備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第六章-§6-2-等差數(shù)列

§6.2等差數(shù)列第六章

數(shù)列1.理解等差數(shù)列的概念.2.掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問(wèn)題情境中識(shí)別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題.4.了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.等差數(shù)列的有關(guān)概念(1)等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第

項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于___________，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，公差通常用字母

表示，定義表達(dá)式為

.(2)等差中項(xiàng)由三個(gè)數(shù)a，A，b組成的等差數(shù)列可以看成最簡(jiǎn)單的等差數(shù)列，這時(shí)，A叫做a與b的等差中項(xiàng)，且有A＝______.2同一個(gè)常數(shù)dan－an－1＝d(常數(shù))(n≥2，n∈N*)2.等差數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝

.(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝

或Sn＝

.3.等差數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋

(n，m∈N*).(2)若{an}為等差數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則

.(3)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，則ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差為

的等差數(shù)列.(n－m)dak＋al＝am＋anmda1＋(n－1)d(4)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列.(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)為等差數(shù)列.1.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2.在等差數(shù)列{an}中，若a1＞0，d＜0，則Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，則Sn存在最小值.3.等差數(shù)列{an}的單調(diào)性：當(dāng)d＞0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)d＜0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)d＝0時(shí)，{an}是常數(shù)列.4.數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝An2＋Bn(A，B為常數(shù)).這里公差d＝2A.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列.(

)(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對(duì)任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(

)(3)在等差數(shù)列{an}中，若am＋an＝ap＋aq，則m＋n＝p＋q.(

)(4)若無(wú)窮等差數(shù)列{an}的公差d>0，則其前n項(xiàng)和Sn不存在最大值.(

)×√×√1.在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，則a10等于A.－2 B.－1 C.1 D.2√∴an＝－2n＋21.∴a10＝－2×10＋21＝1.2.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4＝8，S8＝20，則a9＋a10＋a11＋a12等于A.12 B.8 C.20 D.16√等差數(shù)列{an}中，S4

，S8

－S4

，S12

－S8仍為等差數(shù)列，即8,20－8，a9＋a10＋a11＋a12為等差數(shù)列，所以a9＋a10＋a11＋a12＝16.3.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若a1＝10，S4＝28，則Sn的最大值為_(kāi)__.由a1＝10，S4＝4a1＋6d＝28，解得d＝－2，所以Sn＝na1＋

d＝－n2＋11n.當(dāng)n＝5或6時(shí)，Sn最大，最大值為30.30第二部分探究核心題型例1

(1)(2023·開(kāi)封模擬)已知公差為1的等差數(shù)列{an}中，

＝a3a6，若該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn＝0，則n等于A.10 B.11 C.12 D.13題型一等差數(shù)列基本量的運(yùn)算√(2)(2020·全國(guó)Ⅱ)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層.上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊.下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊，已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)A.3699塊

B.3474塊C.3402塊

D.3339塊√設(shè)每一層有n環(huán)，由題意可知從內(nèi)到外每環(huán)之間構(gòu)成d＝9，a1＝9的等差數(shù)列.由等差數(shù)列的性質(zhì)知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差數(shù)列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，則9n2＝729，得n＝9，則三層共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋

×9＝3402(塊).(1)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，n，d，an，Sn，知道其中三個(gè)就能求出另外兩個(gè)(簡(jiǎn)稱“知三求二”).(2)確定等差數(shù)列的關(guān)鍵是求出兩個(gè)最基本的量，即首項(xiàng)a1和公差d.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

(1)《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次為小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為八丈五尺五寸，問(wèn)芒種日影長(zhǎng)為(一丈＝十尺＝一百寸)A.一尺五寸

B.二尺五寸C.三尺五寸

D.四尺五寸√由題意知，從冬至日起，依次為小寒、大寒等十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列{an}，設(shè)公差為d，∵冬至、立春、春分日影長(zhǎng)之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)之和為八丈五尺五寸，∴芒種日影長(zhǎng)為a12＝a1＋11d＝135－11×10＝25(寸)＝2尺5寸.例2

(2021·全國(guó)甲卷)已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，記Sn為{an}的前n項(xiàng)和，從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立.①數(shù)列{an}是等差數(shù)列；②數(shù)列{}是等差數(shù)列；③a2＝3a1.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.題型二等差數(shù)列的判定與證明①③?②.已知{an}是等差數(shù)列，a2＝3a1.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，則a2＝3a1＝a1＋d，得d＝2a1，因?yàn)閿?shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，①②?③.已知{an}是等差數(shù)列，{}是等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，②③?①.已知數(shù)列{}是等差數(shù)列，a2＝3a1，所以S1＝a1，S2＝a1＋a2＝4a1.設(shè)數(shù)列{}的公差為d，d>0，所以Sn＝n2d2，所以an＝Sn－Sn－1＝n2d2－(n－1)2d2＝2d2n－d2(n≥2)，是關(guān)于n的一次函數(shù)，且a1＝d2滿足上式，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列.判斷數(shù)列{an}是等差數(shù)列的常用方法(1)定義法.(2)等差中項(xiàng)法.(3)通項(xiàng)公式法.(4)前n項(xiàng)和公式法.跟蹤訓(xùn)練2

已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)都是正數(shù)，n∈N*.(1)若{an}是等差數(shù)列，公差為d，且bn是an和an＋1的等比中項(xiàng)，設(shè)cn＝

，n∈N*，求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列；因此cn＋1－cn＝2d(an＋2－an＋1)＝2d2(常數(shù))，∴{cn}是等差數(shù)列.(2)若

，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.∵an＋an－1>0，∴an－an－1＝1，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，可得an＝n.①②③④命題點(diǎn)1等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)例3

(1)已知在等差數(shù)列{an}中，若a8＝8且

＝22，則S13等于A.40 B.65 C.80 D.40＋log25題型三等差數(shù)列的性質(zhì)√＋a11＝11a6＝22，所以a6＝2，則S13＝

＝65.a1＋a2＋…(2)已知數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝2，b1＝－3，a7－b7＝17，則a2024－b2024的值為_(kāi)_______.4051令cn＝an－bn，因?yàn)閧an}，{bn}都是等差數(shù)列，所以{cn}也是等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列{cn}的公差為d，由已知，得c1＝a1－b1＝5，c7＝17，則5＋6d＝17，解得d＝2.故a2024－b2024＝c2024＝5＋2023×2＝4051.等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)的關(guān)注點(diǎn)(1)在等差數(shù)列題目中，只要出現(xiàn)項(xiàng)的和問(wèn)題，一般先考慮應(yīng)用項(xiàng)的性質(zhì).(2)項(xiàng)的性質(zhì)常與等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn＝

相結(jié)合.跟蹤訓(xùn)練3

(1)若等差數(shù)列{an}的前15項(xiàng)和S15＝30，則2a5－a6－a10＋a14等于A.2 B.3 C.4

D.5√∵S15＝30，∴(a1＋a15)＝30，∴a1＋a15＝4，∴2a8＝4，∴a8＝2.∴2a5－a6－a10＋a14＝a4＋a6－a6－a10＋a14＝a4－a10＋a14＝a10＋a8－a10＝a8＝2.(2)(2023·保定模擬)已知等差數(shù)列{an}滿足

＝－2，則下列結(jié)論一定成立的是√由

＝－2得a5≠0,2a5＋a8＝a4＋a6＋a8＝3a6＝0，所以a6＝0，a3＋a9＝2a6＝0，因?yàn)閍5≠0，a6＝0，所以a3≠0，

＝－1.命題點(diǎn)2等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)例4

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意的n∈N*，都有

的值為√由題意可知b3＋b13＝b5＋b11＝b1＋b15＝2b8，(2)已知等差數(shù)列{an}共有(2n＋1)項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和為290，偶數(shù)項(xiàng)之和為261，則an＋1的值為A.30 B.29 C.28 D.27√∴(n＋1)an＋1＝290.∴an＋1＝290－261＝29.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的常用的性質(zhì)是：在等差數(shù)列{an}中，數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差數(shù)列，且有S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；S2n－1＝(2n－1)an.跟蹤訓(xùn)練4

(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4＝20，S5＝30，am＝40，則m等于A.6 B.10 C.20 D.40√由S4＝20，S5＝30，得a5＝

S5

－S4＝10，由等差數(shù)列的性質(zhì)，得S5＝30＝5a3，故a3＝6，而a5－a3＝10－6＝4＝2d，故d＝2，am＝40＝a5＋2(m－5)，解得m＝20.(2)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝－2020，

＝6，則S2023等于A.2023 B.－2023C.4046 D.－4046√∴S2023＝2023×2＝4046，故選C.課時(shí)精練第三部分1.首項(xiàng)為－21的等差數(shù)列從第8項(xiàng)起為正數(shù)，則公差d的取值范圍是12345678910111213141516基礎(chǔ)保分練√an＝－21＋(n－1)d，因?yàn)閺牡?項(xiàng)起為正數(shù)，所以a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d>0，解得3<d≤.2.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S50－S47＝12，則S97等于A.198 B.388 C.776 D.202312345678910111213141516√∵S50－S47＝a48＋a49＋a50＝12，∴a49＝4，3.已知等差數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)，其中所有奇數(shù)項(xiàng)之和為319，所有偶數(shù)項(xiàng)之和為290，則該數(shù)列的中間項(xiàng)為A.28 B.29C.30 D.3112345678910111213141516√12345678910111213141516設(shè)等差數(shù)列{an}共有2n＋1項(xiàng)，則S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，該數(shù)列的中間項(xiàng)為an＋1，又S奇－S偶＝a1＋(a3－a2)＋(a5－a4)＋…＋(a2n＋1－a2n)＝a1＋d＋d＋…＋d＝a1＋nd＝an＋1，所以an＋1＝S奇－S偶＝319－290＝29.123456789101112131415164.天干地支紀(jì)年法，源于中國(guó).中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如說(shuō)第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，……，依此類(lèi)推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”“乙亥”，之后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”，……，依此類(lèi)推.1911年中國(guó)爆發(fā)推翻清朝專(zhuān)制帝制、建立共和政體的全國(guó)性革命，這一年是辛亥年，史稱“辛亥革命”.1949年新中國(guó)成立，請(qǐng)推算新中國(guó)成立的年份為A.己丑年

B.己酉年

C.丙寅年

D.甲寅年√12345678910111213141516根據(jù)題意可得，天干是以10為公差的等差數(shù)列，地支是以12為公差的等差數(shù)列，從1911年到1949年經(jīng)過(guò)38年，且1911年為“辛亥”年，以1911年的天干和地支分別為首項(xiàng)，則38＝3×10＋8，則1949年的天干為己，38＝12×3＋2，則1949年的地支為丑，所以1949年為己丑年.123456789101112131415165.設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若3a5＝7a11，且a1>0.則使Sn<0的n的最小值為A.30 B.31 C.32

D.33√12345678910111213141516根據(jù)題意，設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，若3a5＝7a11，且a1>0，則3(a1＋4d)＝7(a1＋10d)，若Sn<0，必有n2－30n>0，又由n∈N*，則n>30，故使Sn<0的n的最小值為31.123456789101112131415166.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若

依次成等差數(shù)列，則下列結(jié)論中一定成立的是A.a，b，c依次成等差數(shù)列C.a2，b2，c2依次成等差數(shù)列D.a3，b3，c3依次成等差數(shù)列√12345678910111213141516整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差數(shù)列，此時(shí)對(duì)等差數(shù)列a2，b2，c2的每一項(xiàng)取相同的運(yùn)算得到數(shù)列a，b，c或

或a3，b3，c3，這些數(shù)列都不一定是等差數(shù)列，除非a＝b＝c，但題目中未說(shuō)明△ABC是等邊三角形，故A，B，D不一定成立，C一定成立.7.(2022·全國(guó)乙卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若2S3＝3S2＋6，則公差d＝____.123456789101112131415162由2S3＝3S2＋6，可得2(a1＋a2＋a3)＝3(a1＋a2)＋6，化簡(jiǎn)得2a3＝a1＋a2＋6，即2(a1＋2d)＝2a1＋d＋6，解得d＝2.8.設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S10＝16，S100－S90＝24，則S100＝______.123456789101112131415162009.已知{an}是公差為d的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a5＝1，________.若存在正整數(shù)n，使得Sn有最小值.(1)求{an}的通項(xiàng)公式從①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2這三個(gè)條件中選擇符合題意的一個(gè)條件，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.1234567891011121314151612345678910111213141516選擇①作為補(bǔ)充條件：因?yàn)閍5＝1，a3＝－1，所以d＝1，所以an＝1＋(n－5)×1＝n－4(n∈N*).選擇②作為補(bǔ)充條件：因?yàn)閍5＝1，d＝2，所以an＝1＋(n－5)×2＝2n－9(n∈N*).(2)求Sn的最小值.從①a3＝－1，②d＝2，③d＝－2這三個(gè)條件中選擇符合題意的一個(gè)條件，補(bǔ)充在上面的問(wèn)題中并作答.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.1234567891011121314151612345678910111213141516因?yàn)閚∈N*，所以當(dāng)n＝3或4時(shí)，Sn取得最小值，且最小值為－6.故存在正整數(shù)n＝3或4，使得Sn有最小值，且最小值為－6.選擇②作為補(bǔ)充條件：由(1)可知a1＝－7，所以Sn＝

＝n2－8n.所以當(dāng)n＝4時(shí)，Sn取得最小值，且最小值為－16.故存在正整數(shù)n＝4，使得Sn有最小值，最小值為－16.不可以選擇③作為補(bǔ)充條件.10.在數(shù)列{an}中，a1＝8，a4＝2，且滿足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；12345678910111213141516∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，∵a1＝8，a4＝2，∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.(2)設(shè)Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.1234567891011121314151612345678910111213141516設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則由(1)可得，由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，∴當(dāng)n>5時(shí)，an<0，則Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；12345678910111213141516當(dāng)n≤5時(shí)，an≥0，則Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，11.已知數(shù)列{an}是公差不為0的等差數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，滿足a1＋5a3＝S8，下列選項(xiàng)正確的有A.a10>0 B.S10最小C.S7＝S12

D.S20＝012345678910111213141516√綜合提升練12345678910111213141516根據(jù)題意，得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，由a1＋5a3＝S8，即a1＋5a1＋10d＝8a1＋28d，變形可得a1＝－9d.又由an＝a1＋(n－1)d＝(n－10)d，得a10＝0，故A不正確；不能確定a1和d的符號(hào)，所以不能確定S10最小，故B不正確；得S7＝S12，故C正確；12345678910111213141516因?yàn)閐≠0，所以S20≠0，故D不正確.12.已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且

等于12345678910111213141516√13.將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為_(kāi)_______.123456789101112131415163n2－2n將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}是以1為首項(xiàng)，以6為公差的等差數(shù)列，故它的前n項(xiàng)和為Sn＝n×1＋

×6＝3n2－2n.14.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S6>S7>S5，則滿足SnSn＋1<