA=ρghA.若平板垂直地放在水中,由于深度不同的點處壓強不相同，平板一側(cè)所受壓力就不可用上述方法計算.但由于整個平板所受的壓力對深度具有可加性，因此可以用定積分的元素法來計算.三、定積分在物理中的應用

如圖5-34所示，假設平板的形狀為一曲邊梯形，它是由y=f(x)與直線x=a,x=b及x軸所圍成的.將其垂直地放置在密度為ρ的水中,兩腰與水面平行,且距水面的高度分別為a與b(a<b),求平板一側(cè)所受水的壓力.圖5-34三、定積分在物理中的應用選x為積分變量,其變化區(qū)間為[a,b].在[a,b]上任取一小區(qū)間x,x+dx,若dx很小,該小區(qū)間對應的小曲邊梯形所受到的壓強可以近似地用深度為x處的壓強代替,因此所受到的壓力元素為dP=ρgxfxdx,在[a,b]上積分,便得整個平板一側(cè)所受到的壓力為下面通過具體例子來說明.三、定積分在物理中的應用

將直角邊分別為a及2a的直角三角形薄板垂直地浸入水中,斜邊朝下,邊長為2a的直角邊與水面平行,且該邊到水面的距離恰等于該邊的邊長,求薄板一側(cè)所受水的壓力(設水的密度為ρ).

解

如圖5-35建立坐標系,取x為積分變量，它的變化范圍為0,a,在［0,a］上任取一小區(qū)間［x,x+dx］,則小矩形片的面積為2(a－x)dx,小矩形片上各處的壓強近似為p=ρg(x+2a)，【例15】三、定積分在物理中的應用圖5-35三、定積分在物理中的應用因此,壓力元素為dP=ρg(x+2a)·2(a－x)dx,故所求薄板一側(cè)所受水的壓力為.三、定積分在物理中的應用求引力3.根據(jù)初等物理知識，質(zhì)量分別為m1，m2，相距r的兩個質(zhì)點間的引力的大小為（k為引力系數(shù)）引力的方向為兩質(zhì)點的連線方向.如果要計算一根細棒或一平面對一個質(zhì)點的引力，由于細棒或平面上各點與該質(zhì)點的距離是變化的，且各點對該質(zhì)點的引力方向也是變化的，那么此時應如何計算呢？下面通過具體例子來說明該問題的計算方法.三、定積分在物理中的應用

設有一半徑為R,中心角為φ(0<φ<π)的圓弧形細棒,其線密度為常數(shù)ρ,在圓心處有一質(zhì)量為m的質(zhì)點M,試求這細棒對質(zhì)點M的引力.

解

如圖5-36建立坐標系,質(zhì)點M位于坐標原點,x軸平分該圓弧的圓心角,由于此圖形關于x軸對稱,而圓弧形細棒又是均勻的,故細棒對質(zhì)點M的引力在y軸上的分力Fy=0,只計算引力在x軸上的分力Fx即可.【例16】圖5-36三、定積分在物理中的應用

三、定積分在物理中的應用四、定積分在經(jīng)濟中的應用由邊際函數(shù)求總量函數(shù)1.已知邊際函數(shù)F′(x)，可由牛頓-萊布尼茨公式求得經(jīng)濟函數(shù)（原函數(shù)）產(chǎn)量由a變到b時，經(jīng)濟函數(shù)的增量

生產(chǎn)某產(chǎn)品的邊際成本函數(shù)為C′(x)=3x2-14x+100,固定成本C(0)=1000,求總成本函數(shù).

解

總成本函數(shù)【例17】四、定積分在經(jīng)濟中的應用

已知某產(chǎn)品銷售量為x時邊際收益為R′(x)=100－x.求：（1）銷售量為10時的收益.（2）銷售量從20增加到30時，收益是多少？【例18】四、定積分在經(jīng)濟中的應用

設生產(chǎn)某種產(chǎn)品的邊際成本C′(x)=100+2x,其固定成本為1000元,產(chǎn)品單價規(guī)定為500元.假設生產(chǎn)出的產(chǎn)品能完全售出,問產(chǎn)量為多少時利潤最大?并求出最大利潤.解總成本函數(shù)為總收益函數(shù)為R(x)=500x，【例19】四、定積分在經(jīng)濟中的應用故總利潤函數(shù)為L(x)=R(x)－C(x)=400x－x2－1000,從而L′(x)=400－2x.令L′(x)=0得唯一駐點x=200.而利潤必存在最大值，所以,產(chǎn)量為200單位時,利潤最大,最大利潤為L(200)=400×200－2002－1000=39000(元).四、定積分在經(jīng)濟中的應用求消費者剩余與生產(chǎn)者剩余2.

在經(jīng)濟管理中,一般說來,商品價格低,需求就大;反之,商品價格高,需求就小,因此