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文檔簡(jiǎn)介

復(fù)變函數(shù)與積分變換：3、4節(jié)證明:

如

3、微分性質(zhì)

如果在上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)且當(dāng)時(shí),.則

證明:

推論如果在上連續(xù)或只有有限個(gè)可去間斷點(diǎn)且則

同樣還可得象函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式一般地

設(shè),則

證

注意,上述證明過程用到了求導(dǎo)數(shù)運(yùn)算和求積分運(yùn)算的交換,應(yīng)當(dāng)指出,這種交換是需要一定條件的.

例1：設(shè)求和

解

4、積分性質(zhì)設(shè),若,則

證

由微分性質(zhì)

例2：求微分方程的解解設(shè),則兩邊同取付氏變換得

另外，付氏變換還有以下的性質(zhì)對(duì)稱性：若，則

相似性：若，則

象函數(shù)的平移性：若，則

翻轉(zhuǎn)性：若，則

這些性質(zhì)均為習(xí)題，留給大家自己證明。由對(duì)稱性得

如

則§4

、卷積與卷積定理(1)定義：設(shè)函數(shù)，積分

稱為與的卷積，記為即顯然且有還滿足對(duì)加法的分配律卷積的簡(jiǎn)單性質(zhì)：解：例1：若求另外,確定的范圍還可用不等式組法即例2:

求下列函數(shù)的卷積：由卷積的定義有解：(2)卷積定理：設(shè)函數(shù)均滿足付氏積分定理的條件，且，則

或

證明:

交換積分次序同理可得

利用付氏變換的性質(zhì)可以方便地求出某些函數(shù)的付氏變換。例3：求、及的付氏變換解：

由位移性

由象函數(shù)的位移性

由象函數(shù)的微分性

又

例4：求

解：由象函數(shù)的位移性得

而故

實(shí)際上,只要記住下面五個(gè)傅里葉變換,則所有的傅里葉變換都無須用公式直接計(jì)算而可由傅里葉變換的性質(zhì)導(dǎo)出.利用傅氏變換的性質(zhì)求

(t

t0),例5：若

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