2019屆泰安專版中考數(shù)學(xué)第一部分基礎(chǔ)知識過關(guān)第四章圖形的初步認識與三角形第15講全等三角形與尺規(guī)作圖講義

第15講全等三角形與尺規(guī)作圖泰安考情分析基礎(chǔ)知識過關(guān)泰安考點聚焦總綱目錄隨堂鞏固練習(xí)泰安考情分析基礎(chǔ)知識過關(guān)知識點一全等三角形的性質(zhì)與判定知識點二角平分線的性質(zhì)知識點四三角形中位線定理知識點三線段垂直平分線的性質(zhì)知識點五尺規(guī)作圖定義能夠①

完全重合

的兩個三角形叫做全等

三角形性質(zhì)角對應(yīng)角②

相等

線段對應(yīng)線段(邊、角平分線、中線、高線、中位

線)相等周長、面積周長相等,③

面積

相等判定三邊④

SSS

兩角一邊⑤

ASA、AAS

兩邊一角SAS直角三角形HL知識點一

全等三角形的性質(zhì)與判定溫馨提示

判定兩個三角形全等的條件中至少有一條邊對應(yīng)相

等.知識點二

角平分線的性質(zhì)1.角平分線的性質(zhì)定理(1)定理:角平分線上的點到角兩邊的距離⑥

相等

;如圖,OP平分∠AOB,PD⊥OA于點D,PC⊥OB于點C,則PC=PD.(2)逆定理:角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在⑦

角的平分線上.2.(1)三角形一個角的平分線分其對邊所成的兩條線段與這個角

的兩邊對應(yīng)成比例.(2)如果三角形一邊上的某個點分這條邊所成的兩條線段與這條

邊的對角的兩邊對應(yīng)成比例,那么該點與對角頂點的連線是三角

形的一條角平分線.知識點三

線段垂直平分線的性質(zhì)線段的垂直平分線性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點

的距離⑧

相等

判定定理到線段兩個端點距離相等的點在這條線段的

⑨

垂直平分線

上定理:如圖,線段AB的垂直平分線為直線MN,則有AM=BM.推論:若AM=BM,則點M在線段AB的垂直平分線上.知識點四

三角形中位線定理三角形中,兩邊中點的連線平行于第三邊并且等于第三邊的一半.

在這個定理中,包含兩個結(jié)論,一個是位置關(guān)系的“平行”,一個

是數(shù)量關(guān)系的“相等”.推論:經(jīng)過三角形一邊的中點,且平行于另一邊的直線,必平分第

三邊.這條推論是應(yīng)用三角形中位線定理添加輔助線的基礎(chǔ).

定理:如圖,△ABC中,點D和點E分別是AB和AC的中點,則DE

∥BC,且DE=?BC.推論:若點D為AB的中點,且DE∥BC,則E為AC的中點,且DE=?BC.知識點五

尺規(guī)作圖1.尺規(guī)作圖:限定用直尺(沒有刻度)和圓規(guī)作圖.2.尺規(guī)作圖的類型

類型步驟圖示基本作圖作一條線段等于已知線段1.作射線OP;2.在OP上截取OA=a,OA即為所求作的線

段

作一個角等于已知角1.以點O為圓心,以任意長為半徑作弧,交∠α的兩邊于點P、Q;2.作射線O'A;3.以O(shè)'為圓心,OP長為半徑作弧,交O'A于點M;4.以點M為圓心,PQ長為半徑作弧,兩弧交于點N;5.過點N作射線O'B,∠AO'B即為所求作的角

作已知角的平分線1.以O(shè)為圓心,任意長為半徑作弧,分別交OA、OB于

點N、M;2.分別以點M、N為圓心,大于?MN長為半徑作弧,兩弧相交于點P;3.作射線OP,OP即為所求作的角

平分線

作線段的垂直平分線1.分別以點A、B為圓心,大于?AB長為半徑,在AB兩側(cè)作弧,兩弧分別交于M、N兩點;2.過點M、N作直線MN,

MN即為所求作的垂直平分線

基本作圖過一點作已知直線的垂線

1.以點O為圓心,任意長為半徑向點O兩側(cè)作弧,交直線于A、B兩點;2.分別以點A、B為圓心,大于?AB長為半徑向直線兩側(cè)作弧,兩弧分別交于M、N兩點;3.過點M、N作直線MN,MN即為所求作的垂線

1.在直線另一側(cè)取點M;2.以點P為圓心,PM長為半徑畫弧,交直線于A、B兩點;3.分別以A、B為圓心,大于?AB長為半徑畫弧,交M同側(cè)于點N;4.過點P、N作直線PN,PN即為所求作的垂線

拓展類型已知一直角邊長m和斜邊

長n作直角三角形1.畫兩條互相垂直的直線,垂足為C,在其中一邊上截取CA=m;2.以點A為圓心,n為半徑畫弧,與另一邊交于點B;

3.連接AB,Rt△ABC即為所求作的三角形

作圓的內(nèi)接正多邊形

1.過圓心O作任意一條直徑記為AC;2.作AC的垂直平分線,分別交圓于點B、D;3.連接AB、BC、CD、DA,正方形ABCD即為所求作的正方形

作圓(半徑為R)的內(nèi)接正六邊形1.畫圓(半徑為R)的任意一條直徑AB;2.分別以點A、B為圓心,R為半徑畫弧,與圓相交于點C、D、E、F;

3.依次連接各點,正六邊形ACEBFD即為所求作的正

六邊形

泰安考點聚焦考點一全等三角形的性質(zhì)和判定考點二角平分線的性質(zhì)考點三線段垂直平分線的性質(zhì)考點四三角形中位線定理考點五尺規(guī)作圖考點一

全等三角形的性質(zhì)和判定中考解題指導(dǎo)全等三角形的性質(zhì)主要是指全等三角形的對應(yīng)

邊、對應(yīng)角、對應(yīng)中線、對應(yīng)高、對應(yīng)角平分線、周長、面積

等之間的等量關(guān)系.屬于泰安中考的必考考點.例1如圖,AD是△ABC的角平分線,DE⊥AC,垂足為E,BF∥AC交

ED的延長線于點F,若BC恰好平分∠ABF,AE=2BF.給出下列四個

結(jié)論:①DE=DF;②DB=DC;③AD⊥BC;④AC=3BF,其中正確的結(jié)

論共有?(A)

A.4個

B.3個

C.2個

D.1個解析∵BF∥AC,∴∠C=∠CBF,∵BC平分∠ABF,∴∠ABC=∠CBF,∴∠C=∠ABC,∴AB=AC,∵AD是△ABC的角平分線,∴BD=CD,AD⊥BC,故②③正確;在△CDE與△BDF中,

∴△CDE≌△BDF(ASA),∴DE=DF,CE=BF,故①正確;∵AE=2BF,∴AC=3BF,故④正確,故選A.變式1-1

(2018臨沂)如圖,∠ACB=90°,AC=BC.AD⊥CE,BE⊥CE,

垂足分別是點D、E,AD=3,BE=1,則DE的長是?(B)

A.?

B.2

C.2?

D.?解析∵BE⊥CE,AD⊥CE,∴∠E=∠ADC=90°,∴∠EBC+∠BCE=90°.∵∠BCE+∠ACD=90°,∴∠EBC=∠ACD.在△CEB和△ADC中,

∴△CEB≌△ADC(AAS),∴BE=DC=1,CE=AD=3.∴DE=EC-CD=3-1=2,故選B.考點二

角平分線的性質(zhì)中考解題指導(dǎo)涉及角平分線的應(yīng)用時,常需作輔助線以便于運

用其性質(zhì).例2

如圖,AB∥CD,BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB,AD過點P,

且與AB垂直.若AD=8,則點P到BC的距離是?(C)

A.8

B.6

C.4

D.2解析過點P作PE⊥BC于點E,

∵AB∥CD,PA⊥AB,∴PD⊥CD,∵BP和CP分別平分∠ABC和∠DCB,∴PA=PE,PD=PE,∴PA=PD,∵PA+PD=AD=8,∴PA=PD=4,∴PE=4,故點P到BC的距離是4.變式2-1如圖,AD是△ABC中∠BAC的平分線,DE⊥AB于點E,S△

ABC=7,DE=2,AB=4,則AC的長是?(A)

A.3

B.4

C.6

D.5解析

S△ABC=7,∵S△ABD=?AB·DE=4,∴S△ACD=3,根據(jù)角平分線的性質(zhì),△ACD中AC邊上的高線=DE=2,∴AC=3.考點三

線段垂直平分線的性質(zhì)中考解題指導(dǎo)線段垂直平分線中有兩組線段相等:①線段垂直

平分線上的點到線段兩個端點的距離相等;②線段被垂足分為兩

條相等的線段.例3如圖,在△ABC中,按以下步驟作圖:①分別以點B,C為圓心,

以大于?BC的長為半徑作弧,兩弧相交于M,N兩點;②作直線MN交AB于點D,連接CD.若CD=AC,∠B=25°,則∠ACB的度數(shù)為

105°

.

解析∵MN為BC的垂直平分線,∴△BCD為等腰三角形,∵∠B=25°,∴∠BCD=25°,∴∠CDA=∠B+∠BCD,∵AC=CD,∴∠CAD=∠

CDA=50°,∴在△ACD中,∠ACD=80°,∴∠ACB=105°.變式3-1如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,DE是線段AC的

垂直平分線,若BE=a,AE=b,則用含a,b的代數(shù)式表示△ABC的周長

為

3b+2a

.

解析∵DE是線段AC的垂直平分線,∴AE=EC=b,易證∠B=∠

BEC=72°,∴在△BCE中,BC=EC=b,又∵AC=AB=a+b,∴△ABC的

周長為3b+2a.考點四

三角形中位線定理中考解題指導(dǎo)三角形的中位線定理中,既涉及位置關(guān)系,又涉及

數(shù)量關(guān)系.在具體應(yīng)用時,應(yīng)靈活選擇應(yīng)用.尤其當(dāng)圖形中出現(xiàn)多

個線段中點時,往往連接兩個中點構(gòu)造三角形的中位線.例4如圖,在矩形ABCD中,M、N分別是邊AD、BC的中點,E、F

分別是線段BM、CM的中點.若AB=8,AD=12,則四邊形ENFM的周

長為

20

.

解析∵M、N分別是邊AD、BC的中點,AB=8,AD=12,∴AM=

DM=6,∵四邊形ABCD為矩形,∴∠A=∠D=90°,∴BM=CM=10,∵E、F分別是線段BM、CM的中點,∴EM=FM=5,∵EN,FN都是△BCM的中位線,∴EN=FN=5,∴四邊形ENFM的周長為5+5+5+5=20.變式4-1

(2018臨沂)如圖,點E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊

AB、BC、CD、DA的中點.則下列說法:①若AC=BD,則四邊形EFGH為矩形;②若AC⊥BD,則四邊形EFGH為菱形;③若四邊形EFGH是平行四邊形,則AC與BD互相平分;④若四邊形EFGH是正方形,則AC與BD互相垂直且相等.其中正

確的個數(shù)是?(A)

A.1

B.2

C.3

D.4解析因為一般四邊形的中點四邊形是平行四邊形,當(dāng)對角線

BD=AC時,中點四邊形是菱形,當(dāng)對角線AC⊥BD時,中點四邊形是

矩形,當(dāng)對角線AC=BD,且AC⊥BD時,中點四邊形是正方形,故只

有④正確,故選A.考點五

尺規(guī)作圖例5

(2018青島)已知:如圖,∠ABC,射線BC上一點D.求作:等腰△PBD,使線段BD為等腰△PBD的底邊,點P在∠ABC內(nèi)

部,且點P到∠ABC兩邊的距離相等.

解析如圖所示:

等腰△PBD即為所求.變式5-1

(2018濰坊)如圖,木工師傅在板材邊角處作直角時,往往使用“三弧法”,其作法是:(1)作線段AB,分別以A,B為圓心,以AB長為半徑作弧,兩弧的交點

為C;(2)以C為圓心,仍以AB長為半徑作弧交AC的延長線于點D;(3)連接BD,BC.下列說法不正確的是?(D)

A.∠CBD=30°

B.S△BDC=?AB2C.點C是△ABD的外心

D.sin2A+cos2D=1解析由(1)可知,AB=AC=BC,∴△ABC為等邊三角形,∴∠A=∠ACB=∠ABC=60°,S△ABC=?AB2.由(2)可知CD=AC=BC=AB,∴∠CBD=∠D=?∠ACB=30°,S△BDC=S△ABC=?AB2,點C是△ABD的外心.故選項A、B、C說法正確,故選D.一、選擇題1.如圖,下列條件中,不能證明△ABC≌△DCB的是?(D)隨堂鞏固訓(xùn)練A.AB=DC,AC=DB

B.AB=DC,∠ABC=∠DCBC.BO=CO,∠A=∠D

D.AB=DC,∠A=∠D2.如圖,在方格紙中,以AB為一邊作△ABP,使以點A,B,P為頂點三

角形與△ABC全等,從P1,P2,P3,P4四個點中找出符合條件的點P,則

點P有?(C)

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個3.如圖,△ABC中,AB=AC,AD是角平分線,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F

為垂足,對于結(jié)論:①DE=DF;②BD=CD;③AD上任一點到AB、AC

的距離相等;④AD上任一點到點B、C的距離相等.其中正確的是

?(D)

A.①②

B.③④C.①②③

D.①②③④二、填空題4.(2018山西)如圖,直線MN∥PQ,直線AB分別與MN,PQ相交于點

A,B.小宇同學(xué)利用尺規(guī)按以下步驟作圖:①以點A為圓心,以任意

長為半徑作弧交AN于點C,交AB于點D;②分別以C,D為圓心,大于

CD長為半徑作弧,兩弧在∠NAB內(nèi)交于點E;③作射線AE交PQ于點F.若AB=2,∠ABP=60°,則線段AF的長為

2?

.

解析過點B作BG⊥AF交AF于點G,

由尺規(guī)作圖可知,AF平分∠NAB,∴∠NAF=∠BAF.∵MN∥PQ,∴∠NAF=∠BFA,∴∠BAF=∠BFA,∴BA=BF=2.∵BG⊥AF,∴AG=FG,∵∠A