左孝凌離散數(shù)學課件

左孝凌離散數(shù)學課件歡迎來到左孝凌教授的離散數(shù)學課程。本課程將深入探討離散數(shù)學的核心概念和應用。我們將從基礎開始，逐步深入復雜主題。1.緒論離散數(shù)學簡介離散數(shù)學是研究離散結(jié)構的數(shù)學分支，包括集合、邏輯、圖論等。課程概覽我們將學習六大主題：緒論、集合論、命題邏輯、謂詞邏輯、關系論和圖論。學習目標掌握離散數(shù)學的基本概念和方法，培養(yǎng)邏輯思維和問題解決能力。離散數(shù)學的定義和應用定義離散數(shù)學是研究離散結(jié)構的數(shù)學分支，包括有限或可數(shù)無限的集合。應用領域計算機科學密碼學網(wǎng)絡分析人工智能離散數(shù)學與其他數(shù)學分支的關系代數(shù)離散數(shù)學借鑒了代數(shù)的抽象思維和結(jié)構研究方法。分析離散數(shù)學與連續(xù)數(shù)學形成對比，但在某些領域有交叉。幾何圖論中的許多概念源自幾何學，如平面圖和拓撲學。2.集合論1集合基礎2集合運算3等勢與基數(shù)4冪集與笛卡爾積集合論是離散數(shù)學的基礎，為其他分支提供了理論支撐。我們將從基本概念開始，逐步深入復雜主題。集合的概念定義集合是具有某種特定性質(zhì)的事物的總體，這些事物稱為該集合的元素。表示方法列舉法：A={1,2,3,4,5}描述法：B={x|x是自然數(shù)且x<6}特殊集合空集：不含任何元素的集合，用?表示。全集：包含所有可能元素的集合。集合的運算并集A∪B：包含A或B中的所有元素。交集A∩B：包含同時屬于A和B的元素。差集A-B：包含屬于A但不屬于B的元素。補集A'：包含不屬于A的所有元素。等勢集合和基數(shù)等勢集合兩個集合之間存在一一對應關系，則稱這兩個集合等勢。例如：自然數(shù)集與偶數(shù)集等勢。基數(shù)有限集的基數(shù)是集合中元素的個數(shù)。無限集的基數(shù)用阿列夫數(shù)表示，如??表示可數(shù)無限集的基數(shù)。冪集和笛卡爾積冪集集合A的所有子集構成的集合，記為P(A)。例：A={1,2}，P(A)={?,{1},{2},{1,2}}。笛卡爾積兩個集合A和B的笛卡爾積A×B是所有有序?qū)?a,b)的集合，其中a∈A，b∈B。應用冪集在組合數(shù)學中有廣泛應用。笛卡爾積用于定義關系和函數(shù)。3.命題邏輯1命題概念研究判斷語句的真假及其復合關系。2基本運算包括否定、合取、析取、蘊含和等價。3真值表用表格形式表示復合命題的真值。4范式將復合命題轉(zhuǎn)化為標準形式。命題的概念和分類命題定義命題是一個陳述句，它或真或假，但不能既真又假。分類原子命題：不能再分解的簡單命題復合命題：由多個原子命題通過邏輯聯(lián)結(jié)詞組成命題邏輯的基本運算否定(?)p的否定為"非p"，記為?p。合取(∧)p和q的合取為"p且q"，記為p∧q。析取(∨)p和q的析取為"p或q"，記為p∨q。蘊含(→)p蘊含q記為p→q，表示"如果p，那么q"。真值表和邏輯等價pqp∧qp∨qp→qTTTTTTFFTFFTFTTFFFFT兩個命題具有相同的真值表，則稱它們邏輯等價，記為p≡q。范式和簡單化范式將復合命題轉(zhuǎn)化為標準形式，包括合取范式和析取范式。主范式最簡單的范式形式，包括主合取范式和主析取范式?；喞眠壿嫷葍r式和真值表，將復雜命題轉(zhuǎn)化為簡單形式。4.謂詞邏輯1謂詞概念2量詞引入3論域與真值4謂詞公式5推理規(guī)則謂詞邏輯是命題邏輯的擴展，引入了變量、量詞和謂詞，使得邏輯表達更加精確和強大。謂詞的概念定義謂詞是關于對象的陳述，可以看作是含有變量的命題函數(shù)。表示通常用大寫字母表示，如P(x)表示關于x的謂詞。例子"x是偶數(shù)"是一個謂詞，可表示為E(x)。當x取具體值時，E(x)成為一個命題。量詞和量化全稱量詞(?)?xP(x)表示對所有x，P(x)都為真。存在量詞(?)?xP(x)表示存在x，使得P(x)為真。唯一量詞(?!)?!xP(x)表示唯一存在x，使得P(x)為真。論域和真值論域變量取值的范圍，也稱為個體域。例如，自然數(shù)集、實數(shù)集等。論域的選擇影響謂詞的真值。真值確定對于全稱量化，需要檢查論域中所有元素。對于存在量化，只需找到一個滿足條件的元素。范式和推理前束范式將所有量詞移到公式前面的標準形式。skolem標準形式消除存在量詞，引入函數(shù)符號的標準形式。推理規(guī)則全稱實例化、存在實例化等推理規(guī)則的應用。5.關系論1關系定義研究事物之間聯(lián)系的數(shù)學工具。2關系表示集合表示、矩陣表示和圖形表示。3關系性質(zhì)自反性、對稱性、傳遞性等。4特殊關系等價關系、偏序關系等。關系的概念定義關系R是笛卡爾積A×B的子集，表示A中元素與B中元素之間的某種聯(lián)系。表示方法集合表示：R={(a,b)|a∈A,b∈B,a和b滿足某種關系}有序?qū)Ρ硎荆篴Rb表示a與b之間存在關系R例子"小于"關系：R={(a,b)|a,b∈R,a<b}"整除"關系：R={(a,b)|a,b∈Z,a能整除b}關系的運算逆關系R?1={(b,a)|(a,b)∈R}復合關系R°S={(a,c)|?b((a,b)∈R∧(b,c)∈S)}并運算R∪S={(a,b)|(a,b)∈R∨(a,b)∈S}交運算R∩S={(a,b)|(a,b)∈R∧(a,b)∈S}等價關系和偏序關系等價關系同時具有自反性、對稱性和傳遞性的關系。例如：集合上的"相等"關系。偏序關系同時具有自反性、反對稱性和傳遞性的關系。例如：自然數(shù)集上的"小于等于"關系。函數(shù)與映射定義函數(shù)是一種特殊的關系，每個輸入元素恰好對應一個輸出元素。類型單射、滿射、雙射等不同類型的函數(shù)。復合函數(shù)兩個函數(shù)的復合運算，(f°g)(x)=f(g(x))。6.圖論1圖的基本概念2圖的表示3圖的遍歷4特殊圖5圖的應用圖論是研究圖（由頂點和邊組成的結(jié)構）的數(shù)學分支，在計算機科學和網(wǎng)絡分析中有廣泛應用。圖的基本概念圖的定義圖G是一個二元組(V,E)，其中V是頂點集，E是邊集。有向圖與無向圖有向圖的邊有方向，無向圖的邊無方向。度與頂點相連的邊的數(shù)量。有向圖分為入度和出度。路徑與回路路徑是頂點序列，回路是起點和終點相同的路徑。圖的遍歷深度優(yōu)先搜索(DFS)盡可能深地搜索圖的分支。可用于檢測環(huán)、拓撲排序等。廣度優(yōu)先搜索(BFS)先訪問鄰近頂點，再訪問較遠頂點?？捎糜趯ふ易疃搪窂健D的著色和染色問題頂點著色相鄰頂點顏色不同的著色方案。邊著色相鄰邊顏色