2019屆江蘇專用高考數(shù)學大一輪復習第九章平面解析幾何9.9圓錐曲線的綜合問題第二課時范圍最值問題講義理蘇

§9.9

圓錐曲線的綜合問題第2課時范圍、最值問題課時作業(yè)題型分類深度剖析內容索引題型分類深度剖析題型一范圍問題解答(1)求直線FM的斜率；幾何畫板展示又由a2＝b2＋c2，可得a2＝3c2，b2＝2c2.設直線FM的斜率為k(k＞0)，F(xiàn)(－c,0)，則直線FM的方程為y＝k(x＋c).(2)求橢圓的方程；解答解答設點P的坐標為(x，y)，直線FP的斜率為t，整理得2x2＋3t2(x＋1)2＝6，②當x∈(－1,0)時，有y＝t(x＋1)＞0，解決圓錐曲線中的取值范圍問題應考慮的五個方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質或判別式構造不等關系，從而確定參數(shù)的取值范圍.(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關系.(3)利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(4)利用已知的不等關系構造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.思維升華解答所以點F1的坐標為(－2,0)，點F2的坐標為(2,0)，(2)若λ＝2，求橢圓離心率e的取值范圍.解答設點P的坐標為(x0，y0)，點M的坐標為(xM，yM)，又橢圓離心率e∈(0,1)，題型二最值問題命題點1利用三角函數(shù)有界性求最值例2

(2016·徐州模擬)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是坐標原點，則AF·BF的最小值是_____.答案解析4幾何畫板展示命題點2數(shù)形結合利用幾何性質求最值例3

(2015·江蘇)在平面直角坐標系xOy中，P為雙曲線x2－y2＝1右支上的一個動點.若點P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立，則實數(shù)c的最大值為______.答案解析雙曲線x2－y2＝1的漸近線為x±y＝0，直線x－y＋1＝0與漸近線x－y＝0平行，由點P到直線x－y＋1＝0的距離大于c恒成立，命題點3轉化為函數(shù)利用基本不等式或二次函數(shù)求最值(1)求橢圓C的方程.解答設橢圓的半焦距為c.(2)過動點M(0，m)(m＞0)的直線交x軸于點N，交C于點A，P(P在第一象限)，且M是線段PN的中點.過點P作x軸的垂線交C于另一點Q，延長QM交C于點B.證明設P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0).由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m).②求直線AB的斜率的最小值.解答設A(x1，y1)，B(x2，y2).由①知直線PA的方程為y＝kx＋m，則直線QB的方程為y＝－3kx＋m.整理得(2k2＋1)x2＋4mkx＋2m2－4＝0，由m＞0，x0＞0，可知k＞0，處理圓錐曲線最值問題的求解方法圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是利用代數(shù)法，即把要求最值的幾何量或代數(shù)表達式表示為某個(些)參數(shù)的函數(shù)(解析式)，然后利用函數(shù)方法、不等式方法等進行求解.思維升華跟蹤訓練2

(2017·揚州預測)已知圓(x－a)2＋(y＋1－r)2＝r2(r>0)過點F(0,1)，圓心M的軌跡為C.(1)求軌跡C的方程；依題意，由圓過定點F可知軌跡C的方程為x2＝4y.解答幾何畫板展示(2)設P為直線l：x－y－2＝0上的點，過點P作曲線C的兩條切線PA，PB，當點P(x0，y0)為直線l上的定點時，求直線AB的方程；解答幾何畫板展示同理可得切線PB的方程為x2x－2y－2y2＝0.因為切線PA，PB均過點P(x0，y0)，所以x1x0－2y0－2y1＝0，x2x0－2y0－2y2＝0，所以(x1，y1)，(x2，y2)為方程x0x－2y0－2y＝0的兩組解.所以直線AB的方程為x0x－2y－2y0＝0.(3)當點P在直線l上移動時，求AF·BF的最小值.由拋物線定義可知AF＝y(tǒng)1＋1，BF＝y(tǒng)2＋1，所以AF·BF＝(y1＋1)(y2＋1)＝y(tǒng)1y2＋(y1＋y2)＋1，又點P(x0，y0)在直線l上，所以x0＝y(tǒng)0＋2，解答課時作業(yè)1.(2016·昆明兩區(qū)七校調研)過拋物線y2＝x的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，且直線l的傾斜角θ≥，點A在x軸上方，則FA的取值范圍是___________.答案解析123456789123456789答案解析123456789求MP的最小值可以轉化為求OP的最小值，當OP取得最小值時，點P的位置為雙曲線的頂點(±3,0)，而雙曲線的漸近線為4x±3y＝0，123456789答案解析(1,3]123456789由P是雙曲線左支上任意一點及雙曲線的定義，在△PF1F2中，PF1＋PF2≥F1F2，又e>1，所以1<e≤3.123456789答案解析61234567891234567891234567895.(2017·鄭州第一次質量預測)已知橢圓C1：

與雙曲線C2：

有相同的焦點，則橢圓C1的離心率e1的取值范圍為________.答案解析123456789∴由條件知m＋2＋n＝m－n，則n＝－1，1234567891234567896.已知F為拋物線y2＝x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側，

(其中O為坐標原點)，則△ABO與△AFO面積之和的最小值是____.答案解析3123456789則直線AB與x軸的交點坐標為(2,0).1234567897.已知橢圓C1：

(a>b>0)的右頂點為A(1,0)，過C1的焦點且垂直長軸的弦長為1.(1)求橢圓C1的方程；解答123456789(2)設點P在拋物線C2：y＝x2＋h(h∈R)上，C2在點P處的切線與C1交于M，N兩點.當線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時，求h的最小值.解答123456789如圖，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2＋h)，直線MN的方程為

y＝2tx－t2＋h.將上式代入橢圓C1的方程中，得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，即4(1＋t2)x2－4t(t2－h(huán))x＋(t2－h(huán))2－4＝0. ①因為直線MN與橢圓C1有兩個不同的交點，所以①式中的Δ1＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h(huán)2＋4]>0. ②設線段MN的中點的橫坐標是x3，123456789由題意，得x3＝x4，即t2＋(1＋h)t＋1＝0. ③由③式中的Δ2＝(1＋h)2－4≥0，得h≥1或h≤－3.當h≤－3時，h＋2<0，4－h(huán)2<0，則不等式②不成立，所以h≥1.當h＝1時，代入方程③得t＝－1，123456789將h＝1，t＝－1代入不等式②，檢驗成立.所以，h的最小值為1.1234567898.(2016·蘇北四市聯(lián)考)如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：

(a>b>0)的離心率e＝

，左頂點為A(－4,0)，過點A作斜率為k(k≠0)的直線l交橢圓C于點D，交y軸于點E.(1)求橢圓C的標準方程；解答123456789因為左頂點為A(－4,0)，又因為b2＝a2－c2＝12，123456789(2)已知P為AD的中點，是否存在定點Q，對于任意的k(k≠0)都有OP⊥EQ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由.解答123456789直線l的方程為y＝k(x＋4)，化簡，得(x＋4)[(4k2＋3)x＋16k2－12]＝0，123456789因為P為AD的中點，直線l的方程為y＝k(x＋4)，令x＝0，得點E的坐標為(0,4k).假設存在定點Q(m，n)(m≠0)，使得OP⊥EQ，則kOPkEQ＝－1，123456789因此定點Q的坐標為(－3,0).123456789解答123456789因為OM∥l，所以OM的方程可設為y＝kx，由OM∥l，123456789123456789(1)求C1，C2的方程；解答123456789123456789解答(2)過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB，M為AB的中點，當直線OM與C2交于P，Q兩點時，求四邊形APBQ面積的最小值.123456789因為AB不垂直于y軸，且過點F1(－1,0)，故可設直線AB的方程為x＝my－1.易知此方程的判別式大于0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是上述方程的兩個實根，123456789即mx＋2y＝0.123456789設點A到直線PQ的距離為d，則點B到