2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 新高考53A版 專(zhuān)題2 不等式 資料

專(zhuān)題二不等式

2.1不等式及其解法

考點(diǎn)一不等式的概念和性質(zhì)

1.（2019課標(biāo)I理,4,5分）

古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長(zhǎng)度與肚臍至足底的長(zhǎng)度之比是2（2kO.618,稱(chēng)為

黃金分割比例）,著名的“斷臂維納斯”便是如此.此外，最美人體的頭頂至咽喉的長(zhǎng)度與咽喉至肚臍的長(zhǎng)度之

比也是2.若某人滿(mǎn)足上述兩個(gè)黃金分割比例且腿長(zhǎng)為105cm，頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度為26cm,則其身

高可能是（）

A.165cmB.175cmC.185cmD.190cm

答案B本題主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)、抽象概括能力、運(yùn)算求解能力，以及方程思想;考查的核心素

養(yǎng)為數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算.

26

由人體特征可知,頭頂至咽喉的長(zhǎng)度應(yīng)小于頭頂至脖子下端的長(zhǎng)度故咽喉至肚臍的長(zhǎng)度應(yīng)小于

264-42

cm,可得到此人的身高應(yīng)小于26+42+0fiia?178cm;

同理，肚臍至足底的長(zhǎng)度應(yīng)大于腿長(zhǎng)105cm,故此人的身高應(yīng)大于105+105x0.618^170cm,結(jié)合選項(xiàng)可知,

只有B選項(xiàng)符合題意，故選B.

一題多解用線段代替人，如圖.

?e逐一1">105,

已知&/=2u0.618,c<26,b>105,c+d=a,設(shè)此人身高為hem,則a+b=h，由^=°石186=^>6489,

（c<26,

由t：=oqai=d<42.07,

所以c+d<26+42.07=68.07,即a<68.07,

<68J07,

C=0-61*=>b<110.15,

整理可得64.89+105<a+b<68.07+110.15,

即169.89<h<178.22（單位:cm）.故選B.

2.（2015浙江文,6,5分）有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求:每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相

同.已知三個(gè)房間的粉刷面積（單位:m2）分別為x,y,z,且x<y<z，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用（單位:元/nV）分別為

a,be且a<b<c.在不同的方案中,最低的總費(fèi)用（單位:元）是（）

A.ax+by+czB.az+by+cx

C.ay+bz+cxD.ay+bx+cz

答案B用粉刷費(fèi)用最低的涂料粉刷面積最大的房間，且用粉刷費(fèi)用最高的涂料粉刷面積最小的房間，這樣

所需總費(fèi)用最低,垠低總費(fèi)用為（az+by+o<）元故選R

1

32

3.（2015北京文,10,5分）2吃,log25三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是.

答案log25

解析-.2-3="<1,1<<2,loc25>2,

這三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)為log25.

考點(diǎn)二不等式的解法

Zx(x+2)>0.

1.(2014大綱全國(guó)文,3,5分)不等式組URV1的解集為()

A.{x|-2<x<-l}B.{x|-l<x<0}

C.{x|0<x<l}D.{x|x>l}

答案C由x(x+2)>0得x>0或x<-2;

由岡<1得

所以不等式組的解集為{x|0<x<l},

故選C.

2.(2014浙江文75分)已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,且0<f(-l)=f(-2)=f(-3)<3JiJ()

A.C43B.3<c<6

C.6<c<9D.c>9

答案C由0<f(-l)=f(-2)=f(-3)43,得

0<-l+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c<3,

由-l+a-b+c=-8+4a-2b+c,得3a-b-7=0①,

由-l+a-b+c=-27+9a-3b+c得4a-b-13=0(D,

由①②，解得a=6,b=ll,

二0??6$3,即6<c?9,故選C.

3.(2013重慶,7,5分)關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集為(Xi*。且乂2兇=15,則a=()

571515

A2B2C.4D,2

答案A解法一:?.不等式x2-2ax-8a2<0的解集為(XLXO.MM是方程x2-2ax-8a2=0的兩根.

尸1+0=2A

由根與系數(shù)的關(guān)系知1&冷=-

-J(.)2_u_8a2)

■.X2-X1===15,

5

又TaAO/.aJ,故選A.

解法二:由x2-2ax-8a2<0,^(x-?-2a)(x-4a)<0,.a>0,

二.不等式x2-2ax-8a2<0的解集為(-2a,4a),

又???不等式x2-2ax-8a2<0的解集為(xi,x?,

.,.xi=-2a,X2=4a.

VX2-X1=15,/.4a-(-2a)=15,

5

解得aJ,故選A.

4.(2015江蘇,7,5分)不等式<4的解集為.

答案{x|-l<x<2}

JrJr

解析不等式<4可轉(zhuǎn)化為名<2,利用指數(shù)函數(shù)y=2x的性質(zhì)可得,x2?x<2,解得故所求解

集為{x卜l<x<2}.

5.(2015廣東,11,5分)不等式*2?3x+4>0的解集為.(用區(qū)間表示)

答案(-4,1)

解析不等式-x2-3x+4>0等吩于x2+3x-4<0,解得-4<x<l.

6.(2014湖南文,13,5分)若關(guān)于x的不等式|ax2|<3的解集為I則a=.

答案-3

(-*

解析依題意，知aH0.|ax-2|<3=-3<ax-2<3=-l<ax<5,當(dāng)a>0時(shí)，不等式的解集為t

5億，)|-1=1

從而有\(zhòng)才此方程組無(wú)解.當(dāng)a<0時(shí)，不等式的解集為J,，從而有1"3'解得a=-3.

7.(2013廣東理95分)不等式x2+x-2<0的解集為.

答案{x|-2<x<l}

解析x2+x-2=(x+2)(x-l)<0解得-2vx<L故不等式的解隼是僅|-2<x<l}.

專(zhuān)題二不等式

2.1不等式及其解法

應(yīng)用創(chuàng)新題組

1.(2021陜西漢中二模,4I實(shí)際生活)在流行病學(xué)中，基本傳染數(shù)是指每名感染者平均可傳染的人數(shù).當(dāng)基本

傳染數(shù)高于1時(shí),每個(gè)感染者平均會(huì)感染一個(gè)人以上，從而導(dǎo)致感柒這種疾病的人數(shù)呈指數(shù)級(jí)增長(zhǎng)，當(dāng)基本傳

染數(shù)持續(xù)低于1時(shí),疫情才可能逐漸消散.廣泛接種疫苗可以減少疾病的基本傳染數(shù).假設(shè)某種傳染病的基本

傳染數(shù)為Ro,l個(gè)感染者在每個(gè)傳染期會(huì)接觸到N個(gè)新人，這N個(gè)人中有V個(gè)人接種過(guò)疫苗

但稱(chēng)為接種率)§

34那么1個(gè)感染者新的傳染人數(shù)為W(N-V).已知新冠病毒在某地的基本傳染數(shù)Ro=5,為

了使1個(gè)感染者新的傳染人數(shù)不超過(guò)1,該地疫苗的接種率至少為i)

A.50%B.60%C.70%D.80%

答案D由題意可得出(N-V)=5、盯41,解得*產(chǎn),因此該地疫苗的接種率至少為80%.故選D.

2.(2021吉林白山第三次聯(lián)考,10I實(shí)際生活)光線通過(guò)一塊玻璃，強(qiáng)度要損失10%,若光線強(qiáng)度要減弱到原

1

來(lái)的$以下,則要通過(guò)這樣的玻漓的塊數(shù)至少為(1g3=0.477,lg2?0.301)()

A.14B.15C.16D.18

答案C設(shè)要通過(guò)這樣的玻璃的塊數(shù)為x,則

111嗎YWQ

x5x5,5

(l-10%)<,*.0.9<,..x>logo.9=邪二口<^”由1°152又.「XCN.,.??要通過(guò)這樣的玻璃的塊數(shù)至

少為16?故選C.

b

3.(2021呼和浩特一模,15I實(shí)際生活)若a克不飽和糖水中含有b克糖，則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為巴這個(gè)質(zhì)員分?jǐn)?shù)

決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m克糖，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們糖水會(huì)變甜,從而可抽象出不等式

b-KHb

“”>a(a>b>0,m>0),數(shù)學(xué)中常稱(chēng)其為糖水不等式.依據(jù)糖水不等式可得出Iog32logislO(用

"<"或">"填空);并寫(xiě)出上述結(jié)論所對(duì)應(yīng)的一個(gè)糖水不等式.

b2-Fin5kn2

答案〈出"15〉-%答案不唯一)

10lo&15

解析由題意得國(guó)?：承<力由":所以Iog32<=logi510.

kn2knlOki2-Fin5ki2

hl3hll5l,iartll5bJrtB5h13

log32<logisl0^<=-fB!!'>.

4.(2022屆山西長(zhǎng)治第八中學(xué)階段測(cè),19I實(shí)際生活)某公司計(jì)劃組織全體員工到省博物館參觀學(xué)習(xí)上行的

交通方式有兩種:自駕或乘坐公司大巴，分析顯示,當(dāng)全體員工中x%(0<x<100)的成員選擇自駕時(shí)，自駕類(lèi)成

(30,0Vx<30,

<1800

12x4------KOmVxV100

員的人均所需時(shí)間滿(mǎn)足函數(shù)f(x)=x(單位:分鐘)，而乘坐公司大巴的成員

人均所需時(shí)間不受x影響，恒為40分鐘，根據(jù)卜述的分析結(jié)果回答問(wèn)題?

Q)若使乘坐公司大巴的成員人均所需時(shí)間少于自駕類(lèi)成員的人均所需時(shí)間，則x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？

(2)求該公司全體員工到達(dá)省博物館的人均所需時(shí)間g(x)的表達(dá)式并通過(guò)單調(diào)性分析如何使人均所需時(shí)間

最少.

解析(1)當(dāng)0<xw30時(shí)，自駕類(lèi)成員的人均所需時(shí)間為30分鐘,而乘坐公司大巴的成員人均所需時(shí)間恒為

180(1

40分鐘，不滿(mǎn)足題目要求;當(dāng)30<x<100時(shí)，令2x+x-90>40,解得45Vx<100.故當(dāng)45<x<100時(shí)，乘坐

公司大巴的成員人均所需時(shí)間少于自駕類(lèi)成員的人均所需時(shí)間.

⑵當(dāng)0<x<30時(shí),g(x)=30(x%)+40(l-x%)=-0.1x+40;當(dāng)30Vx<100

時(shí),g(x)=\x/(x%)+40(l-x%)=0.02x2-1.3x+58.

0<x<30時(shí),g(x)單調(diào)遞減,30<x<100時(shí),g(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=32.5,g(x)的圖象先減后增.

易知g(x)的圖象在x=30處連續(xù).

綜上可知，當(dāng)x￡(0,32.5］時(shí)，全體員工的人均所需時(shí)間隨自駕人數(shù)的增加而減少,x=32.5時(shí)，全體員工的人均

所需時(shí)間取到最小值,x￡(325100)時(shí)，全體員工的人均所需時(shí)間隧自駕人數(shù)的增加而增加.

專(zhuān)題二不等式

2.1不等式及其解法

一、選擇題

1.(2022屆河南期中,3)已知a,bcd￡R,則下列命題中，正確的是()

A.若a”b4,則a>b

ab

——

B.若君>￡則a>b

C.若a>b,c>d廁ac>bd

ab

D.若?！垂瓌ta<b

ab

答案D對(duì)于A,當(dāng)a=-2,b=l時(shí)，滿(mǎn)足a4>b\{Ba<b,所以A錯(cuò)誤;對(duì)于B,當(dāng)c<0,a<b<0時(shí)，滿(mǎn)足但不

滿(mǎn)足a>b,所以B錯(cuò)誤;對(duì)于C,若a=-l,b=-2,c=-3,d=-4,滿(mǎn)足a>b,c>d,而此時(shí)ac=3<bd=8,所以C錯(cuò)誤;

ab

對(duì)于D,因?yàn)椋?lt;7<2>0,所以a<b,所以D正確.故選D.

2.(2022屆蘭州西北師大附中期中,6)若b<a<0,給出下列不等式:①晨叫②|a|+b>0;③a~>b-4④In

a2>lnb2.其中正確的不等式是()

A.①④B.②③C.(IX3)D.②④

11

答案C因?yàn)閎<a<0,所以a+b<0,ab>0,所以““<可所以①正確;當(dāng)b=-4,a=-2時(shí)，滿(mǎn)足b<a<0,此時(shí)

?(b-i)住二)(1+^)

|a|+b<0,所以②不正確油aflv”=(a-b)+”fl/=(a-b)v如，由b<a<0,可得a-b>0,ab>0,所

(1+4)

以(a-b)'如>0,所以所-以I③正確;由b<a<0,可得W<b2,所以Ina2<lnb4所以④不正確.故

選C.

*―y

3.(2021四川綿陽(yáng)診斷,11)已知正實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足|/>端,則()

A.lnx>ln(y+l)B.ln(x+l)<lgy

C3x<2y1D.2xy>l

x―y

答案D因?yàn)檎龑?shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足ln>>lg”,所以Inx-lny>lgy-lgx,所以Inx+lgx>lny+lgy,因?yàn)楹瘮?shù)

f(x)=lnx+lgx在(0,+8)上單調(diào)遞增，所以x>y.

對(duì)于A,取x=4,y=3,此時(shí)Inx=ln(y+l),故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,取x=2,y=l,此時(shí)ln(x+l)>lgy,故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,取x=3,y=2,此時(shí)3x>2/i,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,因?yàn)閤>y,所以2x-y>2C=l，故D正確.故選D.

4.(2022屆湖北襄陽(yáng)五中10月月考,6)已知x,y是正數(shù)，且x+2y=l,下列敘述正確的是(

A.x+y的最大值為1

B.x2+y2的最大值為1

C.(x+y)y的最大值為

D,和的最小值為4

x>0,O<x<l,

>>0,

3+2/=1得o<y<iII

答案D由對(duì)于A,x+y=l-2y+y=l-yjO<y<q.-<x+y<L不存在最

大值,A中敘述錯(cuò)誤;

對(duì)于B,x2+y2=(l-2y)2+y2=5y2-4y+L:0<y<N:m<x2+y2<l,不存在最大值,B中敘述錯(cuò)誤;

對(duì)于C,(x+y)y=(l-y)y=-y2+yj0<y<N,「Q<(x+y)y<4,不存在最大值,C中敘述錯(cuò)誤;

吧工iC+口21-貯21---

對(duì)于0.2x7=%#=^^(x+2y)=2+X+2,>2+2\X年二年當(dāng)日僅當(dāng)x即x=N,y=，時(shí)或等

x+2j

號(hào),二?的最小值為4,D中敘述正確.故選D.

pOgR：>1,

5.(2022屆長(zhǎng)春重點(diǎn)高中月考一,8)已知函數(shù)f(x)=則不等式f(X)41的解集為)

A.(-8,2]B.(-8,0]U(1,2]

C.[0,2]D.(-oo,0]U[lf2]

1二

答案D當(dāng)x>l時(shí)JogzxsblogzZ可得x?2,所以lsxs2;當(dāng)x<l時(shí)即1解得x<O^x>l,

所以xsO.綜上所述,不等式f(x)sl的解集為(-8,0]u[1,2],故選D.

6.(2020陜西漢中二模,12)對(duì)于實(shí)數(shù)x,規(guī)定岡表示不大于x的最大整數(shù)，那么使得不等式4岡2-36岡+45<0

成立的x的取值范圍星()

AV2)B,[2,8]

C.[Z8)D.[2,7]

315

答案C因?yàn)?岡2-36岡+45<0,所以2〈岡<2,所以24x<8,蒞選C.

7.(2021安徽名校期末,4)已知使不等式x2+(a+l)x+a<0成立的任意一個(gè)x,都滿(mǎn)足不等式3x-lv0測(cè)實(shí)數(shù)a

的取值范圍為()

A(W+8)BK+吟

cH-9K?

?(-~.il

答案B解3x-lw0,得x典故解集為'叫

由不等式x2+(a+l)x+as0,得[x+l)(x+a)w0,

因?yàn)槭共坏仁絰2+(a+l)x+a<0成立的任意一個(gè)x,都滿(mǎn)足不等式3x-lw0,

(V/

所以若a=l,則不等式(x+l)(x+a)w0的解集為{-1},滿(mǎn)足{-l}u

若a<L則不等式(x+l)(x+a)w0的解集為卜1,-a],則\虱，所以-a3，解得

若a>l,貝U不等式(x+l)(x+a)40的解集為卜則(7折…

得+")故選

綜上知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是

|21n(x+l)^>Of

8.(2022屆貴陽(yáng)一中10月月考,12)已知函數(shù)f(x)=lM+4><O,^|f(x)|>ax對(duì)任意的x￡R恒成

立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(-oo,0]B.[-4,0]

C.[-Z0]D.(-8,l]

I/yAf^

答案B畫(huà)出y=|f(x)|的大致圖象，如圖.由圖可知，當(dāng)a>0時(shí)，不符合題意.當(dāng)a=0時(shí),|f(x論ax恒成立，符合

=/-如

題意.當(dāng)a<0時(shí),當(dāng)直線y=ax與曲線y=x2-4x(x40)相切時(shí),a有最小值，聯(lián)立b=得

x2-(4+a)x=0,A=(4+a)2=0,解得a=-4,所以-4?aw0.故選B.

9.(2020海南天一大聯(lián)考一,11)已知a>l,若存在x￡[l,+oo),使不等式3xlna<(x+l)ln成立，則a的取值

范圍是()

A.(L+8)BG十9

斯)D.(2,+8)

3x

答案C因?yàn)閍>L所以3xlna<(x+l)lnaa<=>3xlna<a(x+l)lna=3x<a(x+l)=a>A'.因?yàn)榇嬖?/p>

(苦_2L_2_

x￡[l,+8),使不等式3xlna<(x+l)lna2成立，所以a>*—，又y=A[=3k%區(qū)間[L+8)上單調(diào)遞

增,所以扁一13一局1空所以a>N故選C.

10.(2022屆湖南聯(lián)考,9)已知函數(shù)f(x)=-x2+ax+b2-b+l(a,b￡R),對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(l+x)=f(l-x)成立，當(dāng)

時(shí),f(x)>0恒成立，則□的取值范圍是()

A.(-1,O)

B.(2,+8)

C.(-°°,-l)U(2,+oo)

D.(-oo,-l)

a

答案C因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù)x都有f(l+x)=f(l-x)成立，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=l對(duì)稱(chēng)，由1,解得

a=2.

又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象開(kāi)口向F,所以函數(shù)f(x)在卜1,1]上單調(diào)遞埴而f(x)>0恒成立，所以

f(x)min=f(-l)=b2-b-2>0,解得b<-l或b>2.故選C.

11.(2022屆江西上饒?jiān)驴?9)關(guān)于x的不等式x2-(a+l)x+a<0的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

是()

A.[-2,-DU(3,4]B.(-2,-l)U(3,4)

C.(3,4]D.(3,4)

答案Ax2-(a+l)x+a<0即(x-l)(x-a)<0,當(dāng)a>l時(shí)，解得當(dāng)a<l時(shí)，解得a<x<l.

?.不等式的解集中恰有兩個(gè)整數(shù)〃.3?！盎?2wa<-l「a的取值范圍是[-2,-l)U(3,4].故選A.

12.(2021東北三省模擬,7)關(guān)亍x的不等式ax-b>0的解集是(-L+8),則關(guān)于x的不等式(bx+a)(x-3)>0的

解集是()

A.(-oo,-l)U(3,+<?)

B.(-13)

C.(l,3)

D.(-8,l)U(3,+8)

&

答案C?.?關(guān)于X的不等式ax-b>0,即ax>b的解集是(-L+8)〃°=-l，且2>0,即2=七>0.

則關(guān)于x的不等式(bx+a)(x-3)>0,即(-ax+a)(x-3)>0,也即a(x-l)(x-3)<0,解得l<x<3.故選C.

asx-2

13.(2021新疆第二次適應(yīng)性檢測(cè),3)若關(guān)于x的不等式:>0的解集為(-2,3),則mn=()

A.5B.-5C.6D.-6

CBX-2

答案C因?yàn)閏osx-2<0,/也1Ml>0的解集為(-2,3),

所以x2-mx-n<0的解集為(-2,3),故-2+3=m,-2x3=-n,所以m=l,n=6測(cè)mn=6.故選C.

14.(多選題)下列說(shuō)法正確的是()

A.不等式2x2-x-l>0的解集是{x|x>2或x<l}

B.不等式-6x2-x+2s0的解集是I?32J

C.若不等式ax2+8ax+21<0的解集是{x卜7<x<-l},則a的值是3

D.若關(guān)于x的不等式x2+px-2<0的解集是(q,l),則p+q的值為-1

答案BCD對(duì)于A”2x2-x-l=(2x+l)(x-l),

.??由2x2?x-l>0得(2x+l)(x-l；>0,解得x>l或x<N〃?.不等式的解集為l?

對(duì)于B,-.-6x2-x+2<0,.-.6x2+x-2>0,

12

.?.(2x-l)(3x+2)>0,/.x>2^x<-3.

{x|x>；或去<-1]

.??不等式的解集為I2M故B正確；

對(duì)于C,由題意可知-7和-1是關(guān)于x的方程ax2+8ax+21=0的兩個(gè)根.

21

.?.-7x(-l)=a〃.a=3.故C正確；

2

對(duì)于D,依題意知qfl是方程x+px-2=0的兩根，則q+l=-p,即p+q=-l,故D正確.

15.(2020山東德州期中,11)對(duì)于實(shí)數(shù)a,be下列命題中正確的是()

A.若a>b,則ac<bcB.若a<b<0廁a2>ab>b2

ab11

''II——

C.若c>a>b>0,則D.若a>b尸>0則a>0,b<0

答案BCD對(duì)于A,當(dāng)c>0時(shí)油a>b,可得ac>bc,故A不正確；

,,22,

對(duì)于B,a2-ab=a(a-b)ja<b「.a-b<0,又a<0r.a(a-b)>0,.a>ab.ab-b=b(a-b);.a<b,..a-b<0,X

222

b<0/.b(a-b)>0(.-.ab-b>0,.-.a>ab>b,^B正確；

11ab

對(duì)于Cjoa>b>0,.?(、>(),c-b>0,且c-b>c-a,.-.M>^X\a>b>O,.-.M>cC正確；

11

-

對(duì)于D;.a>b,.'.a-b>0,X-.-*>0,

b-a

.,.必>0,又b-a<0,.1.ab<0,gPa,b異號(hào),

又,.a>b,..a>0,b<0,故D正確，故選BCD.

16.(多選)(2022屆重慶巴蜀中學(xué)月考一,9)已知實(shí)數(shù)a,b,c滿(mǎn)足a>b>0>c,則下列不等式中一定正確的有

()

￡￡

A.ac>bcBa>b

ca

C.ac2>bc2Da+c<-2

BCD對(duì)于選項(xiàng)A:f(x)=xc(c<0)在(0,+8)上是減函數(shù)，所以a?bSA錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)

￡C

a>fcB正確;對(duì)于選項(xiàng)C:a>b>0,c2>0=>ac2>bc2C正確;對(duì)選項(xiàng)

B:f

=-2（當(dāng)且僅當(dāng)a=-c時(shí)等號(hào)成立）,D正確.故選BCD.

二、填空題

2x-a

17.（2022屆上海二模,7）不等式計(jì)°>0的解集為M,且2EM,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

答案(-oo,-2]U[4,+oo)

4-a

解析由題意可知,NH6或2+a=0,解得aN4或a《2

18.(2021河南新鄉(xiāng)一模,16)定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(-x)+f(x)=O,當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x2.若不等式

1

^f(ax2)+f(3-x)>0對(duì)任意x￡R恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為.

1

答案6

rr-'by.voivo

解析由已知得f(x)=l廿KVO所以f(x)f(y)="==f(xy),所以不等式

!G)加)

4f(ax2)+f(3-x)“可化為fWf(ax2)+f(3-x)“,即&f(x-3).因?yàn)閒(x)是R上的增函數(shù)，所以

1

%乂2”-3,即ax2-2x+6>0對(duì)任意x￡R恒成立，當(dāng)a=0時(shí)顯然不滿(mǎn)足-2x+6“對(duì)任意x￡R恒成立，所以

fa>0,1

即

IA=4-24a<O,a>6

19.(2021河南部分重點(diǎn)高中聯(lián)考,15)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿(mǎn)足當(dāng)x>0時(shí),f(x)=-市+曰2*口則不

等式f(2x2-10x)+f(x2-6x-12)<0的解集為.

答案'a/U(6,+oo)

解析易知函數(shù)f(x)在。+8)上為減函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)為奇函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在R上為減函數(shù),不等式

f(2x2-10x)+f(x2-6x-12)<0可化為f(2x2-10x)<f(-x2+6x+12),所以2x2-10x>-x2+6x+12,即3x2-16x-12>0,

解得a/U(6,+co).

20.(2022屆通州期中,12)不等式-x2+x+42>0的解集為.

答案(-6,7)

解析由-x2+x+42>0得x2-x-42<0,即(x-7)(x+6)<0,解得-6<x<7.

21.（2022屆北京一零一中學(xué)統(tǒng)考二,12）若關(guān)于x的不等式x2-2ax-8a2<0（a>0）的解集為{x|x1<x<X2},且

X2-XI=15,則a的值為.

5

答案2

解析由題意,xi,X2是一元二次方程x2-2ax-8a2=0(a>0)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,

所以A=4a2+32a2=36a2>0,fixi+X2=2a,xiX2=-8a2.

255

fjr+x---

因?yàn)閄2-X1=15,所以152=<rA-4xiX2=4a2+32a2=36a2,所以a2=4.又a>0,所以a=2.

22.（2022屆北京九中10月月考,12）命題"Vx￡R,使得關(guān)于x的不等式mx2+mx+l>0H是真命題則m

的取值范圍是.

答案[0,4]

解析當(dāng)m=0時(shí),120恒成立，滿(mǎn)足題意；

>0,

當(dāng)m/0時(shí)，則Im'4?三Q解得0<m44,

綜上可得0<m<4,EPme[0,4],

23.（2022屆清北學(xué)堂全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽,1）已知關(guān)于x的不等式（x-l）2>ax2有且僅有三個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是.

江案用）

解析由已知得a>0,因?yàn)閤=0是不等式的一個(gè)解決:1不是不等式的解，所以不等式的二個(gè)整數(shù)解只能是

-2,-1。不等式(x-l)2>ax2化為(a-l)x2+2x-l<0.

設(shè)f(x)=(a-l)x2+2x-l,則依題意得f(x)=0的兩根滿(mǎn)足-34XI<-2,0<X2W1,所以"(-2)=4(a~l)-5VO,

(/(O)=-1V0?

且"。)=3-1)+1>o.

169

解得9wa<*所以a的取值范圍是

24.（2019天津文,10,5分）設(shè)x￡R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范圍為

.案（'身

解析3x2+x-2<0e=>(x+l)(3x-2)<0,

2

所以-l<x<W

2.2基本不等式及不等式的應(yīng)用

考點(diǎn)基本不等式及其應(yīng)用

y1

1.（2015陜西，理9,5分）設(shè)f（x）=lnx,0<a<b,若p=f嚴(yán)）,q=f，2乙=%⑶+他））,則下列關(guān)系式中正確的

是（）

A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q

_1e+5s-l-1_

"al.j>Qal,,Qal

答案C由題意得p=ln*,q=ln,r=(Ina+lnb)=lnir=p,.O<a<b,.,.>v,/.ln>ln”,

p=r<q.

*y

2.（2015福建理55分）若直線"+Ll（a>0,b>0）過(guò)點(diǎn)Q,l）,則a+b的最小值等于（）

A.2B.3C.4D.5

*yii/ii\-i

答案C因?yàn)橹本€'+'=：L(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)Q,l),所以1所以a+b=(a+b)V〃=2+'+'

2+2=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取故選C.

12_

3.（2015湖南文75分）若實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足.+石=便加ab的最小值為（）

A.B.2C.2D.4

12（22^1212

答案C依題意知a>0,b>0,則研當(dāng)且僅當(dāng)即b=2a時(shí),“=”成立.因?yàn)?+工號(hào)所以

2/

舊之例即己八26,所以ab的最小值為盧，故選C.

4.（2014重慶文,9,5分）若logM3a+4b則a+b的最小值是（）

A.6+2?B.7+2*C.6+4*D.7+4

■fc/ol

答案D由Iog4（3a+4b）=log2,

得3a+4b=ab,且a>0,b>0,

-由a>0,得b>3.

4（&T）+1212

.-.a+b=b+fc-3=b+"3=（"3）+"一三+7221^^+7=46+7,即a+b的最小值為7+46.

5.（2014福建,9,5分）要制作一個(gè)容積為4m3,高為1m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器.已知該容器的底面造價(jià)是每平方

米20元,側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是（）

A.80元B.120元C.160元D.240元

答案C設(shè)底面矩形的長(zhǎng)和寬分別為am、bm,則ab=4.容器的總造價(jià)為20ab+2（a+b）x

10=[80+20（a+b）]元,8O+2O（a+b）N8O+4oB

=160（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立）.故選C.

6.（2018江蘇,13,5分）在MBC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,zABC=120°,zABC的平分線交AC于點(diǎn)

D,且BD=1,則4a+c的最小值為.

答案9

解析本題考查基本不等式及其應(yīng)用.

依題意畫(huà)出圖形，如圖所示.

D

易知S.-.ABD+S.XBCD=S.-.ABC,

1

即為sin600+2asm60°=2acsin1200,

c4a

;.4a+c=(4a+c)=5+，c>9,

f4a3

當(dāng)且僅當(dāng)°=。即a=2,c=3時(shí)取

一題多解1作DEilCB交AB于Ef\BD為/ABC的平分線,

BAADc

BCDCa

ADAEDEc

?.閑心,*=.產(chǎn)尸‘

-y-S

<H-c

■—Jc—1

而不叫下BC

=+.

迎康以?左靛)

一/

1G可并卻冏

3：11

.l=i^..ac=a+c/+“L

———c4■a一

2

7.4a+c=(4a+c)G4)=5+°+”之9,當(dāng)且僅當(dāng)氣二即a=,c=3時(shí)取

一題多解2以B為原點(diǎn),BD所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,

?.AD,C三點(diǎn)共線，.嚴(yán)產(chǎn)，

,-.4a+c=(4a+c)=5+°+當(dāng)且僅當(dāng)"=，即a=\=3時(shí)取

?y

7.（2017山東,12,5分）若直線°+*=l（a>0,b>0）過(guò)點(diǎn)Q,2）則2a+b的最小值為.

答案8

12

解析由題設(shè)可得“+E=l,.a>0,b>0,

&-)=2+；+三2如2

;.2a+b=(2a+b)

故2a+b的最小值為8.

（H1）（研1）

8.（2019天津文,13,5分）設(shè)x>0,y>0,x+2y=4則》的最小值為.

2

答案

解析本題主要考查基本不等式的運(yùn)用.考查學(xué)生對(duì)基本不等式及其簡(jiǎn)單變形使用條件的掌握程度,以及學(xué)

生的推理、運(yùn)算能力.

(x+l)(2y4-l)2xy+x+2y+l2xyrt5

--===2+不

.x>0,y>(V.4=x+2ym^^解得0<xyw2,當(dāng)且僅當(dāng)x=2y=2,即x=2且y=l時(shí)"=”成立.此時(shí),船2:2+”‘

59(開(kāi)1)31)9

22+"予故"的最小值為2.

5

思路分析首先將分子展開(kāi),并把已知條件x+2y=4代入則原式化簡(jiǎn)為2+*',注意到x與2y的和為定值，

用基本不等式即可求xy的最大值，最終得到原式的最小值，在此應(yīng)特別注意基本不等式的使用條件“一正、二

定、三相等”，注意等號(hào)是否成立.

9.(2015重慶文,14,5分)設(shè)a,b>0,a+b=5,則而言+而"的最大值為.

答案3&

解析解法一:令t=g，+/三

則t2=(際+際)2=a+l+b+3+26五?gw9+a+l+b+3=18,

當(dāng)且僅當(dāng)際=際，

73

即a=2,b=z時(shí)，等號(hào)成立.

即t的最大值為36.

解法二:設(shè)舊7小,四^5^,則m,n均大于零，

因?yàn)閙2+n222mn,所以2(m2+n2)2(m+n)，

所以m+n<*?,

所以后五+河石尸=詬=36

當(dāng)且僅當(dāng)標(biāo)=際,

73

即a=*,b)時(shí),?，成立，所以所求最大值為3便

2.2基本不等式及不等式的應(yīng)用

應(yīng)用創(chuàng)新題組

1.(2022屆朝陽(yáng)期中,14I優(yōu)化設(shè)計(jì))北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日開(kāi)幕.某社區(qū)為了宣傳冬奧會(huì),決定在

辦公樓外墻建一個(gè)面積為8m2的矩形展示區(qū)，并計(jì)劃在該展示區(qū)內(nèi)設(shè)置三個(gè)全等的矩形宣傳欄(如圖所示)，

要求上下各空0.25m,左右各空0.25m,相鄰宣傳欄之間也空0.25m.設(shè)三個(gè)宣傳欄的面積之和為S(單

位:m。則S的最大值為

答案4.5

解析設(shè)矩形宣傳欄的長(zhǎng)、寬分別為am.bm,則(3b+4xO.25)-(a+2xO.25)=8,即(3b+l)?(a+0.5)=8,從而

SnSabnaQ0'當(dāng)且僅當(dāng)a=1,5,b=lB寸取等

號(hào)).所以S的最大值為4.5.

2.(2022屆鄭州外國(guó)語(yǔ)中學(xué)調(diào)研二,20I生活實(shí)踐)某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為打造成"生態(tài)農(nóng)業(yè)特色鄉(xiāng)鎮(zhèn)”，決定種植莫種水

果，該水果單株產(chǎn)量M(x)(單位千克)與施用肥料x(chóng)(單位汗克)滿(mǎn)足如下關(guān)

“x2+3),0M/M2,

50x,5-1

—+-,2<X<5f

系:M(x)=11+<3單株成本投入(含施肥、人工等)為30x元.已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)為

15元/千克,且銷(xiāo)路暢通供不應(yīng)求，記該水果的單株利潤(rùn)為f(x)(單位:元).

(1)求f(x)的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果的單株利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

解析⑴由題意得f(x)=15M(x)-30x,所以

15*5(/+3)30^0<x<2,

115*+25-3QX,2<x<5

|F75x2-3Qx+225,0<x<2.

x<5.

75(x-02+222,0<x<2,

805-30仔_+(l+x)]7Vx￡5

(2)將⑴中f(x)變形得f(x)=UMJ

①當(dāng)0<x<2時(shí),f(x)max=f(2)=465;

島+(l+x)]監(jiān)(1+x)

②當(dāng)2<x《5時(shí),f(x)=805-30口廿J<805-30x2N1+x=505,

25

當(dāng)且僅當(dāng)l+a=l+x,即*=4時(shí)等號(hào)成立.

因?yàn)?65<505,所以當(dāng)x=4時(shí),f(x)max=505,所以當(dāng)施用肥料為4千克時(shí)，種植該水果的單株利潤(rùn)最大，為505

元.

3.(2022屆河南調(diào)研,19I生產(chǎn)實(shí)踐)某廠家擬舉行促銷(xiāo)活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷(xiāo)售量(等于該廠家的

k

年產(chǎn)量)x萬(wàn)件與年促銷(xiāo)費(fèi)用m萬(wàn)元(mNO)滿(mǎn)足關(guān)系式x=2.5-*1rt'I*為常數(shù))，如果不搞促銷(xiāo)活動(dòng)，則該產(chǎn)品

的年銷(xiāo)售量是1.5萬(wàn)件.已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定年投入為10萬(wàn)元,每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入25萬(wàn)元,

廠家將每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的2倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金)

Q)將該產(chǎn)品的年利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為年促銷(xiāo)費(fèi)用m(萬(wàn)元)的函數(shù)；

(2)該廠家年利潤(rùn)的最大值為多少？

k_J_

解析⑴由題意可知當(dāng)m=0時(shí),x=1.5.由1.5=2.5」,得k=l,所以x=2.5-nrt-1.

1X4IIH-Sa25

因?yàn)槊考a(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格為2xx元，所以y=2x-x-10-25x-m=25x+10-m=2-^-rr.EPy

14525

關(guān)于m的函數(shù)表達(dá)式為丫=2-ZLm.m之0.

2S”5"^5_25

(2)因?yàn)閙1,所以,=10,即11rtl+m29,當(dāng)且僅當(dāng)E^m+L即m=4時(shí)

145

等號(hào)成立，所以ys2-9=635所以ymax=63.5.

故當(dāng)該廠家投入的年促銷(xiāo)費(fèi)用為4萬(wàn)元時(shí)，年利潤(rùn)最大，且最大值力63.5萬(wàn)元.

4.(2022屆河南十所名校測(cè)試二,19I生產(chǎn)實(shí)踐)已知某公司生產(chǎn)的一新款手機(jī)的年固定成本為350萬(wàn)元，

設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)這種手機(jī)x萬(wàn)部并全部銷(xiāo)售完，且每萬(wàn)部的銷(xiāo)售收入為600萬(wàn)元，生產(chǎn)這種手機(jī)每年

4O00C

需另投入成本R(x)萬(wàn)元，且當(dāng)0<x<40時(shí),R(x)=10x(x+10),當(dāng)x>40時(shí),R(x)=601x+x-6550.

(1)寫(xiě)出年利潤(rùn)W(萬(wàn)元)關(guān)于年產(chǎn)量x(萬(wàn)部)的函數(shù)解析式;(年利潤(rùn)=年銷(xiāo)售收入一年成本)

(2)當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬(wàn)部時(shí)，該公司所獲年利潤(rùn)最大?最大年利潤(rùn)是多少？

解析(1)當(dāng)0<x<40時(shí),W(x)=600x-10x(x+10)-350=-10x2+500x-350;當(dāng)x>40

(601x4-竺衿655。)蚪。+誓)

時(shí),W(x)=600x-\+6200,

f-lOx2+5OOx-35QOVx<40,

[-(4+岑丹+6200/>40.

.-.W(x)=

2

(2)當(dāng)0<x<40H,W(x)=-10(x-25)+5900,當(dāng)x=25BtW(x)max=5900;當(dāng)x>40

(FWOW

,40000

時(shí),W(x)=-+6200<6200-2=5800,當(dāng)且僅當(dāng)x=X，即x=200時(shí),取等號(hào)”5

900>5800〃?.當(dāng)年產(chǎn)量為25萬(wàn)部時(shí)，該公司所獲