冀教版七年級數(shù)學上冊第三章代數(shù)式

第三章

代數(shù)式

3.1用字母表示數(shù)1.經(jīng)歷用字母表示數(shù)、表示運算律、表示公式的抽象過程，理解用字母表示數(shù)的意2.經(jīng)歷探索規(guī)律并用字母表示規(guī)律的過程，能用字母和含有字母的式子表示數(shù)量關系，初步建立符號意識，感受從特殊到一般的思維，培養(yǎng)歸納的數(shù)學能力.學習重點：理解字母表示數(shù)的意義和作用.學習難點：能用含字母的式子正確表示實際問題中的數(shù)量關系.科學家愛因斯坦上小學時，在一次數(shù)學課中，發(fā)現(xiàn)了下列的等式：

1+2=2+1，3.5+5.6=5.6+3.5，他認為，這是數(shù)的運算的一個重要規(guī)律，于是就把這個規(guī)律告訴了他的老師和同學，得到了大家的贊賞.1.你發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律了嗎？能把這個規(guī)律用簡明的方法表示出來嗎？歸納：a+b=b+a（a，b表示任意數(shù)）2.你還知道其他的運算規(guī)律嗎？小組之間互相交流.學生活動一

【一起探究】在100米短跑測試中，小帆、大林和小明所用的時間如下表：姓名小帆大林小明成績/s1614.515.2速度/(m/s)(1)請算出他們每個人100米短跑的速度,并將計算結果填入表中.(結果保留兩位小數(shù))(2)寫出計算速度時所用的公式.

這個公式能用來計算汽車、輪船、飛機在某段路程行駛過程中的速度嗎?字母還可以用來表示我們學過的哪些數(shù)學公式?觀察自然數(shù)0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，…(1)請用字母表示偶數(shù)和奇數(shù).學生活動二【一起探究】解：從偶數(shù)定義出發(fā)，能被2整除的數(shù)叫偶數(shù)，即偶數(shù)是2的倍數(shù)，

如0×2=0，1×2=2，2×2=4，3×2=6，…，m×2(m為任意自然數(shù))

所以，偶數(shù)為2m因為，奇數(shù)和偶數(shù)相鄰所以，可得出奇數(shù)為2m+1.(2)兩個偶數(shù)之和是什么數(shù)？(3)兩個奇數(shù)之和是什么數(shù)？提出猜想，并用字母表示數(shù)的方法說明這個猜想是正確的.解：（2）設任意兩偶數(shù)為2m，2n(m，n為自然數(shù))

2m+2n=2(m+n)，m、n為自然數(shù)

所以2(m+n)也是自然數(shù)，是2的倍數(shù)

所以任意兩個偶數(shù)和是偶數(shù).

（3）設任意兩奇數(shù)為2m+1，2n+1(m，n為自然數(shù))

(2m+1)+(2n+1)=2(m+n+1)，m，n為自然數(shù)，

所以2(m+n+1)也是自然數(shù)，是2的倍數(shù)，

所以任意兩個奇數(shù)和也是偶數(shù).用字母表示數(shù)的特點：(1)一般性：用字母表示的數(shù)與以前學過的數(shù)不同，但它又是從具體的數(shù)中提煉出來的，可以用字母表示任何數(shù)．(2)普遍性：用字母表示數(shù)，關系更簡明，更具有普遍性．(3)在同一個問題中，不同的數(shù)量需用不同的字母表示；但在不同的問題中，同一個式子或字母可以表示不同的含義．

本節(jié)課探究了用字母表示數(shù)的哪些問題？在探尋用字母表示數(shù)的過程中，你經(jīng)歷了什么？積累了哪些活動經(jīng)驗？3.接下來會研究什么內(nèi)容？1.某種書定價8元，購買a本書需要

元;2.大林出生時爸爸29歲，大林a歲時，爸爸

歲;3.一輛汽車t小時行駛了300km，平均每小時行駛

km.4.一個三位數(shù)，它的個位上的數(shù)字為x，十位上的數(shù)字為y，百位上的數(shù)字為z，那么這三個數(shù)字可以表示為

；5.三個連續(xù)的奇數(shù)，最小的一個是a，它后面兩個奇數(shù)分別為

、

.8a(a+29)

100z+10y+xa－2a－4完成課后習題＋練習冊.第三章

代數(shù)式

3.2代數(shù)式第1課時代數(shù)式1.掌握代數(shù)式的概念，在具體情境中，能列出代數(shù)式，體會代數(shù)式是表示數(shù)量和數(shù)量關系的數(shù)學模型；2.掌握代數(shù)式的書寫規(guī)范，建立符號意識，發(fā)現(xiàn)數(shù)學符號的美；3.理解代數(shù)式的意義，會把代數(shù)式表示的數(shù)量關系用文字語言表述，會把用文字語言表述的數(shù)量關系用代數(shù)式表示.學習重點：代數(shù)式的概念，列代數(shù)式并理解代數(shù)式的意義.學習難點：理解描述數(shù)量關系的語句，正確列出代數(shù)式，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象意識.1．如果甲數(shù)為x，乙數(shù)為y，那么甲、乙兩數(shù)的差是

.2．如果長方形的長和寬分別為a和b，那么它的面積是

.3．某種瓜子的單價為16元/千克，則n千克需_______元．4．鋼筆每枝a元，鉛筆每枝b元，買2枝鋼筆和3枝鉛筆共需_________元．x－yab16n2a+3b上述各問題中出現(xiàn)的如x－y、ab、16n、2a+3b等式子，都叫代數(shù)式.學生活動一【一起探究】問題：你能分析這些式子的共同特征，試著說一說代數(shù)式的概念嗎？小組合作交流.（1）這些式子中，都含有數(shù)字或表示數(shù)字的字母；（2）它們都是用運算符號連接起來的．歸納：用運算符號連接數(shù)和字母的式子，叫做代數(shù)式.（注意：單獨的一個數(shù)或一個字母，也是代數(shù)式）下列各式中，哪些是代數(shù)式？哪些不是代數(shù)式？(1)3＞2；(2)a＋b＝5；(3)a；

(4)3；(5)5＋4－1；(6)5x－3y.解：代數(shù)式有(3)(4)(5)(6)；

(1)(2)不是代數(shù)式．

注意幾點：(1)基本的運算包括加、減、乘、除、乘方以及后面學習的開方運算；(1)代數(shù)式中除含有數(shù)、字母和運算符號外，還可以有括號，代數(shù)式中也可以含有絕對值符號．(2)代數(shù)式中不含“＝”“＞”“＜”“≠”等，含有這些符號的式子都不是代數(shù)式．(1)在同一個問題中，不同的量要用不同的字母表示．(2)代數(shù)式中涉及乘法運算，若是數(shù)字與數(shù)字相乘，要寫成“×”；若是數(shù)字與字母相乘或字母與字母相乘，可用小圓點代替“×”，如“a·b”，此時，小圓點應寫在中間，避免與小數(shù)點混淆，也可以省略不寫．(3)要把數(shù)字因數(shù)寫在字母因數(shù)前邊，如a的2倍應寫成2a，而不能寫能a2代數(shù)式書寫規(guī)范：

指出下列代數(shù)式的意義：（1）2a+5

（2）2（a+5）（3）（4）

（5）

（6）解：（1）2a+5表示的是a的2倍與5的和．（2）2（a+5）表示的是a與5的和的2倍．（3）a2+b2表示的是a的平方與b的平方的和．學生活動二【探究代數(shù)式的意義】指出下列代數(shù)式的意義：（1）2a+5

（2）2（a+5）（3）（4）

（5）

（6）

我們用代數(shù)式可以表示數(shù)量和數(shù)量之間的關系．如用代數(shù)式表示“a，8兩數(shù)之和與b，

c兩數(shù)之差的積”，可按下面的步驟列代數(shù)式:a8兩數(shù)的積兩數(shù)的和a+8bc兩數(shù)的差b－c(a+8)(b－c)學生活動三【列代數(shù)式】列代數(shù)式的關鍵是要分析數(shù)量關系，能準確地把文字語言翻譯成數(shù)學語言．

用代數(shù)式表示：（1）a與b的差與c的平方的和．（2）百位數(shù)字是a，十位數(shù)字是b，個位數(shù)字是c的三位數(shù)．（3）用含同一個字母的代數(shù)式表示三個連續(xù)的整數(shù)，并寫出它們的和．（1）（a－b）+c2．（2）100a+10b+c（其中，a,b,c是0到9之間的整數(shù)，且a≠0）．（3）設m是整數(shù)，三個連續(xù)整數(shù)可表示為m－1，m，m+1,它們的和為（m－1）+m+（m+1）,即3m．解：1．指出下列各代數(shù)式的意義：（1）a2+2；（2）a（b+1）－1．解:(1)a的平方與2的和.

(2)b與1的和的a倍與1的差.

本節(jié)課探究了代數(shù)式的哪些問題？在探尋代數(shù)式的過程中，你經(jīng)歷了什么？積累了哪些活動經(jīng)驗？3.接下來會研究代數(shù)式的什么內(nèi)容？完成課后習題＋練習冊.第三章

代數(shù)式

3.2代數(shù)式第2課時列代數(shù)式解決實際問題1.能分析簡單問題中的數(shù)量關系,并用代數(shù)式表示出來,進一步發(fā)展符號意識,提高數(shù)學應用意識.2.通過列代數(shù)式，進一步發(fā)展符號感；初步學會從數(shù)學的角度提出問題和分析問題，體驗解決問題的多樣性.學習重點：根據(jù)題意正確列出代數(shù)式，解決實際問題.學習難點：分析較復雜情境中的數(shù)量關系，并用代數(shù)式正確表示.1.如圖所示，已知裝滿油時，桶和油的質量一共是akg；當油用去一半時，桶和油的質量一共是bkg.當桶里裝滿油時，設油的質量為ckg．（1）當桶里裝滿油時，寫出表示桶的質量的代數(shù)式；（2）當油用去一半時，寫出表示桶的質量的代數(shù)式.

學生活動一

【用代數(shù)式表示含有倍數(shù)關系的實際應用】2.已知參加甲、乙兩地植樹的同學分別為52人和23人，現(xiàn)從甲、乙兩地共抽調(diào)12人到丙地植樹.如果從甲地抽調(diào)x人，那么抽調(diào)后，甲、乙兩地各剩下多少人？將表示甲、乙兩地剩下人數(shù)的代數(shù)式填入下表：原來人數(shù)/人抽調(diào)人數(shù)/人剩下人數(shù)/人甲地52x(52－x)乙地23(12－x)[23－(12－x)]

歸納：用代數(shù)式表示實際問題中的數(shù)量關系的步驟：(1)要認真審題，弄清問題中的數(shù)量關系和運算順序；(2)按代數(shù)式書寫格式的規(guī)范書寫．(1)如果汽車以85km/h的速度在高速公路上速行駛，那么xh行駛的路程為

km.(2)如果某工程隊平均每天修路0.8km，那么x天可以修路

km.(3)如果一套學生桌椅的價錢是380元，那么買x套這種學生桌椅需要

元.85x學生活動二

【kx形式的代數(shù)式】0.8x380x(4)如果某期5年期國債的年利率是5.6%，小穎的爺爺買了這期國債x元，那么到期后可得利息

元，本息共為

元.(5)如果一項工程要求30天完成，那么工作x天后完成了工程量的

.上面列出的這些代數(shù)式都具有kx的形式請你再舉出兩個類似的例子5.6%x

(1+5.6%）x30

x本節(jié)課探究了代數(shù)式的哪些問題？在分析實際問題中數(shù)量關系列代數(shù)式的過程中，你經(jīng)歷了什么？積累了哪些活動經(jīng)驗？1．填空：（1）已知一批小麥的出粉率是85%.akg小麥可磨出面粉

kg．要磨出面粉bkg，需要小麥

kg．（2）一個兩位的自然數(shù)，十位上的數(shù)與個位上的數(shù)的和為9．①如果設十位數(shù)字為a，那么這個數(shù)可以表示為

；②如果設個位數(shù)字為b，那么這個數(shù)可以表示為

.85%a

10a+(9

－a)10(9－b)+b2.甲、乙兩個口袋分別裝有akg和bkg(a＞b)的大豆.要想使兩個口袋裝的大豆一樣多，應從甲袋向乙袋倒入多少千克大豆？

完成課后習題＋練習冊.第三章

代數(shù)式

3.2代數(shù)式第3課時列代數(shù)式解決較復雜實際問題1.能分析較復雜問題中的數(shù)量關系,并用代數(shù)式表示出來,體會數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系,提高數(shù)學應用意識.2.通過列代數(shù)式，進一步發(fā)展符號感；初步學會從數(shù)學的角度提出問題和分析問題，體驗解決問題的多樣性.學習重點：分析較復雜情境中的數(shù)量關系列出代數(shù)式.學習難點：分析問題和解決問題的能力.經(jīng)過練習，小亮和大華的打字速度都有了提高，小亮的打字速度達到80個/分，大華比小亮每分鐘多打10個字.(1)小亮和大華amin分別能打多少個字?(2)bmin大華比小亮多打多少個字?(3)將同為c個字的兩篇文章分別交給小亮和大華打，如果要求他們同時完成任務，那么小亮比大華要提前多少分鐘開始打字?學生活動【用代數(shù)式表示和差關系的實際應用】涉及三個基本的量：打字速度、時間、打字的個數(shù).

問題中涉及了幾個基本的量？這些量之間具有怎樣的關系？打字速度×時間=打字的個數(shù)解：(1)小亮amin打的字就等于80與a的積，即80a個字；大華amin打的字就等于(80+10)與a的積，即90a個字.(2)bmin大華比小亮多打的字數(shù)就等于b與10的積，即10b個字.歸納：對每個問題，要表示的是哪個量，用哪些量來表示，怎樣表示.

例3

歸納：列代數(shù)式的關鍵要分析數(shù)量關系，能準確地把文字語言翻譯成數(shù)學語言．認真分析問題中有關術語的含義．如和、差、積、商、多、少、幾倍、幾分之一、增加了、增加到、減少、減少到、擴大、縮小等；在分析較復雜問題中數(shù)量關系列代數(shù)式的過程中，你經(jīng)歷了什么？積累了哪些活動經(jīng)驗？2.接下來會研究代數(shù)式的什么內(nèi)容？1.已知甲、乙、丙三個數(shù)的比為1:2:3.如果設甲數(shù)為x，請表示出甲、乙兩數(shù)的和減去丙數(shù)后的差;如果設丙數(shù)為z，請表示出甲、丙兩數(shù)的和減去乙數(shù)后的差.

2.為了預防流感，某校積極進行校園環(huán)境消毒，購買了甲、乙兩種消毒液共100瓶，其中甲種6元/瓶，乙種9元/瓶如果設甲種消毒液購買了x瓶，那么購買這兩種消毒液共花了多少元?解:已知購買了甲種消毒液x瓶,則購買了乙種消毒液(100－x)瓶,那么購買這兩種消毒液共花了6x+9(100－x)=(900－3x)元.3.如圖，從邊長為m+3的正方形紙片上剪下一個邊長為m的正方形后剩余部分又剪拼成一個長方形(不重疊無縫隙).如果拼成的長方形一邊長為3，那么另一邊長是多少?解:由題意,得另一邊長為m+3+m.完成課后習題＋練習冊.第三章

代數(shù)式

3.3數(shù)量之間的關系1.會用代數(shù)式表示數(shù)與圖形中的規(guī)律.會從不同角度分析和解決問題，體會同一量可以用不同代數(shù)式來表示，代數(shù)式可以更簡潔地表達規(guī)律；2.能發(fā)現(xiàn)特例中的變與不變，發(fā)現(xiàn)共性，尋找一般規(guī)律，解決問題，體會從特殊到一般、轉化、數(shù)形結合等數(shù)學思想方法.3.進一步培養(yǎng)學生的獨立思考、合作交流，觀察分析等能力.學習重點：用代數(shù)式表示數(shù)與圖形的變化規(guī)律.學習難點：觀察、分析、抽象、概括等思維能力和應用意識.仔細觀察，按你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空：(1)1,2,3,4,

，

，...，

（第n個數(shù)）；(2)2,4,6,8,

，

，...，

（第n個數(shù)）；(3)2,4,8,16,

，

，...，

（第n個數(shù)）；(4)1,4,9,16,

，

，...，

（第n個數(shù)）；(5)1,2,3,6,10，

，

，...，

（第n個數(shù)）.學生活動一

【用代數(shù)式表示數(shù)的變化規(guī)律】56n10122n32642n2536n21521

這是一個由1~120的連續(xù)整數(shù)排成的“數(shù)陣”如果用方框圍住9個數(shù)，那么這9個數(shù)的和隨方框位置的變化而變化.123456789101112131415161718192021222324252627282930...

115116117118119120(1)如果設方框左上角的數(shù)為a，用含a的代數(shù)式表示這9個數(shù)的和;(2)如果設方框正中間的數(shù)為m，用含m的代數(shù)式表示這9個數(shù)的和;解:(1)設方框左上角的數(shù)為a,則其他8個數(shù)分別為a+1,a+2,a+6,a+7,a+8,a+12,a+13,a+14,這9個數(shù)的和為a+a+1+a+2+a+6+a+7+a+8+a+12+a+13+a+14=9a+63.(2)設方框正中間的數(shù)為m,則其他8個數(shù)分別為m－7,m－6,m－5,m－1,m+1,m+5,m+6,m+7,所以S為m－7+m－6+m－5+m－1+m+m+1+m+5+m+6+m+7=9m.即S=9m.123456789101112131415161718192021222324252627282930...

115116117118119120(3)如果將方框由左向右平行移動一列，那么9個數(shù)的和會有怎樣的變化?

如果方框由上向下平行移動一行，那么9個數(shù)的和又有怎樣的變化?(3)將方框由左向右平行移動一列,和增加9;方框由上向下平行移動一行,和增加54.圖1是由點組成的n行n列的方陣，圖2是由每條邊上n個點圍成的空心方陣.圖1圖21.圖1中方陣的總點數(shù)為多少？2.圖2中方陣的總點數(shù)是多少？你還有其他的計算方法嗎？n2

n2

－（n－2）2

學生活動二

【用代數(shù)式表示圖形的變化規(guī)律】圖2方陣的總點數(shù)4（n-1）

4n-4

4（n-2）+42n+2（n-2）將點陣進行分組，然后用不同的代數(shù)式表達出來同一量可以用不同代數(shù)式來表示觀察：1×3=22-1，2×4=32-1，3×5=42-1，...請你試用一個公式表示出這些等式所反映的規(guī)律.n×

（n+2）=（n+1）2

－1學生活動三

【用代數(shù)式表示等式的變化規(guī)律】如圖所示，用火柴擺圖形

（1）填寫下表：三角形的數(shù)量/個12345...火柴的數(shù)量/根

357911（2）要拼出有n(n>1)個三角形的圖形，需要多少根火柴?（3）要拼出有18個與40個三角形的圖形，分別需要多少根火柴?(2)要拼出有n(n>1)個三角形的圖形,需要(2n+1)根火柴.(3)當n=18時,2n+1=2×18+1=37;當n=40時,2n+1=2×40+1=81.所以要拼出有18個三角形的圖形,需要37根火柴;要拼出有40個三角形的圖形,需要81根火柴.本節(jié)課探究了代數(shù)式的哪些問題？在探尋用代數(shù)式表達規(guī)律的過程，你經(jīng)歷了什么？積累了哪些活動經(jīng)驗？3.接下來會研究代數(shù)式的什么內(nèi)容？完成課后習題＋練習冊.第三章

代數(shù)式

3.4代數(shù)式的值第1課時代數(shù)式的值1.會求代數(shù)式的值2.通過求代數(shù)式的值,體會代數(shù)式是由計算程序反映的一種數(shù)量關系，發(fā)展合理的推斷能力3.通過代數(shù)式求值，感受抽象的代數(shù)式的值和字母表示的具體的數(shù)之間的關系，進一步理解用字母表示數(shù)的意義，進一步增強符號感.學習重點：會求代數(shù)式的值.學習難點：感受兩個數(shù)量之間的對應關系.在上節(jié)課研究的由點組成的空心方陣這一問題中，當空心方陣每邊上的點數(shù)為n時，方陣總點數(shù)是4n－4．當n取4,10,13，25等值時，我們能知道這個代數(shù)式的值是多少嗎？n=4時，4×4－4=12n=10時，4×10－4=36n=13時，4×13－4=48n=25時，4×25－4=96解：當n

取4,10,13，25等值時，分別代入代數(shù)式4n－4．歸納：（1）代數(shù)式是一個數(shù)學模型

（2）一個代數(shù)式可以看成是一種計算程序.1.對于n的同一個值，同學們得到的結果都相同嗎？2.選取其中一個值，說說你是如何算出4n-4的值的？思考并回答學生活動一

【一起探究】一個代數(shù)式，可以看做一個計算程序．例如：5x2-8x+2輸入x=-25×(-2)x2-8×(-2)+2輸出38（1）按上面的程序，計算x=3，x=6時的輸出值.（2）任意取x的兩個值，請同桌的同學完成上面的求值過程，并相互檢查求值過程和結果是否正確.學生活動二【代數(shù)式求值】解:(1)當x=3時,5x2-8x+2=5×32-8×3+2=23;當x=6時,5x2-8x+2=5×62-8×6+2=134.因此,當x=3時,輸出值為23,當x=6時,輸出值為134.歸納：用數(shù)值代替代數(shù)式中的字母，按照代數(shù)式中給出的運算計算出的結果，叫做代數(shù)式的值.這個過程叫做求代數(shù)式的值.

1.根據(jù)下面a，b的值，求代數(shù)式

的值.

(1)a=2，b=

－6；

(2)a=

－10，b=4.解：(1)當

a=2，b=－6時，(2)當

a=－10，b=4時，2.已知長方體的高為h，底面是邊長為a的正方形.當h=3，a=2時，分別求其體積V和表面積S．解：因為V=a2h，S=2a2+4ah，所以當a=2，h=3時，V=a2h=22×3=12S=2a2+4ah=2×22+4×2×3=32完成下表：a－2－10123a+2

－3a+2

當a取的值越來越大時，代數(shù)式3a+2的值隨之有怎樣的變化?代數(shù)式-3a+2的值隨之有怎樣的變化?－4－1

2

5885

2

－1－4本節(jié)課探究了代數(shù)式的哪些問題？在探尋代數(shù)式求值的過程中，你經(jīng)歷了什么？積累了哪些活動經(jīng)驗？接下來會研究代數(shù)式的什么內(nèi)容？完成課后習題＋練習冊.第三章

代數(shù)式

3.4代數(shù)式的值第2課時利用代數(shù)式的值解決問題1.初步認識兩個數(shù)量之間的對應關系，進一步發(fā)展符號意識.2.在實際情境中，進一步理解用字母表示數(shù)的意義.3.分析實際情境中的數(shù)量關系，在解決實際問題的過程中，提高觀察能力和歸納概括能力，聯(lián)系實際生活.學習重點：認識兩個量之間的對應關系，在實際問題中列代數(shù)式.學習難點：分析實際情境中的數(shù)量關系，利用代數(shù)式，解決實際問題.小亮家離學校1280m.他每天步行上學，速度約是80m/min.我們用t(min)表示小亮從離開家開始的步行時間，S1(m)表示離開家的路程，S2(m)表示距學校的路程．(1)寫出用t分別表示S1和S2的代數(shù)式：

S1=

,S2=____________.學生活動一

【一起探究】80t1280－80

t(2)對具體的t值，計算S1和S2的值，并填寫下表：t/min045.51012.516

S1/m

S2/m(3)當t=7時，請你比較小亮