2023年新高考解答題數(shù)列9種常考題型專題訓(xùn)練總結(jié)（解析版）-高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)重點(diǎn)資料歸納

2023年新高考解答題數(shù)列9種?？碱}型專題訓(xùn)練總結(jié)

【題型目錄】

題型一：等差等比基本通向求和公式的應(yīng)用

題型二：數(shù)列存在性問題

題型三：數(shù)列插入項(xiàng)、公共項(xiàng)分析

題型四：數(shù)列通向分析構(gòu)造新數(shù)列

題型五：數(shù)列中在某個(gè)區(qū)間的項(xiàng)的個(gè)數(shù)問題

題型六：數(shù)列中的裂項(xiàng)相消求和問題

題型七：數(shù)列中的錯(cuò)位相減求和問題

題型八：數(shù)列中的分段數(shù)列求和問題

題型九：數(shù)列中的簡單放縮求和問題

【題型總結(jié)】

題型一，等差等比基木通向求和公式的應(yīng)用

【例1】已知等差數(shù)列應(yīng)｝的前〃項(xiàng)和為S”，S4=S5=-20.

⑴求《和邑.

⑵若數(shù)列3,%%…,％成等比數(shù)列，且4=8,,求加

【答案】⑴勺=2〃-10,S“=〃2-9〃；⑵尤=3x2i+5.

4x3

44+=d=-20

【分析】（1）首先根據(jù)題意得到《,再解方程組即可得到答案.

5x4

547,+—f/=-20

（2）根據(jù)題意得到%=2勺-10,9耆二2,即可得到答案.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛勺｝的公差為"，由S,=S5=-20,

4q+^d=-20

%=-8

得方程組解得

5x4d=2

5a,+—J=-20

所以外=-8+2(1)=21。，s.=〃(-8+7-⑼

（2）由（1）知q二2〃-10,所以縱=24一10.

因?yàn)?=8,所以數(shù)列3,%%，，%，.的公比4=4=更券=2.

所以%=源.70=3x2",所以4=3x22+5.

【例2】已知數(shù)列｛%｝和也｝滿足。"+“=2〃+1,且也｝滿足"+尸”?〃+2（〃WN）%=1，

⑴求數(shù)列｛q｝、｛a｝的通項(xiàng)公式;

⑵設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為3,求當(dāng)5"+2"、50時(shí)，正整數(shù)〃的最小值.

【答案】⑴%=2〃+1-2"，2=2"：（2）6

【分析】（1）根據(jù)題干條件求出“、4的值，可求得等比數(shù)列｛〃｝的公比，再利用等比數(shù)列

的通項(xiàng)公式可求得數(shù)列｛"｝的通項(xiàng)公式，進(jìn)而可求得數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式；

（2）利用分組求和法可求得S.，然后解不等式S〃+2"i之50即可得解.

【詳解】（1）解：???電=1，々+》2=5,???4=4.

.4=-1，%+d=7,，力3=8,

所以，等比數(shù)列也｝的公比為4=3=2,.?也=%"-2=4x2-2=2”，

an=2〃十1—4=2〃+1—2”.

（2）解：由（1）知?！?2〃+1-2",

所以5=〃（3+2〃+1）—2（1_2）=〃（〃+2）―2布+2,

n21-2v7

.5“+2向250可化為〃2+2〃_4820，〃WN*,解得〃之6,

，正整數(shù)〃的最小值為6.

【例3】已知S“為等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，4=2,&=-22.

⑴求知;

（2）S”是否存在最大值？若存在，求出S”的最大值及取得最大值時(shí)〃的值；若不存在，說明

理由.

【答案】（1）4=一2〃+10；（2）存在，最大值20,〃=4或5

【分析】（1）設(shè)公差為"，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式，求得9,d即可得4；

（2）由等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式得，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合〃eN"即可確定5”的最

大值及取得最大值時(shí)〃的值.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d,由包=2,配=-22

4+3d=2

可得一11x10,解得用=8/=-2,所以勺=8+5-1*（-2）=3+10；

116T14-a=-22

2

（2）Sn=nax+—--d=Sn+——―-x（-2）=-n+9w=-l/z-—I+—

Q

又〃=/任N*,所以當(dāng)〃=4時(shí)，&=20,當(dāng)〃=5時(shí)，§5=20,

所以3“存在最大值為20,取得最大值時(shí)〃=4或5.

【例4】已知｛凡｝是等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為九｛2｝是等比數(shù)列，且4=々=2,$5=30,

么=32.

⑴求數(shù)列｛4｝與也｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)歹U｛q+2｝的前〃項(xiàng)和1.

【答案】(1)勺=2〃，勿=2"或“=2?(一2廣

⑵當(dāng)4=2時(shí)，.2+〃+2[1」-2)[：當(dāng)。=_2時(shí)，7=/+〃+生二號(hào)門

"3"3

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式求的q=2〃，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可

求解；

(2)由(1)知當(dāng)g=2時(shí)a=2"；當(dāng)夕=-2時(shí)"=2?(-2廣，結(jié)合分組求和法分別求出對

應(yīng)的值即可.

【詳解】(1)VS5=30,

:.5%=30,得生=6,又％=2,

?，.q+2d=6,解得d=2,

，數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式4=2+(〃-l)x2=2〃，〃eN*.

?.?伉=2,么=32,

=16,得q=±2,

??.當(dāng)q=2時(shí)，數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式"=2?2"T=2"；

當(dāng)g=—2時(shí)，數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式瓦=2?(-2廣，

所以數(shù)列也｝的通項(xiàng)公式為2”或2?(-2廣；

n

(2)當(dāng)2時(shí)，bn=2,

?！?包=2〃+2",

，7；=Q+4+?+2〃)+(2+2<+?+2")=〃(2；2〃)+3(：―j)=/+〃—2+2向；

當(dāng)4=-2時(shí)，”=2?(一2廣，

???凡+々=2h2(-2廣,

?/21-（-2）

?-7；=（2+4++2H）+（2-22++2.（-2）1X）=/+〃+=__——J-

【例5】設(shè)為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，已知生=3,an+i=2an+\.

（1）證明：數(shù)列｛勺+1｝為等比數(shù)列；

（2）判斷〃，4,5。是否成等差數(shù)列？并說明理由.

【答案】（1）證明見解析；（2）成等差數(shù)列，理由見解析.

【分析】（1）求出4=1,將給定等式為+1=2q+1兩邊同時(shí)加1,利月等比數(shù)列定義判斷作

答.

（2）由（1）可得%=2”-1,進(jìn)而求出S.，再利用等差中項(xiàng)的意義判斷作答.

【詳解】（1）因?yàn)?=3,。川=2%+1,貝1］。2=2%+1=3,解得4=1,

因此，4+［+1=2（4+1）,而4+1=2,

所以?1｝是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列.

0

（2）由（1）知，見+1=2",即凡=2"-1,因此‘——_n=2n+i-n-2,

1-2

于是n+Sn=〃+（2向2）=2向-2=2（2"-1）=24,

所以〃，%,S”成等差數(shù)列.

【題型專練】

1.已知｛qj與也｝都是正項(xiàng)數(shù)列，｛4｝的前〃項(xiàng)和為邑，且滿足2s“=4（4+1）,

等比數(shù)列也｝滿足［=q+1,b｛+b2=b3-2.

⑴求數(shù)列｛4｝,｛"｝的通項(xiàng)公式；

（2）記數(shù)歹IJ｛%+bn｝的前〃項(xiàng)和為,求滿足不等式＞520的自然數(shù)〃的最小值.

【答案】（l）a.=〃，d=2"6eN.）；（2）8

【分析】（1）利用S“與%的關(guān)系可以得到｛4｝的通項(xiàng)公式，再根據(jù)等匕數(shù)列的通項(xiàng)公式可得

圾｝的通項(xiàng)公式；

⑵根據(jù)（I）可以發(fā)現(xiàn)物力為等差數(shù)列，分組求和可得M“，解不等式即可.

【詳解】⑴解：???25.=凡（4+1）,???2s，用=。用（4八+1）

兩式相減得：2sgi-2S”=。向（，+1）-a”（a“+1）=an+；_a；+q+i-4=2*

化簡得：（q+i+a“）（a?|-a〃-l）=。

???｛%｝為正項(xiàng)數(shù)列,且蜀=q（q+l）=4

%一%=1，4=1，

即｛叫為首項(xiàng)為1,公差"為1的等差數(shù)列，

/.a?=4+d\n-i）=n

又??,…+1,2+4=4-2,｛4｝為等比數(shù)列,設(shè)其公比為9,

2

：.hy=2,2+2q=2q-2f解得4=-1或2，

而也｝為正項(xiàng)數(shù)列，故2,包=如1=2”.

綜上，數(shù)列｛叫，也｝的通項(xiàng)公式分別為4=〃也=2"（〃eN）

⑵解：記｛4｝,也｝的前〃項(xiàng)利分別為S”,7；

由等差數(shù)列及等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式可知

2

（4+%）〃n+n乙（1-0+1

=-------------=--------,1=-----------=z一乙

"22n\-q

2

???%=1+7；=2向+式-2公用）

易知以廣2”+2+（向）2+（〃+1）-2,

作差可得：此+「M”=2Z+〃+l>0（〃wN"）

即當(dāng)〃eN'時(shí)，｛M“｝單調(diào)遞增，

當(dāng)〃=7時(shí)，A/7=282<520,當(dāng)〃=8時(shí)，^=546>520

，兒的最小值為8.

故滿足不等式Mn>520的自然數(shù)〃的最小值為8.

2.已知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)為1,公差4>0,其前〃項(xiàng)和S.滿足S2s3=18.

⑴求公差d；

（2）是否存在正整數(shù)m,2使得4+0“+2+41+―+*2*=30.

【答案】（l）d=l；（2）存在，理由見解析

【分析】（1）由等差數(shù)列求和公式列出方程，求出公差；

（2）在第一問的基礎(chǔ)上，得到通項(xiàng)公式，利用求和公式得到（&+1）（拉+%）=30,法一：由

加，%為正整數(shù)，列出符合要求的解；法二：得到旭+左=3€1<,且相+2之2+1,從而得

k+1

到1+1=2,3,5,寫成符合要求的解.

【詳解】（1）因?yàn)椤?03=18,6=1,所以（24+d）x3（4+d）=18,

所以（2+d）（l+d）=6,即-2+31—4=0,解得：1=1或1=7.

因?yàn)閐>0,所以4=1.

（2）法一：由（1）得，q=4+（〃-1）1二〃，

(A:+l)(?+a.)(k+\)(m+m+2k)...八

4+4.2++=--八；mm-+2"=V__A---------L=(A+i)(m+2)=30,

左=1時(shí)〃?=14；

A=2時(shí)m=8：

k=4時(shí)zn=2；

4=5時(shí)〃?=0(舍)，

當(dāng)上之6時(shí)，m<0,不合題意；

?.?滿足條件的左，加有三組.

法二：由(1)得，4=4+(〃-l)d=〃，

口凡,+)、,、

故4+%.2+…+6田-1(―2+1)(4,”.-“=-(-k+\]匕(m+--m-+--2-k^)=(/八1)(加+女)=30,

所以機(jī)+2=」一GN*,且相+攵之攵+1,

k+\

k=1（k=2卜=4

所以火+1=2,3,5,所以

/w=14zn=8[in=2

存在滿足條件的左，機(jī)有三組.

3.在數(shù)列｛q｝中，。3=凡勺+2，4=1，卬=8.

（1）求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）若d=log,an,求數(shù)歹I」｛《,+2｝的前w項(xiàng)和S”.

【答案】（1）《=2”工（2）S.=^^^+2”-l

【分析】（1）由等比中項(xiàng)定義可知數(shù)列｛勺｝為等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得結(jié)果；

（2）采用分組求和法，結(jié)合等差和等比數(shù)列求和公式即可求得結(jié)果.

【詳解】（1）「"3一%4+2，4=1，4=8，貝1]4工0，二?數(shù)列｛4｝是以1為首項(xiàng)的等比數(shù)

列，

設(shè)其公比為/則9:色=8,解得：q=2,\%=2"1

a\

nln]

(2)由(1)得：bn=\og22=n-1,:.an+bn=2-+(n-1),

0,2,r2,,_,

.-.5ZI=(2+2+2+---+2-+2)+[0+l+2+---+(/i-2)+(/i-l)]

二1-2<〃(〃-1)?

1-222

4.設(shè)等比數(shù)列｛q｝滿足q+%=3,3+4=6.

（1）求｛可｝的通項(xiàng)公式；

（2）記S“為數(shù)列｛log?4｝的前〃項(xiàng)和.若Sm+Sm.產(chǎn)Sz，求加的值.

【答案】（l）aa=2"T；（2），〃=6

【分析】（1）設(shè)等比數(shù)列｛勺｝的公比為0,根據(jù)題意，列出方程組，求得首項(xiàng)和公比，進(jìn)而

求得通項(xiàng)公式；

（2）由⑴令〃=砥2。“=1%21=〃-1,利用等差數(shù)列求和公式求得S“,根據(jù)已知列出關(guān)

于陽的等量關(guān)系，求得結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的｝的公比為9,

根據(jù)題意，有聞：3解得14=；,

a闖+用一=6[<7=2

所以%=2八.

w-1

（2）令b“=log2a?=log22=H-1.

所坐上心二D,

"22

根據(jù)S,”+>/S可得嘩1+嗎ELR絲2,

222

整理得病-5m-6=0,因?yàn)閙>0,所以帆=6.

5.數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S”，且4=1,%=2S”，n=l,2,3,.

（1）求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

⑵求數(shù)列｛〃“｝的前〃項(xiàng)和S..

1,?=1./

｛&歹2,心2；⑵叢=3（〃eN）

【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用a,=S“-S〃T（〃N2）,可得乎=3（〃之2）,即可根據(jù)等比

數(shù)列的通項(xiàng)公式求得知,再檢驗(yàn)4=1即可求解；

（2）根據(jù)，=4+4+/++%，令〃=1和〃N2,利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求解，

并檢驗(yàn)\=1即可求解.

【詳解】（1）解：已知％+1=2S”，則q=25-4〃22）,4=2S、=2a=2

兩式相減可得一q=2S”-2sz=2勺=>a.=3。“，即也=3（〃>2）,

所以數(shù)列｛4｝是在〃22上公比為3的等比數(shù)列，則為=%3'-2=2-3"2（〃之2）,

因?yàn)?=1,不符合上式,

1〃=1

所以數(shù)列M｝的通項(xiàng)公式為q=；3”“〃之2

（2）根據(jù)題意，得，=%+/+。3++?！?，

當(dāng)〃=1時(shí)，$=4=1,

2—2x

當(dāng)〃N2時(shí)，Sn=l+2x30+2x3i+?2x3"-2=i+//)=1+3"“-1=3"”，

“1-3

因?yàn)镾=1符合上式，所以數(shù)列｛《｝的前〃項(xiàng)和S“=3"T（〃eNx）.

題型二：數(shù)列存在性問題

【例1】已知在數(shù)列｛4｝中，4=3,勺+廄*=3"\其中〃eN*,且〃22,實(shí)數(shù)2=0.

（1）當(dāng)左二一1時(shí)，求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式；

（2）是否存在常數(shù)3使得數(shù)列｛《/為等比數(shù)列？若存在，求出女的值；若不存在，請說明理

由.

【答案】（1）q=屋，：（2）存在，一2

【分析】（1）由累加法求解即可；

（2）假設(shè)數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，假設(shè)前三項(xiàng)得出々的值，再驗(yàn)證即可.

【詳解】（1）當(dāng)％=-1時(shí)，4―明=尸（壯2）,

所以%-4=3,%一4=32........勺-4"T=3"T,

以上式子相加，得勺-4=3+32++3，1=史三2=一（壯2），（累加法）

1—32

V+3314-3

所以勺=32？（〃22）,又—=3,滿足上式，（注意驗(yàn)證〃=1的情況）

22

故數(shù)列M的通項(xiàng)公式為4=手.

（2）假設(shè)存在常數(shù)3使得數(shù)列｛q｝為等比數(shù)列.

由%+版"1=3"“及4=3,得。2=-3i+3=3-3攵，

4=一飽+32=—4（3—34）+9=3左2—3攵+9,

因?yàn)椋鹮｝是等比數(shù)列，所以d=。岡，得（3-3左）2=3（3公一3攵+9）,解得2=2

當(dāng)左二一2時(shí),=2%+3"“，即字■=：?爭■+：,

所以會(huì)一/爵一）又$1=0,從而會(huì)7肛即見=3",

故應(yīng)｝是首項(xiàng)為3,公比為3的等比數(shù)列.

所以存在常數(shù)女，使得數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，且無=-2.

【例2】已知數(shù)列｛q｝滿足22=2“"+2儂?8，〃eN?，且J-，.

⑴求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式.

⑵是否存在正整數(shù)小使得知,。向，%+2等差數(shù)列？若存在，求出〃的值；若不存在，請

說明理由.

3——

【答案】(l)4=】og2〃+5；(2)不存在，理由見解析

【分析】⑴化簡已知等式，2%-2'2灰，判斷數(shù)列｛2%｝是等差數(shù)列，由此求得數(shù)列應(yīng)｝

3

的通項(xiàng)公式&=log2〃+'；

■33

⑵假設(shè)成立，則應(yīng)滿足2log2(n+l)+^=地2〃+]+1%(〃+2)+5化簡后解答，無解，

則不存在正整數(shù)〃，使得知,限。一成等差數(shù)列.

【詳解】(1)由題意知2%“一24=2啕8=2*=2近，2fl,=2-=2>/2.

所以數(shù)列｛2"”｝是以2夜為首項(xiàng)，2及為公差的等差數(shù)列.

因此2%=2五+(〃—1)x2a=2&〃，

3

故an=log22\fln,即a”=log2〃+；?

(2)假設(shè)存在正整數(shù)〃，使得耳，勺“4.2成等差數(shù)列，

3133

則2log2(w+l)+-=log2M+-+log2(/z+2)+-.

化簡得唾2(〃+1丫=log2〃(〃+2)，

即(〃+1)2=〃(〃+2),顯然該等式不成立，

故假設(shè)不成立，因此不存在正整數(shù)〃，使得知,。川，勺.2成等差數(shù)列.

題型三：數(shù)列插入項(xiàng)、公共項(xiàng)分析

【例1】已知S"為數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和，4=5,S,.I=S”+4+4；也｝是等比數(shù)列，4=9,

4+4=30,公比“>1.

⑴求數(shù)列血｝,也｝的通項(xiàng)公式；

(2)數(shù)列應(yīng)｝和也｝的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合4,B,將的元素按從小到大依次排列構(gòu)成

一個(gè)新數(shù)列｛q｝，求n0=。+。2+。3+―+%.

【答案】⑴勺=4〃-3,2=3"；(2)660

【分析】（1）將Sz=S“+%+4移項(xiàng)作差可得｛叫是等差數(shù)列，結(jié)合出=5可求出數(shù)列｛4｝

的通項(xiàng)公式，將代入等式計(jì)算，即可求出數(shù)列｛“｝的通項(xiàng)公式：

（2）由%）=77可判斷前20項(xiàng)中最多含有仇也也三項(xiàng)，排除a=%可確定前20項(xiàng)中｛凡｝的

項(xiàng)數(shù)和｛〃｝的項(xiàng)數(shù)，進(jìn)而可求出前20項(xiàng)和.

【詳解】（1）由=5.+為+4,可得q+「〃”=d=4,又々=5,即4+4=5,

a）=1,故a4=1+（〃-l）x4=4〃-3.

???｛〃｝是等比數(shù)列，由4=9,4+么=30,>1,

???4g=9,偽+如2=30,解得4=3,瓦=3,即勿=3".

（2）由（1）知：%。=77,令々<77,則〃=1,2,3,

所以4=3,2=9,4=27在新數(shù)列匕｝的前20項(xiàng)，

因?yàn)?=9與勿=9為公共項(xiàng)，所以前20項(xiàng)中有18項(xiàng)數(shù)列｛4｝中的項(xiàng)以及仇，人.

18x17

弓=4+/+/++。18+4+4=18x14---------x4+3+27=660.

【例2】已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，其前〃和為斗，生=2,59=45,數(shù)歹式2｝滿足

n

q4+02b2+anbn=（n-l）-2+1

⑴求數(shù)列｛4｝，也｝的通項(xiàng)公式；

（2）若對數(shù)列｛《,｝,｛"｝,在4與%M之間插入4個(gè)2（攵cN*）,組成一個(gè)新數(shù)列｛4｝,求

數(shù)列｛4｝的前2023項(xiàng)的和5.

【答案】（1）《=〃，"=2"T（〃e>T）；（2）4090

【分析】（1）首先建立等差數(shù)列的基本量的方程組，求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式，再利用數(shù)列

｛44｝的和求數(shù)列出｝的通項(xiàng)公式；

（2）根據(jù)通項(xiàng)公式，確定前2023項(xiàng)有多少個(gè)2以及含有數(shù)列｛q｝的多少項(xiàng)，再求和.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為％,公差為d,

[a.+d=2fa=1一

由題意[9（q+4d）=45,■，所以"

44+生偽+=（〃-1>2"+1①

當(dāng)時(shí)，岫+皿++4一片」=（〃-2）?2”T+1②，

①?②可得，々=2"T（〃N2）,

當(dāng)〃=1時(shí)，，4。=1曲=1適合"=2"T,

所以仇=2"T(〃€N.)

(2)因?yàn)榉?〃，所以在數(shù)列｛4｝中，從項(xiàng)4開始到項(xiàng)名為止，

共有項(xiàng)數(shù)為2+2°+2、.+2i=k+2J—l，

當(dāng)左=11時(shí)，11+21°-1=1034<2023;

當(dāng)k=12時(shí)，12+2"-1=2059>2023，

所以數(shù)列｛4｝前2023項(xiàng)是項(xiàng)孫之后還有2023-1034=989項(xiàng)為2,

所求和為4023=0+2++ll)+2x(2°+2'++29+989)=4090.

【例3】已知等差數(shù)列｛可｝的前〃項(xiàng)和為S.，q=-5,%、%-1、6+1成等比數(shù)列，數(shù)列

也｝的前〃項(xiàng)和為小且7；+2=?”,(〃￡N)

(1)求數(shù)列｛4｝、也｝的通項(xiàng)公式；

(2)記國表示不超過x的最大整數(shù)，例如［-2.1］=-3,=設(shè)0“一慍］,求數(shù)列步￡｝的

前7項(xiàng)和.

【答案】⑴>=4〃-9,4=2"；(2)218

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛〃“｝的公差為d,根據(jù)題中條件可得出關(guān)于d的等式，解出d的值，

可得出等差數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，當(dāng)〃之2時(shí)，由<=2d-2可得出加=2加-2,兩式作

差可得出數(shù)列出｝為等比數(shù)列，當(dāng)〃=1時(shí)，求出4的值，可得出等比數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式;

(2)列舉出數(shù)列｛c.｝前7項(xiàng)的值，進(jìn)而可求得數(shù)列也￡｝前7項(xiàng)的和.

【詳解】(1)解：設(shè)等差數(shù)列｛凡｝的公差為d，

因?yàn)閮?nèi)、&7、牝+1成等比數(shù)列，所以(%-1)2=/3+1),

即(34—6)2=(24—5)(44—4),整埋可得d?-8d+16=0,解得4=4,

故aa=4+(n-l)c/=-5+4(/i-1)=4/7-9,

因?yàn)楸?22-2①，當(dāng)〃22時(shí)，如=2〃--2②，

①一②可得"=22-283,即〃=?z(〃N2),

又〃=1時(shí)，4+2=24，即伉=2,

所以數(shù)列｛〃｝是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故4=2?2~=2”.

4〃一9

(2)解：由(1)知，an=4n-9,則q=—,

所以C|=S=T，。3=。=。，《=。6=。7=1，

貝IJ數(shù)歹U｛2c｝的前7項(xiàng)和“7=-lx(2i+22)+0x(23+2，)+lx(25+26+27)=218.

【題型專練】

1.已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和記為s.(〃cN),滿足3%+2%=55+6.

(1)若數(shù)列｛S,｝為單調(diào)遞減數(shù)列，求外的取值范圍；

(2)若％=1,在數(shù)列｛q｝的第〃項(xiàng)與第〃+1項(xiàng)之間插入首項(xiàng)為1,公比為2的等比數(shù)列的前

〃項(xiàng)，形成新數(shù)列出｝,記數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和為心求

【答案】⑴(9,2)；⑵&=8050

【分析】(1)設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為d，由已知可得d=-2,求得，，由數(shù)列的單調(diào)性

列不等式即可得％的取值范圍；

(2)由(1)得為，對數(shù)列｛〃｝進(jìn)行分組分析，即可知其前95項(xiàng)的構(gòu)成部分，結(jié)合等差數(shù)

列與等比數(shù)列的求和公式即可求得豈一

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d,由于3%+2%=55+6,

所以3(4+d)+2(q+2z/)=5q+10d+6,解得4=—2?

所以S”=叫+〃』；=-rr+(q+，

若數(shù)列｛Sn｝為單調(diào)遞減數(shù)列，則-S”<0對于〃wN*恒成立，

所以5--5“=[-(〃+1)2+(%+1)(〃+1)[-[—〃2+(%+1)〃]=%一2〃<0在〃€1<上'恒成立，

則/<2〃，所以《〈(幼"/又?jǐn)?shù)列｛2〃｝為遞增數(shù)列，所以(2〃).=2><1=2,即4<2,

故6的取值范圍為(-co,2)；

(2)若4=1,則=1+(〃-1風(fēng)-2)=-2〃+3,

根據(jù)題意數(shù)列也｝為：

第一組為：1,2°;

第二組為：一1,2%2,;

第三組為：一3,2°，2、22;

第4組為：-2攵+3,2°，2、22....?2*T；

則前左組一共有2+3+4++(&+1)=?；為項(xiàng),當(dāng)Ar=12時(shí)，項(xiàng)數(shù)為90.

故私相當(dāng)于是前12組的和再加上-23,2°,2\22,2'這五項(xiàng)，即：

7^=[1+(-1)++(-21)]+[2°+(2°+2,)+.+(2°+2'+.+2'1)]+(-23+20+2'+22+23)

設(shè)c.=20-1,則2°+(20+2>+(2。+2"+2”)可看成是數(shù)列｛5｝的前12項(xiàng)和

所以7；=(―21)x12+2><(123)_]2—23+]+2+4+8=2J42=805O.

21-2

2.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛6｝的前n項(xiàng)和為S”,且外,S/；為等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(2)若機(jī)為正整數(shù)，記集合忖方+丁工號(hào)的元素個(gè)數(shù)為九，求數(shù)列也J的前50項(xiàng)和.

【答案】(1)/=〃；(2)2497

【分析】(1)根據(jù)?！?，S”的關(guān)系，利用相減法即可求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式：

(2)根據(jù)基本不等式分析集合「』2+24加中元素個(gè)數(shù)九的數(shù)列特點(diǎn)，利用等差數(shù)列的

前八項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)?,為等差數(shù)列，所以2s“=q+。：，且為>0

當(dāng)〃=1時(shí)，2sl=24=4+a；,可得q=1；

當(dāng)〃之2時(shí)，2(S“-S?_J=2a”=4+a；-an_x-%,則an+%=&-m=(4+%)(4-%)；

由4+%>0,故?！?,

所以｛q｝是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列，故q=〃.

M2?〃2,If41

(2)—+—<=>—+—<zn=>—n+—\<m,

2an2n21nJ

因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)〃=2時(shí)成立，所以伉=0也=1,

山,2m-l212,2m21

I/??>3,因?yàn)?----+-----=m——+-----<m,——+——=m-\——>m,

22m22m-122mm

所以能使g+成立的〃的最人值為筋-I,

2n

所以以=2加一l(w?N3),

所以｛超｝的前50項(xiàng)和為0+1+5+7++99=0+1+(5+9；)X48=2497.

3.已知正項(xiàng)等差數(shù)列｛4｝和正項(xiàng)等比數(shù)列｛瓦｝,S“為數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和，且滿足

q=2,&=12也=4也=。論.

⑴分別求數(shù)列M和｛hn｝的通項(xiàng)公式；

(2)將數(shù)列｛4｝中與數(shù)列｛〃｝相同的項(xiàng)剔除后，按從小到大的順序構(gòu)成數(shù)列｛c,J,記數(shù)列｛c.｝

的前〃項(xiàng)和為求加0.

【答案】(1)4=2〃，〃=2"；(2)11302.

【分析】（1）利用基本量代換列方程組分別求出公差和公比，即可求出｛q｝和也｝的通項(xiàng)公

式；

（2）判斷出公共項(xiàng)，利用公式法求和.

【詳解】（1）設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列｛凡｝的公差為

因?yàn)閝=2@=12,所以q+（《+d）+（4+2d）=12,解得：d=2,所以

an+（〃—l）d=2+（/1—1）x2=2n.

設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列出｝的公比為。.

因?yàn)椋?4也=%所以：一］「解得：|二，所以“=他川=2”.

b5=b、q=32國=2

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，所以數(shù)列｛2｝的前8項(xiàng)依次為：2、4、8、16、3264、128、256,

對應(yīng)數(shù)列｛&｝第1、2、4、8、16、32、64、128項(xiàng)，故數(shù)列｛5｝的前100項(xiàng)為數(shù)列｛4｝的前

1。7項(xiàng)，剔除數(shù)列｛2｝的前7項(xiàng)的數(shù)列.

設(shè)數(shù)列圾｝的前〃項(xiàng)和為加，所以

3,oi7/*O+?x叱嚕%上。2.

題型四：數(shù)列通向分析構(gòu)造新數(shù)列

【例1】已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為5,，4+%=14,S7=70,等比數(shù)列也｝中，

"+瓦=12,且4，4+6,4成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛%｝和圾｝的通項(xiàng)公式；

⑵記］=4+%++%1，求使280成立的〃的最小值.

【答案】⑴4=3凡-2,2=3"；（2）11

【分析】（1）由題意，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及求和公式即可得到公差d,然后根據(jù)等

比數(shù)列的定義求得公比心即可得到結(jié)果.

（2）根據(jù)題意，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可得到從而得到結(jié)果.

【詳解】（1）設(shè)血｝公差為d,故q+%=24+4d=14,S7=7a1+21J=70,解得：d=3,

4=1,所以q=q+（〃—l）d=1+3（H-1）=3H—2,

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為夕，々+與=自（1+4）=12,因?yàn)椤ㄒ?6,4成等差數(shù)列，所以

2（〃2+6）=4+4，即2佃4+6）=4+偽丁，與自（1+4）=12聯(lián)立得：夕=3或0（舍去），

且伉=3,故包=姐2=3",

（2）由題意得［=4+6++=〃+6〃（；。=3.一2〃,

由3/_2〃>280得，〃<-丁或〃>10.因?yàn)椤╡N+，所以凡最小為11.

【例2】已知公比大于1的等比數(shù)列｛&｝滿足4+%=6,4+4=24.

⑴求｛q｝的通項(xiàng)公式；

（2）求-a｝a2+a2a3+（-1）’%為“?

【答案】（1）q=2"；⑵二8+8X（-4）

5

【分析】（1）先列方程組求得等比數(shù)列｛q｝的首項(xiàng)與公比的值，進(jìn)而求得｛q｝的通項(xiàng)公式;

（2）先判定數(shù)列｛（-l）"a“4+J為等比數(shù)列，求得其前〃項(xiàng)和，進(jìn)而求得

-?1?2一…+（一1）”為々向的值?

【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的｝的公比為破9>1）,

a.+a.q=6a=2.

則仁。+加24解得〈。????凡=2-2〃7=2”.

19=2

h,(-l)rt+1.2n+,-2n+2

(2)令么=(-1)"4/褊，

nn+,

、bn(-l).2-2"

又〃=-“0=-8,???數(shù)列也｝是首項(xiàng)為-8,公比為T的等比數(shù)列，

?/-8[l-（-4）n]-8+8x（-4）rt

k

??+生生—?.?+（-1）a“a”+i=—1+4--=------

題型五：數(shù)列中在某個(gè)區(qū)間的項(xiàng)的個(gè)數(shù)問題

【例1】已知公比大于1的等比數(shù)列｛6｝滿足4+4=20g=8.

⑴求｛q｝的通項(xiàng)公式；

⑵記牝?yàn)楹危趨^(qū)間（0,叫（mwN）中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列｛〃.｝的前50項(xiàng)和小.

【答案】（1）4=2"：（2）193

【分析】（1）設(shè)首項(xiàng)為6,公比為9,代入條件計(jì)算，可求出通項(xiàng)公式；（2）由條件可知,

當(dāng)機(jī)€[212￡“-1）時(shí)，bm=k,且。=0,即可計(jì)算前50項(xiàng)的和.

【詳解】（1）由于數(shù)列｛q｝是公比大于1的等比數(shù)列，

設(shè)首項(xiàng)為4,公比為9，

依題意有卜=2。

解得：q=2,夕=2或q=32,夕=g（舍）.

所以%=2”.

(2)由題意，2"/w，gpn<Iog,m,

當(dāng)/w=1時(shí)，4=0,

當(dāng)m=2,3時(shí)，力2=4=1L

當(dāng)me[2”,2Z-l)時(shí),bm=kt共有少個(gè),

則S50=4+(4+&)+(5+々++4)++(42+3++%)

=0+1x2+2x4+3x8+4x16+5x19

=193.

【例2】已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且q=l,2S“=29-〃:+〃.

⑴求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

⑵給定心N,記集合何心勺42"，&eN*｝中的元素個(gè)數(shù)為外，若々+H++々>2023,

試求左的最小值.

【答案】⑴凡"：(2)11

【分析】(1)依題意構(gòu)造Si與。骨的方程，與已知方程作差求解結(jié)果；

(2)由4人解出〃的范圍，得到打,進(jìn)行數(shù)列求和與2023比較大小即可達(dá)到結(jié)果.

【詳解】(1)依題意2s,=2〃%—/+〃，①

當(dāng)〃N2時(shí)，2S,_]=2(〃-1)%-(〃-1)2十〃一1,②.

??兩式相減得2a.=2nan-2(〃-1)%+2-2%即-1)(4-^-1)=0,

因?yàn)樾?,所以—T=0,即4,-41T=1，

所以｛勺｝是公差為1的等差數(shù)列，

又4=1,故數(shù)列血｝的通項(xiàng)公式為q=〃.

(2)依題意心凡42。即心〃423因?yàn)?eN",2睦N',〃eN”,

所以滿足不等式的正整數(shù)個(gè)數(shù)為乎-2+1,即仇=2/-八1,.

2

b｝+b2++^.=(2'+2++2)—(1+2++4)+女

=必_4/+上2，

1-222

因?yàn)?=2"-左+1>0,所以4+"+?+4單調(diào)遞增，

當(dāng)攵=10時(shí)，4+打+十九=2001<2023,

當(dāng)k=11時(shí)，b｝+b2++%=4039>2023,

所以女的最小值為11.

【例3】已知｛4｝為等差數(shù)列，前〃項(xiàng)和為S.,若邑=48，見“=2《+1

⑴求心

(2)對.〃GN\將｛&｝中落入?yún)^(qū)間(2122)內(nèi)項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為也,｝,求｛(-1)”也｝的和.

【答案】⑴凡=2〃一1：(2)|(T『+*2)Y

【分析】(1)利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式列方程組求解即可；

(2)先根據(jù)2'”<2〃-1<22附及〃eN"可得2""+lK〃W22i,進(jìn)而得九=2?"-2"~,再由

分組求和和等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求解即可.

【詳解】(1)設(shè)｛q｝的公差為d，

所以S4=4s2=4?(+6d=4(2q+d),

02n=2q+1=4+(2〃-l)d=2[a+(〃-l)d]+l,

解得q=1,d-2,

所以勺=2〃-1

(2)由題意可得2’”<2"-1<22"'=>[里<〃<絲里，即2"i+，<〃<22mT+4，

2222

因?yàn)椤╡N*,所以2'"T+1K〃W22M,

所以九=22w-'-2m-l,(-lf^=(-l),w22m~l-(-If,

所以(-4)

【題型專練】

1.已知血｝是等差數(shù)列，也｝是公比不為I的等比數(shù)列，―,4=b?=6.

(1)求數(shù)列｛勺b｛仇｝的通項(xiàng)公式;

⑵若集合"=｛"12=4,肛左￡印，且1女400｝,求M中所有元素之和.

【答案】(1)勺=4〃-2,^=2x3°-'；(2)242

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解，可得答案；

(2)先根據(jù)a=4,以及1MAG00得出〃的范圍，利用等比數(shù)列求和可得答案.

【詳解】(1)設(shè)｛4｝的公差為d,｛"｝的公比為4,則由4=4=2,4=&=6,

2+d=64=4

可得<，解得

2q=6[〃=3

所以為=4〃-2,2=2x3”，

(2)設(shè)仇=%,即2X3"T=4"2,得3i=2k-1,

因?yàn)?444100,所以142A-14199,故143-Y199,

由于34Vl99v3,，所以0"-144,即14〃45,

所以M中所有元素之和為：b[+A+4+仇+b5=2x,；)=242-

2.已知等差數(shù)歹ij｛/｝的前〃項(xiàng)和為S”,且S5=2%+11,4=4+4+3.

⑴求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列他｝由6｝與血｝的公共項(xiàng)按從小到大的順序排列而成，求數(shù)列也｝落在區(qū)間

(0,2022)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù).

【答案】⑴勺=2〃-1；(2)22

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前〃項(xiàng)和公式列式計(jì)算即可：

(2)計(jì)算得出配的通項(xiàng)公式，分析可得也卜表小全體正奇數(shù)的平方從小到大組成的數(shù)列,

據(jù)此推斷出數(shù)列｛"｝落在區(qū)間(0,2022)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù).

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛q｝的公差為d.

Sx4

=2a.+11,5q+:-d=2(4+3d)+ll,得3q+4d=11,

由%—可得

4_2d=-3,

4+4d=q+4+2d+3,

解得｛露

所以4=q+(n-\)d=2n-\.

(2)因?yàn)镮=也羅」=/,所以｛S“｝表示所有正整數(shù)的完全平方數(shù)從小到大組成的數(shù)歹ij,

而｛q｝表示全體正奇數(shù)從小到大組成的數(shù)列，所以也｝表示全體正奇數(shù)的平方從小到大組成

的數(shù)列，

因?yàn)?32V2022<452，所以｛4｝落在區(qū)間(0,2022)內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)為22項(xiàng).

3.已知數(shù)列｛%｝,前〃項(xiàng)和為S”，且滿足勺討=24一勺_1，〃22,〃eN*，4+%=14,S7=7。，

等比數(shù)列也｝中，2+&=12,且4也+6,"成等差數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

(2)記c“為區(qū)間(4也](〃eN)中的整數(shù)個(gè)數(shù)，求數(shù)列｛cn｝的前n項(xiàng)和Pn.

【答案】(1)勺=3〃-2,勿=3"；(2)匕土即?

2

【分析】(1)根據(jù)n>2,得到｛%｝為等差數(shù)列，根據(jù)通項(xiàng)公式和求

和公式基本盤計(jì)算出首項(xiàng)和公差，得到｛4｝的通項(xiàng)公式，再利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本后計(jì)

算出4=3和公比，求出｛〃｝的通項(xiàng)公式；

(2)在第一問的基礎(chǔ)上得到c“=3"-3〃+2,分組求和，結(jié)合等差數(shù)列和等比數(shù)列求和公式

求出答案.

【詳解】(1)4+1=〃--，n>2,〃wN*,

即見+i一4=〃"一生-I，n>2,n€N*?

故｛q｝為等差數(shù)列，設(shè)公差為d,

故q+火=24+44=14,S7=7a｝+1\d=70,

解得：d=3,4=1,

所以a”=q+(n-l)t7=l+3(n-l)=3/?-2,

設(shè)等比數(shù)列也｝的公比為9，4+與=偽(1+4)=12,

因?yàn)?,/+6,4成等差數(shù)列，所以2(4+6)=4+4，

即2(加+6)=4+如2,與"1+勿=12聯(lián)立得：4=3或0(舍去)，

且4=3,故仇=見尸=3”，

(2)由題意得：或?yàn)?3〃一2,31僅wN')中的整數(shù)個(gè)數(shù)，

故q=3"-(3〃-1)+1=3”一3〃+2,

所以匕=弓+。2+。3++q=3-3+2+32-6+2++3"-3〃+2

,/、3-3n+,〃(3+3〃)

=3+32++3"-(3+6++3〃)+2〃=^~^-----^+2〃

3”7-3-3/+〃

=2'

題型六：數(shù)列中的裂項(xiàng)相消求和問題

【例1】已知3為等差數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和，滿足邑+6=4+4+33,.

給出三個(gè)條件：①S0+a0=/+6〃+3,②%=%+/+1,③〃(5.+4.J=(〃+l)S“+〃(〃+l).

試從上面三個(gè)條件中選擇一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線中，并給出下面兩問的解答.

⑴求｛6｝的通項(xiàng)公式；

2QQ

⑵設(shè)a=(4_4)(〃「4)，數(shù)列間的前〃項(xiàng)和為心若筌噎’求正整數(shù)〃的值，

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】⑴凡=2〃+3；⑵44

【分析】（1）根據(jù)題意和等差數(shù)列的性質(zhì)可得4=%+3d=ll,若選①，令〃=4,結(jié)合等

差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；若選②，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；若選③，將等式

變形得,-2=1，由等差數(shù)列前〃項(xiàng)求和公式可得&=q+也二次，進(jìn)而求出d即可求

〃+1nn2

解.

（2）由（1）得〃二丁二-不二，利用裂項(xiàng)相消求和法即可求解.

【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列｛為｝的公差為d，

由S4+%=q+/+33,得$4-（4+/）+%=33,

所以％+勾+6=33,所以3q=33,即包=11.

若選①：由S”+〃“=/?+6〃+3,得邑+q=S4+U=43,所以4q+6d=32.

又因?yàn)間=4+3d=ll,解得4=5,d=2,

所以q=4+5-1)〃=5+2(〃-1)=2〃