周繼昆自動(dòng)控制原理課程設(shè)計(jì)

周繼昆：直線一級(jí)倒立擺的頻率法校正1引言1.1問(wèn)題的提出控制器的設(shè)計(jì)是倒立擺系統(tǒng)的核心內(nèi)容，因?yàn)榈沽[是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，為使其保持穩(wěn)定并且可以承受一定的干擾，需要給系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制器，目前典型的控制器設(shè)計(jì)理論有：PID控制、根軌跡以及頻率響應(yīng)法、狀態(tài)空間法、最優(yōu)控制理論、模糊控制理論、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制、擬人智能控制、魯棒控制方法、自適應(yīng)控制，以及這些控制理論的相互結(jié)合組成更加強(qiáng)大的控制算法。1.1.1用頻率法對(duì)直線一級(jí)倒立擺進(jìn)行校正的原理系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)，稱為頻率響應(yīng)。在頻率響應(yīng)方法中，我們?cè)谝欢ǚ秶鷥?nèi)改變輸入信號(hào)的頻率，研究其產(chǎn)生的響應(yīng)。頻率響應(yīng)可以采用以下三種比較方便的方法進(jìn)行分析，一種為伯德圖或?qū)?shù)坐標(biāo)圖，伯德圖采用兩幅分離的圖來(lái)表示，一幅表示幅值和頻率的關(guān)系，一幅表示相角和頻率的關(guān)系；一種是極坐標(biāo)圖，極坐標(biāo)圖表示的是當(dāng)ω從0變化到無(wú)窮大時(shí)向量G(jω)G(jω)的軌跡，極坐標(biāo)圖也常稱為奈奎斯特圖，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)使我們有可能根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率響應(yīng)特性信息，研究線性閉環(huán)系統(tǒng)的絕的穩(wěn)定性和相對(duì)穩(wěn)定性。2建立小車倒立擺的實(shí)際數(shù)學(xué)模型圖1小車與倒立擺模型2.1小車倒立擺的實(shí)際數(shù)學(xué)模型的參數(shù)確定2.1.1已知參數(shù)如圖1為小車倒立擺的實(shí)際數(shù)學(xué)模型，該模型的已知參數(shù)為：M：小車質(zhì)量 1.096kgm：擺桿質(zhì)量 0.109kgb：小車摩擦系數(shù) 0.1N/secL：擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到桿質(zhì)心的長(zhǎng)度 0.25mI：擺桿慣量 0.0034kgm22.1.2設(shè)定該模型的未知參數(shù)F加在小車上的力x小車位置φ擺桿與垂直向上方向的夾角θ擺桿與垂直向下方向的夾角2.2建立小車倒立擺的實(shí)際數(shù)學(xué)模型圖2系統(tǒng)受力分析如圖2所示N和P分別為小車與擺桿相互作用力的水平和垂直方向的分量。為小車的速度，為小車的加速度。小車水平方向的合力： (1)擺桿水平方向的合力：(2) 水平方向的運(yùn)動(dòng)方程：(3)對(duì)擺桿垂直方向上的受力進(jìn)行分析，可得垂直方向的運(yùn)動(dòng)方程：(4)(5)用u來(lái)代表被控對(duì)象的輸入力F，線性化后兩個(gè)運(yùn)動(dòng)方程如下：(6)(6)(7)

(7)如果令進(jìn)行拉普拉斯變換，得到擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為：(8)把實(shí)際參數(shù)代入，可得系統(tǒng)的實(shí)際模型：(9)3頻率響應(yīng)分析3.1用Matlab對(duì)原系統(tǒng)仿真前面我們已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺的物理模型，實(shí)際系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)。其中輸入為小車的加速度V(s)，輸出為擺桿的角度Φ(s)，在Matlab下繪制系統(tǒng)的Bode圖和奈奎斯特圖。在MATLAB中鍵入以下命令：clear;num=[0.02725];den=[0.01021250-0.26705];z=roots(num);p=roots(den);subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)得到如下結(jié)果z=Emptymatrix:0-by-1p=5.1136-5.1136圖3直線一級(jí)倒立擺的Bode圖圖4直線一級(jí)倒立擺的奈奎斯特圖3.2原系統(tǒng)頻率響應(yīng)分析可以看到，系統(tǒng)沒(méi)有零點(diǎn)，但存在兩個(gè)極點(diǎn)，其中一個(gè)極點(diǎn)位于右半s平面，根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當(dāng)ω從?∞到+∞變化時(shí)，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(jω)沿逆時(shí)針?lè)较虬鼑?1點(diǎn)p圈，其中p為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在右半S平面內(nèi)的極點(diǎn)數(shù)。對(duì)于直線一級(jí)倒立擺，由圖3-21我們可以看出，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在S右半平面有一個(gè)極點(diǎn)，因此G(jω)需要沿逆時(shí)針?lè)较虬鼑?1點(diǎn)一圈?？梢钥闯?，系統(tǒng)的奈奎斯特圖并沒(méi)有逆時(shí)針繞-1點(diǎn)一圈，因此系統(tǒng)不穩(wěn)定，需要設(shè)計(jì)控制器來(lái)鎮(zhèn)定系統(tǒng)。3.3頻率響應(yīng)校正器的設(shè)計(jì)及對(duì)性系統(tǒng)仿真3.3.1頻率響應(yīng)校正器的設(shè)計(jì)按設(shè)計(jì)要求，系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差常數(shù)為10，相位裕量為50，增益裕量等于或大于10分貝。從直線一級(jí)倒立擺的Bode圖可以看出，系統(tǒng)的相位裕量為0,不滿足要求，應(yīng)引入超前校正系統(tǒng)。3.3.1.1計(jì)算原系統(tǒng)的靜態(tài)位置誤差令G(s)= ,為原系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，則Kp=lims→0G(s)=0.102<10,不滿足要求，必須在校正系統(tǒng)中引入p調(diào)節(jié)，增大系統(tǒng)增益。令GC(S)=Kas+1aT3.3.1.2a和T的計(jì)算根據(jù)設(shè)計(jì)要求，系統(tǒng)的相位裕量為50o，因此需要增加的相位裕量為50o，增加超前校正裝置會(huì)改變Bode圖的幅值曲線，這時(shí)增益交界頻率會(huì)向右移動(dòng)，必須對(duì)增益交界頻率增加所造成的G(jω)的相位滯后增量進(jìn)行補(bǔ)償，因此，假設(shè)需要的最大相位超前量φm等于60。。由sinφm=a-1a+1,計(jì)算可以得到：α=13.9425確定了衰減系統(tǒng)，就可以確定超前校正裝置的轉(zhuǎn)角頻率ω=1/T和ω＝1/(αT)，可以看出，最大相位超前角φm發(fā)生在兩個(gè)轉(zhuǎn)角頻率的幾何中心上，即ω=1/(αT)。又由20lg|G(S)|=-10lga,得ω=30.818rad/s，選擇此頻率作為新的增益交界頻率ωcα，于是得到1T=114.9425，1αT=8.2508，Ka=1364.7于是校正裝置確定為：Gc(s)=1364.7S+8.25083.3.2用Matlabh校正后系統(tǒng)的Bode圖與奈奎斯特圖在MATLAB命令窗口中輸入以下命令：clear;num=98*[0.02725];den=[0.01021250-0.26705];subplot(2,1,1)bode(num,den)Subplot(2,1,2)nyquist(num,den)z=roots(num);p=roots(den);za=[z;-8.2508];pa=[p;-114.9425];k=1364.7;sys=zpk(za,pa,k);figuresubplot(2,1,1)bode(sys)subplot(2,1,2)nyquist(sys)圖5校正后的的Bode圖（上）與校正后的的奈奎斯特圖（下）從圖5中Bode圖中可以看出,系統(tǒng)具有要求的相角裕度和幅值裕度，從奈魁斯特圖中可以看出，曲線繞-1點(diǎn)逆時(shí)針一圈，因此校正后的系統(tǒng)穩(wěn)定。3.3.2用Matlab中的Simulink工具對(duì)系統(tǒng)仿真圖6搭建仿真框圖 圖7參數(shù)設(shè)置圖8仿真結(jié)果從仿真圖可以看出，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能已達(dá)到要求，但存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，必須提高系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益來(lái)減小穩(wěn)態(tài)誤差，但增加開(kāi)環(huán)增益，會(huì)使開(kāi)環(huán)截止頻率右移，影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，因此在串聯(lián)超前校正的基礎(chǔ)上再串聯(lián)一個(gè)滯后校正器，即可減小系統(tǒng)的靜態(tài)誤差，又不會(huì)影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能。3.3.2判斷增益裕量是否符合要求將系統(tǒng)傳遞函數(shù)導(dǎo)入Matlab中的SISO工具得到如圖9的Bde圖，從圖中可直接讀出增益裕量為11.5dB,滿足要求。圖9校正后的bode圖4設(shè)計(jì)超前-滯后校正器4.1確定滯后校正器的參數(shù)設(shè)滯后校正器的傳遞函數(shù)為1+bTS1+TS(b<1),系統(tǒng)中連入此滯后校正器后，其增益將增大1b，更具實(shí)際，取1b=10，則b=0.1,采用置后校正應(yīng)力求避免最大滯后角發(fā)生在已校正系統(tǒng)開(kāi)環(huán)截止頻率附近，否則將使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能惡化。因此選擇之后網(wǎng)絡(luò)參數(shù)時(shí)，總是使網(wǎng)絡(luò)的第二個(gè)交接頻率1/bT遠(yuǎn)小于已校正系統(tǒng)開(kāi)環(huán)截止頻率。在這里取1/bT=ω，由超前校正的bode圖可讀出ω=12.7，又b=0.1，得T=1.27因此滯后校正器的傳遞函數(shù)為S+1.27s+0.127,4.2用Matlabh校正后系統(tǒng)的Bode圖與奈奎斯特圖在MATLAB命令窗口中輸入以下命令：clear;num=98*[0.02725];den=[0.01021250-0.26705];subplot(2,1,1)bode(num,den)subplot(2,1,2)nyquist(num,den)z=roots(num);p=roots(den);za=[z;-8.2508;-1.27];pa=[p;-114.9425;-0.127]];k=1364.7;sys=zpk(za,pa,k);figuresubplot(2,1,1)bode(sys)subplot(2,1,2)nyquist(sys)圖10超前-滯后校正后的Bode圖（上）與校正后的的奈奎斯特圖（下）從Bode圖中可以看出,系統(tǒng)具有要求的相角裕度和幅值裕度，從奈魁斯特圖中可以看出，曲線繞-1點(diǎn)逆時(shí)針一圈，因此校正后的系統(tǒng)穩(wěn)定。4.3用MATLABSimulink下對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真圖11仿真方框圖圖12仿真后的系統(tǒng)閉環(huán)階越響應(yīng)曲線從圖12仿真后的階越響應(yīng)曲線可看出，當(dāng)系統(tǒng)加入了滯后校正器后，器靜態(tài)誤差得到了很大程度的減小，而原系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性并沒(méi)有收到太大影響。5用SISO工具進(jìn)行高效設(shè)計(jì)5.1可行性根據(jù)Matlab為用戶提供了一個(gè)單輸入-單輸出反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)平臺(tái)——SISODesignTool,在SISO的可視化環(huán)境中用戶可通過(guò)鼠標(biāo)直接在系統(tǒng)的跟軌跡圖中添加零點(diǎn)或極點(diǎn)，并可同時(shí)觀察系統(tǒng)是否達(dá)到設(shè)計(jì)要求，還可以觀察校正系統(tǒng)的閉環(huán)響應(yīng)，驗(yàn)證設(shè)計(jì)的效果。5.2系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)5.2.1確定設(shè)計(jì)方案在進(jìn)行頻率法校正過(guò)程中，我們已經(jīng)通過(guò)分析和計(jì)算，要是原系統(tǒng)達(dá)到要求，必須利用超前-滯后校正器對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行校正，相當(dāng)于向原系統(tǒng)引入了兩個(gè)零點(diǎn)和兩個(gè)極點(diǎn)，同時(shí)好要改變系統(tǒng)增益。5.2.2軟件實(shí)現(xiàn)首先載入SISODesignTooL工具，再出現(xiàn)的設(shè)計(jì)窗口中，完成校正系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)選擇，并載入對(duì)象傳遞函數(shù)等初始化工作后，就可以進(jìn)行裝載的“試湊”設(shè)計(jì)。步驟如下：圖13校正前的根軌跡圖與bode圖圖14校正后的根軌跡圖與bode圖圖15校正后系統(tǒng)的閉環(huán)階越響應(yīng)曲線有圖14和圖15可以看出，校正后新系統(tǒng)的相位裕量為50.5，增益裕量為22dB，靜態(tài)誤差為0.9%，最大超調(diào)量為9.44%，滿足設(shè)計(jì)要求。讀出校正器的傳遞函數(shù)為：981+6.3S(1+0.12S)1+0.51S(1+0.0025S)6結(jié)論1本次課程設(shè)計(jì)是進(jìn)入大學(xué)以來(lái)的第一次真正的運(yùn)用學(xué)到的知識(shí)去系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)解決一個(gè)問(wèn)題。對(duì)我來(lái)說(shuō)有非常重要的意義。不單是鞏固了課堂知識(shí)，更讓我體會(huì)到了探索研究的感受。并且通過(guò)這次課程設(shè)計(jì)，使我對(duì)論文的格式要求有了初步的了解。對(duì)以后真正從事論文寫(xiě)作有著指導(dǎo)意義。2本次設(shè)計(jì)應(yīng)用了頻率校正法，先后用了超前校正和超前-滯后校正兩種方法，由MATLAB仿真設(shè)計(jì)的效果來(lái)看，應(yīng)用超前-滯后校正，更滿足我們?cè)O(shè)計(jì)的要求，使校正后系統(tǒng)穩(wěn)定，并且系統(tǒng)在受到干擾后，能夠很快的達(dá)到新的平衡狀態(tài)。3掌握了對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行建模的方法，熟悉利用MATLAB對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真，利用學(xué)習(xí)的控制理論對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行控制器的設(shè)計(jì)，并對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)際控制實(shí)驗(yàn)，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行觀察和分析，非常直觀的感受控制器的控制作用。 4通過(guò)一周的自動(dòng)控制的設(shè)計(jì)，我學(xué)會(huì)了很多的東西,有了文獻(xiàn)檢索的能力，特別是如何利用Intel網(wǎng)檢索需要的文獻(xiàn)資料。知道了怎樣能快速的找到自己需要的資料，并充分利用網(wǎng)絡(luò)來(lái)擴(kuò)充自己的知識(shí)。5能夠很好的運(yùn)