高中數學第三章不等式3.2一元二次不等式及其解法3.2.1一元二次不等式及其解法課件新人教版A

第1課時

一元二次不等式及其解法1.了解一元二次不等式的概念.2.掌握一元二次不等式的解集,會解一元二次不等式.3.掌握一元二次不等式的解集與其系數的關系.4.會解簡單的含參數的一元二次不等式.1.一元二次不等式我們把只含有一個未知數,并且未知數的最高次數是2的不等式,稱為一元二次不等式.名師點撥1.“只含有一個未知數”,并不是說在代數式中不能含有其他的字母,只要明確指出,哪一個是變量,哪一些是參數就可以.2.“最高次數是2”,僅限于“未知數”,若還含有其他參數,則其他參數的次數不受此條件的限制.【做一做1】

有下列不等式:①x2>0;②-x2-2x≤15;③x3-5x+6>0;④x2-y<0.其中一元二次不等式的個數為(

).A.1 B.2 C.3 D.4答案:B2.一元二次不等式的解集(1)一元二次不等式的解集如下表:(2)一元二次不等式的解法.步驟是:①利用不等式的性質,將不等式進行同解變形為一般形式如下,ax2+bx+c>0或ax2+bx+c≥0或ax2+bx+c<0或ax2+bx+c≤0,其中a>0.②計算判別式Δ=b2-4ac的值.③當Δ>0時,解方程ax2+bx+c=0得兩個不相等的實根x1,x2,不妨設x1<x2,則ax2+bx+c>0的解集為{x|x<x1,或x>x2};ax2+bx+c≥0的解集為{x|x≤x1,或x≥x2};ax2+bx+c<0的解集為{x|x1<x<x2};ax2+bx+c≤0的解集為{x|x1≤x≤x2}.④當Δ=0時,解方程ax2+bx+c=0得兩個相等的實根x1,x2,則ax2+bx+c>0的解集為{x|x≠x1};ax2+bx+c≥0的解集為R;ax2+bx+c<0的解集為?;ax2+bx+c≤0的解集為{x|x=x1}.⑤當Δ<0時,方程ax2+bx+c=0沒有實根,則ax2+bx+c>0的解集為R;ax2+bx+c≥0的解集為R;ax2+bx+c<0的解集為?;ax2+bx+c≤0的解集為?.【做一做2-1】

不等式x>x2的解集是(

).A.{x|x>1} B.{x|x<0} C.{x|0<x<1} D.R答案:C【做一做2-2】

不等式-x2-3x+4>0的解集為

.(用區(qū)間表示)

答案:(-4,1)1.一元二次不等式的解集與其系數的關系剖析(1)如果一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|n<x<m}(n<m),或一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集是如果一元二次不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<n,或x>m}(n<m),或一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|x≤n,或x≥m}(n<m),2.利用二次函數的圖象解一元二次不等式剖析我們知道以自變量的取值為橫坐標,對應的函數值作為縱坐標,在平面直角坐標系中描出所有的點,這些點就構成了函數的圖象.因此函數圖象上點的坐標的意義是橫坐標是自變量的取值,縱坐標是對應的函數值.二次函數f(x)=ax2+bx+c的圖象上的點的坐標的意義也是一樣.由于位于x軸上方的點的縱坐標大于0,位于x軸上的點的縱坐標等于0,位于x軸下方的點的縱坐標小于0,所以二次函數f(x)=ax2+bx+c的圖象上位于x軸上方的點的橫坐標的取值范圍是不等式f(x)=ax2+bx+c>0的解集,二次函數f(x)=ax2+bx+c的圖象上位于x軸下方的點的橫坐標的取值范圍是不等式f(x)=ax2+bx+c<0的解集.所以可以用二次函數的圖象來解一元二次不等式.當然,對于任意函數y=f(x),只要能畫出它的圖象,那么就可以解不等式f(x)>0或f(x)<0.題型一題型二題型三題型四解一元二次不等式【例1】

解下列不等式:(1)x(7-x)≥12;(2)x2>2(x-1).分析由于所給的不等式不是一般形式,故應先將它們轉化為一般形式,即不等式(1)可以化為x2-7x+12≤0再求解,不等式(2)可以化為x2-2x+2>0再求解.解(1)原不等式可化為x2-7x+12≤0,Δ=1>0,對應方程x2-7x+12=0的兩根為x1=3,x2=4,所以原不等式的解集為{x|3≤x≤4}.(2)原不等式可以化為x2-2x+2>0,因為判別式Δ=4-8=-4<0,方程x2-2x+2=0無實根,所以原不等式的解集為R.題型一題型二題型三題型四反思解一元二次不等式的一般步驟:(1)將不等式等價變形為一般形式,使二次項系數大于零;(2)計算對應方程的判別式;(3)求出相應的一元二次方程的根,或根據判別式說明方程沒有實根;(4)根據一元二次不等式的解集寫出原不等式的解集.題型一題型二題型三題型四【變式訓練1】

解下列不等式:(1)x2-5x-6>0;(2)4(2x2-2x+1)>x(4-x).解(1)方程x2-5x-6=0的兩根為x1=-1,x2=6.結合二次函數y=x2-5x-6的圖象(圖略),知原不等式的解集為{x|x<-1,或x>6}.(2)由原不等式得8x2-8x+4>4x-x2.故原不等式等價于9x2-12x+4>0.題型一題型二題型三題型四已知一元二次不等式的解集求參數的值【例2】

關于x的不等式ax2+bx+2≤0的解集是{x|x≤-1,或x≥2},求a,b的值.分析-1和2是關于x的一元二次方程ax2+bx+2=0的兩根,借助于一元二次方程根與系數的關系,求出a與b的值.解由ax2+bx+2≤0的解集是{x|x≤-1,或x≥2},知a<0,且ax2+bx+2=0的兩根分別是x1=-1,x2=2,題型一題型二題型三題型四反思已知一元二次不等式的解集求參數的值的步驟:(1)確定x2的系數a≠0;(2)明確不等式ax2+bx+c>0(或<0,或≥0,或≤0)的解集的“端點”是相應的一元二次方程ax2+bx+c=0的根;(3)借助一元二次方程根與系數的關系,列出關于參數的方程(組),解得參數的值.題型一題型二題型三題型四【變式訓練2】

已知關于x的不等式x2+ax+b<0的解集為(1,2),試求關于x的不等式bx2+ax+1>0的解集.解由條件知1,2是方程x2+ax+b=0的兩根,題型一題型二題型三題型四含參數的一元二次不等式的解法【例3】

解關于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0(a∈R).分析先對二次項系數a分大于0、小于0、等于0討論,并分別求出對應方程的解,再根據解的大小寫出解集.解當a=0時,原不等式即為-x+1<0,解得x>1;題型一題型二題型三題型四反思含參數不等式的解題步驟為:(1)將二次項系數化為正數;(2)判斷相應的方程是否有根(如果可以直接分解因式,可省去此步);(3)根據根的情況寫出相應的解集.若方程有兩個相異實根,為了寫出解集還要比較兩個根的大小.另外,當二次項含有參數時,應先討論二次項系數是否為0.題型一題型二題型三題型四【變式訓練3】

解關于x的不等式x2-ax-2a2<0(a∈R).解原不等式轉化為(x-2a)(x+a)<0.對應的一元二次方程的根為x1=2a,x2=-a.(1)當a>0時,x1>x2,不等式的解集為{x|-a<x<2a};(2)當a=0時,原不等式化為x2<0,無解;(3)當a<0時,x1<x2,不等式的解集為{x|2a<x<-a}.綜上所述,當a>0時,原不等式的解集為{x|-a<x<2a};當a=0時,原不等式的解集為?;當a<0時,原不等式的解集為{x|2a<x<-a}.題型一題型二題型三題型四易錯辨析易錯點:忽略二次項系數的正負致錯【例4】

解不等式(2-x)(x+3