高考數(shù)學(xué)模擬大題規(guī)范訓(xùn)練(14)含答案及解析

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（14）15.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，．（1）證明：平面；（2）若與平面所成的角為，平面與平面的夾角為，求．16.某學(xué)校為提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，要求所有學(xué)生在學(xué)年中完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)，并獲得相應(yīng)過程性積分.現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得其科普測試成績（百分制，且均為整數(shù)）及相應(yīng)過程性積分?jǐn)?shù)據(jù)，整理如下表：科普測試成績x科普過程性積分人數(shù)4103a2b12302（1）當(dāng)時(shí)，（i）從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分的概率；（ⅱ）從該?？破諟y試成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，記X為這2名學(xué)生的科普過程性積分之和，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；（2）從該?？破者^程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，其科普測試成績記為，上述100名學(xué)生科普測試成績的平均值記為.若根據(jù)表中信息能推斷恒成立，直接寫出a的最小值.17.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)存在最大值，求的取值范圍.18.已知圓，直線過點(diǎn)且與圓交于點(diǎn)B，C，BC中點(diǎn)為D，過中點(diǎn)E且平行于的直線交于點(diǎn)P，記P的軌跡為Γ（1）求Γ的方程；（2）坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于，的對稱點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)分別為，，過的直線與Γ交于點(diǎn)M，N，直線，相交于點(diǎn)Q.請從下列結(jié)論中，選擇一個(gè)正確的結(jié)論并給予證明.①的面積是定值；②的面積是定值：③的面積是定值.19.如果無窮數(shù)列滿足“對任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得”，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”.（1）若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公比，求證：數(shù)列具有“性質(zhì)”；（2）若等差數(shù)列首項(xiàng)，公差，求證：數(shù)列具有“性質(zhì)”，當(dāng)且僅當(dāng)；（3）如果各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮等比數(shù)列具有“性質(zhì)”，且四個(gè)數(shù)中恰有兩個(gè)出現(xiàn)在數(shù)列中，求的所有可能取值之和.

高三數(shù)學(xué)大題規(guī)范訓(xùn)練（14）15.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，平面與相交于點(diǎn)，點(diǎn)在上，．（1）證明：平面；（2）若與平面所成的角為，平面與平面的夾角為，求．【答案】（1）證明見解答（2）【解答】【分析】（1）通過證明，即可證明平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由（1）知平面，即可得，再求平面和平面的法向量即可求出.【小問1詳解】底面是菱形，，平面，且平面，.又，平面,平面，平面，，又，且平面，，平面，平面，，，，即，又平面，且，平面．【小問2詳解】以為原點(diǎn)，以為軸，為軸，過點(diǎn)且平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，,,又,在中由勾股定理得,即,.，，，，平面，與平面所成的角為，平面，是平面的一個(gè)法向量，平面，平面，平面平面，設(shè)，只需，則平面，則，令，則，，.16.某學(xué)校為提升學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，要求所有學(xué)生在學(xué)年中完成規(guī)定的學(xué)習(xí)任務(wù)，并獲得相應(yīng)過程性積分.現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取100名學(xué)生，獲得其科普測試成績（百分制，且均為整數(shù)）及相應(yīng)過程性積分?jǐn)?shù)據(jù)，整理如下表：科普測試成績x科普過程性積分人數(shù)4103a2b12302（1）當(dāng)時(shí)，（i）從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，估計(jì)這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分的概率；（ⅱ）從該?？破諟y試成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取2名，記X為這2名學(xué)生的科普過程性積分之和，估計(jì)X的數(shù)學(xué)期望；（2）從該?？破者^程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，其科普測試成績記為，上述100名學(xué)生科普測試成績的平均值記為.若根據(jù)表中信息能推斷恒成立，直接寫出a的最小值.【答案】（1）（i）；（ⅱ）；（2）7.【解答】【分析】（1）（i）求出科普過程性積分不少于3分的學(xué)生數(shù)，再求出頻率，并用頻率估計(jì)概率即得；（ⅱ）求出X的所有可能值，由（i）的結(jié)論結(jié)合獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題求出各個(gè)取值的概率，再求出期望即得.（2）求出的最大值，再求出100名學(xué)生科普測試成績的平均值的最小值，由題設(shè)信息列出不等式求解即得.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，（i）由表知，科普過程性積分不少于3分的學(xué)生人數(shù)為，則從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分的頻率為，所以從該校隨機(jī)抽取一名學(xué)生，這名學(xué)生的科普過程性積分不少于3分的概率估計(jì)為.（ⅱ）依題意，從樣本中成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過程性積分為3分的頻率為，所以從該校學(xué)生科普測試成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過程性積分為3分的概率估計(jì)為，同理，從該校學(xué)生科普測試成績不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，這名學(xué)生的科普過程性積分為4分的概率估計(jì)為，的所有可能值為6，7，8，，，，所以的數(shù)學(xué)期望.【小問2詳解】由表知，，則，從該?？破者^程性積分不高于1分的學(xué)生中隨機(jī)抽取一名，其科普測試成績記為，則的最大值為69，100名學(xué)生科普測試成績的平均值記為，要恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，顯然的最小值為各分?jǐn)?shù)段取最小值求得的平均分，因此，則，解得，所以根據(jù)表中信息能推斷恒成立的a的最小值是7.17.已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)存在最大值，求的取值范圍.【答案】（1）的增區(qū)間為，減區(qū)間為（2）【解答】【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，得到，再求出和對應(yīng)的取值，即可求出結(jié)果；（2）令，對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出在上取值范圍，從而將問題轉(zhuǎn)化成成立，構(gòu)造函數(shù)，再利用的單調(diào)性，即可求出結(jié)果.【小問1詳解】易知定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以，由，得到，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】令，則，由（1）知，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以在時(shí)取得最大值，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在存在最大值的充要條件是，即，令，則恒成立，所以是增函數(shù)，又因?yàn)椋缘某湟獥l件是，所以的取值范圍為.【小結(jié)】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)晴：本題的關(guān)鍵在于第（2）問，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性得到時(shí)，，從而將問題轉(zhuǎn)化成，構(gòu)造函數(shù)，再利用的單調(diào)性來解決問題.18.已知圓，直線過點(diǎn)且與圓交于點(diǎn)B，C，BC中點(diǎn)為D，過中點(diǎn)E且平行于的直線交于點(diǎn)P，記P的軌跡為Γ（1）求Γ的方程；（2）坐標(biāo)原點(diǎn)O關(guān)于，的對稱點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，關(guān)于直線的對稱點(diǎn)分別為，，過的直線與Γ交于點(diǎn)M，N，直線，相交于點(diǎn)Q.請從下列結(jié)論中，選擇一個(gè)正確的結(jié)論并給予證明.①的面積是定值；②的面積是定值：③的面積是定值.【答案】（1）（2）結(jié)論③正確，證明見解答【解答】【分析】（1）由幾何性質(zhì)知P到，兩點(diǎn)的距離之和為定值可得P的軌跡為橢圓；（2）解法一、二：設(shè)直線，，，表示出直線，的方程并聯(lián)立求得Q的橫坐標(biāo)為定值，因此的面積是定值.解法三：當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)求得Q橫坐標(biāo)為4，當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線，，，表示出直線，的方程并聯(lián)立求得Q的橫坐標(biāo)為定值，因此的面積是定值.解法四：設(shè)直線，，，表示出直線，的方程，利用在橢圓上得，將直線的方程化為，與直線聯(lián)立求得Q的橫坐標(biāo)為定值，因此的面積是定值.【小問1詳解】由題意得，，.因?yàn)镈為BC中點(diǎn)，所以，即，又，所以，又E為的中點(diǎn)，所以，所以，所以點(diǎn)P的軌跡是以，為焦點(diǎn)的橢圓（左?右頂點(diǎn)除外）.設(shè)，其中，.則，，，.故.【小問2詳解】解法一：結(jié)論③正確.下證：的面積是定值.由題意得，，，，，且直線的斜率不為0，可設(shè)直線，，，且，.由，得，所以，，所以.直線的方程為：，直線的方程為：，由，得，，解得.故點(diǎn)Q在直線，所以Q到的距離，因此的面積是定值，為.解法二：結(jié)論③正確.下證：的面積是定值.由題意得，，，，，且直線的斜率不為0，可設(shè)直線，，，且，.由，得，所以，，所以.直線的方程為：，直線的方程為：，由，得，故點(diǎn)Q在直線，所以Q到的距離，因此的面積是定值，為.解法三：結(jié)論③正確.下證：的面積是定值.由題意得，，，，，且直線的斜率不為0.（i）當(dāng)直線垂直于x軸時(shí)，，由，得或.不妨設(shè)，，則直線的方程為：，直線的方程為：，由，得，所以，故Q到的距離，此時(shí)的面積是.（ii）當(dāng)直線不垂直于x軸時(shí)，設(shè)直線，，，且，.由，得，所以，.直線的方程為：，直線的方程為：，由，得.下證：.即證，即證，即證，即證，上式顯然成立，故點(diǎn)Q在直線，所以Q到的距離，此時(shí)的面積是定值，為.由（i）（ii）可知，的面積為定值.解法四：結(jié)論③正確.下證：的面積是定值.由題意得，，，，，且直線的斜率不為0，可設(shè)直線，，，且，.由，得，所以，.直線的方程為：，直線的方程為：，因?yàn)?，所以，故直線的方程為：.由，得，解得.故點(diǎn)Q在直線，所以Q到的距離，因此的面積是定值，為.【小結(jié)】方法小結(jié)：（一）極點(diǎn)與極線的代數(shù)定義；已知圓錐曲線G：，則稱點(diǎn)P(，)和直線l：是圓錐曲線G的一對極點(diǎn)和極線.事實(shí)上，在圓錐曲線方程中，以替換，以替換x(另一變量y也是如此)，即可得到點(diǎn)P(，)對應(yīng)的極線方程.特別地，對于橢圓，與點(diǎn)P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于雙曲線，與點(diǎn)P(，)對應(yīng)的極線方程為；對于拋物線，與點(diǎn)P(，)對應(yīng)的極線方程為.即對于確定的圓錐曲線，每一對極點(diǎn)與極線是一一對應(yīng)的關(guān)系.（二）極點(diǎn)與極線的基本性質(zhì)?定理①當(dāng)P在圓錐曲線G上時(shí)，其極線l是曲線G在點(diǎn)P處切線；②當(dāng)P在G外時(shí)，其極線l是曲線G從點(diǎn)P所引兩條切線的切點(diǎn)所確定的直線（即切點(diǎn)弦所在直線）；③當(dāng)P在G內(nèi)時(shí)，其極線l是曲線G過點(diǎn)P的割線兩端點(diǎn)處的切線交點(diǎn)的軌跡.19.如果無窮數(shù)列滿足“對任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)，使得”，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”.（1）若等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且公比，求證：數(shù)列具有“性質(zhì)”；（2）若等差數(shù)列首項(xiàng)，公差，求證：數(shù)列具有“性質(zhì)”，當(dāng)且僅當(dāng)；（3）如果各項(xiàng)均為正整數(shù)的無窮等比數(shù)列具有“性質(zhì)”，且四個(gè)數(shù)中恰有兩個(gè)出現(xiàn)在數(shù)列中，求的所有可能取值之和.【答案】（1）證明見解答；（2）證明見解答；（3），【解答】【分析】（1）利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解即可；（2）利用等差數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合題目的定義求解即可；（3）利用枚舉法，結(jié)合題目的新定義求解即可.【小問1詳解】解得：則即且若則則當(dāng)對任意正整數(shù)，都存在正整數(shù)使得則等比數(shù)列滿足性質(zhì).【小問2詳解】因?yàn)閿?shù)列具有“性質(zhì)”，則若數(shù)列具有性質(zhì)則，則，又則則，，則，又，則當(dāng)時(shí)上式成立，當(dāng)時(shí).，則，若，且，時(shí)，，不合題意，所以所以數(shù)列具有“性質(zhì)”，則需要，反之，若則則上面各式成立，則數(shù)列具有“性質(zhì)”綜上數(shù)列具有“性質(zhì)”，當(dāng)且僅當(dāng).【小問3詳解】從這四個(gè)數(shù)中任選兩個(gè)，共有以下6種情況：，；，；，;，;，;，.①對于，因?yàn)闉檎麛?shù)，可以認(rèn)為是等比數(shù)列中的項(xiàng)，，首項(xiàng)的最小值為1.下面說明此數(shù)列具有性質(zhì)P：=，=，任取，，則，為正整數(shù)，因此此數(shù)列具有性質(zhì)P，②對于，.因?yàn)闉檎麛?shù)，認(rèn)為是等比數(shù)列中的項(xiàng)，，首項(xiàng)的最小值為，下面說明此數(shù)列