弦切角的性質-課件

弦切角的性質1．弦切角的定義___________________________________________的角叫做弦切角，如圖所示，在圖中__________就是一個弦切角．頂點在圓上，一邊和圓相交、另一邊和圓相切∠CAB2．對弦切角的理解弦切角需具備的三個條件①__________在圓上(頂點為切線的切點)；②一邊和圓__________(一邊所在的直線為圓的切線)；③一邊和圓__________(一邊為圓的過切點的弦)．對于上述三個條件缺一不可，一個圓的弦切角不止一個，可有無數(shù)多個，只要滿足上述三個條件就是弦切角．頂點相切相交3．弦切角定理(1)文字語言敘述弦切角等于它__________所對的圓周角．(2)圖形語言敘述如圖，AB與⊙O切于A點，則∠BAC＝_______．所夾的弧∠D4．與弦切角定理有關的結論(1)弦切角的度數(shù)等于它______________________．(2)弦切角的度數(shù)等于它_____________________________________．(3)如果兩個弦切角所夾的__________，那么這兩個________________．所夾的弧的度數(shù)的一半所夾的弧所對的圓心角度數(shù)的一半弧相等弦切角也相等∠CEM＝∠ADM

如圖甲，在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一點，以O為圓心，OB為半徑的圓與AB交于點E，與AC切于點D，直線ED交BC的延長線于F.若AD∶AE＝2∶1，求tan∠F.利用弦切角解決與角有關的問題[思路點撥]

[規(guī)律方法]

(1)利用弦切角解決與角有關的問題的步驟①根據(jù)圖形及弦切角的定義找出與題目有關的弦切角；②利用弦切角定理找出與其相等的角；③綜合運用相關的知識，進行角的求解．(2)注意事項①要注意觀察圖形，不要憑想當然．圖形是最好的指導，要學會讓圖形“說話”，尋找解題的突破口，要特別重視數(shù)形結合思想的應用．②要注意圓周角定理、圓內(nèi)接四邊形的性質定理、相似三角形、射影定理等知識的綜合應用．

如圖甲，AB是⊙O的直徑，AC切⊙O于A，CB交⊙O于D，DE切⊙O于D，BE⊥DE于E，BD＝10，DE、BE是方程x2－2(m＋2)x＋2m2－m＋3＝0的兩個根(DE<BE)．求AC的長．

利用弦切角解決與長度有關的問題[思路點撥]

利用韋達定理和勾股定理，求出DE、BE的長，然后兩次借助弦切角定理，判斷出三角形相似，利用對應的長度比值分別求出AD、AC的長度．[解題過程]

如圖乙所示，連接AD．∵DE、BE是方程x2－2(m＋2)x＋2m2－m＋3＝0的兩個根，∴DE＋BE＝2(m＋2)，DE·BE＝2m2－m＋3.又∵DE2＋BE2＝102，∴[2(m＋2)]2－2(2m2－m＋3)＝100，解得m＝5，[規(guī)律方法]

(1)弦切角是與圓相交的角．其主要功能是協(xié)調與圓相關的各種角，如圓心角、圓周角等，是連接圓與三角形全等、三角形相似及與圓相關的各種直線位置關系的橋梁．(2)弦切角定理經(jīng)常作為工具，進行三角形相似的證明，然后利用三角形相似進一步確定相應邊之間的關系，在圓中證明比例式或等積式，常常需要借助于三角形相似處理．(3)弦切角定理有時還與圓周角定理等知識綜合運用，它們不但在證明方法上相似，在解題功能上也有相似之處，通常都作為輔助工具出現(xiàn)．

2.如圖，△ABD的邊AB為直徑，作⊙O交AD于C，過點C的切線CE和BD互相垂直，垂足為E.證明：AB＝BD．運用弦切角定理證明比例式或乘積式[規(guī)律方法]

證明乘積式成立，往往與相似三角形有關，若存在切線，常要尋找弦切角，確定三角形相似的條件，有時需要添加輔助線創(chuàng)造條件．

3.如圖，AD是△ABC的角平分線，經(jīng)過點A、D的⊙O和BC切于D，且AB、AC與⊙O相交于點E、F，連接DF.(1)求證：EF∥BC；(2)求證：DF2＝AF·BE.證明：(1)∵⊙O切BC于D，∴∠CAD＝∠CDF.∵AD是△ABC的角平分線，∴∠BAD＝∠CAD，又∵∠BAD＝∠EFD，∴∠EFD＝∠CDF，∴EF∥BC．

如下圖所示，CF是⊙O的直徑，CB是⊙O的弦，CB的延長線與過點F的⊙O的切線交于點P.

弦切角的綜合應用[解題過程]

(1)∵PF是切線，∴△PCF是直角三角形，∵∠P＝45°，∴PF＝CF，∴2r＝PF＝10，∴r＝5，∴⊙O的半徑為5.[規(guī)律方法]

利用弦切角定理進行計算、證明，要特別注意弦切角所夾弧所對的圓周角，有時與圓的直徑所對的圓周角結合運用，同時要注意根據(jù)題目的需要可添加輔助線構成所需要的弦切角．

4.如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AE切⊙O于點A，BC∥AE，(1)求證：△ABC是等腰三角形；(2)設AB＝10cm，BC＝8cm，點P是射線AE上的點，若以A、P、C為頂點的三角形與△ABC相似，問這樣的點有幾個？并求AP的長．1．圓心角、圓周角、弦切角三者之間的區(qū)別2.如何從運動變化思想理解弦切角？弦切角可以理解為是移動圓周角的一條邊而產(chǎn)生的，過程為：保持一邊不動，移動