高等數學函數的極限與連續(xù)習題及答案

高等數學函數的極限與連續(xù)習題精選及答案

第一章函數與極限復習題

1、函數fxx2x31x1與函數gxx1相同．

錯誤∵當兩個函數的定義域和函數關系相同時，則這兩個函數是相同的。

∴fxx2x31x1與gx函數關系相同，但定義域不同，所以fx與gxx1

是不同的函數。

2、如果fxM（M為一個常數），則fx為無窮大．

錯誤根據無窮大的定義，此題是錯誤的。

3、如果數列有界，則極限存在．

錯誤如：數列xn1是有界數列，但極限不存在n

4、nlimana，limana．n

nn

n錯誤如：數列an1，lim(1)

x1，但lim(1)n不存在。n5、如果limfxA，則fxA（當x時，為無窮?。?/p>

正確根據函數、極限值、無窮小量的關系，此題是正確的。

6、如果～，則o．

1，是

∴l(xiāng)imlim10，即是的高階無窮小量。

27、當x0時，1cosx與x是同階無窮?。?/p>

2xx2sin2sin1cosx11limlim2正確∵limx0x0x04x2x2x2

2正確∵lim

11limxlimsin0．x0xx0x0x

1錯誤∵limsin不存在，∴不可利用兩個函數乘積求極限的法則計算。x0x8、limxsin

19、lim1e．x0x

1錯誤∵lim1exx

x10、點x0是函數y的無窮間斷點．x

xxxxlim1錯誤lim，limlim1x00xx00xx00xx00x

x∴點x0是函數y的第一類間斷點．x

111、函數fx必在閉區(qū)間a,b內取得最大值、最小值．x

1xx

第一章函數與極限復習題

錯誤∵根據連續(xù)函數在閉區(qū)間上的性質，fx

∴函數fx1在x0處不連續(xù)x1在閉區(qū)間a,b2（１）fex的定義域是（(,0)）；

（３）flgx的定義域是（(1,10)）．

答案：（1）∵0e1

（2）∵01sinx1

（3）∵0lgx12x；xxk,x(k)Z）2

x22x0x0的定義域是（2,4）2、函數fx0．

x230x4

3、設fxsinx2，xx21，則fx（sinx21）．2

x＝（x）．nn

xxsinsinxlimxx∵limnsinlimnnxnn1

nn

x11xx5、設fxcos，limfx（0）．1x1，則limfx（2）x10x102x1x1

∵limfxlim(1x)2，limfxlimx104、limnsinx10x10x10x10

1cosx1x06、設fxx2，如果fx在x0處連續(xù)，則a（）．2x0a

1cosx11cosx1x0limf0a∵lim，如果在處連續(xù)，則fx22x0x022xx

7、設x0是初等函數fx定義區(qū)間）．

∵初等函數fx在定義區(qū)間）時為無窮大，當x（）時為無窮?。?x1，limx1

9、若lim

∵xxx1201）．22x1axb0，則a（1），b（

2

第一章函數與極限復習題

2

1

a2x212abx1b2x2x1axblimlim2xxx1axbxx1axbx

欲使上式成立，令

上式化簡為

1a2

0，∴a1，

2

1b

12ab12abx1b212ablimlimlim

xxx1a∴1

a1，12ab0，b2

10、函數fx

的間斷點是（x0,x1）．

11

xx2x2

11、fx2的連續(xù)區(qū)間是（,1,1,3,3,）．

x4x3ax2sinx

2，則a（2）12、若lim．

xx∴aax2sinxsinxlimlima2a0a02limxxxxx

1

2

13、lim

sinx

（0）is，limxn

xxx

1

x

x0

1

（1），x

kx

lim1x

1k

，lim1（e）．（e1）

xx

sin1

x1

k

∵lim

sinx11

limsinx0limxsinlim

xxxxxxx1

x

lim1xlim1(x)

x0

x0

1x1

(1)x

11

e1lim1lim(1)xek

xxxx

x

kx

14、x

limsin(arctanx)（不存在）iclarcont(is)，m

n

x（0）

三、選擇填空：

1、如果limxna，則數列xn是（b）

a.單調遞增數列b．有界數列c．發(fā)散數列

3

第一章函數與極限復習題

2、函數fxlogaxx21是（a）

a．奇函數b．偶函數c．非奇非偶函數∵fxlogax(x)21log1

a

xx21

logaxx21fx

3、當x0時，ex1是x的（c）

a．高階無窮小b．低階無窮小c．等價無窮小

4、如果函數fx在x0點的某個鄰域b．連續(xù)c．有界

5、函數fx1

1x在（c）條件下趨于.

a．x1b．x10c．x10

6、設函數fxsinx

x，則limx0fx（c）

a．１b．－１c．不存在∵sinx

xlimlimsinxsinx00xx00xxlim00x1

limsinxsinx

0xxlim00x1x0

根據極限存在定理知：limx0fx不存在。

7、如果函數fx當xx0時極限存在，則函數fx在x0點（c）

a．有定義b．無定義c．不一定有定義

∵fx當xx0時極限存在與否與函數在該點有無定義沒有關系。

8、數列１，１，12，２，13，３，…，1

n，n，…當n時為（c）

a．無窮大b．無窮小c．發(fā)散但不是無窮大

9、函數fx在x0點有極限是函數fx在x0點連續(xù)的（b）

a．充分條件b．必要條件c．充分必要條件

10、點x0是函數arctan1

x的（b）

a．連續(xù)點b．第一類間斷點c．第二類間斷點∵1

xlim00arctanx

21

xlim00arctanx2

根據左右極限存在的點為第一類間斷點。

11、點x0是函數sin1

x的（c）

a．連續(xù)點b．第一類間斷點c．第二類間斷點

四、計算下列極限：

nn

1、lim1

n3n

n

解limn1

n3nlimn(131(1)n1

3n)3

4c）

第一章函數與極限復習題

2、lim

tan3x

x0sin2x

tanx33x3lilim（∵x0,sin2x～2x,tan3x～3x）解x0

sinx2x02x2

3、limx

x

lim

x

x

lim

xxx

xx

xxxxxx

lim

x

2

xx1

1

2lim

4、lim

n

x

n

2

n1n2n

解

limn2n1n2

n

n

nlim

n

2

n1n2n

2

n

2

n1n2n

2

nn1nn

12

2n1limlim1

n

111n2n1n2nn

2nnn

x3x2

5、lim

x00xsinx

x3x2x

xlimlimlimx00xsinxx00xsinxx

00

xsin

x

x1

2

x0

x1

sinx21

x

x2

6、lim

x0

xsinxx0

x2

1

5

lim

x0

1x2

第一章函數與極限復習題

li

x0

7、limx012x1x1

x0

8、limx1lix1x1lix0x1x1x1lix11x0xxx1limx1

x0xxx1limx1xx1x119、limtanxsinxx3

12xxsinx1cosxtanxsinx11limlimlim333x0x0x0xxcosxxcosx2

12x0,1cosxx(∵,sinx)2

10、limx

cos2xx00

解x00lixco2sx

12x)2lix00x122x212(∵x0,1cosx～

xx111、limxx1

11x1x1e1xlimlim2xxx1eex1解1x

12、limxln1xx1x

6

第一章函數與極限復習題

111limxln1limln1lnlim11解xxxxxx

13、limxxxcosxxxcosx

cosx1xcosxlilixxcosxxx1cos解