2024-2025學年山東省青島市高二上冊12月階段性檢測數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年山東省青島市高二上學期12月階段性檢測數(shù)學檢測試卷注意事項（請考生答題前先看清試卷和答題卡上的注意事項或說明．）試題答案全部答到答題卡上，在草稿紙、試題上答題無效，考試結束只交答題卡.第Ⅰ卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.等差數(shù)列的首項，且，則（）A4044 B.4045 C.4046 D.4047【正確答案】B【分析】設出等差數(shù)列的公差，利用題時的比例式以及通項公式，可得答案.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由，，可得，則，解得，.故選：B.2.已知為坐標原點，為拋物線的焦點，點在上，且，則方程為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由已知得出，利用拋物線的定義結合可得出關于的方程，解出的值，即可得出拋物線的方程.【詳解】因為點在拋物線上，則，可得，拋物線的準線方程為，焦點為，由拋物線的定義可得，因為，則，因為，解得，因此拋物線的方程為.故選：B.3.已知數(shù)列是等差數(shù)列，數(shù)列是等比數(shù)列，若，，則（）A.2 B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)等差數(shù)列等差中項和等比數(shù)列等比中項的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，，所以，，又數(shù)列是等比數(shù)列，，則，，，.故選：C4.如圖所示，，是雙曲線的左、右焦點，雙曲線的右支上存在一點滿足，與雙曲線的左支的交點A平分線段，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】設，由雙曲線的定義可求得，，，利用勾股定理求得，在中利用勾股定理即可求得的關系式，從而求得答案.【詳解】設，由雙曲線的定義得，，，由得，解得，所以，，中，由勾股定理得，整理得，即雙曲線的離心率，故選：C．5.若數(shù)列滿足，，則（）A. B.2 C.3 D.【正確答案】A【分析】先分析歸納出數(shù)列的周期，利用周期可得答案.【詳解】∵數(shù)列滿足，，∴，∴，，，，∴是周期為3的周期數(shù)列，而，故．故選：A6.若雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為4，則C的離心率為（）A. B. C. D.2【正確答案】D【分析】根據(jù)弦長和半徑求出弦心距，利用點到直線的距離公式得到的關系式，從而求離心率.【詳解】由可得其漸近線為，依題意，圓的圓心到的距離為，化簡得：，則．故選：D7.如圖，設、分別是橢圓的左、右焦點，點是以為直徑的圓與橢圓在第一象限內(nèi)的一個交點，延長與橢圓交于點，若，則直線的斜率為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由點為圓與橢圓的焦點，可得，，結合條件，應用勾股定理即可得.【詳解】連接、，由在以為直徑的圓上，故，、在橢圓上，故有，，設，則，則有，，即可得，解得，故，則，故.故選：C.8.已知數(shù)列滿足遞推公式，且，則（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】對兩邊取對數(shù)得，令，則可得是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，求出，從而可求出，進而可求得結果.【詳解】由題意可得，則由，得，所以，令，則，所以數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以.故選：A關鍵點點睛：此題考查等比數(shù)列的判定及等比數(shù)列的求和公式的應用，解題的關鍵是對已知遞推式兩邊取對數(shù)變形構造等比數(shù)列，考查數(shù)學轉化思想和計算能力，屬于較難題.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分；兩個選項正確，選對一個得3分；三個選項正確，選對一個得2分，兩個得4分；選錯或不答得0分.9.數(shù)列的前n項和為，則下列說法正確的是（）A.若，則數(shù)列的前5項和最大B.若等比數(shù)列是遞減數(shù)列，則公比q滿足C.已知等差數(shù)列的前n項和為，若，則D.已知為等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列【正確答案】CD【分析】根據(jù)等差數(shù)列的單調(diào)性判斷A，根據(jù)等比數(shù)列的單調(diào)性判斷B，根據(jù)等差數(shù)列前項和公式及下標和性質(zhì)判斷C，根據(jù)等差數(shù)列的定義判斷D.【詳解】選項A，由，令，解得，令，解得，，所以，，又數(shù)列單調(diào)遞減，故數(shù)列前6項的和最大，故A錯誤；選項B，當，時，等比數(shù)列也遞減數(shù)列，故B錯誤；選項C，，∴若，則，故C正確；選項D，若為等差數(shù)列，則，∴，則（為常數(shù)），∴數(shù)列也是等差數(shù)列，故D正確．故選：CD10.已知點是橢圓的左、右頂點，點，分別為C的左、右焦點，點O為原點，點是橢圓上關于原點對稱的兩點，且不與重合，則（）A.的取值范圍是B.C.以線段為直徑的圓被直線截得的弦長為D.直線與直線的斜率之積【正確答案】AD【分析】利用焦半徑公式計算可判定A，利用橢圓的對稱性及定義可判定B，利用點到直線的距離公式及弦長公式計算可判定C，利用兩點斜率公式計算可判定D.【詳解】易知，對于A，設Px0,則，故A正確；對于B，易知四邊形為平行四邊形，即，故B錯誤；對于C，易知以線段為直徑的圓其圓心為原點，半徑為，則圓心到直線的距離為，則相應弦長為，故C錯誤；對于D，易知，故D正確.故選：AD11.設等比數(shù)列的公比為，前項積為，且滿足條件，則下列選項正確的是（）A.B.C.的值是中最大的D.使成立的最大自然數(shù)等于4044【正確答案】AD【分析】先由條件分類討論得到，，再利用等比數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】，，，同號，且或，若，則不同號；若，則，不滿足要求；故可得，，故A正確；，且，可得，故B錯；，又，且最大，故C錯；，且為等比數(shù)列，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，，使成立的最大自然數(shù)等于4044，故D正確.故選：AD.關鍵點點睛：本題解決的關鍵在于推得，進而得到，從而得解.第Ⅱ卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知數(shù)列的前n項和，則數(shù)列的通項公式為________【正確答案】【分析】根據(jù)給定條件，利用前n項和與第n項的關系求出通項公式.【詳解】數(shù)列的前n項和，當時，，而，不滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為.故13.已知拋物線的焦點為為上一點，為的準線與軸的交點，．若為坐標原點，則______．【正確答案】##【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，可得點滿足的方程，聯(lián)立拋物線方程，可得點的坐標，根據(jù)余弦的定義，可得答案.【詳解】由題意知為線段的中點，又，所以．設Ax0,由為上一點，得．將代入，可得，解得（負值已舍去），則．故14.橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上.已知橢圓，、為其左、右焦點.是上的動點，點，且的最大值為，則____________.動直線為橢圓的切線，右焦點關于直線的對稱點為，則點到直線的距離的取值范圍為____________.【正確答案】①.②.【分析】根據(jù)橢圓定義可得出，可得出，當且僅當為射線與橢圓的交點時，等號成立，可求出的值，進而可得出，根據(jù)橢圓的光學性質(zhì)可得出點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，結合圓的幾何性質(zhì)可求得的取值范圍.【詳解】根據(jù)橢圓定義得，所以，，當且僅當為射線與橢圓的交點時，等號成立，因為的最大值為，且，則，解得，則.設切橢圓于點，由橢圓的光學性質(zhì)可得、、三點共線，，則點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，所以，到直線的距離為，由圓的幾何性質(zhì)可知，點到直線的距離最小值，最大值，即.故；.方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．四、解答題：本題共5小題，共77分.15.已知數(shù)列的前n項和，且滿足．（1）求的通項公式；（2）記數(shù)列的前項乘積為，求的最小值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由與的關系，先判定是等比數(shù)列，再求出數(shù)列的通項公式.（2）根據(jù)（1）中的結果，表示出，結合二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求最小值.【小問1詳解】當時，.當時，，且，兩式相減得.所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列.所以【小問2詳解】由（1）可知：，所以.所以當或時，相等且最小，為.16.在直三棱柱中，，分別為棱中點.（1）證明：平面；（2）若，且，則當為何值時，有？【正確答案】（1）證明見詳解（2）【分析】（1）構造平行四邊形得線線平行，結合線面平行判斷定理即可證明.（2）如圖建立空間直角坐標系，設，得出各點坐標，令，即可求解.【小問1詳解】取的中點為，連接，分別為的中點，結合題意得，且，故四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.【小問2詳解】，取中點為，則有，連接，由題意得底面，如圖以為原點，以分別為軸正方向建立空間直角坐標系，設，，則，，則，得，由題意得，即當時有.17.設橢圓的右焦點為，左右頂點分別為，.已知橢圓的離心率為，.（1）求橢圓的方程；（2）已知為橢圓上一動點（不與端點重合），直線交軸于點，且，若三角形與三角形的面積比為1:2，求直線的方程.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)已知線段長度與離心率，求解出的值，然后根據(jù)求解出的值，則橢圓方程可求；（2）根據(jù)條件將問題轉化為三角形與三角形的面積比，由此得到關于的關系式，通過聯(lián)立直線與橢圓方程求得對應坐標，然后求解出參數(shù)值得的坐標，則可求直線方程.【小問1詳解】因為，，，所以，所以，所以，所以橢圓方程為；【小問2詳解】如圖，因為三角形與三角形的面積之比為，所以三角形與三角形的面積比為，所以，得，顯然直線的斜率不為0，設直線的方程為，聯(lián)立，所以，所以，，所以，解得，當時，，當時，，故直線方程為.18.已知雙曲線C：的右焦點為，且C的一條漸近線恰好與直線垂直.（1）求C的方程；（2）直線l：與C的右支交于A，B兩點，點D在C上，且軸.求證：直線BD過點F.【正確答案】（1）（2）證明見解析【分析】（1）根據(jù)焦點坐標及漸近線的斜率列式求解即可；（2）設點的坐標，聯(lián)立直線與雙曲線方程，韋達定理，根據(jù)向量共線坐標運算得三點共線，即證.【小問1詳解】由焦點坐標為得，所以，又雙曲線C：的一條漸近線恰好與直線垂直，得即，所以，所以雙曲線C的方程為，即.【小問2詳解】由題意可知直線l的斜率存在且不為0，所以，設，，則，由（1）可知，雙曲線C的漸近線為，又直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點，則，即.聯(lián)立，消去x得，則，得，，，則，又，所以，，所以，所以，又，有公共點F，所以B，F(xiàn)，D三點共線，所以直線BD過點F.19.若集合A表示由滿足一定條件的全體直線組成的集合，定義：若集合A中的每一條直線都是某圓上一點處的切線，且該圓上每一點處的切線都是A中的一條直線，則稱該圓為集合A的包絡圓．（1）若圓是集合的包絡圓．（ⅰ）求a，b滿足關系式；（ⅱ）若，求t的取值范圍；（2）若集合的包絡圓為C，P是C上任意一點，判斷y軸上是否存在定點M，N，使得，若存在，求出點M，N的坐標；若不存在，請說明理由．【正確答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ）.（2），或，【分析】（1）（i）根據(jù)所給新定義，利用圓心到直線距離等于半徑得解；（ii）轉化為圓與直線有公共點列出不等式求解即可；（2）根據(jù)新定義，