2024-2025學(xué)年福建省廈門(mén)市高一上冊(cè)期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（附解析）

2024-2025學(xué)年福建省廈門(mén)市高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫(xiě)在答題卡上.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后，將答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合，B＝{0，1，2，3，4}，則A∩B＝（）A．{0，1} B．{1，2} C．{2，3} D．{3，4}2．（5分）已知a＞1，log4a+loga2＝，則a的值可以為（）A．3 B．4 C．6 D．83．（5分）已知sinx＝，cosx＝，且x∈（，2π），則tanx＝（）A． B． C．或﹣ D．4．（5分），，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．c＞a＞b B．a(chǎn)＞b＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．b＞c＞a5．（5分）命題p：?x∈R，x2+bx+1≤0是假命題，則實(shí)數(shù)b的值可能是（）A． B． C．2 D．6．（5分）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，則（）A． B． C． D．7．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣2（k﹣1）x﹣8在[5，20]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣∞，6] B．[21，+∞） C．（﹣∞，6]∪[21，+∞） D．（6，21）8．（5分）已知函數(shù)，函數(shù)g（x）＝x2，若函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（5，+∞） B． C． D．選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（6分）下列說(shuō)法正確的是（）A．若函數(shù)f（x）＝2x+x﹣4的零點(diǎn)所在區(qū)間為（k，k+1）（k∈Z），則k＝1 B．函數(shù)y＝a2x+2﹣2的圖象恒過(guò)一定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)是（﹣1，﹣1） C．“|x|＞|y|”是“x＞y”的必要條件 D．“m＜0”是“關(guān)于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正根和一負(fù)根”的充要條件10．（6分）已知b＜a＜0，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B．a(chǎn)+b＜ab C．|a|＜|b| D．a(chǎn)b＞b211．（6分）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+2）＝﹣f（x），且當(dāng)x∈[2，4）時(shí)，f（x）＝|2x﹣6|﹣2，則（）A．f（x）＝f（x+4） B．f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞減 C．f（2024.5）＝1 D．函數(shù)g（x）＝2f（|x|）﹣|log2|x||恰有8個(gè)零點(diǎn)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．（5分）若一個(gè)半徑為2的圓剪去一個(gè)圓心角為108°的扇形，則剩余部分的周長(zhǎng)是．13．（5分）已知函數(shù)f（x）＝，（Ⅰ）f[f（﹣1）]＝；（Ⅱ）若f（a）＝4，則a＝．14．（5分）當(dāng)今各網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售平臺(tái)通常會(huì)提供上門(mén)回收舊家具服務(wù)．平臺(tái)工作人員小牛正在回收某客戶(hù)淘汰的舊家具，為了省力，小牛選擇將舊家具水平推運(yùn)（舊家具背面水平放置于帶滾輪的平板車(chē)上，平板車(chē)長(zhǎng)寬均小于舊家具背面）．已知舊家具的形狀為長(zhǎng)方體．小牛在推運(yùn)過(guò)程中遇到一處直角過(guò)道，如圖所示，過(guò)道寬為1.8米．記舊家具在地面的投影為矩形EFGH，其中寬度EH＝1.2米．請(qǐng)幫助小牛得出結(jié)論：按此種方式推運(yùn)的舊家具，可以通過(guò)該直角過(guò)道的最大高度EF為米（結(jié)果精確到0.1米）．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）設(shè)二次函數(shù)f（x）＝ax2+bx+3（a，b∈R）．（1）若不等式f（x）＞0的解集為（﹣3，1），求a、b的值；（2）若f（1）＝4，a＞0，b＞0，求的最小值；16．（15分）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象如圖．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．17．（15分）函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝．（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）在[0，+∞）的單調(diào)性，并給出證明；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅲ）若對(duì)任意的t∈[﹣1，1]，不等式f（k﹣t2）+f（2t﹣2t2﹣3）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．18．（17分）某旅游風(fēng)景區(qū)發(fā)行的紀(jì)念章即將投放市場(chǎng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研情況，預(yù)計(jì)每枚該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y（單位：元）與上市時(shí)間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：上市時(shí)間x天2620市場(chǎng)價(jià)y元10278120（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系并說(shuō)明理由：①y＝ax+b；②y＝ax2+bx+c；③；（2）利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格；（3）利用你選取的函數(shù)，若存在x∈（10，+∞），使得不等式成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．19．（17分）定義函數(shù)．（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)y＝f（x）的值域；（2）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒有f（x）＝f1（x）成立，求實(shí)常數(shù)P的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)為正常數(shù)，若關(guān)于x的方程f（x）＝m（m為實(shí)常數(shù)）恰有三個(gè)不同的解，求p的取值范圍及這三個(gè)解的和（用p表示）．

數(shù)學(xué)試題答案與試題解析一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合，B＝{0，1，2，3，4}，則A∩B＝（）A．{0，1} B．{1，2} C．{2，3} D．{3，4}【考點(diǎn)】求集合的交集．【正確答案】D【分析】由集合的性質(zhì)和交集的運(yùn)算求出即可．解：由題意得x2﹣5≥0，則有，所以A∩B＝{3，4}．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（5分）已知a＞1，log4a+loga2＝，則a的值可以為（）A．3 B．4 C．6 D．8【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．【正確答案】B【分析】利用對(duì)數(shù)換底公式，對(duì)數(shù)方程，利用代數(shù)變換求解未知數(shù)，然后利用對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)求解即可．解：由題意可得，設(shè)log2a＝x，可得，解得x1＝1或x2＝2，所以log2a＝1或log2a＝2，所以a＝2或4．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用，考查了對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．3．（5分）已知sinx＝，cosx＝，且x∈（，2π），則tanx＝（）A． B． C．或﹣ D．【考點(diǎn)】同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【正確答案】D【分析】由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可．解：已知sinx＝，cosx＝，且x∈（，2π），又sin2x+cos2x＝1，sinx＜0，cosx＞0，則m2﹣8m＝0，即m＝0或m＝8（舍），則，cosx＝，即tanx＝＝，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．4．（5分），，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．c＞a＞b B．a(chǎn)＞b＞c C．a(chǎn)＞c＞b D．b＞c＞a【考點(diǎn)】對(duì)數(shù)值大小的比較；指數(shù)函數(shù)的圖象；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值．【正確答案】C【分析】根據(jù)冪函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷求解．解：因?yàn)楹瘮?shù)y＝在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以a＞c，又函數(shù)y＝（）x是單調(diào)遞減函數(shù)，則b＜c，所以a＞c＞b，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪函數(shù)以及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了學(xué)生的理解能力，屬于基礎(chǔ)題．5．（5分）命題p：?x∈R，x2+bx+1≤0是假命題，則實(shí)數(shù)b的值可能是（）A． B． C．2 D．【考點(diǎn)】存在量詞命題真假的應(yīng)用．【正確答案】B【分析】由題意可知，￢p：?x∈R，x2+bx+1＞0是真命題，所以Δ＜0，從而求出b的取值范圍．解：∵命題p：?x∈R，x2+bx+1≤0是假命題，∴￢p：?x∈R，x2+bx+1＞0是真命題，∴Δ＝b2﹣4＜0，解得﹣2＜b＜2，∴實(shí)數(shù)b的值可能是﹣．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了特稱(chēng)命題的否定，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．6．（5分）已知f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且f（x）在[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，則（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合．【正確答案】D【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)可得f（﹣x）＝f（x），再結(jié)合f（x）在[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，可得結(jié)論．解：f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，可得f（x）＝f（﹣x），f（﹣）＝f（），由于∈（2，3），π＞3，則0＜＜π，由f（x）在[0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，可得f（0）＞f（）＞f（π），即有f（π）＜f（﹣）＜f（0）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題．7．（5分）已知函數(shù)f（x）＝x2﹣2（k﹣1）x﹣8在[5，20]上不單調(diào)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A．（﹣∞，6] B．[21，+∞） C．（﹣∞，6]∪[21，+∞） D．（6，21）【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象．【正確答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）＝x2﹣2（k﹣1）x﹣8在[5，20]上不單調(diào)，可得函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸x＝k﹣1屬于區(qū)間（5，20），從而解出k的取值范圍即可．解：根據(jù)題意，二次函數(shù)f（x）＝x2﹣2（k﹣1）x﹣8的對(duì)稱(chēng)軸為x＝k﹣1，∵函數(shù)f（x）＝x2﹣2（k﹣1）x﹣8在[5，20]上不單調(diào)，∴5＜k﹣1＜20，即6＜k＜21．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，考查學(xué)生的邏輯推理和運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（5分）已知函數(shù)，函數(shù)g（x）＝x2，若函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A．（5，+∞） B． C． D．【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．【正確答案】B【分析】當(dāng)x＞0時(shí)，y＝logx與g（x）＝x2有1個(gè)交點(diǎn)．要使函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）有3個(gè)零點(diǎn)，只需：x≤0時(shí)，y＝a|x+|﹣與g（x）＝x2有兩個(gè)交點(diǎn)即可，結(jié)合圖象即可求解．解：當(dāng)x＞0時(shí)，y＝logx與g（x）＝x2有1個(gè)交點(diǎn)．要使函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）有3個(gè)零點(diǎn)，只需：x≤0時(shí)，y＝a|x+|﹣與g（x）＝x2有兩個(gè)交點(diǎn)即可（如圖）．過(guò)點(diǎn)（﹣，﹣）作g（x）＝x2（x＜0）的切線，設(shè)切點(diǎn)為（m，m2）切線方程為y﹣m2＝2m（x﹣m），把點(diǎn)（﹣，﹣）代入上式得m＝﹣，∴切線斜率為2m＝﹣5．a(chǎn)（0+）﹣＜0，解得a＜，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（5，）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)圖象的關(guān)系，屬于中檔題．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．（6分）下列說(shuō)法正確的是（）A．若函數(shù)f（x）＝2x+x﹣4的零點(diǎn)所在區(qū)間為（k，k+1）（k∈Z），則k＝1 B．函數(shù)y＝a2x+2﹣2的圖象恒過(guò)一定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)是（﹣1，﹣1） C．“|x|＞|y|”是“x＞y”的必要條件 D．“m＜0”是“關(guān)于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正根和一負(fù)根”的充要條件【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理；充分條件與必要條件；命題的真假判斷與應(yīng)用；指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與最值．【正確答案】ABD【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在定理、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、不等式的性質(zhì)、及二次函數(shù)根的分布可判斷各選項(xiàng)．解：對(duì)于A：函數(shù)f（x）是單調(diào)函數(shù)，故函數(shù)最多存在一個(gè)零點(diǎn)，且f（1）＝21+1﹣4＝﹣1＜0，f（2）＝22+1﹣4＝1＞0，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得，函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間（1，2）內(nèi)，故k＝1．所以A正確；對(duì)于B：函數(shù)y＝a2x+2﹣2，令2x+2＝0，得x＝﹣1，此時(shí)y＝a0﹣2＝﹣1，∴函數(shù)y＝a2x+2﹣2的圖象過(guò)定點(diǎn)（﹣1，﹣1），所以B正確；對(duì)于C：“x＞y“推不出“|x|＞|y|“，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D：方程x2﹣2x+m＝0有一正一負(fù)根（設(shè)為x1，x2）等價(jià)于，即m＜0，則“m＜0”是“關(guān)于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一負(fù)根”的充要條件，所以D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題真假的判斷，涉及函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)以及一元二次方程根的分布及充分必要條件的判定，屬于基礎(chǔ)題．10．（6分）已知b＜a＜0，則下列選項(xiàng)正確的是（）A．a(chǎn)2＞b2 B．a(chǎn)+b＜ab C．|a|＜|b| D．a(chǎn)b＞b2【考點(diǎn)】不等關(guān)系與不等式；等式與不等式的性質(zhì)．【正確答案】BC【分析】利用不等式的基本性質(zhì)解題．解：∵b＜a＜0．∴b2＞a2，∴A錯(cuò)誤．∵a+b＜0，ab＞0，∴B正確．∵|a|＜|b|，∴C正確．∵ab＜b2，∴D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查不等式成立的簡(jiǎn)單證明，屬于基礎(chǔ)題．11．（6分）已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+2）＝﹣f（x），且當(dāng)x∈[2，4）時(shí)，f（x）＝|2x﹣6|﹣2，則（）A．f（x）＝f（x+4） B．f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞減 C．f（2024.5）＝1 D．函數(shù)g（x）＝2f（|x|）﹣|log2|x||恰有8個(gè)零點(diǎn)【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；函數(shù)的奇偶性．【正確答案】AC【分析】對(duì)于選項(xiàng)A，由已知可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）；對(duì)于選項(xiàng)B，由已知條件作出f（x）的部分圖象可判斷；對(duì)于選項(xiàng)C，結(jié)合函數(shù)的周期性可判斷；對(duì)于選項(xiàng)D，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)，作出y＝f（x）與在（0，+∞）上的圖象，觀察兩者的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．解：已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+2）＝﹣f（x），且當(dāng)x∈[2，4）時(shí)，f（x）＝|2x﹣6|﹣2，對(duì)于選項(xiàng)A，由f（x+2）＝﹣f（x），得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），即選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，x+2∈[2，4），則f（x+2）＝|2x﹣2|﹣2＝﹣f（x），得f（x）＝﹣|2x﹣2|+2，畫(huà)出f（x）的部分圖象如圖所示．由圖可得f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞增，即選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，f（2024.5）＝f（4×506+0.5）＝f（0.5）＝﹣f（2.5）＝﹣|5﹣6|+2＝1，即選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)間（﹣x）＝2f（|﹣x|）﹣|log2|﹣x||＝2f（|x|）﹣|log2|x||＝g（x），所以g（x）為偶函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，令g（x）＝0，得，畫(huà)出函數(shù)的圖象，因?yàn)椋詅（x）與在（0，+∞）上的圖象只有8個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)奇偶性可得g（x）恰有16個(gè)零點(diǎn)，即選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選：AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的性質(zhì)，重點(diǎn)考查了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬中檔題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．（5分）若一個(gè)半徑為2的圓剪去一個(gè)圓心角為108°的扇形，則剩余部分的周長(zhǎng)是．【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)公式；扇形面積公式．【正確答案】．【分析】由角度與弧度的互化公式，求出剩余部分扇形的圓心角，然后由弧長(zhǎng)公式求解即可．解：由題意可知，剩余部分仍然是一個(gè)扇形，圓心角為252°，即，所以剩余部分的周長(zhǎng)為＝．故．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角度與弧度的互化公式的應(yīng)用，扇形的弧長(zhǎng)公式的應(yīng)用，考查了邏輯推理能力與化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．（5分）已知函數(shù)f（x）＝，（Ⅰ）f[f（﹣1）]＝3；（Ⅱ）若f（a）＝4，則a＝﹣1或12．【考點(diǎn)】函數(shù)的值．【正確答案】（Ⅰ）3．（Ⅱ）﹣1或12．【分析】（Ⅰ）由題意利用分段函數(shù)的先求出f（﹣1）的值，可得要求式子的值．（Ⅱ）由題意，分類(lèi)討論a的范圍，可得a的值．解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）＝，∴f（﹣1）＝1+2+1＝4，f[f（﹣1）]＝f（4）＝log28＝3，故3．（Ⅱ）f（a）＝4，則①或②，解①可得a＝﹣1，解②可得a＝12，故﹣1或12．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)的值，屬于基礎(chǔ)題．14．（5分）當(dāng)今各網(wǎng)絡(luò)銷(xiāo)售平臺(tái)通常會(huì)提供上門(mén)回收舊家具服務(wù)．平臺(tái)工作人員小牛正在回收某客戶(hù)淘汰的舊家具，為了省力，小牛選擇將舊家具水平推運(yùn)（舊家具背面水平放置于帶滾輪的平板車(chē)上，平板車(chē)長(zhǎng)寬均小于舊家具背面）．已知舊家具的形狀為長(zhǎng)方體．小牛在推運(yùn)過(guò)程中遇到一處直角過(guò)道，如圖所示，過(guò)道寬為1.8米．記舊家具在地面的投影為矩形EFGH，其中寬度EH＝1.2米．請(qǐng)幫助小牛得出結(jié)論：按此種方式推運(yùn)的舊家具，可以通過(guò)該直角過(guò)道的最大高度EF為2.6米（結(jié)果精確到0.1米）．【考點(diǎn)】三角函數(shù)應(yīng)用．【正確答案】2.6．【分析】延長(zhǎng)EF與直角過(guò)道的邊相交于M、N，由EF＝MN﹣ME﹣NF表示出EF，設(shè)進(jìn)行換元，利用單調(diào)性即可求解．解：依題意設(shè)∠PHG＝β，，延長(zhǎng)EF與直角過(guò)道的邊相交于M、N，則∠OMH＝∠NGF＝β，所以，，F(xiàn)N＝1.2tanβ，又EF＝MN﹣ME﹣NF，則，．設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，則，再令m＝3t﹣2，，則，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，且，又在（0，+∞）上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)，即，時(shí)，EF取得最小值，由實(shí)際意義需向下取，此情況下能順利通過(guò)過(guò)道的家具的高度的最大值為2.6米．故2.6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)在生活中的實(shí)際運(yùn)用，考查了轉(zhuǎn)化思想及三有恒等變換，屬于中檔題．四、解答題：本題共5小題，共77分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）設(shè)二次函數(shù)f（x）＝ax2+bx+3（a，b∈R）．（1）若不等式f（x）＞0的解集為（﹣3，1），求a、b的值；（2）若f（1）＝4，a＞0，b＞0，求的最小值；【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象；一元二次不等式及其應(yīng)用；基本不等式及其應(yīng)用．【正確答案】（1）a＝﹣1，b＝﹣2．（2）25．【分析】（1）分析可知關(guān)于x的二次方程ax2+bx+3＝0的兩根分別為﹣3、1，利用韋達(dá)定理可求得實(shí)數(shù)a、b的值；（2）由已知可得出a+b＝1，將代數(shù)式與a+b相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值．解：（1）由題意可知，關(guān)于x的二次方程ax2+bx+3＝0的兩根分別為﹣3、1，且a＜0，所以，解得．（2）因?yàn)閍＞0，b＞0，f（1）＝a+b+3＝4，可得a+b＝1，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最小值為25．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次不等式與對(duì)應(yīng)方程的關(guān)系應(yīng)用問(wèn)題，也考查了基本不等式應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題．16．（15分）已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象如圖．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．【考點(diǎn)】函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的圖象變換；由y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【正確答案】（Ⅰ）f（x）＝2sin（2x﹣）；（Ⅱ）[]（k∈Z）．【分析】（Ⅰ）直接利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式；（Ⅱ）利用函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．解：（Ⅰ）根據(jù)圖象的性質(zhì)，所以A＝2；，整理得：T＝π，故ω＝2；當(dāng)x＝時(shí)，f（）＝2sin（φ）＝0，當(dāng)x＝時(shí)，由于|φ|＜π，所以φ＝或；故函數(shù)f（x）＝2sin（2x）或f（x）＝2sin（2x+）；當(dāng)x＝時(shí)，f（x）＝2sin（2x+）取不到最大值而是取得最小值，故舍去；故f（x）＝2sin（2x）．（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位后，得到y(tǒng)＝2sin（2x）的圖象，y再將得到的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變得到g（x）＝2sin（）的圖象，令（k∈Z）；整理得：（k∈Z）；故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[]（k∈Z）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)的關(guān)系式的確定，函數(shù)的圖象的平移變換和伸縮變換的應(yīng)用，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．17．（15分）函數(shù)f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝．（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）在[0，+∞）的單調(diào)性，并給出證明；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的解析式；（Ⅲ）若對(duì)任意的t∈[﹣1，1]，不等式f（k﹣t2）+f（2t﹣2t2﹣3）＞0恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問(wèn)題；由函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)或參數(shù)．【正確答案】（Ⅰ）f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【分析】（Ⅰ）利用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷并證明即可；（Ⅱ）利用奇函數(shù)的定義以及已知的函數(shù)解析式，先求出x＜0時(shí)的解析式，即可得到f（x）的解析式；（Ⅲ）先利用奇函數(shù)的定義將不等式進(jìn)行變形，然后利用函數(shù)f（x）的單調(diào)性去掉“f”，轉(zhuǎn)化為k＜3t2﹣2t+3對(duì)任意的t∈[﹣1，1]恒成立，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值，即可得到k的取值范圍．解：（Ⅰ）f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減．證明如下：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝，設(shè)0≤x1＜x2，則＝，因?yàn)?≤x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，（x1+1）（x2+1）＞0，故f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減；（Ⅱ）令x＜0，則﹣x＞0，又當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝，所以f（﹣x）＝，因?yàn)閒（x）為R上的奇函數(shù)，所以f（x）＝﹣f（﹣x）＝，即x＜0時(shí)，f（x）＝，所以；（Ⅲ）因?yàn)閷?duì)任意的t∈[﹣1，1]，不等式f（k﹣t2）+f（2t﹣2t2﹣3）＞0恒成立，即f（k﹣t2）＞﹣f（2t﹣2t2﹣3）對(duì)任意的t∈[﹣1，1]恒成立，因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，則f（k﹣t2）＞f（﹣2t+2t2+3）對(duì)任意的t∈[﹣1，1]恒成立，因?yàn)閒（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（x）為奇函數(shù)，則f（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，故f（x）在R上單調(diào)遞減，所以k﹣t2＜﹣2t+2t2+3對(duì)任意的t∈[﹣1，1]恒成立，即k＜3t2﹣2t+3對(duì)任意的t∈[﹣1，1]恒成立，因?yàn)椋援?dāng)t＝時(shí)，函數(shù)y＝3t2﹣2t+3取得最小值，則k＜，故實(shí)數(shù)k的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，奇函數(shù)定義的理解與應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的證明以及函數(shù)單調(diào)性定義的應(yīng)用，函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，不等式恒成立問(wèn)題的求解，要掌握不等式恒成立問(wèn)題的一般求解方法：參變量分離法、數(shù)形結(jié)合法、最值法等，屬于中檔題．18．（17分）某旅游風(fēng)景區(qū)發(fā)行的紀(jì)念章即將投放市場(chǎng)，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研情況，預(yù)計(jì)每枚該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y（單位：元）與上市時(shí)間x（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：上市時(shí)間x天2620市場(chǎng)價(jià)y元10278120（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)y與上市時(shí)間x的變化關(guān)系并說(shuō)明理由：①y＝ax+b；②y＝ax2+bx+c；③；（2）利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場(chǎng)價(jià)最低時(shí)的上市天數(shù)及最低的價(jià)格；（3）利用你選取的函數(shù)，若存在x∈（10，+∞），使得不等式成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【考點(diǎn)】根據(jù)實(shí)際問(wèn)題選擇函數(shù)類(lèi)型．【正確答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷出結(jié)果；（2）把三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，得到a，b，c的值，從而得到函數(shù)解析式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出最值；（3）把存在問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，再利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)g（x）的最值即可．解：（1）：隨著時(shí)間x的增加，y的值先減后增，而所給的三個(gè)函數(shù)中y＝ax+b和y＝顯然都是單調(diào)函數(shù)，不滿(mǎn)足題意，∴選擇y＝ax2+bx+c；（2）把點(diǎn)（2，10，），（6，78），（20，120）代入y＝ax2+bx+c中，得，解得，∴∴當(dāng)x＝10時(shí)，y有最小值ymin＝70，故當(dāng)紀(jì)念章上市10天時(shí)，該紀(jì)念章的市場(chǎng)價(jià)最低，最低市場(chǎng)價(jià)為70元；（3）由題意，令g'（x）＝，若存在x∈（10，+∞）使得不等式g（x）﹣k≤0成立，則須k≥g（x）min，又，當(dāng)且僅當(dāng)x＝10+2時(shí)，等號(hào)成立，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的實(shí)際運(yùn)用，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，是中檔題．19．（17分）定義函數(shù)．（1）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)y＝f（x）的值域；（2）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，恒有f（x）＝f1（x）成立，求實(shí)常數(shù)P的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)為正常數(shù)，若關(guān)于x的方程f（x）＝m（m為實(shí)常數(shù)）恰有三個(gè)不同的解，求p的取值范圍及這三個(gè)解的和（用p表示）．【考點(diǎn)】函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系；函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；函數(shù)的值域．【正確答案】（1）（0，1）；（2）p∈[﹣，]；（3）p∈（log23，+∞）；三個(gè)解的為p或．【分析】（1）由題意可得f1（x），f2（x）在[0，+∞）上單