中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練第10講 相似三角形中的“8”字模型（原卷版）

第10講相似三角形中的“8”字模型【應(yīng)對(duì)方法與策略】(1)如圖1，AB∥CD?△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).(2)如圖2，∠A＝∠D?△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC).圖1圖2[來(lái)源【多題一解】一、單選題1．（2022秋·黑龍江哈爾濱·九年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，，分別交于點(diǎn)G，H，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．二、填空題2．（2021秋·福建泉州·九年級(jí)晉江市第一中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，正方形邊長(zhǎng)為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，連接，過(guò)作，垂足為，交對(duì)角線于，將沿翻折得到，交對(duì)角線于，則______．三、解答題3．（2022·上海·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，在邊AB的延長(zhǎng)線上截取BE＝AB，點(diǎn)F在AE的延長(zhǎng)線上，CE和DF交于點(diǎn)M，BC和DF交于點(diǎn)N，聯(lián)結(jié)BD．（1）求證：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB?AF，求證：CM?AB＝DM?CN．4．（2023秋·北京通州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知D是BC的中點(diǎn)，M是AD的中點(diǎn)．求的值．5．（2021·四川廣元·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平行四邊形中，E為邊的中點(diǎn)，連接，若的延長(zhǎng)線和的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．（1）求證：；（2）連接和相交于點(diǎn)為G，若的面積為2，求平行四邊形的面積．6．（2020·河北石家莊·石家莊二中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，直線BC和直線OB交于點(diǎn)B，直線AC與直線BC交x軸于點(diǎn)C，OA=4，軸，垂足為點(diǎn)A，AC與OB交于點(diǎn)M．(1)求直線BC的解析式；(2)求陰影部分的面積．7．（2022·江蘇無(wú)錫·無(wú)錫市天一實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，在等邊邊長(zhǎng)為6，O是中心；在中，，，．將繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一周．(1)當(dāng)、分別在、邊上，連結(jié)、，求的面積；(2)設(shè)所在直線與的邊或交于點(diǎn)F，當(dāng)O、D、E三點(diǎn)在一條直線上，求的長(zhǎng)；(3)連結(jié)，取中點(diǎn)M，連結(jié)，的取值范圍為_(kāi)________．8．（2023·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）（1）某學(xué)?！皩W(xué)習(xí)落實(shí)”數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)題目如圖，在△ABC中，點(diǎn)O在線段BC上，∠BAO＝30°，∠OAC＝75°，AO＝，BO：CO＝2：1，求AB的長(zhǎng)經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)小組成員討論發(fā)現(xiàn)，過(guò)點(diǎn)B作BD∥AC，交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，通過(guò)構(gòu)造△ABD就可以解決問(wèn)題（如圖2）請(qǐng)回答：∠ADB＝

°，AB＝

（2）請(qǐng)參考以上解決思路，解決問(wèn)題：如圖3在四邊形ABCD中對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，AC⊥AD，AO＝，∠ABC＝∠ACB＝75°，BO：OD＝2：1，求DC的長(zhǎng)9．（2022秋·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）綜合與實(shí)踐：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師讓同學(xué)們根據(jù)下面情境提出問(wèn)題并解答．問(wèn)題情境：在中，點(diǎn)P是邊上一點(diǎn)．將沿直線折疊，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E．“興趣小組”提出的問(wèn)題是：如圖1，若點(diǎn)P與點(diǎn)A重合，過(guò)點(diǎn)E作，與交于點(diǎn)F，連接，則四邊形是菱形．(1)數(shù)學(xué)思考：請(qǐng)你證明“興趣小組”提出的問(wèn)題；(2)拓展探究：“智慧小組”提出的問(wèn)題是：如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為的中點(diǎn)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F，連接．試判斷與的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．請(qǐng)你幫助他們解決此問(wèn)題．(3)問(wèn)題解決：“創(chuàng)新小組”在前兩個(gè)小組的啟發(fā)下，提出的問(wèn)題是：如圖3，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊上時(shí)，，，．則的長(zhǎng)為_(kāi)__________．（直接寫(xiě)出結(jié)果）10．（2021秋·廣東·九年級(jí)廣州市南武實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀┤鐖D，已知二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象與x軸分別相交于點(diǎn)A（﹣5，0），點(diǎn)B，與y軸相交于C（0，﹣5），點(diǎn)Q是拋物線在x軸下方的一動(dòng)點(diǎn)（不與C點(diǎn)重合）．（1）求該二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，AQ交線段BC于D，令t＝，當(dāng)t值最大時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)．（3）如圖2，直線AQ，BQ分別與y軸相交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)Q點(diǎn)橫坐標(biāo)為m，S1＝S△QMN，S2＝2m2，試問(wèn)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．11．（2021秋·湖北武漢·九年級(jí)武漢一初慧泉中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）（1）問(wèn)題背景：如圖1，正方形ABCD中，F(xiàn)在直線CD上，E在直線BC上．若∠EAF＝45°，求證：BE＋FD＝EF；（2）遷移應(yīng)用：如圖2，將正方形ABCD的一部分沿GH翻折，使A點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E在BC上，且AD的對(duì)應(yīng)邊EM交CD于F點(diǎn)．若BE＝3，EC＝2，求EF的長(zhǎng)；（3）聯(lián)系拓展：如圖3，正方形ABCD中，E、Q在CD上，F(xiàn)在BC上，若EF＝EA，∠FQA＝∠FEA．若∠CFQ＝34°，則∠QAD＝_______°．12．（2022·安徽·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖1，等腰△ABC中，AB＝AC，D為AB上一點(diǎn)，等腰△CDE，CD＝DE，∠BAC＝∠EDC，DE交BC于點(diǎn)M，連接BE．（1）如圖1，若∠BAC＝30°，AC＝3，AD，求DE的長(zhǎng)度；（2）如圖2．若DM⊥BC求證：2MB+EB＝BC．（3）如圖3，∠A＝30°，AC∥DE，CN⊥AB，EF⊥CE，延長(zhǎng)DB至點(diǎn)H，使得DH＝DE，試判斷FM與FN的數(shù)量關(guān)系，并寫(xiě)出證明過(guò)程．13．（2021·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線交x軸于點(diǎn)，，D是拋物線的頂點(diǎn)，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，交直線l：于點(diǎn)E，AP交DE于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)Q．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接BQ，點(diǎn)M在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上（位于第一象限內(nèi)），且，在點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．【一題多解】1．（2021秋·浙江溫州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，與△ABC的外接圓⊙O交于點(diǎn)D，連結(jié)BD交AC于點(diǎn)F．（1）求證：BD＝CD．（2）若∠BAC＝60°，BC＝3，當(dāng)AF將△ABD的面積分為1：2兩部分時(shí)，求△ADF與△BCF的面積比值．（3）將C點(diǎn)關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)記為點(diǎn)C'，當(dāng)BC'＝BD時(shí)，寫(xiě)出AD與半徑r的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．2．（2021·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，過(guò)點(diǎn)A作射線AM交射線BC于點(diǎn)D，將AM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到AN，過(guò)點(diǎn)C作交直線AN于點(diǎn)F，在AM上取點(diǎn)E，使．（1）當(dāng)AM與線段BC相交時(shí)，①如圖1，當(dāng)時(shí)，線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系為．②如圖2，當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出線段AE，CE和CF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）當(dāng)，時(shí)，若是直角三角形，直接寫(xiě)出AF的長(zhǎng)．3．（2021·遼寧盤(pán)錦·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線與軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)C，直線與軸交于點(diǎn)D，與軸交于點(diǎn)E，與直線BC交于點(diǎn)F．（1）點(diǎn)F的坐標(biāo)是____