高中數學第一章計數原理章末復習課件新人教A版選修

章末復習第一章計數原理學習目標1.掌握分類加法計數原理與分步乘法計數原理.2.理解排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系，能利用排列組合解決一些實際問題.3.能用計數原理證明二項式定理，掌握二項式定理和二項展開式的性質.知識梳理達標檢測題型探究內容索引知識梳理1.分類加法計數原理完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝

種不同的方法.2.分步乘法計數原理完成一件事需要n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N＝

種不同的方法.m1＋m2＋…＋mnm1×m2×…×mn3.排列數與組合數公式及性質

排列與排列數組合與組合數公式排列數公式

＝n(n－1)(n－2)…

＝組合數公式

＝

＝

＝(n－m＋1)性質當m＝n時，

為全排列；

＝n??；0?。絖_

；

＝

；

＝______________備注n，m∈N*，且m≤n14.二項式定理(1)二項式定理的內容：

(a＋b)n＝

.(3)二項式系數的性質：①與首末兩端等距離的兩個二項式系數相等；題型探究命題角度1分類討論思想例1

車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當車工又能當鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機床，則有多少種選派方法？類型一數學思想方法在求解計數問題中的應用解答解方法一設A，B代表2位老師傅.所以共有75＋100＋10＝185(種).所以共有35＋120＋30＝185(種).反思與感悟解含有約束條件的排列、組合問題，應按元素的性質進行分類，分類時需要滿足兩個條件：①類與類之間要互斥(保證不重復)；②總數要完備(保證不遺漏).跟蹤訓練1從1,2,3,4,5,6這6個數字中，任取3個數字組成無重復數字的三位數，其中若有1和3時，3必須排在1的前面；若只有1和3中的一個時，它應排在其他數字的前面，這樣不同的三位數共有_____個.(用數字作答)解析

1與3是特殊元素，以此為分類標準進行分類.答案解析60例2設集合S＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3滿足a1<a2<a3，a3－a2≤6，那么滿足條件的集合A的個數為A.78 B.76 C.83 D.84解析若從正面考慮，需分當a3＝9時，a2可以取8,7,6,5,4,3，共6類；當a3＝8時，a2可以取7,6,5,4,3,2，共6類；…分類較多，而其對立面a3－a2>6包含的情況較少，當a3＝9時，a2取2，a1取1，只有這一種情況，利用正難則反思想解決.集合S的含有三個元素的子集的個數為

＝84.在這些含有三個元素的子集中能滿足a1<a2<a3且a3－a2>6的集合只有{1,2,9}，故滿足題意的集合A的個數為84－1＝83.√命題角度2

“正難則反”思想答案解析反思與感悟對于正面處理較復雜或不易求解的問題，常常從問題的對立面去思考.跟蹤訓練2由甲、乙、丙、丁4名學生參加數學、寫作、英語三科競賽，每科至少1人(且每人僅報一科)，若學生甲、乙不能同時參加同一競賽，則不同的參賽方案共有_____種.答案解析30∴不同的參賽方案共有36－6＝30(種).例3在高三一班元旦晚會上，有6個演唱節(jié)目，4個舞蹈節(jié)目.(1)當4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？類型二排列與組合的綜合應用解答根據分步乘法計數原理，一共有5040×24＝120960(種)安排順序.(2)當要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時，有多少種不同的節(jié)目安排順序？解答×□×□×□×□×□×□×第二步再將4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或兩個節(jié)目中間(即圖中“×”的位置)這樣相當于7個“×”選4個來排，根據分步乘法計數原理，一共有720×840＝604800(種)安排順序.(3)若已定好節(jié)目單，后來情況有變，需加上詩朗誦和快板2個節(jié)目，但不能改變原來節(jié)目的相對順序，有多少種不同的節(jié)目演出順序？解答但原來的節(jié)目已定好順序，需要消除，反思與感悟排列與組合的綜合問題，首先要分清何時為排列，何時為組合.對含有特殊元素的排列、組合問題，一般先進行組合，再進行排列.對特殊元素的位置有要求時，在組合選取時，就要進行分類討論，分類的原則是不重、不漏.在用間接法計數時，要注意考慮全面，排除干凈.跟蹤訓練3在三位正整數中，若十位數字小于個位和百位數字，稱該數為“駝峰數”，比如：“102”“546”為駝峰數，由數字1,2,3,4,5這5個數字構成的無重復數字的“駝峰數”的十位上的數字之和為_____.答案解析30所以所有的三位“駝峰數”的十位上的數字之和為12×1＋6×2＋2×3＝30.命題角度1二項展開式的特定項問題類型三二項式定理及其應用解答于是有理項為T1＝x5和T7＝13440.所以系數的絕對值最大的項為T8＝－15360

.(2)求展開式中系數絕對值最大的項；解設第k＋1項系數的絕對值最大，則解答又因為k∈{1,2,3，…，9}，所以k＝7，當k＝7時，T8＝－15360

，又因為當k＝0時，T1＝x5，當k＝10時，T11＝(－2)10

＝1024

，解答反思與感悟

(1)確定二項式中的有關元素：一般是根據已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項式中的有關元素.(2)確定二項展開式中的常數項：先寫出其通項公式，令未知數的指數為零，從而確定項數，然后代入通項公式，即可確定常數項.(3)求二項展開式中條件項的系數：先寫出其通項公式，再由條件確定項數，然后代入通項公式求出此項的系數.(4)求二項展開式中各項系數的和差：賦值代入.(5)確定二項展開式中的系數最大或最小項：利用二項式系數的性質.跟蹤訓練4已知二項式

展開式中各項系數之和是各項二項式系數之和的16倍.(1)求n；解答由題意得，4n＝16·2n，所以2n＝16，n＝4.(2)求展開式中二項式系數最大的項；解答＝(－1)kC54－k·，展開式中二項式系數最大的項是第3項：(3)求展開式中所有有理項.解答所以展開式中所有有理項為命題角度2二項展開式的“賦值”問題解(x2－3x＋2)5＝(x－1)5(x－2)5，a2是展開式中x2的系數，解答例5

若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.(1)求a2；(2)求a1＋a2＋…＋a10；解令x＝1，代入已知式可得，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝0，而令x＝0，得a0＝32，∴a1＋a2＋…＋a10＝－32.解答(3)求(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2.解令x＝－1可得，(a0＋a2＋a4＋…＋a10)－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝65，再由(a0＋a2＋a4＋…＋a10)＋(a1＋a3＋…＋a7＋a9)＝0，把這兩個等式相乘可得，(a0＋a2＋a4＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a7＋a9)2＝65×0＝0.解答反思與感悟與二項式系數有關，包括求展開式中二項式系數最大的項、各項的二項式系數或系數的和、奇數項或者偶數項的二項式系數或系數的和以及各項系數的絕對值的和，主要方法是賦值法，通過觀察展開式右邊的結構特點和所求式子的關系，確定給字母所賦的值，有時賦值后得到的式子比所求式子多一項或少一項，此時要專門求出這一項，而在求奇數項或者偶數項的二項式系數或系數的和時，往往要兩次賦值，再由方程組求出結果.跟蹤訓練5若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，則a1＋a2＋a3＋…＋a11的值為____.解析

令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5，令x＝3，則a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0，所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.答案解析5達標檢測1.設4名學生報名參加同一時間安排的3項課外活動方案有a種，這4名學生在運動會上共同爭奪100米、跳遠、鉛球3項比賽的冠軍的可能結果有b種，則(a，b)為A.(34，34) B.(43，34)C.(34，43) D.解析由題意知本題是一個分步乘法問題，首先每名學生報名有3種選擇，根據分步乘法計數原理知4名學生共有34種選擇，每項冠軍有4種可能結果，根據分步乘法計數原理知3項冠軍共有43種可能結果.故選C.答案解析√12345答案解析2.5名大人帶兩個小孩排隊上山，小孩不排在一起也不排在頭尾，則不同的排法種數有12345√答案解析3.我省高中學校自實施素質教育以來，學生社團得到迅猛發(fā)展.某校高一新生中的五名同學打算參加“春暉文學社”、“舞者輪滑俱樂部”、“籃球之家”、“圍棋苑”四個社團.若每個社團至少有一名同學參加，每名同學至少參加一個社團且只能參加一個社團，且同學甲不參加“圍棋苑”，則不同的參加方法的種數為A.72 B.108C.180 D.216√12345解析根據題意，分析可得，必有2人參加同一社團，首先分析甲，甲不參加“圍棋苑”，則其有3種情況，再分析其他4人，12345則除甲外的4人有24＋36＝60(種)情況，故不同的參加方法的種數為3×60＝180(種)，故選C.答案解析4.(x－2y)6的展開式中，x4y2的系數為A.15 B.－15 C.60 D.－60所以x4y2的系數為60，故選C.√12345