2019屆江蘇專版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章立體幾何初步49平面的性質(zhì)與空間直線的位置關(guān)系講義文

第九章立體幾何初步知識網(wǎng)絡(luò)

【考情分析】年份試題知識點備注2014第8,16題柱體的體積，線面平行、面面垂直幾何體為圓柱、三棱錐2015第9,16題柱體、錐體的體積、線面平行、線線垂直幾何體為圓柱、圓錐、三棱柱2016第16,17題線面平行、面面垂直，立體幾何背景的實際問題幾何體皆為棱柱【備考策略】1.由于立體幾何知識點、定理和方法較多，所以復(fù)習(xí)時主要從一條主線

“線線→線面→面面”進(jìn)行梳理和總結(jié)，即兩個關(guān)系(平行與垂直)，其中包括三個平行(線線平行、線面平行、面面平行)，三個垂直(線線垂直、線面垂直、面面垂直)．2.在復(fù)習(xí)時要注意聯(lián)系平面圖形的知識，利用類比、引申、聯(lián)想等方法，體會量與位置關(guān)系的變與不變，理解平面圖形和立體圖形的異同，以及兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會到空間問題平面化(即轉(zhuǎn)化與降維思想)．柱、錐、臺之間的割與補(bǔ)，是處理立體幾何問題的重要手段，但此類問題在近幾年并不多見，適當(dāng)關(guān)注即可．第49課平面的性質(zhì)與空間直線的位置關(guān)系課前熱身1.(必修2P23練習(xí)2改編)用集合符號表示“點P在直線l外，直線l在平面α內(nèi)”為________________．【解析】考查點、線、面之間的符號表示．2.(必修2P26練習(xí)2改編)如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么∠AOB與∠A1O1B1的大小關(guān)系為________________．【解析】考慮兩種情況．3.(必修2P31習(xí)題12改編)在正方體ABCDA′B′C′D′中，對角線AD′與BD所成角的大小為________．【解析】∠DBC′就是對角線AD′與BD所成角的平面角．激活思維P?l，l?α

相等或互補(bǔ)60°4.(必修2P31習(xí)題5改編)下列說法中正確的是________．(填序號)①兩兩相交的三條直線共面；②四條線段首尾相接，所得的圖形是平面圖形；③平行四邊形的四邊所在的四條直線共面；④若AB，CD是兩條異面直線，則直線AC，BD不一定異面．【解析】當(dāng)三條直線交于一點時有可能不共面；四條線段首尾相接，所得的圖形可以構(gòu)成空間四邊形；若AB，CD是兩條異面直線，則直線AC，BD一定異面，可反證．③1.公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線上

的點都在這個平面內(nèi)．它是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)．2.公理2：如果兩個平面有一個公共點，那么它們還有其他公共點，這些公共點的集合是經(jīng)過這個公共點的一條直線．它是判定兩平面相交、作兩個平面交線的依據(jù)．知識梳理所有3.公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面．推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個平面．4.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相

．5.等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別

，那么這兩個角相等．平行平行且方向相同6.空間兩條直線的位置關(guān)系有以下三種：位置關(guān)系共面情況公共點相交在同一個平面內(nèi)

平行在同一個平面內(nèi)異面不同在任何一個平面內(nèi)有且只有一個沒有沒有課堂導(dǎo)學(xué)如圖(1)，已知△ABC的各頂點均在平面α外，直線AB，AC，BC分別交平面α于點P，Q，R.求證：P，Q，R三點共線．多點共線與多線共點的證明例1(例1(1))

【思維引導(dǎo)】根據(jù)公理2，選擇恰當(dāng)?shù)膬蓚€平面，只要證明R，Q，P三點都是這兩個平面的公共點即可證明這三點在這兩個平面的交線上．【解答】如圖(2)，設(shè)△ABC確定了一個平面β，因為點R∈BC，所以R∈β.(例1(2))

又因為R∈α，所以R在平面α和平面β的交線上．同理，點P，Q也在平面α和平面β的交線上．因為平面α和平面β的交線只有一條，故P，Q，R三點共線．【精要點評】(1)證明點共線的方法：①先考慮兩個平面的交線，再證明有關(guān)的點都是這兩個平面的公共點；②先選擇其中兩點確定一條直線，再證明其他點也在這條直線上．(2)公理的正確運用，嚴(yán)密的邏輯推理過程，文字、符號、圖形語言的轉(zhuǎn)化是立體幾何的基本要求，也是高考考查的重點．如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD的邊AB，AD，BC，CD上的點，且直線EF和GH交于點P，求證：B，D，P三點在同一直線上．變式(變式)

【解答】因為EF∩GH＝P，所以P∈EF，P∈GH.因為E∈AB，F(xiàn)∈AD，所以EF?平面ABD，所以P∈平面ABD.因為G∈BC，H∈CD，所以GH?平面BCD，所以P∈平面BCD.因為平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，即B，D，P三點在同一直線上． 已知直線l與三條平行直線a，b，c都相交，求證：直線l與直線a，b，c共面．【思維引導(dǎo)】先由兩平行直線確定一個平面，再確定另一個平面，最后說明兩平面重合且直線l在三條平行直線所確定的平面內(nèi)即可．【解答】如圖，設(shè)直線l與直線a，b，c分別交于點A，B，C，因為a∥b，所以過a，b可確定一個平面α.因為b∥c，所以過b，c可確定一個平面β.點、線共面的證明例2因為A∈a，B∈b，C∈c，且A，B，C∈l，所以l?α，l?β，所以存在兩條相交直線b，l既在α內(nèi)又在β內(nèi)，所以由公理3及推論知α，β必重合，所以直線l與直線a，b，c共面．【精要點評】證明幾條線共面的方法：①先由有關(guān)元素確定一個基本平面，再證其他的點(或線)在這個平面內(nèi)；②先由部分點線確定平面，再由其他點線確定平面，然后證明這些平面重合．(例2)

如圖，A∈l，B∈l，C∈l，D?l，求證：直線AD，BD，CD共面．【解答】因為D?l，所以過點D及直線l可確定一個平面α.因為A∈l，B∈l，C∈l，所以A，B，C∈α，所以直線AD，BD，CD共面于α.變式(變式)

如圖(1)，在棱長為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是AA1，D1C1的中點，過D，M，N三點的平面與正方體的下底面相交于直線l.(1)畫出直線l的位置；【解答】

如圖(2)，延長DM和D1A1交于點O，則點O同時在所求的兩個平面內(nèi)．連接NO，則直線NO即為直線l.兩平面交線的畫法例3(例3(1))

(例3(2))

(2)設(shè)l∩A1B1＝P，求PB1的長．【解答】因為l∩A1B1＝P，則易知直線NO與A1B1的交點即為P.因為A1M∥DD1，且M，N分別是AA1，D1C1的中點，所以A1也是D1O的中點．【精要點評】(1)畫兩條直線的交點時，容易因為視覺上的錯誤造成把兩條異面直線畫出交點來，因而要記住在同一平面的兩條相交直線才有交點．(2)題目所給的模型中會出現(xiàn)兩個平面只有一個公共點，此時根據(jù)公理2對平面進(jìn)行延展即可得到另一個交點，進(jìn)而畫出交線．

如圖(1)，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為CC1，AA1的中點，畫出平面BED1F與平面ABCD的交線．【解答】如圖(2)，在平面AA1D1D

內(nèi)，延長D1F，因為D1F與DA不平行，所以D1F與DA必相交于一點，設(shè)為P，則P∈D1F，P∈DA.又因為D1F?平面BED1F，所以點P∈平面BED1F.變式(變式(1))

(變式(2))

因為AD?平面ABCD，所以點P∈平面ABCD，所以P為平面ABCD與平面BED1F的公共點．又B為平面ABCD與平面BED1F的公共點，所以連接PB，PB

即為平面BED1F

與平面ABCD的交線．

如圖，在正方體ABCDA′B′C′D′中．(1)哪些棱所在的直線與直線BA′是異面直線？【思維引導(dǎo)】找異面直線要嚴(yán)格依據(jù)定義，而要求角，先找角；要找角，先找平行．根據(jù)異面直線所成角的定義找到平面角，然后再借助解三角形求角的大?。螽惷嬷本€所成的角例1(例4)

【解答】由異面直線的判定方法，可知與直線BA′成異面直線的有B′C′，AD，CC′，DD′，DC，D′C′.(2)求異面直線BA′與CC′所成角的大小．【解答】由BB′∥CC′，可知∠B′BA′等于異面直線BA′與CC′所成的角，所以異面直線BA′與CC′所成的角為45°.(3)哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？【解答】直線AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′，D′A′與直線AA′都垂直．【精要點評】求異面直線所成的角的關(guān)鍵是借助平行關(guān)系找到平面角，然后再放到某個三角形中求解角的大小，即“找角—求角”．雖然在近幾年的高考中求角問題不太常見，但仍需適當(dāng)關(guān)注． 如圖，已知A是△BCD所在平面外的一點，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；【解答】假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點相矛盾，故直線EF與BD是異面直線．變式(變式)

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．課堂評價1.下列圖形中，不一定是平面圖形的是________．(填序號)①三角形；②菱形；③梯形；④四邊相等的四邊形．2.若α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，那么直線m與點A的位置關(guān)系可用集合符號表示為________．3.如圖，若正方體ABCDA′B′C′D′的棱長為a，則直線BA′和AD′所成的角的大小為________．④A∈m

60°(第3題)

【解析】連接BC′，A′C′，易知△A′B

C′是正三角形，且有BC′∥AD′，所以∠A′B

C′就是直線BA′和AD′所成的角，又∠A′B

C′＝60°，所以直線BA′和AD′所成的角的大小為60°.4.如圖，已知ABCDA1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，且AE＝