函數(shù)的平均變化率和瞬時(shí)變化率教學(xué)教案

函數(shù)的平均變化率和瞬時(shí)變化率如何用數(shù)學(xué)來反映山勢的平緩與陡峭程度？HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)選取平直山路AB放大研究:若自變量的改變量函數(shù)值的改變量直線AB的斜率:D1X3HABCDEXkXk+1X0X1X2yOOyxx0x1y0y1A(x0,y0)B(x1,y1)Oyxx2x3y2y3C(x2,y2)D1(x3,y3)直線AB的斜率:直線CD1的斜率:xy0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)y0x0x1OYxA(x0,y0)y1B(x1,y1)y2C(x2,y2)y3D(x3,y3)y4E(x4,y4)

顯然，“線段”所在直線的斜率的絕對值越大，山坡越陡。這就是說，豎直位移與水平位移之比的絕對值越大，山坡越陡；反之，山坡越平緩。

現(xiàn)在擺在我們面前的問題是：山路是彎曲的，怎樣用數(shù)量刻畫彎曲山路的陡峭程度呢？

一個(gè)很自然的想法是將彎曲的山路分成許多小段，每一小段的山坡可視為平直的。可以近似地刻畫。

函數(shù)圖象上也有類似定義，由此我們引出函數(shù)平均變化率的概念。思考：比值表示的意義是什么？它表示每一個(gè)單位上的函數(shù)值的平均增量。平均變化率曲線陡峭程度數(shù)形變量變化的快慢建構(gòu)數(shù)學(xué)函數(shù)的平均變化率已知函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義，令,則當(dāng)時(shí),比值叫做函數(shù)在到之間的平均變化率思考:函數(shù)平均變化率的幾何意義？

OABxyY=f(x)x0X0+△xf(x0)f(X0+△x)△x直線AB的斜率函數(shù)平均變化率:函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比

觀察函數(shù)f(x)的圖象過曲線上的點(diǎn)割線的斜率。思考：（1）△x、△y的符號是怎樣的？（2）該變量應(yīng)如何對應(yīng)？理解：2、對應(yīng)性：若例1.求函數(shù)在到之間的平均變化率解:當(dāng)函數(shù)在到之間變化的時(shí)候函數(shù)的平均變化率為分析:當(dāng)取定值,取不同數(shù)值時(shí),該函數(shù)的平均變化率也不一樣.(2)求函數(shù)

在到之間的平均變化率解:當(dāng)函數(shù)在到之間變化的時(shí)候函數(shù)的平均變化率為圖1圖2課堂練習(xí)：甲乙二人跑步路程與時(shí)間的關(guān)系以及百米賽跑路程和時(shí)間的關(guān)系分別如圖（1）（2）所示，（1）甲乙二人哪一個(gè)跑得快？（2）甲乙二人百米賽跑，快到終點(diǎn)時(shí)，誰跑得比較快？例3：已知函數(shù)，計(jì)算函數(shù)在下列區(qū)間上的平均變化率。解:當(dāng)函數(shù)在到之間變化的時(shí)候函數(shù)的平均變化率為變化區(qū)間自變量改變量平均變化率（1，1.1）0.12.1（1，1.01）0.012.01(1,1.001)0.0012.001(1,1.0001)0.00012.0001………要精確地描述非勻速直線運(yùn)動，就要知道物體在每一時(shí)刻運(yùn)動的快慢程度．如果物體的運(yùn)動規(guī)律是s=s(t)，那么物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v，就是物體在t到t+Dt這段時(shí)間內(nèi)，當(dāng)Dt

0時(shí)平均速度的極限．即瞬時(shí)速度函數(shù)的瞬時(shí)變化率設(shè)函數(shù)在附近有定義，當(dāng)自變量在附近改變時(shí)，函數(shù)值相應(yīng)的發(fā)生改變?nèi)绻?dāng)趨近于０時(shí)，平均變化率趨近于一個(gè)常數(shù)，則數(shù)稱為函數(shù)在點(diǎn)處的瞬時(shí)變化率。導(dǎo)數(shù)的概念也可記作★若這個(gè)極限不存在，則稱在點(diǎn)x0

處不可導(dǎo)。

設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x0的附近有定義，當(dāng)自變量x在x0處取得增量△x(點(diǎn)x0+△x仍在該定義內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)y取得增量△y=f(x0+△x)-f(x0)，若△y與△x之比當(dāng)△x→0的極限存在，則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記為即說明：（1）函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，是指時(shí)，有極限．如果不存在極限，就說函數(shù)在處不可導(dǎo)，或說無導(dǎo)數(shù)．點(diǎn)是自變量x在處的改變量，，而是函數(shù)值的改變量，可以是零．

（2）注意：由導(dǎo)數(shù)的定義可知，求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)的步驟:（1）求函數(shù)的增量:；（2）求平均變化率:；．（3）取極限，得導(dǎo)數(shù):例:高臺跳水運(yùn)動中，秒時(shí)運(yùn)動員相對于水面的高度是（單位：），求運(yùn)動員在時(shí)的瞬時(shí)速度，并解釋此時(shí)的運(yùn)動狀態(tài);在呢?

割線PQ的的變化情況２．在的過程中，請?jiān)诤瘮?shù)圖象中畫出來．你能描述一下嗎？PQM求已知曲線的切線.練習(xí)：小