2024-2025學(xué)年福建省連城縣高二上冊12月月考數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省連城縣高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知點(diǎn)P在橢圓上，點(diǎn)，，則（

）A．2 B． C． D．2．某單位參加年月日在四角井歷史文化街區(qū)舉辦的晚會有三個(gè)唱歌節(jié)目，兩個(gè)舞蹈節(jié)目，要求舞蹈節(jié)目不能相鄰，有（）種排法？A． B． C． D．3．設(shè)，則（）A．1 B． C．?2 D．24．已知直線平分圓的周長，則（）A．2 B．4 C．6 D．85．在等差數(shù)列中，，是方程的兩根，則的前6項(xiàng)和為（

）A．48 B．24 C．12 D．86．已知直線傾斜角為，且過，則在軸上的截距為（）A． B． C．1 D．7．已知圓，為圓內(nèi)一點(diǎn)，將圓折起使得圓周過點(diǎn)(如圖)，然后將紙片展開，得到一條折痕，這樣繼續(xù)下去將會得到若干折痕，觀察這些折痕圍成的輪廓是一條圓錐曲線，則該圓錐曲線的方程為（

）A． B． C． D．8．公元前300年前后，歐幾里得撰寫的《幾何原本》是最早有關(guān)黃金分割的論著，書中描述：把一條線段分割為兩部分，使較大部分與全長的比值等于較小部分與較大的比值，則這個(gè)比值即為“黃金分割比”，把離心率為“黃金分割比”倒數(shù)的雙曲線叫做“黃金雙曲線”．黃金雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為，與不在軸同側(cè)的焦點(diǎn)為，的一個(gè)虛軸端點(diǎn)為，為雙曲線任意一條不過原點(diǎn)且斜率存在的弦，為中點(diǎn)．設(shè)雙曲線的離心率為，則下列說法中，錯(cuò)誤的有（）A． B．C． D．若，則恒成立二、多選題（本大題共3小題）9．關(guān)于的展開式，下列判斷正確的是（）A．展開式共有7項(xiàng)B．展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為64C．展開式的第6項(xiàng)的系數(shù)為30D．展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng)10．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，若，，則（）A．B．C．D．11．下列說法正確的有（

）A．已知F是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，若直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，記橢圓的離心率為e，則的取值范圍是B．設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)，若，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為C．已知雙曲線的左?右焦點(diǎn)分別為，離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為.過作直線交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，若分別為與的內(nèi)心，則的取值范圍為D．過橢圓的左、右焦點(diǎn)，作傾斜角分別為和的兩條直線，．若兩條直線的交點(diǎn)P恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為三、填空題（本大題共3小題）12．若

則n=.13．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過作一條漸近線的垂線交雙曲線的左支于點(diǎn)，已知，則雙曲線的漸近線方程為．14．已知等差數(shù)列的公差與等比數(shù)列的公比相等，且，，，若數(shù)列和的所有項(xiàng)合在一起，從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為Sn，則使得成立的的最小值為．四、解答題（本大題共5小題）15．直線經(jīng)過兩直線和的交點(diǎn)．(1)若直線與直線垂直，求直線的方程；(2)若直線與圓相切，求直線的方程．16．已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．已知橢圓的焦點(diǎn)為，且該橢圓經(jīng)過點(diǎn).(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若為上一點(diǎn)，且，求的面積.18．已知雙曲線的焦距為且左右頂點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線l與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)若直線的斜率為，求弦長MN；(3)記直線，的斜率分別為，，證明：是定值．19．已知雙曲線：，，點(diǎn)在C上，為常數(shù)，，按照如下公式依次構(gòu)造點(diǎn)，；過點(diǎn)作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)求雙曲線的方程；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對任意正整數(shù)，.

答案1．【正確答案】C【詳解】由橢圓方程為可知，則，即為橢圓的左、右焦點(diǎn)，由橢圓定義可得.故選：C2．【正確答案】D【詳解】先排三個(gè)唱歌節(jié)目這有種情況，然后四個(gè)空排兩個(gè)舞蹈節(jié)目這有種情況，所以舞蹈節(jié)目不能相鄰的情況有情況.故選：D.3．【正確答案】B【詳解】令x=1，則，故選：B.4．【正確答案】A【詳解】由，可得圓心為，因?yàn)橹本€平分圓的周長，所以直線過圓的圓心，則，解得．故選A.5．【正確答案】B【分析】利用韋達(dá)定理確定，根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)有，在應(yīng)用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】因?yàn)椋欠匠痰膬筛?，所以，又因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)有：，設(shè)的前6項(xiàng)和為，則.故選B.6．【正確答案】B【詳解】直線的斜率為，方程為，當(dāng)時(shí)，，所以在軸上的截距為.故選：B7．【正確答案】A【分析】由圖形可知結(jié)果為定值，進(jìn)而根據(jù)橢圖的定義推斷出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】，，點(diǎn)關(guān)于折痕的對稱點(diǎn)在圓周上，折痕為線段的垂直平分線，折痕與相交于點(diǎn)，如圖所示：則有，可知，所以點(diǎn)的軌跡是以為左、右焦點(diǎn)的橢圓，其中長軸，焦距，所以點(diǎn)的軌跡方程為，即折痕圍成輪廓的圓錐曲線的方程為.故選：A8．【正確答案】D【詳解】由為黃金分割雙曲線可得，即，對兩邊同除以可得，則，A正確；變形得，，，，所以，又，所以，，所以，所以，所以，B正確；

設(shè)，，，將坐標(biāo)代入雙曲線方程可得，，作差后整理可得，即所以，故C正確；設(shè)直線，則直線，將代入雙曲線方程，可得，則，，將換成即得，則與，的值有關(guān)，故D錯(cuò)誤，故選：D.9．【正確答案】ABD【詳解】對于A，展開式共有7項(xiàng)，故A正確；對于B，展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為，故B正確；對于C，展開式的第6項(xiàng)是，其系數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對于D，展開式共7項(xiàng)，所以第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，故D正確.故選：ABD10．【正確答案】ABC【詳解】方法一：∵等差數(shù)列滿足，，∴由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式有，解得，∴，，對于A，，故選項(xiàng)A正確；對于B，，當(dāng)取與最接近的整數(shù)即或時(shí)，最大，∴，故選項(xiàng)B正確；對于C，，故選項(xiàng)C正確；對于D，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.方法二：∵等差數(shù)列滿足，∴，∴對于A，，∴，故A正確；對于B，，，，∴，故選項(xiàng)B正確；對于C，，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D，，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：ABC.11．【正確答案】BCD【詳解】對于A，設(shè)為橢圓的另一焦點(diǎn)，如圖，連接，根據(jù)橢圓和直線的對稱性，可得四邊形為平行四邊形，又因?yàn)?，所?在中，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，即，又因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，故A錯(cuò)誤；對于B，由，得，，，則，，，由余弦定理得，，則，則，即，所以，設(shè)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，則，則，即，故B正確；對于C，在C:x其中一條漸近線方程為，即，由題意，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則，即，又，解得：，則，所以雙曲線的方程為.記的內(nèi)切圓在邊，，上的切點(diǎn)分別為，則，橫坐標(biāo)相等，，，由，即，得，即，記的橫坐標(biāo)為，則，于是，得，同理內(nèi)心的橫坐標(biāo)也為，故軸.設(shè)直線的傾斜角為，則，（Q為坐標(biāo)原點(diǎn)），在中，，由于直線與的右支交于兩點(diǎn)，且的一條漸近線的斜率為，傾斜角為，所以，即，所以的范圍是，故C正確；對于D，在中，由正弦定理可得所以，所以該橢圓的離心率，故D正確.故選：BCD.12．【正確答案】4或6【詳解】由，可得或，解得或.經(jīng)檢驗(yàn)成立故或.13．【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線的定義、余弦定理求出的關(guān)系即可作答.【詳解】

由得，又，所以，雙曲線的漸近線方程為，則點(diǎn)到漸近線的距離，所以在中，，由余弦定理得，即，化簡得，即，解得或，因?yàn)?，所?則雙曲線的漸近線方程為．故答案為.【易錯(cuò)警示】注意題目條件，確定好是過哪個(gè)焦點(diǎn)作漸近線的垂線，以及一元二次方程的化簡求解.【關(guān)鍵點(diǎn)撥】根據(jù)是雙曲線的漸近線的垂線這一條件，求出，利用余弦定理確定之間的數(shù)量關(guān)系，得到關(guān)于的一元二次方程，求出的數(shù)量關(guān)系即可作答.14．【正確答案】【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則等差數(shù)列的公差為，則，，，解得，，，所以，，，由，整理可得，數(shù)列的各項(xiàng)分別為：、、、、、、、、、，其中前若干項(xiàng)中，數(shù)列有項(xiàng)，數(shù)列有項(xiàng)，所以，是數(shù)列的第項(xiàng)，所以，，所以，，令，整理可得，令，則有，解得，因?yàn)?，所以，，可得，所以，滿足不等式的正整數(shù)的最小值為，同理可知，滿足不等式的正整數(shù)的最大值為，所以滿足不等式的正整數(shù)的最小值，即，設(shè)，其中且，則，，由，整理可得，解得，所以自然數(shù)的最小值為，所以.故.15．【正確答案】(1)(2)或【詳解】（1）聯(lián)立兩直線和，解得，即交點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以直線的斜率為，所以直線的方程為，即.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，圓心到直線的距離，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為：，即，根據(jù)題意得：圓心到直線的距離，解得，所以直線的方程為.綜上：直線的方程為或.16．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列的公差為，則，由成等比數(shù)列，得，即，又，則，解得（舍），或，所以.故數(shù)列的通項(xiàng)公式為.（2）由題意，，則，且，所以是首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，所以的前項(xiàng)和.17．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）依題意，設(shè)橢圓方程為，所以，解得.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由于，，根據(jù)拋物線的定義有：，整理得，所以的面積為.18．【正確答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）由題意，雙曲線的焦距為，則，即，由，得，所以雙曲線的方程為.（2）依題意，直線的方程為，聯(lián)立，即，設(shè)，，則，，所以弦長.（3）證明：依題意，設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立，即，則，且，，即，而，，所以為定值.19．【正確答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【詳解】（1）由已知有，故的方程為.（2）方法一：由于過且斜率為的直線為，與聯(lián)立，得到方程.展開即得，由于已經(jīng)是直線和的公共點(diǎn)，故方程必有一根.從而根據(jù)韋達(dá)定理，另一根，相應(yīng)的.所以該直線與的不同于的交點(diǎn)為，而注意到的橫坐標(biāo)亦可通過韋達(dá)定理表示為，故一定在的左支上.所以.這就得到，.所以.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.方法二：因?yàn)?，，，則，由于，作差得，，利用合比性質(zhì)知，因此是公比為的等比數(shù)列.（3）方法一：先證明一個(gè)結(jié)論：對平面上三個(gè)點(diǎn)，若，，則.（若在同一條直線上，約定）證明：.證畢，回到原題.由于上一小問已經(jīng)得到，，故.再由，就知道，所以數(shù)列是公比