2024-2025學(xué)年福建省莆田市高一上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省莆田市高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，則（

）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，則（

）A．1 B．0 C． D．3．已知，，則“”是“”的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．函數(shù)f(x)＝，的圖象大致是（

）A． B．C． D．5．《周髀算經(jīng)》中給出的弦圖是由四個(gè)全等的直角三角形和中間一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大的正方形，若下圖中所示的角為（），且小正方形與大正方形面積之比為，則的值為（

）A． B． C． D．6．已知外接圓圓心為，半徑為1，，且，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，，設(shè)函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．是偶函數(shù) B．函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．有最大值，沒(méi)有最小值8．如果一個(gè)方程或不等式中出現(xiàn)兩個(gè)變量，適當(dāng)變形后，可使得兩邊結(jié)構(gòu)相同，此時(shí)可構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性把方程或不等式化簡(jiǎn).利用上述方法解決問(wèn)題：已知實(shí)數(shù)，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．若函數(shù)的圖象為如圖所示的曲線m和線段n，曲線m與直線l無(wú)限接近，但永不相交，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．的定義域?yàn)锽．的值域?yàn)镃．在的定義域內(nèi)任取一個(gè)值，總有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)D．在的值域內(nèi)任取一個(gè)值，總有唯一的x值與之對(duì)應(yīng)10．已知平面四邊形，則下列命題正確的是（

）A．若，則四邊形是梯形B．若，則四邊形是菱形C．若，則四邊形是平行四邊形D．若且，則四邊形是矩形11．已知函數(shù)（），則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則是的對(duì)稱中心B．若恒成立，則的最小值為2C．若在上單調(diào)遞增，則D．若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則12．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是奇函?shù)，是偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B．C．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱D．關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱三、填空題（本大題共4小題）13．已知弧度數(shù)為的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng)為2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是.14．已知，則的最小值為.15．如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，動(dòng)點(diǎn)、從點(diǎn)出發(fā)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛎棵腌娹D(zhuǎn)弧度，則、兩點(diǎn)在第1804次相遇時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是.16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知曲線依次為的圖象，其中為常數(shù)，，點(diǎn)是曲線上位于第一象限的點(diǎn)，過(guò)分別作軸、軸的平行線交曲線分別于點(diǎn)B、D，過(guò)點(diǎn)B作軸的平行線交曲線于點(diǎn)，若四邊形為矩形，則的值是.四、解答題（本大題共6小題）17．已知，，且.(1)求與的夾角；(2)若，求實(shí)數(shù)的值.18．已知函數(shù)(1)當(dāng)，求的最大值以及取得最大值時(shí)的集合.(2)先將函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，求當(dāng)時(shí)，使成立的的取值集合.19．已知函數(shù)．(1)若，求的值；(2)若對(duì)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．已知角為銳角，，且滿足，(1)證明：；(2)求.21．中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗(yàn)表明，某種烏龍茶用100℃的水泡制，等到茶水溫度降至60℃時(shí)再飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．某實(shí)驗(yàn)小組為探究在室溫下，剛泡好的茶水達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間，每隔測(cè)量一次茶水溫度，得到茶水溫度隨時(shí)間變化的如下數(shù)據(jù)：時(shí)間/min012345水溫/℃100.0092.0084.8078.3772.5367.27設(shè)茶水溫度從100℃開(kāi)始，經(jīng)過(guò)后的溫度為，現(xiàn)給出以下三種函數(shù)模型：①；②（，，）；③（，，）．(1)從上述三種函數(shù)模型中選出你認(rèn)為最符合實(shí)際的函數(shù)模型，簡(jiǎn)單敘述理由，并利用前的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；(2)根據(jù)（1）中所求函數(shù)模型，求剛泡好的烏龍茶達(dá)到最佳飲用口感的放置時(shí)間（精確到0.01）；(3)考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實(shí)，試判斷進(jìn)行實(shí)驗(yàn)時(shí)的室溫為多少℃，并說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：，．）22．小穎同學(xué)在學(xué)習(xí)探究活動(dòng)中，定義了一種運(yùn)等“”：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有，通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)新運(yùn)算滿足交換律.小穎提出了兩個(gè)猜想：，，，①；②.(1)請(qǐng)你任選其中一個(gè)猜想，判斷其正確與否，若正確，進(jìn)行證明；若錯(cuò)誤，請(qǐng)說(shuō)明理由；（注：兩個(gè)猜想都判斷、證明或說(shuō)明理由，僅按第一解答給分）(2)設(shè)且，，當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?，求的取值范?

答案1．【正確答案】C【分析】由集合的交集運(yùn)算可得.【詳解】，，所以.故選：C.2．【正確答案】B【分析】直接計(jì)算得到答案.【詳解】，則.故選：B.3．【正確答案】B根據(jù)必要不充分條件的定義判斷即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，但是，不是充分條件，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，所以，即，?dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，所以是必要條件，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查必要不充分條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含.4．【正確答案】A【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，以及函數(shù)在上的符號(hào)，利用排除法進(jìn)行判斷即可．【詳解】∵f(x)＝，∴，，∴函數(shù)是奇函數(shù)，排除D，當(dāng)時(shí)，，則，排除B，C.故選：A．5．【正確答案】D【分析】設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，求出小正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)小正方形與大正方形面積之比得，再利用弦化切求解可得答案.【詳解】如圖，設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為，則小正方形的邊長(zhǎng)為，所以小正方形與大正方形面積之比為，化簡(jiǎn)得，且，由，解得.故選：D.6．【正確答案】D【分析】根據(jù)已知條件可知△ABC為直角三角形，向量在向量上的投影向量為．【詳解】如圖，由知為中點(diǎn)，又為外接圓圓心，，，，，，，∴在向量上的投影為：，向量在向量上的投影向量為：．故選：D．7．【正確答案】B【分析】畫(huà)出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.【詳解】在同一直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)，的圖象，從而得函數(shù)圖象，如圖實(shí)線部分：對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以是偶函數(shù)，正確；對(duì)于B，根據(jù)零點(diǎn)的定義結(jié)合函數(shù)的圖象知，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，分別為，錯(cuò)誤；對(duì)于C，從函數(shù)圖象觀察得在區(qū)間上單調(diào)遞減，正確；對(duì)于D，從函數(shù)圖象觀察得有最大值，沒(méi)有最小值，正確；故選：B8．【正確答案】B【分析】對(duì)結(jié)合和變形，得到不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】由，變形可知，則，利用換底公式等價(jià)變形，得，令，因?yàn)?，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，即，排除C，D；其次，因?yàn)椋?，即，即，同樣利用的單調(diào)性知，，又因?yàn)椋?，即，所以故選：B.9．【正確答案】BC【分析】A選項(xiàng)，取不到-3，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由圖象可知值域?yàn)椋籆選項(xiàng)，由圖象及函數(shù)的定義可知定義域內(nèi)任取一個(gè)值，總有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)；D選項(xiàng)，可舉出反例.【詳解】由題意得：定義域?yàn)?，A錯(cuò)誤；的最小值為1，故值域?yàn)?，B正確；由函數(shù)定義及圖象可知：在的定義域內(nèi)任取一個(gè)值，總有唯一的y值與之對(duì)應(yīng)，C正確，在的值域內(nèi)任取一個(gè)值時(shí)，此時(shí)有兩個(gè)x值與之對(duì)應(yīng)，D錯(cuò)誤.故選：BC10．【正確答案】ACD【分析】根據(jù)向量相等及向量模長(zhǎng)的判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：因?yàn)?，所?則四邊形是梯形,A選項(xiàng)正確；對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)橄噜弮蛇呄嗟炔荒艿贸鏊倪呅问橇庑?，所以B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊?C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)：因?yàn)?，所?則四邊形是平行四邊形,因?yàn)?所以,則四邊形是矩形,D選項(xiàng)正確；故選：ACD.11．【正確答案】BC【分析】求出可判斷A；由恒成立，可知，計(jì)算可判斷B；由可得，求解可判斷C；由可得，求解可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，則，所以，所以是的對(duì)稱軸，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若恒成立，即恒成立，則,解得：，又因?yàn)椋瑒t的最小值為2，故B正確；對(duì)于C，時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，則，解得，故C正確；對(duì)于D，時(shí)，，若在上恰有2個(gè)零點(diǎn)，則，解得，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．【正確答案】ABC【分析】根據(jù)題意，利用函數(shù)的奇偶性，推得函數(shù)的對(duì)稱性和周期性，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以，；所以，，所以周期為4，又因?yàn)?，所以，即為奇函?shù)，對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱，周期為4，時(shí)，，所以；；；所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，為奇函數(shù)，圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故C項(xiàng)正確，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.13．【正確答案】【分析】設(shè)圓的半徑為，根據(jù)圓心角與弦長(zhǎng)、半徑關(guān)系求，再由弧長(zhǎng)公式求圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng).【詳解】若圓的半徑為，則，可得，∴圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng).故14．【正確答案】8【分析】利用基本不等式求最值可得答案.【詳解】時(shí)，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故8.15．【正確答案】【分析】計(jì)算相遇時(shí)間，再確定轉(zhuǎn)過(guò)的角度，得到坐標(biāo).【詳解】相遇時(shí)間為秒，故轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，故對(duì)應(yīng)坐標(biāo)為，即.故16．【正確答案】/【分析】設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，求得點(diǎn)坐標(biāo)并代入，從而求得的值.【詳解】設(shè)，其中，則，，由解得，則，所以，將點(diǎn)坐標(biāo)代入得.故17．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到，再根據(jù)數(shù)量積的定義求出夾角的余弦值，即可得解；（2）依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律得到方程，再求出k的值.【詳解】（1）因?yàn)?，所?設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故與的夾角為.（2）因?yàn)?，所以，即，即，所以，即，解?18．【正確答案】(1)最大值為2，的集合為.(2)【分析】（1）利用正余弦的兩角和與差的展開(kāi)式化簡(jiǎn)，再根據(jù)的范圍可得答案；（2）根據(jù)平移規(guī)律化簡(jiǎn)得到，再解不等式可得答案.【詳解】（1）由題意：函數(shù)，化簡(jiǎn)得：，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)即時(shí)有最大值，且最大值為2，此時(shí)的集合為；（2）將的圖象的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的得到的圖象，再向右平移個(gè)單位后得到，則.即，，（），解得，（），所以成立的的取值集合是.19．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）分別在和的情況下解方程即可求得結(jié)果；（2）由單調(diào)性可知；當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，可知；當(dāng)時(shí)，分離變量可得，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知，由此可得的范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，由得：，解得：，又，，則；綜上所述.（2）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則；當(dāng)時(shí)，，則，則；當(dāng)時(shí)，，，，解得：；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為.20．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)二倍角的正切公式計(jì)算可得即可證明；（2）根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，，再根據(jù)兩角和差的正弦公式，結(jié)合求解即可【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，因?yàn)闉殇J角且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以（2）由，結(jié)合角為銳角，解得，，因?yàn)?，且所?又，所以21．【正確答案】(1)理由見(jiàn)解析，(2)剛泡好的烏龍茶大約放置能達(dá)到最佳飲用口感(3)烏龍茶所在實(shí)驗(yàn)室的室溫約為20℃【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合一次函數(shù)，指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的特點(diǎn)，分析判斷即可得到結(jié)果，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可得到解析式；（2）結(jié)合（1）中結(jié)論，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（3）根據(jù)所選函數(shù)模型，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）選擇②（，，）作為函數(shù)模型．由表格中的數(shù)據(jù)可知，當(dāng)自變量增大時(shí)，函數(shù)值減小，所以不應(yīng)該選擇對(duì)數(shù)增長(zhǎng)模型③；當(dāng)自變量增加量為1時(shí)，函數(shù)值的減少量有遞減趨勢(shì)，不是同一個(gè)常數(shù)，所以不應(yīng)該選擇一次函數(shù)模型①．故應(yīng)選擇②（，，）將表中前的數(shù)據(jù)代入，得，解得，所以函數(shù)模型的解析式為：．（2）由（1）中函數(shù)模型，有，即，所以，即，所以剛泡好的烏龍茶大約放置能達(dá)到最佳飲用口感．（3）由為減函數(shù)，且當(dāng)x越大時(shí)，y越接近20，考慮到茶水溫度降至室溫就不能再降的事實(shí)，所以烏龍茶所在實(shí)驗(yàn)室的室溫約為20℃．22．【正確答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)【分析】（1）無(wú)論選①還是選②，均要根據(jù)新運(yùn)算定義分別計(jì)算兩個(gè)猜想等式的兩邊，比較其結(jié)果，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)新運(yùn)算定義化簡(jiǎn)可得的表達(dá)式，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷其單調(diào)性，結(jié)合其值域可得關(guān)于的方程，繼而推出是在上的兩個(gè)不同