2024-2025學(xué)年陜西省西安市長安區(qū)高三上冊第四次考試數(shù)學(xué)檢測試題（附解析）

2024-2025學(xué)年陜西省西安市長安區(qū)高三上學(xué)期第四次考試數(shù)學(xué)檢測試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，，且，，則（

）A． B． C． D．4．如圖，在平面四邊形中，與交于點，且，，，剪去，將沿翻折，沿翻折，使點與點重合于點，則翻折后的三棱錐外接球的表面積為（

）A． B． C． D．5．已知正項等比數(shù)列的前3項和為21，且，則（）A． B．2 C．6 D．46．雙曲線的左、右焦點分別為、，過作斜率為正且與的某條漸近線垂直的直線與雙曲線在第一象限交于，，則的離心率為（

）.A． B． C． D．7．四邊形是邊長為4的正方形，點是正方形內(nèi)的一點，且滿足，則的最大值是（

）A． B． C． D．8．已知正數(shù)，滿足，若恒成立，則實數(shù)的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共1小題）9．在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，則（

）A． B． C． D．三、未知（本大題共1小題）10．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則（）A．的圖象關(guān)于點對稱 B．的圖象關(guān)于直線對稱C．的最小正周期為2 D．四、多選題（本大題共1小題）11．已知在上有且僅有2個極值點，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若的圖象關(guān)于直線對稱，則的最小正周期C．若的圖象關(guān)于點對稱，則在上單調(diào)遞增D．，使得在上的最小值為五、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則的值為.13．在平面直角坐標系中,已知,是圓上的兩個動點，滿足,則面積的最大值是.14．設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為.六、解答題（本大題共6小題）15．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.（1）求角B的大??；（2）設(shè)a=2，c=3，求b和的值.16．如圖，四棱柱的底面為直角梯形，，，，．點為的中點，且．(1)證明：平面平面；(2)若鈍二面角的余弦值為，當(dāng)時，求的長．17．已知函數(shù)，，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若曲線在點處的切線與曲線在點處的切線平行，證明.18．設(shè)橢圓(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的離心率為，點A的坐標為，且.（I）求橢圓的方程；（II）設(shè)直線l：與橢圓在第一象限的交點為P，且l與直線AB交于點Q.若(O為原點)，求k的值.19．脂肪含量（單位：%）指的是脂肪重量占人體總重量的比例．某運動生理學(xué)家在對某項健身活動參與人群的脂肪含量調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男性120位，其平均數(shù)和方差分別為14和6，抽取了女性90位，其平均數(shù)和方差分別為21和17．(1)試由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的均值與方差，并對該項健身活動的全體參與者的脂肪含量的均值與方差作出估計．（結(jié)果保留整數(shù)）(2)假設(shè)全體參與者的脂肪含量為隨機變量X，且X～N（17，2），其中2近似為（1）中計算的總樣本方差．現(xiàn)從全體參與者中隨機抽取3位，求3位參與者的脂肪含量均小于12.2%的概率．附：若隨機變量×服從正態(tài)分布N（μ，2），則P（μ-≤X≤μ+≈0.6827，P（μ-2≤X≤μ+2）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.≈0.004．20．設(shè)復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點Z，設(shè)，則任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成的形式，這種形式叫做復(fù)數(shù)三角形式，其中r是復(fù)數(shù)z的模，稱為復(fù)數(shù)z的輻角，若，則稱為復(fù)數(shù)z的輻角主值，記為．(1)若，證明：，并寫出的三角形式（無需證明）；(2)求方程虛根的實部：(3)證明：時，參考數(shù)據(jù)：．

答案1．【正確答案】D【詳解】由可得，解得或；由.所以.故選：D.2．【正確答案】D【詳解】當(dāng)時，滿足，但是，即充分性不滿足，當(dāng)時，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，即，但是不一定成立，即必要性不滿足，所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D3．【正確答案】B【詳解】由則，，，可得①，，則或，由①可得，,；故選：B.4．【正確答案】C【詳解】依題意，在三棱錐中，，因此三棱錐可以補形成以為共點三條棱的長方體，該長方體的外接球即為三棱錐的外接球，設(shè)球半徑為，則，所以三棱錐外接球的表面積為.故選：C5．【正確答案】C【詳解】由題意知，正項等比數(shù)列的前3項和為21，且，則，解得.故選：C.6．【正確答案】B【詳解】令雙曲線的半焦距為，則，令直線與雙曲線的漸近線垂直的垂足為，于是，，過點作于,則，而為線段的中點,所以因為，所以，由雙曲線定義得，即，解得.所以該雙曲線的離心率為.故選：B.7．【正確答案】D【詳解】根據(jù)題意，建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)Px,y,.所以,,,,所以,因為,即,故點在以點為圓心，半徑為的圓周上運動，所以的最大值為.故選：D.8．【正確答案】A【詳解】因為，所以等價于，又，所以，則，即，又，所以，即實數(shù)的最小值為.故選：A9．【正確答案】AC【詳解】由復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，可得，.對于A：，故A正確；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C正確；對于D：，所以，故D錯誤；故選：AC.10．【正確答案】ABD【詳解】對于A，因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以的圖像關(guān)于點對稱，又函數(shù)的圖像向右平移1個單位可得到函數(shù)的圖像，所以的圖象關(guān)于點對稱，故A正確；對于B，因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故B正確；對于C，由的圖象關(guān)于點對稱，，，則，所以的最小正周期不可能為2，故C錯誤；對于D，因為當(dāng)時，，所以，，因為的圖象既關(guān)于點對稱，又關(guān)于直線對稱，所以的一個周期為，所以，所以，所以，故D正確．故選ABD．11．【正確答案】BC【詳解】對于選項A：因為，所以，要使在上有且僅有2個極值點，則，解得，故選項A錯誤；對于選項B：因為的圖象關(guān)于直線對稱，所以，解得，，又因為，所以，，故選項B正確；對于選項C：因為的圖象關(guān)于點對稱，所以，解得：，因為，所以，所以當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，故選項C正確；對于選項D：當(dāng)時，，因為，所以，在上的最小值小于，故選項D錯誤.故選：BC.12．【正確答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的乘法運算法則求導(dǎo)，再代入求解即可.【詳解】因為，所以，所以.故答案為.13．【正確答案】【詳解】設(shè)的中點為，因為，所以,由垂徑定理可知，且有公共點，所以三點共線，所以，設(shè)到直線的距離為，由題知，，則，，若點位于點與直線之外，點到直線的距離為；若點位于點與直線之間，點到直線的距離為；易得，所以，令，.所以，令，則，負值舍去.當(dāng)時，；當(dāng)時，，故當(dāng)時，取得最大值，所以的最大值為.故答案為.14．【正確答案】【分析】根據(jù)恒成立得出條件等式，即可構(gòu)造函數(shù)，再借助導(dǎo)數(shù)研究其最小值即可.【詳解】當(dāng)時，，則，即，當(dāng)時，，則，即，即有，即，則，令，，，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，即的最小值為.15．【正確答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【詳解】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合正弦定理邊化角結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，則B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．結(jié)合二倍角公式和兩角差的正弦公式可得詳解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因為，可得B=．（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因為a<c，故．因此，所以，點睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．16．【正確答案】(1)證明見解析(2)2【詳解】（1）因為為中點，且，所以，即，又，，平面，所以平面.又平面，所以.因為，所以.又，，所以，所以，則.又，平面，所以平面.又平面，所以：平面平面.（2）由（1）可知：，，兩兩垂直，故可以為原點，建立如圖空間直角坐標系.則，，，設(shè)（），則.所以，，.設(shè)平面的一個法向量為m=x由，可取.設(shè)平面的一個法向量為n=x由，可取.，整理得：（舍去）所以，即.17．【正確答案】(1)單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)證明見解析.【詳解】（1）由已知可得函數(shù)，則，令，解得.又，所以，所以當(dāng)時，?′x<0，當(dāng)x∈0,+∞所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為0,+∞.（2）由可得，所以曲線y=fx在點x1,f由可得所以曲線y=gx在點x2因為這兩條切線平行，故有即兩邊取以為底的對數(shù)，得，所以.18．【正確答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)或【詳解】分析：（Ⅰ）由題意結(jié)合橢圓的性質(zhì)可得a=3，b=2．則橢圓的方程為．（Ⅱ）設(shè)點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2）．由題意可得5y1=9y2．由方程組可得．由方程組可得．據(jù)此得到關(guān)于k的方程，解方程可得k的值為或詳解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的焦距為2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，從而a=3，b=2．所以，橢圓的方程為．（Ⅱ）設(shè)點P的坐標為（x1，y1），點Q的坐標為（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因為，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程組消去x，可得．易知直線AB的方程為x+y–2=0，由方程組消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，兩邊平方，整理得，解得，或．所以，k的值為或點睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．19．【正確答案】(1)總樣本的均值為17，方差為23；據(jù)此估計該項健身活動全體參與者的脂肪含量的總體均值為17，方差為23(2)【詳解】（1）把男性樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為；把女性樣本記為，其平均數(shù)記為，方差記為．則．記總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為．由，根據(jù)按比例分配的分層隨機抽樣總樣本平均數(shù)與各層樣本平均數(shù)的關(guān)系，可得總樣本平均數(shù)為．根據(jù)方差的定義，總樣本方差為由可得同理，，因此，所以，所以總樣本的均值為17，方差為23，并據(jù)此估計該項健身活動全體參與者的脂肪含量的總體均值為17，方差為23．（2）由（1）知，