2023年新高考數(shù)學創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學文化、新定義）專題02 函數(shù)與導數(shù)（新定義）（解析版）

2023年新高考數(shù)學創(chuàng)新題型微專題（數(shù)學文

化、新定義）專題02函數(shù)與導數(shù)（新定義）

一、單選題

1.（2023?河南?洛陽市第三中學校聯(lián)考一模）高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學的奠基者之一，享有“數(shù)

學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為：設xeR,用國表示不超過x的最大整數(shù)，則>=[引稱為“高

斯函數(shù)”，例如：[-2.5卜—3,[2.7]=2.已知函數(shù)〃力==1,則函數(shù)[/（切的值域是（）

e+1

A.1-1,1}B.{-1,0}C.（―1,1）D.（—1,0）

2.（2019秋?安徽蕪湖?高?蕪湖?中?？茧A段練習）在實數(shù)集R中定義一種運算“*”，具有下列性質(zhì)：

①對任意R,a*b=b*a；

②對任意awR,a*O=a；

③對任意Z?eR,（a*b）*e=c*（ab）+（a*e）+（b*c）-2c.

則函數(shù)=x*^（xe[-2,2]）的值域是（）

91「9、

A.（-oo,5）B.--,5C.D.[-5,5]

.oJLO）

aXb<ckd

3.（2023?上海?統(tǒng)考模擬預測）設AVy=x+y+|x-y|,xAy=x+y-|x-y|,若正實數(shù)。也滿足：rVcvbVd,

bbc<ci^d

則下列選項一定正確的是（）

A.d>bB.b>C

C.b^c>aD.d\7c>a

4.（2022秋?江蘇常州?高一華羅庚中學?？茧A段練習）對于函數(shù)），=/（K）,若存在不，使/（%）=-/（-%），

則稱點伍））與點））是函數(shù)/⑺的一對“隱對稱點”.若函數(shù)的圖象存在

“隱對稱點”，則實數(shù)機的取值范圍是（）

A.[2-20,0）B.（—,2-2伺

C.(-00,-2-272］D.(0,2+2上］

5.(2023?高二單元測試)能夠把橢圓￡+V=］的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數(shù)稱為橢圓的“可

4

分函數(shù)”，下列函數(shù)中不是橢圓的“可分函數(shù)”的為()

A.f(x)=4d+xB./(x)=ln|--

C.f(x}=s\nxD./(x)=er+e"''r

6.(2023秋?江蘇無錫?高一統(tǒng)考期末)設xwR,計算機程序中用INT(x)表示不超過x的最大整數(shù)，則

y=INT(x)稱為取整函數(shù).例如；INT(-2.1)=-3,INT(1.2)=1.已知函數(shù)/(力二^乂的氏葉+1(^3+4,

其中及vx<16,則函數(shù)y=INT(〃x))的值域為()

A.{-1,0,1}B.{-1,U,1,2)

C.-d)D.{0,1,2}

7.(2023?山東荷澤?統(tǒng)考一模)定義在實數(shù)集R上的函數(shù)y=/(x),如果玉yR,使得/&)=%,則稱/為

函數(shù)的不動點.給定函數(shù)/(x)=cosx,g(x)=s\nx,已知函數(shù)/(戈)，/(g(x)),且(/(刈)在(。/)上均

存在唯一不動點，分別記為區(qū),占，品，則()

A.x,>>x2B.x2>x,>C.電>%>￡D.x3>x2>xl

8.(2022秋河北邢臺.高一統(tǒng)考期末)在定義域內(nèi)存在產(chǎn)xj,使得/6)=-/(王)成立的幕函數(shù)稱

為“親哥函數(shù)”，則下列函數(shù)是“親累函數(shù)''的是()

A.f(x)=4xB./(x)=2v

2

C./(x)=x4D.f(x)=x-

a,a-b<\

9.(2022秋?廣東深圳?高一深圳外國語學校?？计谀?對實數(shù)。與從定義新運算③:。無人=%八設

b,a-b>\

函數(shù)〃%)=12-2)因卜一瑪，若函數(shù)y="x)-c的圖象與X軸恰有兩個公共點,則實數(shù)c的取值范圍是()

A.B.(-2,-1］

C［口'加(*°°)D.小.卜8

l,x>0,

10.(2022秋?山東日照?高一統(tǒng)考期末)已知符號函數(shù)sgn(x)=,0,x=0,則，腔113)=5811?”是“必>0”的

()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

11.(2023秋?山東濰坊?高一統(tǒng)考期末)已知函數(shù)f(x)的定義域為。，若"eRWe。，滿足把半)=°,

則稱函數(shù)/⑺具有性質(zhì)尸⑷.已知定義在(0*)上的函數(shù)/(力=-/+，加-3具有性質(zhì)嗎)，則實數(shù)〃，的

取值范圍是()

A.(-<?,2]B.(-oo,4]C.[2,+co)D.[4,+oo)

12.(2023秋?青海西寧?高一統(tǒng)考期末)定義：對于/(%)定義域內(nèi)的任意一個自變量的值毛，都存在唯一一

個3使得“(1)/(七)=1成立，則稱函數(shù)”X)為“正積函數(shù)”.下列函數(shù)是“正積函數(shù)”的是()

A./(x)=lnxB./(x)=evC./(x)=esinrD.f(x]=cosx

13.(2023?全國?高三專題練習)定義：在區(qū)間/上，若函數(shù)y=〃x)是減函數(shù)，且y=4(x)是增函數(shù)，則

稱y=/(x)在區(qū)間/上是“弱減函數(shù)”.若/")=￥在(孫物)上是“弱減函數(shù)”，則，〃的取值范圍是()

A.(0,e]B.(0,e)C.[e,+oo)D.(e,+8)

14.(2022秋?山東青島?高三統(tǒng)考期末)已知定義域為[0』的“類康托爾函數(shù)”/(可滿足：①小，

/(%)工/(X2)；②/(工)=2/停)；③f(X)+f(lT)=l.則()

A.—B.—C?-----D?-----

3264128256

15.(2016?遼寧沈陽?東北育才學校校考一模)定義兩種運算：a①b=萬,a^b=^a-b)2,則函數(shù)

2GT

‘(”"(x<8>2)_2的解析式為()

A.f(x)=-"",xe[-2,0)U(0,2]

B."24,xe(-co，—2)U(25+°°)

C.=4，-^€(-00,-2)J(2,+oo)

D./(x)=———，xe[-2,0)J(0,2]

X

C12

16.(2023?全國?高三對口高考)定義;d=ad-bct若函數(shù)f(x)=：]+在(-8,〃?)上單調(diào)遞減，則

實數(shù)加的取值范圍是()

A.(-2,+oo)B.[-2,+oo)C.(Y,-2)D.

17.(2022秋?廣西河池?高?校聯(lián)考階段練習)定義在(0,內(nèi))上的函數(shù)/(%),若對于任意的為工占，恒有

2

V(^.)-V(^)<0>則稱函數(shù)/(⑼為，，純函數(shù)，，，給出下列四個函數(shù)(1)/(x)=l+x；(2)f(x)=x-

內(nèi)一王

(3)f(x)=y；(4)/(x)=2xx,則下列函數(shù)中純函數(shù)個數(shù)是()

A.0B.1C.2D.3

18.(2021秋?上海黃浦?高三上海市大同中學?？计谥?對于函數(shù)/(幻，若集合*)=-/(%)}中恰

有欠個元素，則稱函數(shù)"X)是"左階準奇函數(shù)”.若函數(shù)/。)=|恒則/⑶是“()階準奇函數(shù)”.

sinx,x<0

A.1B.2C.3D.4

19.(2022秋?上海徐匯?高一位育中學?？茧A段練習)定義⑴為不小于大的最小整數(shù)(例如：{5.5}=6,

{-4)=-4),則不等式{刈2-5{x}+6M0的解集為()

A.[2,3]B.[2,4)C.d,3]D.(1,4]

20.(2022秋?浙江杭州?高一杭州四中校考期中)設〃(幻是R上的任意實值函數(shù).如下定義兩個函

數(shù)(/g)。)和(/⑷⑴，對任意xeR,(/g)(x)=f(g(x))，(/^)U)=/(x)g(x),則下列等式不恒成立的

是()

A.((/g)//)(x)=((/-//)U-/?))WB.((/g)/?)W=((/h)(gh)](x)

C.((/g)力)。)=((/h)(gh))(x)D.((/g>[?)0)=((//)?(g?)(x)

21.(2021秋?上海徐匯?高一上海中學?？计谀?已知f(x),g(x)是定義在G+oo)上的嚴格增函數(shù)，

fa)=ga)=M,若對任意%>“，存在使得/a)=g*2)=女成立，則稱g(?是在匕內(nèi))上的

“追逐函數(shù)已知f(X)=V,則下列四個函數(shù)中是/⑶在[1,?O)上的“追逐函數(shù)”的個數(shù)為()個.

①g(x)=2x-l；②g*)=:%2+:；③g(x)=但].④g*)=2」.

22{2Jx

A.1B.2C.3D.4

22.（2022秋?黑龍江哈爾濱?高一校考期中）如果函數(shù)“v）的定義域為口向，且值域為"3）,/（剛，則稱〃工）

[5匹0<x<2

為“C函數(shù).已知函數(shù)/）=爐一以+肛2C44是“0函數(shù)'則'〃的取值范圍是（）

A.[4,10]B.[4,14]C.[10,14]D.[14,-K?)

23.（2022秋?河南周口?高一?？计谥校τ诤瘮?shù)f（x）,若對任意的％,々，5eR，〃③），八％），〃七）

2

為某一三角形的三邊長，則稱/a）為“可構(gòu)成三角形的函數(shù)“，已知/a）=F是可構(gòu)成三角形的函數(shù)，則

X+1

實數(shù)，的取值范圍是（）

A.[0,1]B.g,2]C.[1,2]D.（0,+oo）

24.（2021秋.浙江嘉興?高一校聯(lián)考期中）定義max{哂=%a<b，如max{3,2}=3.則函數(shù)

f（x）=max{|2x-l|,x}的最小值為（）

A.1B.1C.2D.4

25.（2023?高一課時練習）函數(shù)〃工）滿足在定義域內(nèi)存在非零實數(shù)x,使得/（-x）=f（x）,則稱函數(shù)/⑶為

“有偶函數(shù)若函數(shù)/"）=21八是在R上的“有偶函數(shù)”，則實數(shù)。的取值范圍是（）

ax一一x,xv0

2

A.B.0<fl<—C.0<a<—D.a<—

16161616

26.（2020秋?北京順義?高一牛欄山一中?？计谥校┐嬖趦蓚€常數(shù)〃，和M,設函數(shù)的定義域為

iyxehm<f[x）<M,則稱函數(shù)/（x）在，上有界.下列函數(shù)中在其定義域上有界的個數(shù)為（）

①心黑

②小尸哥

|2r-l|^<0

③/("=<

A.0B.1C.2D.3

27.（2022秋?江蘇連云港?高一?？茧A段練習）對于函數(shù)），于?（1）,如果存在區(qū)間[%〃],同時滿足下列條件：

①“力在卜〃,司內(nèi)是單調(diào)的；②當定義域是[S〃]時，”力的值域也是卜則稱卜〃,〃]是該函數(shù)的“和諧

區(qū)間”?若函數(shù)f（x）=l，3>0）存在“和諧區(qū)間”，則a的取值范圍是（）

X

A.（0,2）B.（0,4）C.（毆）D.（0,1）

28.（2022秋?安徽滁州?高三校考階段練習）對于定義域為R的函數(shù)/。），若存在非零實數(shù)與，使函數(shù)/（x）

在（FXo）和（％,”）上與x軸均有交點，則稱/為函數(shù)的一個“界點”.貝J下列四個函數(shù)中，不存在“界

點”的是（）

A.f（x）=xi+bx-2（hGR）B.f（x）=]x2-3\

C.f[x）=\-\x-2\D.f（x）=x3+x

29.（2022秋?江西景德鎮(zhèn)?高一江西省樂平中學?？茧A段練習）若函數(shù)/（x）對任意a>0且awl,都有

f{ax）=af（x）t則稱函數(shù)/（X）為“穿透”函數(shù)，則下列函數(shù)中，不是“穿透”函數(shù)的是（）

A.f(x)=-xB./(x)=x+l

C./(x)=|x|D.f(x)=2x-\x\

30.（2023秋?陜西咸陽?高二武功縣普集高級中學統(tǒng)考期末）已知函數(shù)/（x）及其導函數(shù)r（力，若存在而使

得/（q）=/'（不），則稱/是f（x）的一個,'巧值點”，下列選項中沒有“巧值點”的函數(shù)是（）

A.尸工B.y=e

1

C.y=cosxD.尸耳

31.（2023?全國?高三專題練習）最近公布的2021年網(wǎng)絡新詞,我們非常熟悉的有“力小”、“內(nèi)卷”、“躺平”

等.定義方程〃x）=r（x）的實數(shù)根K叫做函數(shù)“X）的“躺平點若函數(shù)g"）=lnx,可力=丁-1的“躺平

點”分別為夕，則。，用的大小關(guān)系為（）

A.a>J3B.a>pC.a<pD.a<p

32.（2022?高二課時練習）設函數(shù)y=在（。,加上的導函數(shù)為/'*）,/'（用在（。力）上的導函數(shù)為廣（力,

若在（a⑶上/”（x）〈0恒成立，則稱函數(shù)?。┰冢?。㈤上為“凸函數(shù)已知/。）=+4-：^+京2在（1,4）上為

“凸函數(shù)”，則實數(shù)/的取值范圍是（）

51D.?？?/p>

A.[3,-H?)B.(3,+oo)C.一,+00

8

33.（2022秋?廣東深圳?高三校考階段練工）定義方程/（x）=/（x）的實根/叫做函數(shù)/（x）的“新駐點”，若函

數(shù)g（6=e2，+l,Mx）=lnx,=的“新駐點”分別為a,b,c,則a,b,。的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>b>aC.c>a>bD.b>c>a

34.(2022春?山東?高三山東師范大學附中?？计谥?定義滿足方程/'(X)十/(叼=1的解與叫做函數(shù)的

“自足點”，則下列函數(shù)不存在“自足點''的是()

A./(%)=^-3xB.f(x)=x+—

C./(x)=lnxD./(x)=er-sinx+3

二、多選題

35.(2023秋?陜西渭南?高一統(tǒng)考期末)對于定義域為。的函數(shù)y=/(x),若存在區(qū)間,,〃］u。，使得了(力

同時滿足，①/(力在句上是單調(diào)函數(shù)，②當"X)的定義域為同時，“X)的值域也為［。,目，則稱區(qū)

間［°力］為該函數(shù)的一個“和諧區(qū)間”，貝I］()

A.函數(shù)/(x)=V+；x有3個“和諧區(qū)間、

B,函數(shù)/(x)=sinx,XG-y,y存在“和諧區(qū)間”

C.若定義在(3,12)上的函數(shù)/(耳=空寺》有“和諧區(qū)間”，實數(shù)，的取值范圍為4V/V6

D.若函數(shù)〃力二"-475有“和諧區(qū)間”，則實數(shù)，〃的取值范圍為-(<加4-2

36.(2023秋?云南昆明?高一昆明一中統(tǒng)考期末)已知歐拉函數(shù)的函數(shù)值等于所有不超過正整

數(shù)x,且與x互素的正整數(shù)的個數(shù)，例如：*0)=1,奴4)=2,則()

A.°(x)是單調(diào)遞增函數(shù)B.當xV8時，。(切的最大值為。(7)

C.當“為素數(shù)時，(p(x)=x-\D.當X為偶數(shù)時，^(x)=j

37.(2022秋?河北邢臺?高一統(tǒng)考期末)對于函數(shù)f(x),若在區(qū)間O上存在毛，使得/(小)=小，則稱/(力

是區(qū)間。上的“穩(wěn)定函數(shù)”.下列函數(shù)中，是區(qū)間。上的“穩(wěn)定函數(shù)''的有()

A./(x)=-taav,D=j

B./(x)=log7(x-l)+2,D=(l,+<x>)

C./(X)=X2-1X,D=(0,^1

D./(x)=lncosx+1,￡)=［-］,5J

38.(2023秋?湖北襄陽?高一統(tǒng)考期末)已知定義在R上的函數(shù)的圖象連續(xù)不斷，若存在常數(shù)〃％wR),

使得/(x+2)+W(x)=0對于任意的實數(shù)x恒成立，則稱/(力是回旋函數(shù)給出下列四個命題，正確的命題是

()

A.函數(shù)/(x)=a(其中。為常數(shù)，”0)為回旋函數(shù)的充要條件是2=-1

B.函數(shù)/(x)=2x+l是回旋函數(shù)

C.若函數(shù)/(可=蘇(0<。<1)為回旋函數(shù)，貝4<0

D,函數(shù)/(力是2=2的回旋函數(shù)，則/⑺在［0,2022］上至少有1011個零點

39.(2023秋?河南周口?高一統(tǒng)考期末)若用數(shù)/(用同時滿足迎對于定義域上的任意斯恒有/(工)+/(-%)=0；

②若對于定義域上的任意4，X’,當西云與時，恒有‘')-">)<(),則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”.下列

四個函數(shù)中，能被稱為“理想函數(shù)''的有()

A.f(x)=-B./(x)=-x3C./(X)=|A|D./(")=12'"

x［x,x<0

40.(2023秋?遼寧沈陽?高一沈陽市第十中學?？计谀?德國數(shù)學家高斯在證明“二次互反律”的過程中，首

次定義了取整函數(shù)［同，表示“不超過1的最大整數(shù)“，后來我們又把函數(shù)卜］稱為“高斯函數(shù)”，關(guān)于［司下列

說法正確的是()

A.對任意X,yeR,都有［x+)，］2［x］+［y］

■2-1

B.函數(shù)y=X+-的值域為{ywZlyg-2或yN2}

C.函數(shù)y=x-3在區(qū)間億k+l)(AeZ)上單調(diào)遞增

2021

D.￡［比芍=4953(9eZ)

hl

41.(2023?山東臨沂?高一校考期末)華人數(shù)學家李天巖和美國數(shù)學家約克給出了“混沌”的數(shù)學定義，由此發(fā)

展的混沌理論在生物學、經(jīng)濟學和社會學領域都有重要作用.在混沌理論中，函數(shù)的周期點是一個關(guān)鍵概念,

定義如下：設/(x)是定義在R上的函數(shù)，對于xeR,令x.=/(*J(〃=l,2,3,…)，若存在正整數(shù)Z使得

3x,x＜一

4二與，且當0＜/＜攵時，”產(chǎn)則稱&值是“X）的一個周期為％的周期點.若/5）=〈3-

l2vf3

下列各值是周期為2的周期點的有（）

121

A.0B.-C.-D.-

335

42.（2022秋?河南，累河?高一溪河四高?？计谀┰O函數(shù)/（力的定義域為。，若對于任意xwO,存在小。

使犯/）=C（。為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)/（力在。上的"半差值''為C下列四個函數(shù)中，滿足所在定

義域上“半差值”為1的函數(shù)是（）

3A

A.y=x+l（xeR）B.y=2（xGR）

C.y=lnx（x＞0）D.y=x2

43.（2023秋?上海崇明?高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)y=/（x）的定義域為O,對于。中任意給定的實數(shù)x,都

有/（力＞0,-xe。，且〃r）?/（x）=l.則下列3個命題中是真命題的有（填寫所有的真

命題序號）.

①若OwO,則f（o）=i；

②若當％=3時，/（力取得最大值5,則當彳=一3時，/（刈取得最小值g；

③若“力在區(qū)間（0,”）上是嚴格增函數(shù)，則/（力在區(qū)間（田,。）上是嚴格減函數(shù).

44.（2022秋?上海寶山?高二上海市吳淞中學?？奸_學考試）函數(shù)/（x）的定義域為。，滿足：①A?在。內(nèi)

是單調(diào)函數(shù)；②存在層,芻=。，使得/⑶在冷，芻上的值域為女回，那么就稱函數(shù)y=/（x）為“優(yōu)美函數(shù)”，

若函數(shù)Ax）=log,C-/）（。＞0,c。1）是“優(yōu)美函數(shù)”，貝V的取值范圍是.

45.（2023秋?山東德州?高一統(tǒng)考期末）在數(shù)學中連乘符號是“口”，這個符號就是連續(xù)求積的意思，把滿

足“fl”這個符號下面條件的所有項都乘起來，例如：口，=lx2x3x...x〃.函數(shù)/（〃）=k）g,“（〃+2）（〃eN）

1-1

定義使fl/⑺為整數(shù)的數(shù)M&GN+）叫做企盼數(shù)，則在區(qū)間［1,2023］內(nèi)，這樣的企盼數(shù)共有個.

1-1

46.（2021春?福建三明?高二三明一中校考階段練習）對于函數(shù)），=爐。＞0）可以采用下列方法求導數(shù)：由

產(chǎn)爐可得l”=xlnx,兩邊求導可得y'x；=lnx+l,故了=y（lnx+1）=廣仆-1）.根據(jù)這一方法，可得

函數(shù)/(X)=X,nx+,(X>0)的極小值為.

47.(2021春?重慶渝北?高二重慶市兩江中學校?？茧A段練習)設“X)與g(*是定義在同一區(qū)間［凡句上的

兩個函數(shù)，若函數(shù)〃(x)=/(x)-8(力在團目上有兩個不同的零點，則稱/(“與g(x)在［。，句上是“關(guān)聯(lián)函

數(shù)若=與g(x)=；/+2x在［0,3］上是“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則實數(shù)機的取值范圍是.

48.(2018春?河南南陽?高二統(tǒng)考期中)定義：如果函數(shù)y=〃，r)在區(qū)間［〃,句上存在巧,r2(n<r.<r2<b),

滿足=)(")一7("),八與)=迤二犯，則稱函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［〃回上是一個雙中值函數(shù)，

b-a。一。

已知函數(shù)=是區(qū)間［0,同上的雙中值函數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是.

四、解答題

49.(2023?全國?高三專題練習)在數(shù)學中，布勞威爾不動點定理是拓撲學里一個非常重要的不動點定理，

它可運用到有限維空間并構(gòu)成了一般不動點定理的基石.布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數(shù)學家魯伊茲?布

勞威爾(LEJ.Brouwer).簡單地講就是：對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)/(力，存在實數(shù)/，使得/(不)=不，

我們就稱該函數(shù)“不動點”函數(shù)，實數(shù)升為該函數(shù)的不動點.

⑴求函數(shù)f(x)=2x+1-2的不動點；

⑵若函數(shù)/(切=加+加+1(。>0)有兩個不動點中占，且岡<2,卜-引=2,求實數(shù)b的取值范圍.

50.(2023秋?北京?高一校考期末)已知函數(shù)/(力二。3(工+々)3>0),若點M(x,y)在函數(shù)y=g(x)圖像上

運動時，對應的點在函數(shù)圖像上運動，則稱函數(shù)產(chǎn)g(x)是函數(shù)y=/(6的相關(guān)函數(shù).

(1)求函數(shù)y=g(x)的解析式；

(2)對任意的xe［0,l］,f(x)的圖像總在其相關(guān)函數(shù)圖像的上方，求實數(shù)。的取值范圍.

51.(2023秋?上海徐匯?高一位育中學校考期末)若函數(shù)/(?的定義域為R,且對都有

/(用一天)</(芭>/伍)，則稱/(可為“J形函數(shù)”

⑴當f(x)=%+l時，判斷了(X)是否為“J形函數(shù)”，并說明理由；

⑵當f(x)=f+2時，證明：，(力是“J形函數(shù)”;

⑶如果函數(shù)/(x)=為“，形函數(shù)”,求實數(shù)。的取值范圍.

52.(2022秋?陜西安康?高三統(tǒng)考期末)已知函數(shù)/(x)=(61nx-3)f+12or(a￡R).

(1)若“可在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，求。的取值范圍；

⑵定義：若〃力在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且/&)+g(x)在其定義域內(nèi)也單調(diào)遞增，則稱g(x)為f(x)的“協(xié)

同增函數(shù)

已知函數(shù)g(x)=4/-18ad+12(2-a)x,若g(x)是/(力的“協(xié)同增函數(shù)”，求。的取值范圍.

53.(2022?高二課時練習)記/⑴、g'R)分別為函數(shù)『(力、g(x)的導函數(shù).若存在滿足

/■)=g(%)且?'?)=/(/),則稱/為函數(shù)〃力與g(%)的一個“s點”.

⑴證明:函數(shù)/(力=%與g(?=f+2X-2不存在“S點”；

(2)若函數(shù)〃力=加-1與g(x)=lnx存在“S點”，求實數(shù)。的值.

54.(2023秋?廣東江門?高一統(tǒng)考期末)定于函數(shù)/(x),若其定義域內(nèi)存在實數(shù)“滿足/(-x)=-/(x),則

稱/(上)為“偽奇函數(shù)”.

⑴已知函數(shù)/(x)=W，試問是否為“偽奇函數(shù)”？請說明理由；

⑵是否存在實數(shù)“滿足函數(shù)/(力=9=/3'+這-3是定義在R上的“偽奇函數(shù)”？若存在，請求實數(shù)。的取

值范圍；若不存在，請說明理由.

專題02函數(shù)與導數(shù)(新定義)

一、單選題

1.(2023?河南?洛陽市第三中學校聯(lián)考一模)高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學的奠基者之一，享有“數(shù)

學王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)''為：設xeR,用團表示不超過x的最大整數(shù)，則尸國稱為“高

斯函數(shù)”，例如：［-2.5］=—3,［2刁=2.已知函數(shù)/(1)=鼻二1,則函數(shù)［/(切的值域是()

A.{-1,1}B.{-1,0}C.(-1,1)D.(-1,0)

【答案】B

【分析】方法一：利用分離常數(shù)及指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合不等式的性質(zhì)及高斯函數(shù)的定義即可求解；

方法二：利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及分式不等式的解法，結(jié)合高斯函數(shù)的定義即可求解；

【詳解】方法一：函數(shù)〃x)=《三制-乙，

e+11+e

因為e*>0,所以1+e*>1,

12

所以Ov;—rvl.所以-2<-；~-<0.

1+e1+e

2

所以即一

當T</(x)vO時，［/(x)］=-l；

當04f(x)<l時，［/(x)］=0.

故［/㈤］的值域為{-1,0}.

故選：B.

方法二：由〃%)=:二1,得。'=例］.

―ex+l

f(x)+l,、

因為e*>0,所以■;~解得Tv/(x)<L

1一小)

當T〈"x)vO時，[/(x)]=-l；

當時，[/(x)]=0.

所以[/⑺]的值域為{T,0}.

故選：B.

2.（2019秋?安徽蕪湖?高一蕪湖一中?？茧A段練習）在實數(shù)集R中定義一種運算“*”，具有下列性質(zhì):

①對任意小/?eR,a*b=b*a；

②對任意awR,a*O=a；

③對任意小bwR,（a*Z?）*c=c*（a〃）+（a*c）+e*c、）-2c.

則函數(shù)/（x）=x弓卜4-2,2]）的值域是（）

【分析】注意新定義的運券方式即可.

【詳解】在③中，令C=O,則4*〃=而+4+/?,所以/（力=工*"|=5+費=；卜+目-看.

3Q

函數(shù)在1=時取最小值，最小值為-￡；在X=2時取最大值，最大值為5,所以函數(shù)

2o

ra"

/（力=彳弓r卜?-2,2]）的值域是一15.

故選：B.

ahb<ckd

3.（2023?上海,統(tǒng)考模擬預測）設xVy=x+y+|x-y|,xAy=x+y-卜一升,若正實數(shù)滿足：<aVc<bVd,

力Ac<Nd

則卜列選項一定正確的是（）

A.d>bB.b>C

C.b^c>aD.d\7c>a

【答案】D

a>b[a>b[a<b[a<b

、,，<「,，、/下化簡出S<cM，

{c>d[c<d[c<d[cNd

結(jié)合所得結(jié)果，進一步確定滿足條件的關(guān)系，由此判斷各選項.

【詳解】因為雙y=x+y+|"M=[r'""，

2y,x^.y

xAy=x+y-|x-y|

2x,x<y

akb<cbd

又"aVc<bVd,

hAc<Nd

a+h-a-b<c+d-\c-d\

所以a+c+a-c<b+d+\b-d\,

b+c-\b-c\<a+d+\a-d\

(1)若則，不等式a+匕一,一目<c+d-\c-d\

可化為給<2J,貝i%<d,所以

@^a>c>d>b,貝ija+c+|a—d<b+d+|b-d|可化為"d,矛盾,

②若c>aNd>b,貝ija+c+|a-d<6+d+|b-d|可化為cy〃，矛盾，

?^c>d>a>b,則〃+c+|a-d<O+d+性一d|可化為c<d,矛盾，

Q)若aNb,cvd貝ij,不等式<c+d-\c-d\

可化為b<c,所以d>c>b,

@a>d>c>by則a+c+,一c|<6+1+忸-4可化為矛盾,

@d>a>c>b,則a+c+|q-d<b+d+R-d|可化為〃<d,滿足,

h+c-\b-(\<a+d+\a-d\^Vc^b<d.滿足，

@^rd>c>a>b,貝ija+c+|a-d<6+d+|b-d|可化為cy〃，滿足，

6+°-卜-44々+公卜-4可化為b<d,滿足，

(3)若a〈b,cvd則,不等式a+b—|a-4<c+"—|c—d|

可化為a<c,所以d>c>。

@^b>d>c>a,則a+c+|a-d<b+d+M-d|可化為c<b,滿足,

Z?+c—妝一d<a+d+|a-d|可化為cvd,滿足，

②若d>Z?Nc>〃，則a+c+|a-d<力+〃十忸一4可化為cvd,滿足，

h+c-\b-c]<a+d+\a-d\'^Vc^)c<d,滿足，

③若d>c>b>〃，則a+c+|a-d<〃+d-|力-d|可化為c<“，滿足，

b+c-妝-d<a+d+|a-4可化為b<d,滿足，

(4)若avb,cNd貝ij,不等式。+人一|。一4<c+d-\c-cl\

可化為ovd,所以cNd>。，

@^b>c>d>a,則a+c+,一d<6+1+忸-4可化為cvb,滿足，

b+c-妝一d<a+d+|a-d|可化為c<d,矛盾，

②若貝ija+c+|a-d<b+d用-d|可化為cvb，矛盾，

③若cNdN匕>a,貝ija+c+|a-d<6+d+|b-d|可化為cy〃，矛盾，

綜上，b>d>c>a^d>b>c>a^d>c>b>a^d>a>c>b^d>c>a>b,

由知，A錯誤；

由知，B錯誤；

當d>aNc>6時，b^c=b+c-\b-c\=b-ic-c+b=2b,

取〃=7,々=6,。=2力=1可得，滿足條件但匕Ac=2<a,

C錯誤；

當時，dVc=d+c+\d-c]=2d>a,

當d>力Nc>a時，dVc=d+c+\d-(]=2d>a

當d>c>〃>4時，d-\-c-￥-\d-(\-2d>a,

當d>aNc>0時，dVc=d+c+\d-c]=2d>at

當d>c>aNb時，dVc=d+c+\d-(\=2d>a,

故選：D.

【點睛】“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據(jù)此新定義去

解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看

本質(zhì)，它們考查的還是基礎數(shù)學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝

法寶.

4.(2022秋.江蘇常州.高一華羅庚中學?？茧A段練習)對于函數(shù))，=/(%),若存在使/(%)=-/(-豌))，

則稱點(知/伍))與點(FJ(f))是函數(shù)/(%)的一對“隱對稱點”.若函數(shù)/。)=加二2；>0的圖象存在

“隱對稱點”，則實數(shù)小的取值范圍是()

A.[2-272,0)B.(F,2—20]

C.(e,-2-2應]D.(0,2+2>/2]

【答案】C

【分析】由隱對稱點的定義可知函數(shù)/(")圖象上存在關(guān)于原點對稱的點，由函數(shù)奇偶性的定義將問題轉(zhuǎn)化

為方程如+2=-f—2x(x>0)的零點問題，再結(jié)合基本不等式即可得出實數(shù)陽的取值范圍.

【詳解】由隱對稱點的定義可知函數(shù)/(%)圖象上存在關(guān)于原點對稱的點，

設g(')的圖象與函數(shù)〃力=/-2X(工<0)的圖象關(guān)于原點對稱，

令x>0,則一xv0,f(-x)=(-x)2-2(-x)=x2+2x,

所以g(x)=-f(-x)=-x2-2x(x>0),

因為/(%)=-，又/(O)=2H-/(O),

mx+2,x>0

o

所以原題義等價于g(4)與/⑶在(O,s)上有交點，即方程蛆+2=-2.2Mx>0)有零點，則加=T；-2,

又因為r—；—2W—2卜：2=一2一2五,當且僅當一工=三；，即產(chǎn)夜時，等號成立，

所以加4一2-2夜，即me(一叫一2-2&].

故選：C.

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題突破口是理解“隱對稱點''的定義，將問題轉(zhuǎn)化為g(x)與Ax)在(0,+少)上有交點的

問題，從而得解.

5.(2023?高二單元測試)能夠把橢圓《十丁=1的周長和面積同時分為相等的兩部分的函數(shù)稱為橢圓的，，可

4

分函數(shù)”，下列函數(shù)中不是橢圓的“可分函數(shù)''的為()

A.f(x)=4x3+xB./(x)=ln|^

C.f[x)=sinxD./(x)=el4-e-Jf

【答窠】D

【分析】根據(jù)奇偶函數(shù)的定義依次判斷函數(shù)的奇偶性，得到ABC為奇函數(shù)，D為偶函數(shù)，得到答案.

【詳解】對選項A：f(x)=4d+x,/(-x)=-4^-x=-/W?函數(shù)為奇函數(shù)，滿足；

對選項B：/(x)=ln|^,函數(shù)定義域滿足泮>0,解得一5Vx<5,且/(-x)=ln泮=一/(力，函數(shù)為

奇函數(shù)，滿足；

對選項c：/(x)=sinx為奇函數(shù)，滿足；

對選項D：/(x)=ev+e-\/(—)=尸+^=/(可，函數(shù)為偶函數(shù)，且/⑼=2/0,不滿足.

故選：D

6.(2023秋?江蘇尢錫?高一統(tǒng)考期末)設xeR,計算機程序中用INT(x)表示小超過x的最大整數(shù)，則

y=INT(x)稱為取整函數(shù).例如；INT(-2.1)=-3,INT(1.2)=1.已知函數(shù)/(i)=gx(bg2X)2+log2g+4,

其中我<x<16,則函數(shù)y=1NT(/(x))的值域為()

A.{-1,0,1)B.{-1,0,1,2}

C.引D.{0,1,2}

【答窠】B

【分析】化簡/⑺，令"晦處")="-3/+4/64),由二次函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)/(X)的值域,

根據(jù)定義求函數(shù)了=INT(/(x))的值域.

【詳解】因為/(x)=gx(logz*)2+log2—+4=gx(log2X『+1082.1+4

令f=log2X,因為加<x<16?所以，

所以/(/)=；/一3f+4,re(g,4),

因為〃r)的對稱軸為，=3,所以〃。在(；,3)上單調(diào)遞減，在(3,4)上單調(diào)遞增,

當E3時，/(%?,=/⑶=彳'

當F時，/(%=/(；)=看

所以的值域為

當_g</(x)vO時，y=INT(/(x))=-l.

當OW/(x)<l時，j=INT(/(x))=O,

當心"x)v2時，y=INT(/(x))=l,

當24/(可〈彳時，y=INT(/(x))=2,

O

所以函數(shù)y=INT(/(x))的值域為{-1,0,1,2},

故選：B.

7.(2023?山東河澤?統(tǒng)考一模)定義在實數(shù)集R上的函數(shù)丁=/(工)，如果現(xiàn)wR,使得/(用)=玉，則稱為

函數(shù)〃力的不動點.給定函數(shù)/(x)=8sx,g(x)=siiu,已知函數(shù)f(x),〃g(x)),g(f(力)在(0,1)上均

存在唯一不動點，分別記為再,看，&，則()

A.>X)>x2B.x2>x3>x}C.x2>xi>x3D.x3>x2>

【答案】C

【分析】由已知可得COSM=M，則cos百-X1=0,sin(cos5)-sinX[=0.然后證明x>sinx在(0,1)上恒成立.

令戶(x)=sin(cosx)-sinx,根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性可知在(0,1)上單調(diào)遞減，即可得出七.令

G(x)=cosx-x,根據(jù)導函數(shù)可得G(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，即可推得々>禮

【詳解】由已知可得，COSXl=Xl,貝Ijcos』-X|=0,

且sin[cosK)=sinx),所以sin(cos%-sin內(nèi)=0.

又cos(sin.q)=X2,sin(cosw)=&.

令人(』?)=sinx,x€(0,l),則“(人)=]_85{>0恒成立，

所以，％(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以人(“>力(0)=0,所以x>sinx.

所以，sin(cosxJ)=xJ>sin^,g[Jsin(cosx；()-sin>0.

令f(x)=sin(cosx)-sinx,xe(0,l),

因為函數(shù))，=4g在(0,1)上單調(diào)遞增，y=cosx在(0,1)上單調(diào)