2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)【舉一反三】專練(新高考專用)重難點(diǎn)01利用基本不等式求最值【八大題型】(解析版)

重難點(diǎn)01利用基本不等式求最值【八大題型】【新高考專用】基本不等式是每年高考的必考內(nèi)容，是?？汲Ｐ碌膬?nèi)容.從近幾年的高考情況來看，高考題型通常為選擇題或填空題，但它的應(yīng)用范圍很廣，涉及到函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、立體幾何、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等內(nèi)容，它在高考中常用于大小判斷、求最值、求最值范圍等.在高考中經(jīng)?？疾檫\(yùn)用基本不等式求函數(shù)或代數(shù)式的最值，具有靈活多變、應(yīng)用廣泛、技巧性強(qiáng)等特點(diǎn).在復(fù)習(xí)中切忌生搬硬套，在應(yīng)用時一定要緊扣“一正二定三相等”這三個條件靈活運(yùn)用.【知識點(diǎn)1利用基本不等式求最值的解題策略】1．基本不等式與最值已知x，y都是正數(shù)，(1)如果積xy等于定值P，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P)；(2)如果和x＋y等于定值S，那么當(dāng)x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.溫馨提示：從上面可以看出，利用基本不等式求最值時，必須有：(1)x、y>0，(2)和(積)為定值，(3)存在取等號的條件．2．常見的求最值模型(1)模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(2)模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(3)模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；(4)模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.3．利用基本不等式求最值的幾種方法(1)直接法：條件和問題間存在基本不等式的關(guān)系，可直接利用基本不等式來求最值．(2)配湊法：利用配湊法求最值，主要是配湊成“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式.(3)常數(shù)代換法：主要解決形如“已知x+y=t(t為常數(shù)),求的最值”的問題，先將轉(zhuǎn)化為，再用基本不等式求最值.(4)消元法：當(dāng)所求最值的代數(shù)式中的變量比較多時，通常考慮利用已知條件消去部分變量后，湊出“和為常數(shù)”或“積為常數(shù)”的形式，最后利用基本不等式求最值.(5)構(gòu)造不等式法：構(gòu)建目標(biāo)式的不等式求最值，在既含有和式又含有積式的等式中，對和式或積式利用基本不等式，構(gòu)造目標(biāo)式的不等式求解.【知識點(diǎn)2基本不等式的實際應(yīng)用】1．基本不等式的實際應(yīng)用的解題策略(1)根據(jù)實際問題抽象出函數(shù)的解析式，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(2)解應(yīng)用題時，一定要注意變量的實際意義及其取值范圍.(3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)的最值時，若等號取不到，則可利用函數(shù)的單調(diào)性求解.【題型1直接法求最值】【例1】（2024·北京東城·一模）已知x>0，則x?4+4x的最小值為（

）A．－2 B．0 C．1 D．2【解題思路】由基本不等式求得最小值．【解答過程】∵x>0，∴x+4x?4≥2x×4故選：B．【變式1-1】（2024·甘肅定西·一模）x2+7A．27 B．37 C．47【解題思路】利用基本不等式即可得解.【解答過程】由題意知x≠0，所以x2所以x2當(dāng)且僅當(dāng)x2=7故選：B.【變式1-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知ab為正數(shù)，則2ab+bA．有最小值，為2 B．有最小值，為2C．有最小值，為4 D．不一定有最小值【解題思路】利用基本不等式計算可得.【解答過程】因為ab為正數(shù)，所以ab>0，所以2ab+ba≥2所以2ab+b故選：B.【變式1-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）3+1x2A．93 B．7+42 C．83【解題思路】依題意可得3+1【解答過程】3+1當(dāng)且僅當(dāng)1x2=12故3+1x2故選：D.【題型2配湊法求最值】【例2】（2024·全國·模擬預(yù)測）函數(shù)y=x2+A．2 B．5 C．6 D．7【解題思路】由基本不等式即可求解.【解答過程】由x2>5可得x2當(dāng)且僅當(dāng)x2?5=1故選:D.【變式2-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知a>0,b>0，則a+2b+4a+2b+1的最小值為（A．6 B．5 C．4 D．3【解題思路】根據(jù)基本不等式即可求解.【解答過程】由于a>0,b>0，所以a+2b+1>0，由a+2b+4（當(dāng)且僅當(dāng)a+2b=1時取等號），可得a+2b+4故選：D．【變式2-2】（23-24高三上·海南省直轄縣級單位·階段練習(xí)）設(shè)x>2，則函數(shù)y=4x?1+4x?2，的最小值為（A．7 B．8 C．14 D．15【解題思路】利用基本不等式求解.【解答過程】因為x>2，所以x?2>0，所以y=4x?1+4當(dāng)且僅當(dāng)4x?2=4所以函數(shù)y=4x?1+4故選:D．【變式2-3】（2024·山西忻州·模擬預(yù)測）已知a>2，則2a+8a?2的最小值是（A．6 B．8 C．10 D．12【解題思路】利用基本不等式性質(zhì)求解即可.【解答過程】因為a>2，所以a?2>0所以2a+8當(dāng)且僅當(dāng)2a?2=8所以2a+8a?2的最小值為故選：D.【題型3常數(shù)代換法求最值】【例3】（2024·河北·模擬預(yù)測）已知非負(fù)實數(shù)x,y滿足x+y=1，則12x+1A．3+222 B．3+224 【解題思路】根據(jù)x+y=1，化簡求得12x+1+y=1，得到1【解答過程】因為x+y=1，可得x+y+1=2，即12又因為非負(fù)實數(shù)x,y，所以x>0，y+1>0，則1≥1當(dāng)且僅當(dāng)1+y2x=x所以12x+1故選：B．【變式3-1】（2024·云南大理·模擬預(yù)測）已知a≥0，b≥0且2a+b=1，則9a+1+1A．4 B．6 C．8 D．10【解題思路】根據(jù)已知等式，應(yīng)用常值代換法應(yīng)用基本不等式求和的最小值即可.【解答過程】9=≥10+29a+ba+1?故選:C.【變式3-2】（2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測）已知x>0，y>0，且2x+y=1，則x+yxy的最小值為（

A．4 B．42 C．6 D．【解題思路】利用乘“1”法及基本不等式計算可得.【解答過程】因為x>0，y>0，且2x+y=1，所以x+yxy當(dāng)且僅當(dāng)2xy=yx，即故選：D.【變式3-3】（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若a,b是正實數(shù)，且13a+b+12a+4b=1A．45 B．23 C．1 【解題思路】觀察等式分母可知3a+b+【解答過程】因為a+b==1當(dāng)且僅當(dāng)a=3所以a+b的最小值為45故選：A.【題型4消元法求最值】【例4】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知x,y,z∈0,+∞，且滿足x?2y+3z=0．則y2A．12 B．6 C．9 D．3【解題思路】消元后用基本不等式求得最小值．【解答過程】因為x,y,z∈0,+∞，且滿足x?2y+3z=0．即所以y2xz=(x+3z)24xz=故選：D．【變式4-1】（2024·北京·模擬預(yù)測）設(shè)正實數(shù)x、y、z滿足4x2?3xy+y2A．0 B．2 C．1 D．3【解題思路】計算得出xyz=1【解答過程】因為正實數(shù)x、y、z滿足4x2?3xy+則xyz=xy故xyz的最大值為1故選：C.【變式4-2】（2024·浙江紹興·三模）若x,y,z>0，且x2+xy+2xz+2yz=4，則4．【解題思路】由題意可借助x、y表示出z，從而消去z，再計算化簡后結(jié)合基本不等式計算即可得.【解答過程】由x2+xy+2xz+2yz=4，則即2x+y+2z=2x+y+==x+y+4當(dāng)且僅當(dāng)x+y=4x+y，即故答案為：4.【變式4-3】（2024·四川德陽·模擬預(yù)測）已知正實數(shù)x，y，z滿足x2+xy+yz+xz+x+z=6，則3x+2y+z的最小值是4【解題思路】因式分解得到x+z=6x+y+1，變形后得到【解答過程】因為x,y,z為正實數(shù)，故x2即xx+z3x+2y+z=2=2x+y+1當(dāng)且僅當(dāng)2x+y+1=6x+y+1，即所以3x+2y+z的最小值為43故答案為：43【題型5齊次化求最值】【例5】（2024·江西新余·二模）已知x，y為正實數(shù)，且x+y=2，則x+6y+6xy的最小值為（

A．12 B．3+22 C．252 【解題思路】借助“1”的活用將分式其次化后結(jié)合基本不等式計算即可得.【解答過程】由x+y=2，則x+6y+6=4當(dāng)且僅當(dāng)2xy=9y2x，即故選：C.【變式5-1】（23-24高一下·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知正數(shù)x,y滿足x+2y=1，則x2+yxyA．122 B．22 C．1【解題思路】將目標(biāo)式整理為齊次式，再結(jié)合均值不等式即可求得結(jié)果.【解答過程】x2+yxy=x2則xy+2yx+1≥2故x2+yxy故選：D.【變式5-2】（23-24高一上·江蘇常州·階段練習(xí)）已知xy=1，且0<y<12，則x?4yx2+16【解題思路】由xy=1且0<y<12，可得y=1x(x>2)，可得x?4y>0【解答過程】解：由xy=1且0<y<12，可得y=1又x?4yx當(dāng)且僅當(dāng)x?4y=8x?4y，即又xy=1，可得x=2+6即x?4yx2+16故答案為：28【變式5-3】（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知實數(shù)x>0，y>0，則(x+1)2+(3y+1)【解題思路】利用分離常數(shù)法，把分子降為一次式，再可以利用基本不等式結(jié)合條件即得.【解答過程】因為(x+1)2又因為x>0，y>0，所以可由平方均值不等式得：x2取等號條件是x=3y，即x2所以上式可變?yōu)椋?+2取等號條件是：2x+3y=x+3y2，即可得取到最大值的條件是：x=1,y=1故答案為：2.【題型6多次使用基本不等式求最值】【例6】（2024·山西運(yùn)城·二模）若a，b，c均為正實數(shù)，則ab+bca2+2A．12 B．14 C．22【解題思路】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【解答過程】因為a，b均為正實數(shù)，則ab+bc=1當(dāng)且僅當(dāng)a2+c2b則ab+bca2+2故選：A．【變式6-1】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知實數(shù)x,y,z>0，滿足xy+zx=2，則當(dāng)4y+A．1 B．32 C．2 D．【解題思路】兩次應(yīng)用基本不等式，根據(jù)兩次不等式等號成立的條件列方程求解即可.【解答過程】因為實數(shù)x,y,z>0，滿足xy+z所以xy+zx=2≥2xy×z所以4y+1z≥2所以當(dāng)yz=1且4y=1此時解得y=2z=故選：D.【變式6-2】（23-24高三下·浙江·開學(xué)考試）已知a、b、c、d均為正實數(shù)，且1a+2b=A．3 B．2C．3+22 【解題思路】由題意，根據(jù)基本不等式先求解1cd≥1，從而將a+b【解答過程】因為1a+2b=c2+d2=2，所以cd≤c2+d22故選：D.【變式6-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知a為非零實數(shù)，b，c均為正實數(shù)，則a2b+aA．12 B．24 C．22【解題思路】對原式變形，兩次利用基本不等式，求解即可.【解答過程】因為a為非零實數(shù)，a2>0，b，則a=1當(dāng)且僅當(dāng)4a2=b2則a2b+a故選：B．【題型7實際應(yīng)用中的最值問題】【例7】（23-24高一上·陜西西安·期中）一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，一顧客到店購買黃金100g，售貨員先將50g砝碼放在天平左盤中，取出黃金放在右盤中使天平平衡；再將A．小于100g B．等于C．大于100g 【解題思路】利用杠桿原理求得顧客購得的黃金質(zhì)量的表達(dá)式，依據(jù)均值定理即可得到顧客購得的黃金質(zhì)量的取值范圍，進(jìn)而得到選項.【解答過程】設(shè)天平左、右兩邊的臂長分別為x，y，設(shè)售貨員第一次稱得黃金的質(zhì)量為a克，第二次稱得黃金的質(zhì)量為b克，則50x=aybx=50y，解之得a=則顧客購得的黃金為a+b=50x（當(dāng)且僅當(dāng)x=y時等號成立），由題意知，x≠y，則a+b>100克.故選：C.【變式7-1】（24-25高三上·江蘇無錫·期中）一家貨物公司計劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)y1（單位：元）與倉庫到車站的距離x（單位：km）成反比，每月庫存貨物費(fèi)y2（單位：元）與x成正比；若在距離車站6km處建倉庫，則y2A．2km B．3km C．4km D．5km【解題思路】設(shè)y1=k【解答過程】由題意設(shè)y1=k由于在距離車站6km處建倉庫，則y2=4y兩項費(fèi)用之和為y=y當(dāng)且僅當(dāng)9k2x即要使這家公司的兩項費(fèi)用之和最小，則應(yīng)該把倉庫建在距離車站3km.故選：B.【變式7-2】（24-25高一上·四川瀘州·期中）如圖，某花圃基地計劃用柵欄圍成兩間背面靠墻的相同的矩形花室．(1)若柵欄的總長為120米，求每間花室面積的最大值；(2)若要求每間花室的面積為150平方米，求所需柵欄總長的最小值．【解題思路】（1）由題意得面積表達(dá)式結(jié)合表達(dá)式性質(zhì)以及二次函數(shù)性質(zhì)即可得解；（2）由基本不等式即可得解.【解答過程】（1）設(shè)每間花室與墻體垂直的圍墻的邊長為a米，與墻體平行的圍墻的邊長為b米．因為柵欄的總長為120米，所以3a+2b≤120，其中0<a<40，0<b<60，則a≤120?2b每間花室的面積S=ab≤120?2b因為120?2bb當(dāng)且僅當(dāng)a=20，b=30時，等號成立，所以每間花室面積的最大值為600平方米．（2）因為每間花室的面積為150平方米，所以ab=150，則b=150柵欄的總長l=3a+2b=3a+300當(dāng)且僅當(dāng)a=10，b=15時，等號成立，故柵欄總長的最小值為60米．【變式7-3】（24-25高一上·陜西咸陽·期中）某校計劃利用其一側(cè)原有墻體，建造高為1米，底面積為100平方米，且背面靠墻的長方體形狀的露天勞動基地，靠墻那面無需建造費(fèi)用，因此甲工程隊給出的報價如下：長方體前面新建墻體的報價為每平方米320元，左、右兩面新建墻體的報價為每平方米160元，地面以及其他報價共計6400元.設(shè)勞動基地的左、右兩面墻的長度均為x6≤x≤12(1)當(dāng)左面墻的長度為多少米時，甲工程隊的報價最低？(2)現(xiàn)有乙工程隊也參與該勞動基地的建造競標(biāo)，其給出的整體報價為320a1+xxa>0【解題思路】（1）設(shè)甲工程隊的總報價為y元，根據(jù)題意可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，利用基本不等式可求出y的最小值，利用等號成立的條件求出x的值，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)題意可得出320x+100x+6400>320a1+xx，可知，a<【解答過程】（1）解：設(shè)甲工程隊的總報價為y元，依題意，左、右兩面墻的長度均為x6≤x≤12則長方體前面新建墻體的長度為100x所以y=160×2x×1+320×100即y=320x+當(dāng)且僅當(dāng)x=100x時，即故當(dāng)左面墻的長度為10米時，甲工程隊的報價最低，且最低報價為12800元.（2）解：由題意可知，320x+即x+100x+20>所以x+102x>a1+xx+102當(dāng)且僅當(dāng)x+1=81x+1時，即x=8時，x+102則0<a<36，即a的取值范圍是0,36.【題型8與其他知識交匯的最值問題】【例8】（23-24高三上·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）在△ABC中，已知AB→?AC→=9，b=c?cosA，△ABC的面積為6，若P為線段AB上的點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)AA．9 B．34 C．914 【解題思路】先根據(jù)題意得bccosA=9，bcsinA=12，進(jìn)而得tanA=43，sinA=45，cosA=35，bc=15，b=【解答過程】解：因為AB→?AC因為△ABC的面積為6，所以bcsin所以tanA=所以sinA=45，cos由于b=c?cos所以b=3所以c=5,b=3，所以由余弦定理得：a2=b所以CP→因為P為線段AB上的點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A，點(diǎn)B重合），所以x3+y所以x所以1=5當(dāng)且僅當(dāng)3y+212x=x所以1x故選：C.【變式8-1】（2020·全國·高考真題）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x=a與雙曲線C:x2a2?y2b2A．4 B．8 C．16 D．32【解題思路】因為C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)，可得雙曲線的漸近線方程是y=±bax，與直線x=a聯(lián)立方程求得D【解答過程】∵C:∴雙曲線的漸近線方程是y=±∵直線x=a與雙曲線C:x2a2?不妨設(shè)D為在第一象限，E在第四象限聯(lián)立{x=ay=故D(a,b)聯(lián)立{x=ay=?故E(a,?b)∴|ED|=2b∴△ODE面積為：S∵雙曲線C:∴其焦距為2c=2當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22∴C的焦距的最小值：8故選：B.【變式8-2】（23-24高三·全國·階段練習(xí)）在ΔABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，且acos（1）求角A的大??；（2）若a=3，求bc【解題思路】（1）利用正弦定理邊化角，再由兩角和的正弦公式即可求出tanA，結(jié)合角A（2）由（1）知，結(jié)合余弦定理得到關(guān)于b,c的方程，利用基本不等式即可求解.【解答過程】（1）因為acos利用正弦定理可得，sinA即sinA+CtanA=所以sinπ?BtanA=因為0<B<π，所以sinB≠0，tan因為0<A<π，所以A=π（2）由（1）及余弦定理可得，a2=b所以3=b2+所以bc的最大值為3.【變式8-3】（23-24高二下·遼寧·階段練習(xí)）平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理論研究和證明中占有重要的位置，基本不等式a+b2≥aba>0,b>0就是最簡單的平均值不等式.一般地，假設(shè)a1,a2,???,an為n個非負(fù)實數(shù)，它們的算術(shù)平均值記為An=(1)已知x>y>0，求x+8(2)已知正項數(shù)列an，前n項和為S（i）當(dāng)Sn=1時，求證：（ii）求證：Πi=1【解題思路】（1）湊配成三個數(shù)的均值不等式；（2）（i）對1+ai=a1【解答過程】（1）x?y+y+當(dāng)且僅當(dāng)x?y=y=8yx?y則x+8（2）（i）證明：因為a1所以由均值不等式可得1+ai=1?ai=a1（ii）證明：因為Gn所以1+a11+a=1+C因為n!=n?i所以Cn從而證明成立．一、單選題1．（2024·河北·模擬預(yù)測）已知x>1，y>0，且1x?1+1y=1A．13 B．15+552 C．14 【解題思路】由4x+y=4x?1【解答過程】∵x>1，∴x?1>0，又y>0，且1x?1∴4x+y=4≥9+2y當(dāng)且僅當(dāng)1x?1+1y=1故選：A.2．（2024·四川綿陽·一模）已知x>0,y>0，且滿足x+y=xy?3，則xy的最小值為（

）A．3 B．23 C．6 【解題思路】利用基本不等式化簡已知條件，再解不等式求得xy的范圍，從而求得xy的最小值.【解答過程】x+y=xy?3≥2xyxy2xy?3≥0,xy≥9當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時等號成立，所以xy的最小值為9.故選：D.3．（2024·江蘇宿遷·一模）若a>0,b>0,a+2b=3，則3a+6A．9 B．18 C．24 D．27【解題思路】利用基本不等式中“1”的妙用即可求得最小值.【解答過程】根據(jù)題意可得3a當(dāng)且僅當(dāng)6ab=6b此時3a故選：A.4．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）下列說法錯誤的是（

）A．若正實數(shù)a,b滿足a+b=1，則1aB．若正實數(shù)a,b滿足a+2b=1，則2C．y=x2D．若a>b>1，則ab+1<a+b【解題思路】對于A，利用1a+1b=a+b1a+1b【解答過程】對于A，若正實數(shù)a,b滿足a+b=1，則1a+1b=a+b1a+1b對于B，若正實數(shù)a,b滿足a+2b=1，則2a對于C，設(shè)x2+3=t∈[3,+對于D，當(dāng)a=3，b=2時，有a>b>1，但ab+1=3?2+1=7>5=3+2=a+b，故D錯誤.故選：D.5．（2024·四川成都·三模）設(shè)a>b>0，若a2+λb2≤A．2+22 B．4 C．2+2 【解題思路】由不等式可得λ≤a3+【解答過程】因為a>b>0，若a2+λb設(shè)t=ab>1則1+(令s=t?1>0，可得t=s+1，所以1+(s+1)2s=s+2所以λ≤2+22即λ的最大值為2+22故選：A．6．（2024·貴州遵義·模擬預(yù)測）如圖所示的“大方圖”稱為趙爽弦圖，它是由中國數(shù)學(xué)家趙爽于公元3世紀(jì)在給《周髀算經(jīng)》“勾股網(wǎng)方圖”作注時給出的一種幾何平面圖，記載于趙爽“負(fù)薪余日，聊觀《周》”一書之中.他用數(shù)學(xué)符號語言將其表示為“若直角三角形兩直角邊為a，b斜邊為c（a、b、c均為正數(shù)）.則a+b2=4ab+b?a2，a+b2=2cA．9 B．18 C．27 D．36【解題思路】根據(jù)題意可得a+b=6,a>0,b>0，結(jié)合基本不等式即可得a2【解答過程】由題可知a+b=6,a>0,b>0，則a+b≥2ab，即6≥2ab，所以ab≤9，當(dāng)且僅當(dāng)又“趙爽弦圖”的面積為a2所以當(dāng)a=b=3時，“趙爽弦圖”的最小面積為18.故選：B.7．（2024·福建寧德·模擬預(yù)測）若兩個正實數(shù)x，y滿足4x+y=2xy，且不等式x+y4<m2A．{m∣?1<m<2} B．{m∣m<?1或m>2}C．{m∣?2<m<1} D．{m∣m<?2或m>1}【解題思路】根據(jù)題意，利用基本不等式求得x+y4的最小值，把不等式x+y【解答過程】由兩個正實數(shù)x,y滿足4x+y=2xy，得1x則x+y當(dāng)且僅當(dāng)4xy=y又由不等式x+y4<m2?m有解，可得所以實數(shù)m的取值范圍為{m∣m<?1或m>2}.故選：B.8．（2024·山東淄博·二模）記maxx,y,z表示x,y,z中最大的數(shù)．已知x,y均為正實數(shù)，則maxA．12 B．1 C．2 【解題思路】設(shè)M=max2x【解答過程】由題意可知：x,y均為正實數(shù)，設(shè)M=max2x,1則3M≥2當(dāng)且僅當(dāng)x2=4y又因為2x當(dāng)且僅當(dāng)2x=1可得3M≥6，即M≥2，所以M=max故選：C.二、多選題9．（2024·貴州銅仁·模擬預(yù)測）下列不等式正確的有（）A．當(dāng)0<x<10時，x10?xB．已知正實數(shù)x,y滿足x+y=2，則1C．當(dāng)x>?1時，x+D．函數(shù)y=1?2x?3x【解題思路】利用基本不等式及特殊值依次判斷選項即可.【解答過程】對選項A，0<x<10，所以10?x>0，則x10?x≤x+10?x22對選項B，取x=1,y=1，滿足x+y=2，顯然1x對選項C，因為x>?1，x+1>0，所以x+1當(dāng)且僅當(dāng)x+1=1x+1，即對選項D，當(dāng)x<0時，y=1?2x?3當(dāng)且僅當(dāng)?2x=?3x，即故選：ACD.10．（2024·廣東佛山·一模）已知a，b>0，且ab=a+2b+6，則（

）A．a(chǎn)b的最小值為18 B．a(chǎn)2C．2a+1b的最小值為23【解題思路】對于A，根據(jù)基本不等式可得ab=a+2b+6≥22ab+6，進(jìn)而求解即可判斷；對于B，根據(jù)基本不等式可得a2+b2≥2ab≥36，驗證取等條件即可判斷；對于C，由題意可得2a+【解答過程】對于A，由于ab=a+2b+6≥22ab+6，即則ab≥32，即ab≥18，當(dāng)且僅當(dāng)所以ab的最小值為18，故A正確；對于B，由a2+b2≥2ab≥36顯然不能同時成立，取不到等號，故B錯誤；對于C，由于ab=a+2b+6，所以有2a當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=6時等號成立，即2a+1對于D，因為a>0，b=a+6a?2>0所以a+b=a+a+6當(dāng)且僅當(dāng)a?2=8a?2，即a=2+22則a+b的最小值為3+42故選：ACD．11．（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）十六世紀(jì)中葉，英國數(shù)學(xué)加雷科德在《礪智石》一書中先把“=”作為等號使用，后來英國數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“<”和“>”符號，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號的引入對不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)，若a>0,b>0，則下面結(jié)論正確的是（）A．若a>b，則1B．若1a+4bC．若ab+b2D．若a+b=2，則ab有最大值2【解題思路】利用不等式性質(zhì)判斷A；利用“1”的妙用計算判斷B；確定b的取值范圍，求出a+b范圍作答；利用均值不等式計算判斷D作答.【解答過程】對于A，a>b>0，則aab>b對于B，a>0,b>0，1a+4當(dāng)且僅當(dāng)ba=4a對于C，a>0,b>0，由ab+b2=2得：a=2b對于D，a>0,b>0，a+b=2，則ab≤(a+b2故選：AB.三、填空題12．（2024·海南·模擬預(yù)測）已知實數(shù)a，b滿足ab=2，則a2+4b2的最小值為【解題思路】利用重要不等式計算可得.【解答過程】因為ab=2，所以a2+4b即a2+4b故答案為：8.13．（23-24高一下·云南曲靖·階段練習(xí)）已知x>0,y>0，且x+y=3，則yx+1+1y的最小值為【解題思路】根據(jù)分母特點(diǎn)，將x+y=3化為x+1+y=4，將1y化為【解答過程】由于x+y=3，因此x+1+y=4則yx+1+1當(dāng)且僅當(dāng)y=4故答案為：5414．（2024·河南鄭州·模擬預(yù)測）設(shè)a>0，b>0，記M為1a，2．【解題思路】分類討論1a【解答過程】由a>0，①當(dāng)1a≥b時，而a+3b+則M的最小值為2；②當(dāng)1aM=max而b+a+3b>b+M的最小值不小于2.綜上，M的最小值為2