中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練第09講 等腰三角形與正方形中的半角模型（原卷版）

第09講等腰三角形與正方形中的半角模型【應(yīng)對方法與策略】過等腰三角形頂點(diǎn)兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半這樣的模型稱為半角模型。常見的圖形為正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉(zhuǎn)到一邊合并成新的三角形，從而進(jìn)行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質(zhì)得到線段之間的數(shù)量關(guān)系。解題技巧：在圖1中，△AEB由△AND旋轉(zhuǎn)所得，可得△AEM≌△AMN，∴BM+DN=MN∠AMB=∠AMNAB=AH△CMN的周長等于正方形周長的一半在圖2中將△ABC旋轉(zhuǎn)至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到邊角之間的關(guān)系；總之：半角模型（題中出現(xiàn)角度之間的半角關(guān)系）利用旋轉(zhuǎn)——證全等——得到相關(guān)結(jié)論.【多題一解】一．選擇題（共1小題）1．（2022?夾江縣模擬）已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)P在AB上，過點(diǎn)P作PD⊥AC，垂足為D，延長BC至點(diǎn)Q，使CQ＝AP，連接PQ交AC于點(diǎn)E，如圖所示．如果等邊三角形ABC的邊長為4，那么線段DE的長為（）A．1 B．2 C．1.8 D．2.5二．填空題（共4小題）2．（2022?汕尾二模）如圖，△ABC為等邊三角形，AC＝9，點(diǎn)M、N分別是邊AC、BC上的動點(diǎn)，且AM＝CN，連BM、AN交于點(diǎn)P，連接CP，則CP長度的最小值為．3．（2022?山西）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是邊BC上的一點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD的延長線上，且BE＝DF，連接EF交邊AD于點(diǎn)G．過點(diǎn)A作AN⊥EF，垂足為點(diǎn)M，交邊CD于點(diǎn)N．若BE＝5，CN＝8，則線段AN的長為．4．（2022?咸寧模擬）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是AB上一動點(diǎn)，點(diǎn)E是CM的中點(diǎn)，AE繞點(diǎn)E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接DE，DF．給出結(jié)論：①DE＝EF；②∠CDF＝45°；③；④若正方形ABCD的邊長為2，則點(diǎn)M在射線AB上運(yùn)動時，CF有最小值．其中結(jié)論正確的是（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號都填上）．5．（2021秋?鹿城區(qū)校級期中）如圖1，已知一個量角器的直徑MN與正方形ABCD的邊長相等，點(diǎn)N與點(diǎn)C重合，量角器的半圓弧與邊BC交于點(diǎn)P，過點(diǎn)M作GH⊥MN，交邊AB，AD于G，H．在量角器繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)的過程中，若的度數(shù)為60°，則的值為；如圖2，連結(jié)CG，CH，與對角線BD分別交于E，F(xiàn)，若BE?DF＝，則S△AGH的值為．三．解答題（共7小題）6．（2021春?江漢區(qū)月考）△ABC中，∠BAC＝α，AB＝AC，點(diǎn)D、E在直線BC上．（1）如圖1，D、E在BC邊上，若α＝120°，且AD2+AC2＝DC2，求證：BD＝AD；（2）如圖2，D、E在BC邊上，若α＝150°，∠DAE＝75°，且ED2+BD2＝CE2，求∠BAD的度數(shù)．（3）如圖3，D在CB的延長線上，E在BC邊上，若∠BAC＝α，∠DAE＝180°﹣，∠ADB＝15°，BE＝4，BD＝2，則CD的值為．7．（2022?肅州區(qū)模擬）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時（如圖1），易證BM+DN＝MN．（1）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明；（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想．8．（2022?綏化三模）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊長分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH＝2，NH＝3，求AH的長．9．（2020?北碚區(qū)模擬）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M，N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時（如圖1），易證BM+DN＝MN．（1）當(dāng)∠MAN旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時（如圖2），線段BM，DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明．（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時，線段BM，DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明．10．已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M，N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH＝2，NH＝3，探求AH滿足的數(shù)量關(guān)系．（可利用（2）得到的結(jié)論）11．（2022?集賢縣模擬）已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M，N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH＝2，AH＝6，求NH的長．（可利用（2）得到的結(jié)論）12．（2021秋?雙流區(qū)校級月考）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時，請你直接寫出AH與AB