2019屆江蘇專用高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第十四章選考部分14.3坐標(biāo)系與參數(shù)方程第二課時參數(shù)方程講義理蘇教版

§14.3坐標(biāo)系與參數(shù)方程第2課時參數(shù)方程基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)課時作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識自主學(xué)習(xí)1.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式.一般地，可以

從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關(guān)系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y＝g(t)，那么

就是曲線的參數(shù)方程.知識梳理通過消去參數(shù)2.常見曲線的參數(shù)方程和普通方程點的軌跡普通方程參數(shù)方程直線y－y0＝tanα(x－x0)_________________________圓____________橢圓______________________x2＋y2＝r2雙曲線拋物線y2＝2px(p>0)考點自測將直線l的參數(shù)方程化為普通方程為y－2＝－3(x－1)，因此直線l的斜率為－3.解答直線l2的方程為y＝－2x＋1，斜率為－2.解答3.已知點P(3，m)在以點F為焦點的拋物線 (t為參數(shù))上，求PF的值.解答將拋物線的參數(shù)方程化為普通方程為y2＝4x，則焦點F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，又P(3，m)在拋物線上，由拋物線的定義知PF＝3－(－1)＝4.解答題型分類深度剖析題型一參數(shù)方程與普通方程的互化例1

(2016·全國甲卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為(x＋6)2＋y2＝25.(1)以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求C的極坐標(biāo)方程；解答由x＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ可得圓C的極坐標(biāo)方程ρ2＋12ρcosθ＋11＝0.在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R).設(shè)A，B所對應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，將l的極坐標(biāo)方程代入C的極坐標(biāo)方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0.于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11.解答消去參數(shù)的方法一般有三種(1)利用解方程的技巧求出參數(shù)的表示式，然后代入消去參數(shù)；(2)利用三角恒等式消去參數(shù)；(3)根據(jù)參數(shù)方程本身的結(jié)構(gòu)特征，靈活的選用一些方法從整體上消去參數(shù).將參數(shù)方程化為普通方程時，要注意防止變量x和y取值范圍的擴大或縮小，必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍，確定函數(shù)f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范圍.思維升華解答因此直線與圓相交，故直線與曲線有2個交點．解答直線l的普通方程為x－y－a＝0，∴橢圓C的右頂點坐標(biāo)為(3,0)，若直線l過(3,0)，則3－a＝0，∴a＝3.題型二參數(shù)方程的應(yīng)用(1)求直線l和圓C的普通方程；直線l的普通方程為2x－y－2a＝0，圓C的普通方程為x2＋y2＝16.解答(2)若直線l與圓C有公共點，求實數(shù)a的取值范圍.解答因為直線l與圓C有公共點，已知圓、圓錐曲線的參數(shù)方程解決有關(guān)問題時，一般是把參數(shù)方程化為普通方程，通過互化解決與圓、圓錐曲線上動點有關(guān)的問題，如最值、范圍等.思維升華解答曲線C1的普通方程為x2＋y2＝5(x≥0，y≥0).曲線C2的普通方程為x－y－1＝0.∴曲線C1與C2的交點坐標(biāo)為(2,1).題型三極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程的綜合應(yīng)用例3

(2016·全國乙卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為

解答極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cosθ.(1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程；(t為參數(shù)，a>0).在以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸的消去參數(shù)t得到C1的普通方程x2＋(y－1)2＝a2，C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓.將x＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ代入C1的普通方程中，得到C1的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρsinθ＋1－a2＝0.(2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tanα0＝2，若曲線C1與C2的公共點都在C3上，求a.解答曲線C1，C2的公共點的極坐標(biāo)滿足方程組若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sinθcos

θ＋1－a2＝0，由已知tanθ＝2，可得16cos2θ－8sinθcos

θ＝0，從而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)，a＝1.a＝1時，極點也為C1，C2的公共點，在C3上.所以a＝1.在對坐標(biāo)系與參數(shù)方程的考查中，最能體現(xiàn)坐標(biāo)法的解題優(yōu)勢，靈活地利用坐標(biāo)法可以使問題得到簡捷的解答.例如，將題設(shè)條件中涉及的極坐標(biāo)方程和參數(shù)方程等價轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程，然后在直角坐標(biāo)系下對問題進行求解就是一種常見的解題方法，對應(yīng)數(shù)學(xué)問題求解的“化生為熟”原則，充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.思維升華(1)求圓心的極坐標(biāo)；解答由圓C的極坐標(biāo)方程為即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.∴圓心坐標(biāo)為(1，－1)，(2)求△PAB面積的最大值.解答課時作業(yè)解答12345678910∴x＝0或x＝1.∴所截得的弦長為2.12345678910解答12345678910直線的普通方程為bx－ay－4b＝0，圓的普通方程為(x－2)2＋y2＝3，直線與圓相切，123456789103.(2016·蘇州模擬)已知直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程：

(t為參數(shù))，以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求以極點為圓心且與直線l相切的圓的極坐標(biāo)方程.解答∴以極點為圓心且與直線l相切的圓的極坐標(biāo)方程為ρ＝1.123456789104.(2015·湖北)在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.已知直線l的極坐標(biāo)方程為ρ(sinθ－3cosθ)＝0，曲解答線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù))，l與C相交于A，B兩點，求AB的長.12345678910直線l的極坐標(biāo)方程ρ(sinθ－3cosθ)＝0化為直角坐標(biāo)方程為3x－y＝0，12345678910123456789105.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，在以O(shè)為極點，以x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2的方程為ρsin(θ＋)＝2，求曲線C1與曲線C2的交點個數(shù).解答曲線C1，C2化為普通方程和直角坐標(biāo)方程分別為x2＝2y，x＋y－4＝0，所以方程有兩個實數(shù)解.故曲線C1與曲線C2的交點個數(shù)為2.123456789106.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知直線l的參數(shù)方程為

解答(t為參數(shù))，直線l與拋物線y2＝4x相交于A，B兩點，求線段AB的長.12345678910123456789107.(2016·全國丙卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為

(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，以x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin

＝2.(1)寫出C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)系方程；解答12345678910(2)設(shè)點P在C1上，點Q在C2上，求PQ的最小值及此時P的直角坐標(biāo).因為C2是直線，所以PQ的最小值即為P到C2距離d(α)的最小值，解答12345678910解答(1)當(dāng)α＝

時，求C1與C2的交點坐標(biāo)；12345678910C2的普通方程為x2＋y2＝1，12345678910解答(2)過坐標(biāo)原點O作C1的垂線，垂足為A，P為OA的中點，當(dāng)α變化時，求P點軌跡的參數(shù)方程，并指出它是什么曲線.12345678910依題意，C1的普通方程為xsin

α－ycos

α－sinα＝0，則A點的坐標(biāo)為(sin2α，－sinαcos

α)，故當(dāng)α變化時，12345678910解答(1)求圓C的直角坐標(biāo)方程；12345678910又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ，12345678910(2)點P(x，y)是直線l與圓面ρ≤4sin(θ－)的公共點，求

x＋y的取值范圍.解答12345678910所以－2≤t≤2，所以－2≤－t≤2，即x＋y的取值范圍是[－2,2].1234567891010.(2016·江蘇命題研究專家原創(chuàng)題)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動圓x2＋y2－4