福建省南平市建甌求真中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析

福建省南平市建甌求真中學(xué)2021-2022學(xué)年高二數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知離散型隨機(jī)變量ξ的分布列為ξ102030P0.6a則D(3ξ－3)等于()A．42

B．135

C．402

D．405參考答案：D2.命題：若整系數(shù)一元二次方程有有理數(shù)根，那么中至少有一個(gè)是偶數(shù)。用反證法證明該命題時(shí)，應(yīng)反設(shè)的是

（

）A．假設(shè)都是偶數(shù)

B．假設(shè)都不是偶數(shù)C．假設(shè)至多有一個(gè)偶數(shù)

D．假設(shè)至多有兩個(gè)偶數(shù)參考答案：B3.不等式|x-1|+|x+2|的解集為(

)(A)

(B)

(C)

(D)參考答案：D略4.在封閉的正三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球．若AB=6，AA1=4，則V的最大值是（）A. B. C. D.參考答案：D【分析】先利用正三棱柱的特征，確定球半徑的最大值，再利用球的體積公式求解.【詳解】正三角形的邊長為6，其內(nèi)切圓的半徑為，所以在封閉的正三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)的球的半徑最大值為，所以其體積為，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查組合體中球的體積的求解.球的體積和表面積的求解關(guān)鍵是求出球半徑.5.過拋物線（）的焦點(diǎn)F作傾斜角為450的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)，若|AB|=4，則的值為（

）A

1

B

2

C

3

D

4

www.k@s@5@

參考答案：A略6.用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）能被整除．從假設(shè)成立到成立時(shí)，被整除式應(yīng)為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：C略7.在等差數(shù)列中，是方程的兩個(gè)根，則是(

)A.15

B.-15

C.50

D.參考答案：B8.若，則的值是-------------------（

）A．0

B．4

C．0或4

D．2參考答案：B9.已知，，，…，依此規(guī)律可以得到的第n個(gè)式子為（）A.B.C.D.參考答案：D【分析】根據(jù)已知中的等式：，我們分析等式左邊數(shù)的變化規(guī)律及等式兩邊數(shù)的關(guān)系，歸納推斷后，即可得到答案．【詳解】觀察已知中等式：，，，…，則第n個(gè)等式左側(cè)第一項(xiàng)為n，且共有2n-1項(xiàng)，則最后一項(xiàng)為：，據(jù)此可得第n個(gè)式子為：故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理，解題的關(guān)鍵是通過觀察分析歸納各數(shù)的關(guān)系，考查學(xué)生的觀察分析和歸納能力，屬中檔題．10.在下面的四個(gè)圖象中，其中一個(gè)圖象是函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則f(－1)等于(

)．

A.

B．－

C.

D．－或

參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知雙曲線，過點(diǎn)作直線交雙曲線C于A、B兩點(diǎn).若P恰為弦AB的中點(diǎn)，則直線的方程為_______________參考答案：12.現(xiàn)有3個(gè)大人，3個(gè)小孩站一排進(jìn)行合影.若每個(gè)小孩旁邊都不能沒有大人，則不同的合影方法有________種．（用數(shù)字作答）參考答案：360根據(jù)題意可得可以小孩為對(duì)象進(jìn)行分類討論：第一類：2個(gè)小孩在一起:,第二類：小孩都不在一起：，故不同的合影方法有216+144=360種.

13.方程表示曲線C，給出以下命題：①曲線C不可能為圓；

②若1<t<4，則曲線C為橢圓；③若曲線C為雙曲線，則t<1或t>4；④若曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1<t<.其中真命題的序號(hào)是____________(寫出所有正確命題的序號(hào))．參考答案：略14.有6名學(xué)生，其中有3名會(huì)唱歌，2名會(huì)跳舞；1名既會(huì)唱歌也會(huì)跳舞；現(xiàn)從中選出2名會(huì)唱歌的，1名會(huì)跳舞的去參加文藝演出，則共有選法

種。參考答案：1515.＝__________。參考答案：16.用兩種材料做一個(gè)矩形框，按要求其長和寬分別選用價(jià)格為每米3元和5元的兩種材料，且長和寬必須為整數(shù)，現(xiàn)預(yù)算花費(fèi)不超過100元，則做成的矩形框所圍成的最大面積是

．參考答案：解析：設(shè)長x米，寬y米，∴6x+10y≤100即3x+5y≤50∵100≥3x+5y≥2，當(dāng)且僅當(dāng)3x=5y時(shí)等號(hào)成立，∵x，y為正整數(shù)，∴只有3x=24,5y=25時(shí)，此時(shí)面積xy=40平方米。17.命題“存在x∈R,x2+2x+2≤0”的否定是

。參考答案：任意x∈R，x2+2x+2＞0

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，且AD=CD=2，BC=4，PA=2，點(diǎn)M在PD上．（Ⅰ）求證：AB⊥PC；（Ⅱ）若BM與平面ABCD所成角的正切值為，求四棱錐M﹣ABCD的體積．參考答案：【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（Ⅰ）設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AE，求解三角形可得AB⊥AC，又PA⊥平面ABCD，得AB⊥PA，再由線面垂直的判定可得AB⊥面PAC，故有AB⊥PC；（Ⅱ）結(jié)合（Ⅰ）可得∠BAD=135°，過M作MG⊥AD于G，設(shè)AG=x，則GD=，有MG=．在△ABG中，由余弦定理可得BG，由BM與平面ABCD所成角的正切值為，得M為PD的中點(diǎn)，再由棱錐體積公式求得四棱錐M﹣ABCD的體積．【解答】解：（Ⅰ）證明：如圖，設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連結(jié)AE，則AD=EC，又AD∥EC，∴四邊形AECD為平行四邊形，故AE⊥BC，又AE=BE=EC=，∴∠ABC=∠ACB=45°，故AB⊥AC，又∵PA⊥平面ABCD，∴AB⊥PA，∵PA∩AC=A，∴AB⊥平面PAC，故有AB⊥PC；（Ⅱ）由（1）知AB⊥AC，可得∠BAD=135°，過M作MG⊥AD于G，設(shè)AG=x，則GD=，∴MG=．在△ABG中，由余弦定理可得：BG=，由BM與平面ABCD所成角的正切值為，得，解得x=，∴MG=1，即M為PD的中點(diǎn)．此時(shí)四棱錐M﹣ABCD的體積為=4．19.（本小題滿分14分）

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，以原點(diǎn)為圓心，橢圓短半軸長半徑的圓與直線y=x+相切.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為，是橢圓的右焦點(diǎn)，試探究以為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系.參考答案：解：（1）由于e=

∴

---------1分又

∴

---------3分---------4分所以橢圓的方程為：

---------5分(2)由（1）可知，直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為，則以為直徑的圓方程是，圓心為，半徑為---------9分

以橢圓長軸為直徑的圓的方程是，圓心是，半徑是

---------11分兩圓心距為，所以兩圓內(nèi)切.

---------14分20.如圖，斜率為1的直線過拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，與拋物線交于兩點(diǎn)A．B，將直線AB向左平移p個(gè)單位得到直線l，N為l上的動(dòng)點(diǎn)．（1）若|AB|=8，求拋物線的方程；（2）在（1）的條件下，求?的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義得到|AB|=x1+x2+p=4p，再由已知條件，得到拋物線的方程；（2）設(shè)直線l的方程及N點(diǎn)坐標(biāo)和A（x1，y1），B（x2，y2），利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，求得?的以N點(diǎn)坐標(biāo)表示的函數(shù)式，利用二次函數(shù)求最值的方法，可求得所求的最小值．【解答】解：（1）由條件知lAB：y=x﹣，則，消去y得：x2﹣3px+p2=0，則x1+x2=3p，由拋物線定義得|AB|=x1+x2+p=4p又因?yàn)閨AB|=8，即p=2，則拋物線的方程為y2=4x．（2）直線l的方程為：y=x+，于是設(shè)N（x0，x0+），A（x1，y1），B（x2，y2）則=（x1﹣x0，y1﹣x0﹣），=（x2﹣x0，y2﹣x0﹣）即?=x1x2﹣x0（x1+x2）++y1y2﹣（x0+）（y1+y2）+（x0+）2，由第（1）問的解答結(jié)合直線方程，不難得出x1+x2=3p，x1x2=p2，且y1+y2=x1+x2﹣p=2p，y1y2=（x1﹣）（x2﹣）=﹣p2，則?=2﹣4px0﹣p2=2（x0﹣p）2﹣p2，當(dāng)x0=時(shí)，?的最小值為﹣p2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查拋物線的定義，及向量坐標(biāo)運(yùn)算．21.已知圓：，直線與圓相交于，兩點(diǎn)．（Ⅰ）若直線過點(diǎn)，且，求直線的方程；（Ⅱ）若直線的斜率為，且以弦為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)，求直線的方程．參考答案：（Ⅰ）由題設(shè)知直線的斜率存在，設(shè)其方程為，即．圓：，即，圓心，半徑為．由，知圓心到直線的距離為，于是，即，整理得，解得，或．所以直線的方程為或．………5分（Ⅱ）由直線的斜率為，設(shè)直線的方程為．由，得．令，解得．（1）設(shè)，則，．因?yàn)橐詾橹睆降膱A過原點(diǎn)，所以．

所以，即．代入得，解得或，滿足（1）．故直線的方程為或．………10