2019屆江蘇專版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章立體幾何初步49平面的性質(zhì)與空間直線的位置關(guān)系講義文

第九章立體幾何初步知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

【考情分析】年份試題知識(shí)點(diǎn)備注2014第8,16題柱體的體積，線面平行、面面垂直幾何體為圓柱、三棱錐2015第9,16題柱體、錐體的體積、線面平行、線線垂直幾何體為圓柱、圓錐、三棱柱2016第16,17題線面平行、面面垂直，立體幾何背景的實(shí)際問題幾何體皆為棱柱【備考策略】1.由于立體幾何知識(shí)點(diǎn)、定理和方法較多，所以復(fù)習(xí)時(shí)主要從一條主線

“線線→線面→面面”進(jìn)行梳理和總結(jié)，即兩個(gè)關(guān)系(平行與垂直)，其中包括三個(gè)平行(線線平行、線面平行、面面平行)，三個(gè)垂直(線線垂直、線面垂直、面面垂直)．2.在復(fù)習(xí)時(shí)要注意聯(lián)系平面圖形的知識(shí)，利用類比、引申、聯(lián)想等方法，體會(huì)量與位置關(guān)系的變與不變，理解平面圖形和立體圖形的異同，以及兩者之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)到空間問題平面化(即轉(zhuǎn)化與降維思想)．柱、錐、臺(tái)之間的割與補(bǔ)，是處理立體幾何問題的重要手段，但此類問題在近幾年并不多見，適當(dāng)關(guān)注即可．第49課平面的性質(zhì)與空間直線的位置關(guān)系課前熱身1.(必修2P23練習(xí)2改編)用集合符號(hào)表示“點(diǎn)P在直線l外，直線l在平面α內(nèi)”為________________．【解析】考查點(diǎn)、線、面之間的符號(hào)表示．2.(必修2P26練習(xí)2改編)如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么∠AOB與∠A1O1B1的大小關(guān)系為________________．【解析】考慮兩種情況．3.(必修2P31習(xí)題12改編)在正方體ABCDA′B′C′D′中，對(duì)角線AD′與BD所成角的大小為________．【解析】∠DBC′就是對(duì)角線AD′與BD所成角的平面角．激活思維P?l，l?α

相等或互補(bǔ)60°4.(必修2P31習(xí)題5改編)下列說法中正確的是________．(填序號(hào))①兩兩相交的三條直線共面；②四條線段首尾相接，所得的圖形是平面圖形；③平行四邊形的四邊所在的四條直線共面；④若AB，CD是兩條異面直線，則直線AC，BD不一定異面．【解析】當(dāng)三條直線交于一點(diǎn)時(shí)有可能不共面；四條線段首尾相接，所得的圖形可以構(gòu)成空間四邊形；若AB，CD是兩條異面直線，則直線AC，BD一定異面，可反證．③1.公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上

的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．它是判定直線在平面內(nèi)的依據(jù)．2.公理2：如果兩個(gè)平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們還有其他公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是經(jīng)過這個(gè)公共點(diǎn)的一條直線．它是判定兩平面相交、作兩個(gè)平面交線的依據(jù)．知識(shí)梳理所有3.公理3：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論1：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．推論2：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．推論3：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．4.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相

．5.等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別

，那么這兩個(gè)角相等．平行平行且方向相同6.空間兩條直線的位置關(guān)系有以下三種：位置關(guān)系共面情況公共點(diǎn)相交在同一個(gè)平面內(nèi)

平行在同一個(gè)平面內(nèi)異面不同在任何一個(gè)平面內(nèi)有且只有一個(gè)沒有沒有課堂導(dǎo)學(xué)如圖(1)，已知△ABC的各頂點(diǎn)均在平面α外，直線AB，AC，BC分別交平面α于點(diǎn)P，Q，R.求證：P，Q，R三點(diǎn)共線．多點(diǎn)共線與多線共點(diǎn)的證明例1(例1(1))

【思維引導(dǎo)】根據(jù)公理2，選擇恰當(dāng)?shù)膬蓚€(gè)平面，只要證明R，Q，P三點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)即可證明這三點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上．【解答】如圖(2)，設(shè)△ABC確定了一個(gè)平面β，因?yàn)辄c(diǎn)R∈BC，所以R∈β.(例1(2))

又因?yàn)镽∈α，所以R在平面α和平面β的交線上．同理，點(diǎn)P，Q也在平面α和平面β的交線上．因?yàn)槠矫姒梁推矫姒碌慕痪€只有一條，故P，Q，R三點(diǎn)共線．【精要點(diǎn)評(píng)】(1)證明點(diǎn)共線的方法：①先考慮兩個(gè)平面的交線，再證明有關(guān)的點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)；②先選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線，再證明其他點(diǎn)也在這條直線上．(2)公理的正確運(yùn)用，嚴(yán)密的邏輯推理過程，文字、符號(hào)、圖形語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化是立體幾何的基本要求，也是高考考查的重點(diǎn)．如圖，已知E，F(xiàn)，G，H分別為空間四邊形ABCD的邊AB，AD，BC，CD上的點(diǎn)，且直線EF和GH交于點(diǎn)P，求證：B，D，P三點(diǎn)在同一直線上．變式(變式)

【解答】因?yàn)镋F∩GH＝P，所以P∈EF，P∈GH.因?yàn)镋∈AB，F(xiàn)∈AD，所以EF?平面ABD，所以P∈平面ABD.因?yàn)镚∈BC，H∈CD，所以GH?平面BCD，所以P∈平面BCD.因?yàn)槠矫鍭BD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，即B，D，P三點(diǎn)在同一直線上． 已知直線l與三條平行直線a，b，c都相交，求證：直線l與直線a，b，c共面．【思維引導(dǎo)】先由兩平行直線確定一個(gè)平面，再確定另一個(gè)平面，最后說明兩平面重合且直線l在三條平行直線所確定的平面內(nèi)即可．【解答】如圖，設(shè)直線l與直線a，b，c分別交于點(diǎn)A，B，C，因?yàn)閍∥b，所以過a，b可確定一個(gè)平面α.因?yàn)閎∥c，所以過b，c可確定一個(gè)平面β.點(diǎn)、線共面的證明例2因?yàn)锳∈a，B∈b，C∈c，且A，B，C∈l，所以l?α，l?β，所以存在兩條相交直線b，l既在α內(nèi)又在β內(nèi)，所以由公理3及推論知α，β必重合，所以直線l與直線a，b，c共面．【精要點(diǎn)評(píng)】證明幾條線共面的方法：①先由有關(guān)元素確定一個(gè)基本平面，再證其他的點(diǎn)(或線)在這個(gè)平面內(nèi)；②先由部分點(diǎn)線確定平面，再由其他點(diǎn)線確定平面，然后證明這些平面重合．(例2)

如圖，A∈l，B∈l，C∈l，D?l，求證：直線AD，BD，CD共面．【解答】因?yàn)镈?l，所以過點(diǎn)D及直線l可確定一個(gè)平面α.因?yàn)锳∈l，B∈l，C∈l，所以A，B，C∈α，所以直線AD，BD，CD共面于α.變式(變式)

如圖(1)，在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是AA1，D1C1的中點(diǎn)，過D，M，N三點(diǎn)的平面與正方體的下底面相交于直線l.(1)畫出直線l的位置；【解答】

如圖(2)，延長(zhǎng)DM和D1A1交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O同時(shí)在所求的兩個(gè)平面內(nèi)．連接NO，則直線NO即為直線l.兩平面交線的畫法例3(例3(1))

(例3(2))

(2)設(shè)l∩A1B1＝P，求PB1的長(zhǎng)．【解答】因?yàn)閘∩A1B1＝P，則易知直線NO與A1B1的交點(diǎn)即為P.因?yàn)锳1M∥DD1，且M，N分別是AA1，D1C1的中點(diǎn)，所以A1也是D1O的中點(diǎn)．【精要點(diǎn)評(píng)】(1)畫兩條直線的交點(diǎn)時(shí)，容易因?yàn)橐曈X上的錯(cuò)誤造成把兩條異面直線畫出交點(diǎn)來，因而要記住在同一平面的兩條相交直線才有交點(diǎn)．(2)題目所給的模型中會(huì)出現(xiàn)兩個(gè)平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)根據(jù)公理2對(duì)平面進(jìn)行延展即可得到另一個(gè)交點(diǎn)，進(jìn)而畫出交線．

如圖(1)，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為CC1，AA1的中點(diǎn)，畫出平面BED1F與平面ABCD的交線．【解答】如圖(2)，在平面AA1D1D

內(nèi)，延長(zhǎng)D1F，因?yàn)镈1F與DA不平行，所以D1F與DA必相交于一點(diǎn)，設(shè)為P，則P∈D1F，P∈DA.又因?yàn)镈1F?平面BED1F，所以點(diǎn)P∈平面BED1F.變式(變式(1))

(變式(2))

因?yàn)锳D?平面ABCD，所以點(diǎn)P∈平面ABCD，所以P為平面ABCD與平面BED1F的公共點(diǎn)．又B為平面ABCD與平面BED1F的公共點(diǎn)，所以連接PB，PB

即為平面BED1F

與平面ABCD的交線．

如圖，在正方體ABCDA′B′C′D′中．(1)哪些棱所在的直線與直線BA′是異面直線？【思維引導(dǎo)】找異面直線要嚴(yán)格依據(jù)定義，而要求角，先找角；要找角，先找平行．根據(jù)異面直線所成角的定義找到平面角，然后再借助解三角形求角的大小．求異面直線所成的角例1(例4)

【解答】由異面直線的判定方法，可知與直線BA′成異面直線的有B′C′，AD，CC′，DD′，DC，D′C′.(2)求異面直線BA′與CC′所成角的大?。窘獯稹坑葿B′∥CC′，可知∠B′BA′等于異面直線BA′與CC′所成的角，所以異面直線BA′與CC′所成的角為45°.(3)哪些棱所在的直線與直線AA′垂直？【解答】直線AB，BC，CD，DA，A′B′，B′C′，C′D′，D′A′與直線AA′都垂直．【精要點(diǎn)評(píng)】求異面直線所成的角的關(guān)鍵是借助平行關(guān)系找到平面角，然后再放到某個(gè)三角形中求解角的大小，即“找角—求角”．雖然在近幾年的高考中求角問題不太常見，但仍需適當(dāng)關(guān)注． 如圖，已知A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；【解答】假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相矛盾，故直線EF與BD是異面直線．變式(變式)

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．課堂評(píng)價(jià)1.下列圖形中，不一定是平面圖形的是________．(填序號(hào))①三角形；②菱形；③梯形；④四邊相等的四邊形．2.若α∩β＝m，a?α，b?β，a∩b＝A，那么直線m與點(diǎn)A的位置關(guān)系可用集合符號(hào)表示為________．3.如圖，若正方體ABCDA′B′C′D′的棱長(zhǎng)為a，則直線BA′和AD′所成的角的大小為________．④A∈m

60°(第3題)

【解析】連接BC′，A′C′，易知△A′B

C′是正三角形，且有BC′∥AD′，所以∠A′B

C′就是直線BA′和AD′所成的角，又∠A′B

C′＝60°，所以直線BA′和AD′所成的角的大小為60°.4.如圖，已知ABCDA1B1C1D1是棱長(zhǎng)為3的正方體，點(diǎn)E在AA1上，點(diǎn)F在CC1上，且AE＝