備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第四章-§4-9-解三角形及其應(yīng)用舉例

§4.9解三角形及其

應(yīng)用舉例第四章

三角函數(shù)與解三角形1.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題.2.能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問題.3.通過解決實際問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分測量中的幾個有關(guān)術(shù)語術(shù)語名稱術(shù)語意義圖形表示仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角

方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標(biāo)方向線之間的夾角叫做方位角.方位角θ的范圍是0°≤θ<360°

方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)α

坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(θ為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即i＝

＝tanθ

例：(1)北偏東α：(2)南偏西α：判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)東南方向與南偏東45°方向相同.(

)(2)若△ABC為銳角三角形且A＝

，則角B的取值范圍是

.(

)(3)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關(guān)系為α＋β＝180°.(

)(4)俯角是鉛垂線與目標(biāo)視線所成的角，其范圍為

.(

)√×××1.為了在一條河上建一座橋，工人施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A，B(如圖)，要測量A，B兩點間的距離，測量人員在岸邊定出基線BC，測得BC＝50m，∠ABC＝105°，∠ACB＝45°.就可以計算出A，B兩點間的距離為√由三角形內(nèi)角和定理，可知∠BAC＝180°－∠ACB－∠ABC＝30°，2.如圖所示，為測量某樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點之間的距離為60m，則樹的高度為√在△ABP中，∠APB＝45°－30°，3.在某次海軍演習(xí)中，已知甲驅(qū)逐艦在航母的南偏東15°方向且與航母的距離為12海里，乙護(hù)衛(wèi)艦在甲驅(qū)逐艦的正西方向，若測得乙護(hù)衛(wèi)艦在航母的南偏西45°方向，則甲驅(qū)逐艦與乙護(hù)衛(wèi)艦的距離為________海里.如圖，設(shè)點A代表甲驅(qū)逐艦，點B代表乙護(hù)衛(wèi)艦，點C代表航母，則A＝75°，B＝45°，第二部分探究核心題型例1

(1)(2023·重慶模擬)一個騎行愛好者從A地出發(fā)，向西騎行了2km到達(dá)B地，然后再由B地向北偏西60°騎行2

km到達(dá)C地，再從C地向南偏西30°騎行了5km到達(dá)D地，則A地到D地的直線距離是A.8km

B.3km

C.3km

D.5km題型一解三角形的應(yīng)用舉例√命題點1測量距離問題如圖，在△ABC中，∠ABC＝150°，AB＝2，BC＝2，依題意，∠BCD＝90°，在△ABC中，由余弦定理得在△ACD中，cos∠ACD＝cos(90°＋∠ACB)由余弦定理得(2)(2022·東北師大附中模擬)為加快推進(jìn)“5G＋光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè)，如圖，在某市地面有四個5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距離為10km；基站A，B在江的北岸，測得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，則基站A，B的距離為√在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，所以∠BCD＝45°，∠CAD＝30°，∠ADC＝∠CAD＝30°，所以AC＝CD＝10，在△BDC中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，例2

(1)(2023·青島模擬)如圖甲，首鋼滑雪大跳臺是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競賽場館，大跳臺的設(shè)計中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫中“飛天”的元素.如圖乙，某研究性學(xué)習(xí)小組為了估算賽道造型最高點A距離地面的高度AB(AB與地面垂直)，在賽道一側(cè)找到一座建筑物CD，測得CD的高度為h，并從C點測得A點的仰角為30°；命題點2測量高度問題在賽道與建筑物CD之間的地面上的點E處測得A點，C點的仰角分別為75°和30°(其中B，E，D三點共線).該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得AB約為60米，則CD的高h(yuǎn)約為(參考數(shù)據(jù)：

)A.11米

B.20.8米

C.25.4米

D.31.8米√由題意可得∠AEB＝75°，∠CED＝30°，則∠AEC＝75°，∠ACE＝60°，∠CAE＝45°，(2)大型城雕“商”字坐落在商丘市睢陽區(qū)神火大道與南京路交匯處，“商”字城雕有著厚重悠久的歷史和文化，它時刻撬動著人們認(rèn)識商丘、走進(jìn)商丘的欲望.吳斌同學(xué)在今年國慶期間到商丘去旅游，經(jīng)過“商”字城雕時，他想利用解三角形的知識測量一下該雕塑的高度(即圖中線段AB的長度).他在該雕塑塔的正東C處沿著南偏西60°的方向前進(jìn)7

米后到達(dá)D處(A，C，D三點在同一個水平面內(nèi))，測得圖中線段AB在東北方向，且測得點B的仰角為71.565°，則該雕塑的高度大約是(參考數(shù)據(jù)：tan71.565°≈3)A.19米

B.20米

C.21米

D.22米√在Rt△ABD中，∠BDA＝71.565°，所以AB＝AD×tan71.565°≈7×3＝21(米).命題點3測量角度問題例3

(1)(2023·南通模擬)圖1是南北方向水平放置的圭表(一種度量日影長的天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成)的示意圖，其中表高為h，日影長為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點A處的水平面.已知某測繪興趣小組在冬至日正午時刻(太陽直射點的緯度為南緯23°26′)，在某地利用一表高為2dm的圭表按圖1方式放置后，測得日影長為2.98dm，則該地的緯度約為北緯(參考數(shù)據(jù)：tan34°≈0.67，tan56°≈1.48)A.23°26′

B.32°34′

C.34°

D.56°√如圖所示，由圖3可得tanα＝

≈0.67，又tan34°≈0.67，所以α≈34°，所以由圖4知∠MAN≈90°－34°＝56°，所以β≈56°－23°26′＝32°34′，該地的緯度約為北緯32°34′.(2)(2023·無錫模擬)《后漢書·張衡傳》：“陽嘉元年，復(fù)造候風(fēng)地動儀.以精銅鑄成，員徑八尺，合蓋隆起，形似酒尊，飾以篆文山龜鳥獸之形.中有都柱，傍行八道，施關(guān)發(fā)機(jī).外有八龍，首銜銅丸，下有蟾蜍，張口承之.其牙機(jī)巧制，皆隱在尊中，覆蓋周密無際.如有地動，尊則振龍，機(jī)發(fā)吐丸，而蟾蜍銜之.振聲激揚，伺者因此覺知.雖一龍發(fā)機(jī)，而七首不動，尋其方面，乃知震之所在.驗之以事，合契若神.”如圖為張衡地動儀的結(jié)構(gòu)圖，現(xiàn)要在相距200km的A，B兩地各放置一個地動儀，B在A的東偏北60°方向，若A地地動儀正東方向的銅丸落下，B地東南方向的銅丸落下，則地震的位置在A地正東___________km.解三角形的應(yīng)用問題的要點(1)從實際問題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素.(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得實際問題的解.跟蹤訓(xùn)練1

(1)某貨輪在A處測得燈塔B在北偏東75°方向上，距離為12nmile，測得燈塔C在北偏西30°方向上，距離為8nmile.貨輪由A處向正北航行到D處時，測得燈塔B在南偏東60°方向上，則下列說法正確的是A.A處與D處之間的距離是8nmileB.燈塔C與D處之間的距離是16nmileC.燈塔C在D處的南偏西30°方向上D.D在燈塔B的北偏西30°方向上√由題意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，所以B＝180°－60°－75°＝45°，又AB＝在△ACD中，由余弦定理得故B錯誤；由B項解析知CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以燈塔C在D處的南偏西30°方向上，故C正確；由∠ADB＝60°，得D在燈塔B的北偏西60°方向上，故D錯誤.(2)落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色，滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》而名傳千古，如圖所示，在滕王閣旁的水平地面上共線的三點A，B，C處測得其頂點P的仰角分別為30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，則滕王閣的高度OP＝________米.方法一(兩角互補(bǔ)，余弦值互為相反數(shù))由∠OBC＋∠OBA＝π得cos∠OBC＝－cos∠OBA，化簡得h2＝3375，易知h>0，(3)如圖所示，工程師為了了解深水港碼頭海域海底的構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A，B，C三點進(jìn)行測量.已知AB＝60m，BC＝120m，于A處測得水深A(yù)D＝120m，于B處測得水深BE＝200m，于C處測得水深CF＝150m，則cos∠DEF＝________.例4

(2023·九江模擬)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知

(a2＋c2－b2)＝－2absinC.(1)求角B；題型二解三角形中的最值和范圍問題(2)若D為AC的中點，且BD＝2，求△ABC面積的最大值.∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤16，∵cos∠CDB＝cos(π－∠ADB)＝－cos∠ADB，③②①代入③中，整理得a2＋c2－ac＝16，∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤16，方法三

如圖，過點C作AB的平行線交BD的延長線于點E，∵CE∥AB，D為AC的中點，∴DE＝BD＝2，CE＝AB＝c，∠BCE＝

，BE＝4，在△BCE中，由余弦定理得BE2＝BC2＋EC2－2BC·ECcos∠BCE，即42＝a2＋c2－2accos

，整理得a2＋c2－ac＝16，∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤16，解三角形中最值(范圍)問題的解題策略利用正弦、余弦定理以及面積公式化簡整理，構(gòu)造關(guān)于某一個角或某一條邊的函數(shù)或不等式，利用函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式等求最值(范圍).跟蹤訓(xùn)練2

問題：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且________.(1)求角B；注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.選擇條件①：即bsinC＝

ccosB，由正弦定理可得sinBsinC＝

sinCcosB，在△ABC中，B，C∈(0，π)，所以sinB≠0，sinC≠0，在△ABC中，B∈(0，π)，所以sinB≠0，則cosB≠0，(2)在△ABC中，b＝2，求△ABC周長的最大值.課時精練第三部分1.一艘游船從海島A出發(fā)，沿南偏東20°的方向航行8海里后到達(dá)海島B，然后再從海島B出發(fā)，沿北偏東40°的方向航行16海里后到達(dá)海島C，若游船從海島A出發(fā)沿直線到達(dá)海島C，則航行的路程為12345678910111213141516基礎(chǔ)保分練√12345678910111213141516根據(jù)題意知，在△ABC中，∠ABC＝20°＋40°＝60°，AB＝8海里，BC＝16海里，由余弦定理，得AC2＝AB2

＋BC2－2AB×BC×cos∠ABC＝82＋162－2×8×16×＝192，∴AC＝

海里.2.(2023·瀘州模擬)如圖，航空測量的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)飛行的海拔高度為10000m，速度為50m/s.某一時刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為A.7350m B.2650mC.3650m D.4650m12345678910111213141516√12345678910111213141516如圖，設(shè)飛機(jī)的初始位置為點A，經(jīng)過420s后的位置為點B，山頂為點C，作CD⊥AB于點D，則∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，AB＝50×420＝21000(m)，因為CD⊥AB，12345678910111213141516所以山頂?shù)暮０胃叨却蠹s為10000－7350＝2650(m).3.(2023·福州模擬)我國無人機(jī)技術(shù)處于世界領(lǐng)先水平，并廣泛用于搶險救災(zāi)、視頻拍攝、環(huán)保監(jiān)測等領(lǐng)域.如圖，有一個從地面A處垂直上升的無人機(jī)P，對地面B，C兩受災(zāi)點的視角為∠BPC，且tan∠BPC＝

.已知地面上三處受災(zāi)點B，C，D共線，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1km，則無人機(jī)P到地面受災(zāi)點D處的遙測距離PD的長度是A.

km B.2kmC.

km D.4km12345678910111213141516√12345678910111213141516方法一由題意得BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.設(shè)PD＝x，記∠PBD＝α，∠PCD＝β，又在Rt△PDA中有x>1，∴x＝2.方法二由題意知BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.設(shè)PA＝x，則PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.1234567891011121314151612345678910111213141516√所以由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC得12＝a2＋b2＋ab，所以12－ab＝a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時等號成立，所以ab≤4，123456789101112131415165.(2023·德陽模擬)已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.且b＝2asinB,

則cosB＋sinC的取值范圍為√12345678910111213141516依題意b＝2asinB，由正弦定理得sinB＝2sinAsinB，因為B∈(0，π)，所以sinB≠0，所以sinA＝

，123456789101112131415166.(2023·成都模擬)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，

(acosC＋ccosA)＝2bsinB，且∠CAB＝

，若點D是△ABC外一點，DC＝1，AD＝3，則下列結(jié)論錯誤的是√1234567891011121314151612345678910111213141516∵(acosC＋ccosA)＝2bsinB，在等邊△ABC中，設(shè)AC＝x，x>0，在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcosD，由于AD＝3，DC＝1，代入上式可得x2＝10－6cosD，123456789101112131415167.(2023·西寧模擬)2022年4月16日，搭載著3名航天員的神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸于東風(fēng)著陸場，標(biāo)志著神舟十三號返回任務(wù)取得圓滿成功.假設(shè)返回艙D垂直下落于點C，某時刻地面上點A，B觀測點觀測到點D的仰角分別為45°，75°，若A，B間距離為10千米(其中向量

同向)，試估算該時刻返回艙距離地面的距離CD約為______千米(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：

≈1.732).123456789101112131415161412345678910111213141516在△ABD中，A＝45°，∠ABD＝180°－75°＝105°，∠ADB＝30°，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516此時cosA取得最小值，根據(jù)余弦函數(shù)y＝cosx在(0，π)上單調(diào)遞減可知，此時A取得最大值為

，所以A的最大值是

.12345678910111213141516(1)求角C的大??；注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.12345678910111213141516選擇條件②：由(a＋2b)cosC＋ccosA＝0及正弦定理，得(sinA＋2sinB)cosC＋sinCcosA＝0，即sinAcosC＋cosAsinC＝－2sinBcosC.即sin(A＋C)＝－2sinBcosC.在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sinB，123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516(2)若c＝4，求AB的中線CD長度的最小值.12345678910111213141516整理得2CD2＝a2＋b2－8，10.(2023·西安模擬)已知在銳角△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，若sinAsinBsinC＝

(sin2A＋sin2B－sin2C).(1)求sinC；1234567891011121314151612345678910111213141516(2)若c＝

，求△ABC周長的取值范圍.12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151611.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，角A，B，C成等差數(shù)列，則

的取值范圍是A.(1,2] B.(1,3]C.[3,2] D.[2,2)12345678910111213141516√綜合提升練12345678910111213141516∵角A，B，C成等差數(shù)列，∴A＋C＝2B，∵A＋B＋C＝π，∴B＝

，∴A＋C＝

.根據(jù)正弦定理得，12345678910111213141516√123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516因為b＝2，將a2看成整體并利用二次函數(shù)性質(zhì)得，當(dāng)

a2＝4即

a＝2時，△ABC

的面積S

有最大值，最大值為

.13.(2022·煙臺模擬)我國地處北半球，房屋的窗戶大部分朝南.冬至正午太陽高度最小，在寒冷的冬天，需要溫暖的陽光射入；在夏天，夏至正午太陽高度最大，則要避免炙熱的陽光射入.這兩點正是安裝遮陽篷需要考慮的.如圖，AB是窗戶的高度，BC是遮陽篷的安裝高度，CD是遮陽篷的安裝長度，設(shè)冬至正午時太陽光線與地面的夾角為α，夏至正午時太陽光線與地面的夾角為β，窗戶高度AB＝h.為保證冬至正午太陽光剛好全部射入室內(nèi)，夏至正午太陽光剛好不射入室內(nèi)，則遮陽篷的安裝高度BC＝____________.123456789101112131415161234567891011121314151614.(2023·遵義模擬)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若bsin＝asinB，a＝

，則△ABC周長的最大值為________.1234567891011121314151612345678910111213141516又sinB≠0，123456789101112131415161234567891011121314151615.在平面內(nèi)，四邊形ABC