2023有道考神考研數(shù)學(xué)常用公式手冊(cè)

有道考神考研數(shù)學(xué)

常用公式手冊(cè)

未來------是你的正無窮

oooo|oooo

錄

第一部分高等數(shù)學(xué).......................................1

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)................................1

第二章一元函數(shù)微分學(xué)...............................12

第三章一元函數(shù)積分學(xué)..............................21

第四章微分方程.....................................32

第五章多元函數(shù)微分學(xué)..............................37

第六章二重積分.....................................41

第七章無窮級(jí)數(shù)（數(shù)學(xué)一、三）..........................44

第八章向量代數(shù)與空間幾何（數(shù)學(xué)一）.................50

第九章三重積分（數(shù)學(xué)一）............................58

第十章曲線積分（數(shù)學(xué)一）............................61

第十一章曲面積分（數(shù)學(xué)一）..........................63

第十二章場(chǎng)論初步（數(shù)學(xué)一）..........................66

第二部分線性代數(shù).....................................68

第一章行列式.......................................68

第二章矩陣.........................................69

第三章向量組.......................................73

第四章線性方程組...................................76

第五章特征值與特征向量............................78

第六章二次型.......................................79

第三部分概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)（數(shù)學(xué)一、三）.................82

第一章隨機(jī)事件與概率..............................82

第二章隨機(jī)變量及其分布............................85

第三章多維隨機(jī)變量及其分布.......................88

第四章隨機(jī)變域的數(shù)字特征.........................90

第五章大數(shù)定律與中心極限定理.....................92

第六章數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念..........................93

第七章參數(shù)估計(jì).....................................95

第八章假設(shè)檢驗(yàn).....................................98

?2?

?第一部分高等數(shù)學(xué)■

第一部分高等數(shù)學(xué)

笫一尊函數(shù)、極限、連續(xù)

一、基本初等函數(shù)及其性質(zhì)

?鼎函數(shù)

(1)函數(shù)形式：y=-3w1O.

(2)計(jì)算性質(zhì):

1

y=xn=7x=x=-~',j=xn,xnt=xru?n,y=/(.vn\)ni=xmu.

jc，1

(3)常見函數(shù)及其圖像：

y=x,y-x2,〉=&、、=：x\y=yx=-?

?A

v1

，.tv-x/7'I''嘰"ll?

A~~o-V

/J:彳

?指數(shù)函數(shù)

(1)函數(shù)形式:y=a(ft>c)且1).

(2)定義域：(-8,+8),值域：(0,+8).

(3)單調(diào)性：〃>1時(shí)=，單調(diào)增加；〃<］時(shí),y=a，單調(diào)

減少.

4有道老神考研數(shù)學(xué)公式手冊(cè)〉

(4)常見函數(shù)及其圖像:

(6)特殊函數(shù)值：/=]"=1.

?對(duì)數(shù)函數(shù)

(1)函數(shù)形式：)=log4lx(〃>0且31).

(2)定義域：((),+00)，值域：(-8,+8).

(3)單調(diào)性>1時(shí),y=log.單調(diào)增加；〃<1時(shí)，y=logflx單

調(diào)減少.

(4)特殊函數(shù)值：log」=0Jog,//=1Jnl=0,lne=1.

(5)極限：lirnIn.v=+x,limhi.v=-x.

1>?XX

(6)常見函數(shù)及其圖像：

?三角函數(shù)

(I)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)

“函數(shù)形」弋：y=sin.v,y=cosx.

?2?

w第一部分高等數(shù)學(xué)a

②定義域：（-8,+8）,值域/-1,1].

③奇偶性:y=sinx在其對(duì)稱的定義區(qū)間內(nèi)是奇函數(shù),y=cos%

在其對(duì)稱的定義區(qū)間內(nèi)是偶函數(shù).

④常見函數(shù)及其圖像：

y=sinx產(chǎn)cosx

F'…元一

?…乃2必L3

-1

⑤常用公式：

(i)平方公式：sin%+cos2x=1.

(ii)二倍角公式?sin2x=2sinxcosx,

cos2x=cos2x-sin2%=1-2sin2x=2cos2%-1.

52

(iii)降舞公式：si一%」二；"，。8%=1+；°s22

(iv)誘導(dǎo)公式：奇變偶不變,符號(hào)看象限.

.zkir、±sinxtk為偶數(shù),

sm(—+%)=

±cosxtA為奇數(shù),

±取決于%看作銳角時(shí)，sin（粵+”）的符號(hào).

如：sin(H-x)=sirw,sin(*Tr+x)=一sinx,sin(J±X)=COSX,

1

,kF、士cos*,4為偶數(shù).

cos(—+x)

±sinx.k為奇數(shù),

士取決于X看作銳角時(shí),cos（"+'）的符號(hào).

如:COS(TT±%)=-cosx,cos(-^-+x)=-sinx,cos(----x)=sinx.

?3?

考研數(shù)學(xué)公式手冊(cè)＞

(v)和角公式：

sin(a+j8)=sinacos^S+cosasin/3

sin(a-j8)=sinacos/3-cosasin^S

cos(a+j8)=cosaco^S-sinasir^S

cos(a-/3)=cosacos/3+sinasin^

(vi)和差化積：

.,.q?a+6a-B

sina+sinpn=zsin-5—cos一5匚

sina-sinB=2cosa：戶sindJ

x22

a+6oc-B

cosa+cosp=2cos-r-^cos—r-2-

a~?a+6,a.0

cosa-cosp=-2sin-z-^sin-yr-

十22

(vii)積化和差：

sinacos/3=sin(a+/3)+sin(a-/B)]

cosasin/3=sin(a+j9)-sin(a-j8)]

cosacos^S=—[cos(a+/5)+cos(a-(3)]

4

sinasin^=-cos(a+/3)-cos(a-/3)]

(2)正切函數(shù)、余切函數(shù)

①函數(shù)形式:y=tanx,y=cotx.

②定義域：y=tan”,與六Air+=cotx,x#A：7TtAeZ；

值域：(-8,+8).

③奇偶性:y=tanx,y==cotx在其對(duì)稱的定義區(qū)間內(nèi)都是奇函數(shù).

?4?

?第一部分高等數(shù)學(xué)

④常見函數(shù)及其圖像:

⑤常用公式:

(i)平力公式：lan2x+I=sec'.v.<,《)/、+1=esc.r.

2lan.\

(ii)二倍角公式:tan2.r=

1—kiii2.r2cotx

(iii)和川公式：⑶】(a±(i)=L主見吟

1+lan<￥lanp

?反三角函數(shù)

(1)反正弦函數(shù)、反余弦函數(shù)

I函數(shù)形式：)=arcsin.v,y=arccosx.

②定義域：[-1,1];

fit域：arcsinxG---.—],arccosxG0,TF1.

AO

③奇偶性：y=urrsim在定義域內(nèi)是奇函數(shù).

f仃界性：y=arcsinx,)=arcccsx在定義域內(nèi)均有界.

⑸常公式：arcsinx+arccros.v=—.

國凝道蜀前考研數(shù)學(xué)公式手冊(cè)＞

⑥常見函數(shù)及其圖像:

(2)反正切函數(shù)、反余切函數(shù)

①函數(shù)形式：y=arctanx,/=arccotx.

②定義域：(-00,+00);

值域：arctanxe（-子），arccotxe（0,TT）.

44

③奇偶性:y=arctanx在定義域內(nèi)是奇函數(shù).

④有界性:y=arctanx,y=arccotx在定義域內(nèi)均有界.

7T

⑤常用公式：arctanx+arccotx=

T9

,X±Yy,

arctanx±arctany=arctan（1一）?

I+盯

⑥常見函數(shù)及其圖像:

⑦極限：limarctan%=—,limarctanx=--.

x-*?822

?6?

?第一部分高等數(shù)學(xué)?

Q二、極限的概念、性質(zhì)與計(jì)算

@極限與左、右極限

(1)limf(x)=f(x)=lim/(x)=.4；

'"，t—?1/,r］；

(2)limf(x)=/!<=>/(x(l)=4+a(工)，其中l(wèi)ima(R)=0.

?極限的性質(zhì)

(1)局部保號(hào)性：設(shè)lim/(%)=。若4>0(或4<0),則存在5>0,

當(dāng)*e(3-b,3)U(%,&+5)時(shí)/(y)>0(或/(工)<0).

(2)局部有界性:設(shè)lim/(4)=4,則存在5>0.當(dāng)xe(.%-b,g)

口(與，3+6)時(shí)/(%)有界.

?極限運(yùn)算法則

lim/(x)=A,limg(x)=/?,則：

(1)lim(/(x)±g(x))=A±B；

(2)lim/(x)g(x)=4-B；

(3)】而華4=。"())；

&(工)R

(4)若4,H不全為0,則lim/(x)r，,)=AH.

?無窮小的比較

設(shè)lima(4)=0Jimfl(x)=0,萬(工)#0,則：

若lim察?=0,則a(X)是比萬(、)高階的無窮小，記為

p(x)

a(x)=o(jB(x)).

北］.a(x)

右向甌=8,則。(X)是比。(》)低階的無窮小.

若lim?=c(c#0),則a(.T)與尸(%)是同階無窮小,

P\^)

?7?

4有道老神考研數(shù)學(xué)公式手冊(cè)?

特別地，若5需=—)與尸⑺是等價(jià)的無窮小，記

為a(x)~B(x).

=c(c#O),A>0,MOa(x)是0(H)的A?階無窮小,

特別地，若lim乳甘=c(c#O)Jllja(x)是x的A?階無窮小.

X

?常見等價(jià)無窮小(工T)時(shí))：

sinx

arcsinx-1~x\n(i,

A-arcsinx~-Jr"

kun：(I+x)^-1?L,6

n

ardanxI3

i12

ln(I+x)「2T一

arctan.v-x-

??極限存在準(zhǔn)則與兩個(gè)重要極限

(1)夾逼準(zhǔn)則

設(shè)在4=陽)的某去心鄰域內(nèi)，恒有(p(x)W/(R)WW(M),且

lirn(p(x)=lirn(p(x)=/t,5Wlim/(x)=4.

真—AcX

(2)單調(diào)彳了界定理：單調(diào)有界的數(shù)列必有極限.

(3)兩個(gè)重要極限：

.sin%....、：

nn------=I,lim(zI4-x)=e

“I”??o

抓大頭:

o

〃二〃1>0,

bj

M+〃戶+…+〃1H+

Inn-----------------

…+'+???+bm^x+b?t0,0<zi<,

oc、n>m>0.

?8?

?第一部分高等數(shù)學(xué)■

(4)幾個(gè)常用極限:

liinx1'h/.v=0.a、(3任總常數(shù)；

1-0

lim=().a任總常數(shù)＞();

3??x(?

lim如J=0.a＞0Ji任意常數(shù)；

lin)%;/i=I.lim,i'=1.

o洛必達(dá)法則

設(shè)函數(shù)/(*),g(x)滿足條件:

(1)lini/(-V)=Iinig(x)=()或lin】/(.t)=8,lin】?(.t)=oc；

W??????If；t?、?

(2)/(.v).g(x)住"的去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)ELg'(x)KO：

(3)ii“Z4義存在(或?yàn)?)；

'?'g(x)

則]淄，±[=1畝102.

rg(.Y)ig(.V)

注：.L*8時(shí)有類似結(jié)論.

?泰勒公式

設(shè)函數(shù)/(工)在點(diǎn)品處的某鄰域內(nèi)具仃〃+1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)該鄰

域內(nèi)異于出的任意點(diǎn)”，在出與X之間至少存在一個(gè)短使得：/(“)

+

=/(小)+/'(Ao)(.v-v0)+2：/”(品)(*-%)'+???—~r-(X-

%〉+((K).K中/"A-)=＞三：：；(X-K)”，稱為/(X)在點(diǎn)心處帶

布拉格朗n余項(xiàng)的泰物公式.

令.%=0,則/⑺=/(0)+/(0)工+廿(0心+???/1平工。3)

稱為帶皮亞諾余項(xiàng)的麥克勞林公式.

?9?

4有道巖神考5H數(shù)學(xué)公式手冊(cè)?

常用函數(shù)在x=0處的帶有皮亞諾余項(xiàng)的泰勒公式:

e?=1I+.x?+,■—x2+,…+—x+o(x)

2!aJ

lll(I+X)=X--丁丁+—X3-+(-1)"1—+O(A：*')

23n

1

sin.v=x--x十???+(-+…)

丁?

2n

COSA=1-東

+…+(7"百汀+〃(一)

tanx=x+-j-.v'+(}(x')

an,sin.v=x+—x*+o(./)

6

13./3\

arctanx=x--r-x+〃(x)

dJ

；------=1+x+x2+???+.r"+〃(/')

1-x

=1—X+X*+?,?+(-1)nxfl+o(X')

I+X

.，n(m-1)2m(，〃-1)…(m-〃+1)n/

(i+A)H?=1+〃次+^—~~-x+???+-------L-；------------x+o(v?

2!〃！

0三、連續(xù)性與間斷點(diǎn)

?連續(xù)概念

若limf(x)=J\x),則/(X)在8處連續(xù).

—??0

?伺斷點(diǎn)及其類型

(I)若1泊［j\X)存在#/(x)或lim/(X)存在，且/(工)在:處無

?■1—0%

定義，則/(X)在4=x0處為可去間斷點(diǎn).

?10?

?第一部分高等數(shù)學(xué)

(2)若lini/(x),lim/(x)存在:但不相等.則/(工)在x=.v(1處為

跳躍間斷點(diǎn).

(3)若lim/(x)=8或］iin/(K)=8.則/(h)fl:x=x處'為無窮

I?￡；X"?月.0

間斷點(diǎn).

(4)若.Y—F時(shí)，函數(shù)值/(.v)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)變動(dòng)無限多次，則/(匯)

在4=3處為振蕩間斷點(diǎn).

1四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

?:連續(xù)函數(shù)的有界性

(1)設(shè)函數(shù)/(X)在［a,人上連續(xù)，則/(工)在［〃，門上有界.

(2)設(shè)函數(shù)/(x)作(a,〃)I二連續(xù)，且1沁】/(*)與lim/(x)都存在,

則/(x)在(〃?/))上有界.

?最值定理

設(shè)函數(shù)/(?)在上連續(xù)，則在上/(X)存在存大值與

最小值，即存在m,/W，使得mS/(x)WM.

?介值定理

函數(shù)/(勇在［〃,〃］上連續(xù),。是介T/(a)與/(h)之間的任一

實(shí)數(shù)，則在fw(a,〃)，使得/(f)=C

推論：若函數(shù)/(*)在［〃"］匕連續(xù).且mWCWM則存在

e\aj)］，使得/(f)=(:.

/零點(diǎn)定理

設(shè)函數(shù)/(、)在［〃加上連續(xù),且/(〃)?/(/<0,則存在門(〃在),

使得/(§)=().

4有道巖神考研數(shù)學(xué)公式手冊(cè)?

第一元函數(shù)微分學(xué)

Q—、導(dǎo)數(shù)的定義、性質(zhì)與計(jì)算

?，導(dǎo)數(shù)的定義

/］、../(%+△、)一/(.%)+〃/、1./(”)一/(：。)

I)./(。)=hni—7——或./(.v0)=lim-?

(2)左導(dǎo)數(shù)：/.(x“)=hni------------T---------或

01-0-

,/(維)=hm-----------------.

….x-%

八于效J,(.%)=lini----------T---------或

A.Ax

((X)-/(.v0)

/：(.VO)=hm—

Ix-.v0

(3)充要條件/(%)=m)=/：(.%)=4.

?幾何意義

(?)切線方程：y-J\xn)=/(%)(--&).

(2)法線方程：

'工/’'(?%)六。時(shí),y一/(.%)=一/.,(】,(x)；

當(dāng)/'(%)=0時(shí)，'=&.

微分的定義

設(shè)/(%)在3的某鄰域內(nèi)有定義，若

△y=/(.r+Ax)一/(X)

川表示為

△y=/iA.v+o(△*),

?12?

4第一部分高等數(shù)學(xué)?

其中4為不依賴于△x的常數(shù),則稱/(x)在小處可微.并稱

/1△/為/(4)在.%處的微分，記作力或力”)，即

fly=(lf{x}=.4A.v.

?基本求導(dǎo)(微分)公式

(1)>=c(常數(shù))一=0(ly=0

(2))=./(0為實(shí)數(shù))y1=a”dy=?.v'1(lx

⑶〉'’=//'Inutly=a'\i\adx

y=<*'(e)=/(/(e')=e'(lx

,1

(4)v=log<(xV=一(lv--T--(lx

AIIU/xhu/

?>?=Inx(In1,V1)=—</(In.v1)=-tlx

X

(5)y=siii.vy'=cosx(1(sin.v)=cosxr/.v

(6)y=cosxy1=-sin.v(1(cos.x)=-s\nx(lx

(7)y=tiin.v>'=src\vd(tari.v)=secxdx

f2

(8)y=cot.v)?二一escxd(cciLv)=-CSC-.U/A

(9)y=sec.r、'=s(*(vlan.vd(secx)=secxlanxrfx

(10)),=CSCA-)'=-csc.vcotx</(CSCA)=-CSC.VC<lt.V<Zv

,_I___

(11))=iux-siuvy="■--</(iUX-siiLV)=______(b:

71

,i

(12)y=ar(eosvy=-”(armzt)=-—(be

/-Y

,1

(13))==arctan.vX=--------7d(arctan.v)=川工

1+.廣1+.v"

,1

(14))-=iirccotvV=,</(arccoLv)=-

1+.小1+r

?13?

4有道巖神考研數(shù)學(xué)公式手冊(cè)?

@?函數(shù)求導(dǎo)法則

（1）四則運(yùn)算法則

①（〃±r），=II*±vf(1(it±?：)=du±dv

2'（〃「）’=〃/+vu(I(ur)=udv+vdu

,/〃、vdu-udv

3（—）y=—（,/（））d(一)=----;---

〃if

（2）反函數(shù)求導(dǎo)法則

設(shè)r=/（x）在點(diǎn)」的某鄰域內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)旦/'（工）戶0,則其反

函數(shù)在點(diǎn)、所對(duì)應(yīng)的丁處可導(dǎo)，并且有

蟲__L

百一什.

dx

（3）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則

若〃=3t）作點(diǎn)久?導(dǎo),而y=/（內(nèi)）在對(duì)應(yīng)點(diǎn)=3（算））可

導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)＞=/（?（.，））在點(diǎn)x口1導(dǎo)，且＞'=/'（〃）?，（》）

（4）隱函數(shù)求導(dǎo)法則

①H接求.方程兩邊對(duì)、求導(dǎo)，注電T是x的函數(shù)，應(yīng)按

”合函數(shù)求導(dǎo)法則處理.

②公式法.丁=心）由〃（."）=0確定）唬=一］,其中.F：、

《分別表示儀f）對(duì)〈和y的偏導(dǎo)數(shù).

③利③微分形分不變性.由F（.v,y）=0知甲/x+單/y=0,所以

八

1-\

dx一廠

?14?

?第一部分高等數(shù)學(xué)?

(5)參數(shù)方程求導(dǎo)法則

(x=x(/)

設(shè)y=/(x)由參數(shù)方程確定，則：

(y=y(0

①>，="務(wù)福=")

ax(lx/(itx(r)

“、，，=小二電@

--_dx_dx/dl-*(f)

◎高階導(dǎo)數(shù)

(I)萊布尼茲公式

若〃(工)，”(、)均〃階可導(dǎo)，則("：嚴(yán)>=E。：“％嚴(yán)」,其中

4n(>

二〃."""=V.

(2)常用高階導(dǎo)數(shù)

①(a')g=療In%(a>0)(e,)(n>=e1

2）（sintv）=sin（kx+n?—）

（認(rèn)coskx）'"'=kncos（kx+n--y-）

①（x"）=〃"m-1）…（m-〃+】）戈…"

⑤（除）⑺=（一1）（…）嗎?！

6連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系

可導(dǎo)O可微；可導(dǎo)必連續(xù),連續(xù)未必可導(dǎo).

二、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

?單調(diào)性與極值

(I)設(shè)函數(shù)/(X)在［a,6］上連續(xù)，在(a/)內(nèi)可導(dǎo)，如果在

(“》)內(nèi)/(》)N0(或/(乜)W0),旦等號(hào)僅在有限個(gè)點(diǎn)處成立，那

?15?

4有追巖神考研數(shù)學(xué)公式手冊(cè)?

么函數(shù)/(X)在［〃㈤上單調(diào)增加(或單.調(diào)減少).

(2)極值的必要條件

沒函數(shù)/(、)住心處可導(dǎo)J1在3處取得極值，則/(5)=0.

(3)極值的笫一充分條件

設(shè)函數(shù)/(工)布.%處連續(xù)，作小的某去心鄰域1/(小j)內(nèi)可導(dǎo).

I)若(x“一$?%)H寸/'(x)>0,而IG(.%..4+5)時(shí)J'(N)<

。，則/(冥)在工二％處取得極大值;

②若xwg-<?..%)時(shí)/'(》)<0,而XG(.%,%+3)時(shí),/'(K)>

0,則/(.丫)在x=/處取得極小值；

③若”eU(小,6時(shí)/(.l)符號(hào)保持不變,則/(.r)在%=.%處

沒有極值.

(4)極值的笫二充分條件

設(shè)/(X)在.7處具有■二階導(dǎo)數(shù)，且/，(/)=0,/"(.4)六0,則：

①當(dāng)/〃(3)<。時(shí)，函數(shù)/(.、?)在此處取得極大值;

②當(dāng)/”('%)>()時(shí)，函數(shù)/(')在/處取得極小值.

③如果/〃(&)=(),此方法失效.

?函數(shù)最值的求法

(I)若/(x)在閉區(qū)間［〃㈤上連續(xù),則比較/(x)的端點(diǎn)值、駐

點(diǎn)值、不可導(dǎo)點(diǎn)處函數(shù)值的大小，最大的則為最大值,最小的則為

最小值.

(2)若/(x)在開區(qū)間(〃勿內(nèi)可導(dǎo)II.行唯一駐點(diǎn),則該點(diǎn)必為

極/卜(大)值點(diǎn),口此極小(大)值必為函數(shù)/(x)在開區(qū)間(〃，〃)內(nèi)

的最小(大)值點(diǎn).

?凹凸性與拐點(diǎn)

(I)凹凸性的定義

?第一部分高等數(shù)學(xué)口

設(shè)函數(shù)/(工)住區(qū)間/上連續(xù)，任取兩點(diǎn)G/jn.有

￡(M);￡(.巧)〉/()或/CJ二八J)則稱曲線

M

y=/(*)在區(qū)間/是WI(或凸)的.

(2)凹凸性的判別定理

設(shè)”.()作［0,4上連續(xù)，在(*/,)內(nèi)具有一階和二階導(dǎo)數(shù).那

么：若在(〃“)內(nèi)fn(x)＜0(或/"(幻＞0)?則/(工)在上的圖

形是凸的(或凹的).

(3)拐點(diǎn)的笫一充分條件

設(shè)函數(shù)/(一)在陽,處連續(xù).在小的某去心鄰域u(.%⑻內(nèi)rui

二階可導(dǎo).

①若/”(X)在小的左右領(lǐng)域內(nèi)符號(hào)異號(hào),則(/，/(.%))為函數(shù)

/(X)的拐點(diǎn);

②若/"(.V)在線的左右領(lǐng)域內(nèi)符號(hào)保持4＜變,則(3,/(痂))不

為函數(shù)/(工)的拐點(diǎn).

(4)拐點(diǎn)的笫二充分條件

設(shè)/(*)作/處具有三階導(dǎo)數(shù)/1./"(小)=()./"'(凡)#0.則

(&,/(.%))為函數(shù)/(x)的拐點(diǎn).

(5)拐點(diǎn)的必要條件

設(shè)函數(shù)J\x)在.次處二階可導(dǎo)，IL(&,/(.%))為數(shù)數(shù)/(在的拐

點(diǎn)，則/"(.0)=0.

?漸近線

(1)水平漸近線

lim/(x)=a或lim/(x)=a,則y=a稱為函數(shù)y=/(x)的

■一?Xi-?-oc

水平漸近線.

(2)鉛本漸近線

-17?

4有道君神考研數(shù)學(xué)公式手冊(cè)?

若lirn/(%)=?或］im/(x)=8,則%=x0稱為函數(shù)y=/(x)的

鉛直漸近線.

(3)斜漸近線

若k=lir/(：E),4=liniJ\x)-Ax］,則y=kx+b稱為函數(shù)y=j\x)

的斜漸近線.

'三、微分中值定理

?費(fèi)馬定理

若函數(shù)/(X)滿足條件：

(1)函數(shù)/(X)在人的某鄰域內(nèi)有定義，并且在此鄰域內(nèi)恒有

小)W/5)或/(*)'/(.4)；

(2)/(4)在/處可導(dǎo),則彳1/(%)=0.

◎羅爾定理

設(shè)函數(shù)/(動(dòng)滿足條件：

(1)在閉區(qū)間［”,〃］上連續(xù)；

(2)在開區(qū)間(a,Q內(nèi)可導(dǎo);

(3)/(。)=/(〃)；

則至少存在一點(diǎn)f6(。,〃)，使得/，(§)=0.

?拉格朗曰中值定理

設(shè)函數(shù)/(》)滿足條件：

(1)在閉區(qū)間［叫葉上連續(xù)；

(2)在開區(qū)間(％〃)內(nèi)可導(dǎo);

則至少存在一點(diǎn)￡&(a,/)),使彳四2■二生吐=/'(§).

b-a

或存在Hw(0,1),使得八4二^"=/'("+(6-〃)。).

。一Q

<第一部分高等數(shù)學(xué)■

柯西中值定理

設(shè)函數(shù)/(%),g(心滿足條件:

(1)在閉區(qū)間工，口上連續(xù)；

(2)在開區(qū)間(叫〃)內(nèi)可導(dǎo)，且/(化)#0；

則至少存在一點(diǎn)5三(”，〃)，使得粵二華:=人得?

g⑷一g(。)g(f)

?泰勒中值定理

設(shè)函數(shù)/")在點(diǎn)/處的某鄰域內(nèi)具有〃+1階導(dǎo)數(shù)，則對(duì)該鄰

域內(nèi)異于右的任意點(diǎn)%在/與x之間至少存在一個(gè)短使得：

(n>

I、/(xn)

f(x)=/(&)+/'(%)(*-0)++???+———(#-4)”

四、弧微分與曲率(僅數(shù)學(xué)一、二要求)

?弧微分

v7l+>"?h,曲線為/=f(x),

.__________________________(X=x(/),

去=linVAx?+△『=/_/(/)廠+[),'(/)『力.曲線為｛

&?"[y=y(f).

?/r2+/df).曲線為一⑻.

?曲率

(1)公式

曲率K=I等I=VU，Hh率半徑R="

(2)性質(zhì)

①曲率圓的圓心在該點(diǎn)凹側(cè)的法線上，半徑等于曲率的倒數(shù),

?19?

4有11老神考研數(shù)學(xué)公式手冊(cè)?

曲率園與曲線在該點(diǎn)處相切;

②該點(diǎn)曲率越大.曲率網(wǎng)的半徑越小，該點(diǎn)處彎曲程度越大；

③在該點(diǎn)處jfli線與曲率M具.彳相同的切線與仙率，即行相同

的一階導(dǎo)數(shù)值與二階導(dǎo)數(shù)值，且凹向相同,可以近似代替.

④在該點(diǎn)的某鄰域內(nèi)jin線夾在切線與曲率園之間.

卜J五、導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用(僅數(shù)學(xué)三要求)

?邊際的概念

如果函數(shù)1=/(》)花小處何導(dǎo)，則布(.7,*“+△.，)內(nèi)的平均變化

率;為廣二在二.%處的瞬時(shí)變化率為linJQ"+△：)-/(/)=/(%),

A.VA.c

經(jīng)濟(jì)學(xué)中稱/'(.%)為/(.T)在、=.%處的邊際函I數(shù)值.

設(shè)函數(shù)V=/(.r)在X處可5則稱導(dǎo)數(shù)ff(.V)為/(.V)的邊際函

數(shù),/'(])在.％處的值/'(%)為邊際函數(shù)值.其意義為：當(dāng)”/時(shí),

X改變一個(gè)單位的絕對(duì)時(shí),y改變/'(小)個(gè)單位的絕對(duì)他

?經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的邊際函數(shù)

(I)邊際曲文本：仁(Q)

(2)平均邊際成本：(5彩1

(3)邊際需求：〃<。)

(4)邊際收益：*(Q)=〃(Q)+〃〃'(())

(5)邊際利潤：〃(Q)="'(。)-C'(Q)

【注】利澗最大原則：〃(0)=0"(Q)<(),即

*(。)=U(Q).A"(Q)"(Q)

0彈性的概念

如果函數(shù)y=/(.、?)住點(diǎn)處可導(dǎo)JL3K0,稱函數(shù)的相對(duì)改變量

?2()?

?第一部分高等數(shù)學(xué)

勺自變小的相對(duì)改變巾包之比令"①為函數(shù)從小到。+兩

Jo小△工?0

點(diǎn)間的平均相對(duì)變化率,或稱為巾與.％+Ax兩點(diǎn)間的彈性.

設(shè)函數(shù)5?=/(.，)在、處可導(dǎo).則稱華?王為/⑴的彈性

(lxy

函數(shù).￡、/□%處的值稱為彈性函數(shù)位，簡稱彈性.兌息義為：、7

.1=小1時(shí)，》改變1%的相對(duì)卮，)?改變|反"%的相對(duì)；止.

<>經(jīng)濟(jì)學(xué)中常見的彈性函數(shù)

(1)力;求價(jià)格彈性：%=一穿I?2

(2)供給價(jià)格押.性4..二%?￡

dr、

(3)成本需求彈性：%-名

d(Jc

(4)收益價(jià)格彈性：紇=^?方

【注】%=[°+/%?導(dǎo)I+%齊If

(5)收益需求彈性:%=襄?g

(i\fK

r*i,，.'"3oQ,dPQ.1

【江】〃Q+/??可=|+而.〃

第三章一元函數(shù)枳分學(xué)

一、不定積分

?原函數(shù)與不定積分的概念

如果在區(qū)間1匕，可導(dǎo)函數(shù)”(K)的導(dǎo)函數(shù)為/(K)；即對(duì)任一

d有道意神考研數(shù)學(xué)公式手冊(cè)〉

KW/都有尸(X)=/(?)或=/(”)人,那么函數(shù)F(工)就稱為

(或/(“"")在區(qū)間/上的一個(gè)原函數(shù)；稱J7(4)dx=F(A)+C

為J\x)或/(4)公在區(qū)間/上不定積分.

?原函數(shù)的存在性

(1)連續(xù)函數(shù)一定存在原函數(shù).

(2)含有可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)、無窮間斷點(diǎn)的函數(shù)一定沒

有原函數(shù).

(3)含有振蕩間斷點(diǎn)的函數(shù)可能存在原函數(shù).

?不定積分的計(jì)算性質(zhì)

(1)"x)dx二中(x)dx(k#0為常數(shù))

(2)j[￡(工)±…土￡(工)=J/j(x)dx±±J/l(x)(lx

(3)[J/(x)dx]'=/(1)或=/(x)dx

(4)J尸(x)八二產(chǎn)(.、)+C或jdn.T)="工)+C(C是任意常數(shù))

Q基本積分公式

(I)[xkdx=?，/'+C(A'#-1)

Jk+I

(2)J-yf/x=一■^-+CJ\dx=ijx+C

(3)[—dx=InIx|+C

Jx

(4)[adx=+C(a>0,〃#I)[eldx=e'+C

JIna

(5)jcosxdx=sinx+Csinxdx=一cosx+C

?oo.

?第一部分高等數(shù)學(xué)一

(6)f----tlx=Isecxc/v=tanxt

C

Jcos*xJ

(7)1—(/.v=jc^e'xdx=-cot.r+c

Jsin\vJ

(8)f.dx-[csrx(/x=In|cscx-colx|+C

Jsin.rJ

(9)1----dx=1secxclx=Inisecx+tanrv1+C

JcosxJ

(10)jsecxtanxf/x=secx+CJCSC'XCOl.Vf/.X=-cscx+C

(11)Jlan.vJx=-In1cosx|+Cjcotxf/.v=In|siiiv+C

xfdx1x「f/A./，

(z12)------=—arctan—+C-=ardanx+C

Ja+x*aaJ1十U

/口、「dxx「fdx4/,

(13)_______=arcsin+C-—?一=arcsinx+C

22

」Va-x〃」7/\-r

(14)14山+CJJ二=±|n5+c

ja-x2(i\a-xJ1--x21-x

1

(15)f______-InA*+Vx±a|+C

Jf±a"

、常見的幾種湊微分形式(第一類換元法)

(1)[/(ax+A)dx=—f/(ax+b)(1(ax+b)(aK0)

(2)J/(ax'+b)x'^dx=—J/'(ax-+-b)d{axn+b)(a#0)

(3)jf(e)edx=J/C

/(—)

(4)J[2dx="J)

(5)=|/(lnx)r/(lnx)

?23?

4有道考神考研數(shù)學(xué)公式手冊(cè)A

(6)/乂等八?=21/,(無)d(G)

(7)J/*(sin.v)cosxr/.v=J/*(

sinx)(1(sin.v)

(8)J/(cos.v)siiLrJ.v=-J/(COSA-)(I(eosx)

(9)f/(tan.v)sev：xdx=J/(tan.v)</(lan.v)

(10)[ncolv)esc,vr/.v=一I/'(cot.v)fl(col.v)

(H)/小：彗星=僅

\1-X-

a

(12)f1)(/*={/(ardana;)〃(arefanA")

J1+V,

@去根號(hào)(第二類換元法)

(1)根號(hào)下”是一次林，整體換元

.....,f,「----,令>/l+.v==/--1

例如：jAV1+A)心=---------------.1/(/)?21dl.

(2)根號(hào)下.v是二次票.三角換元

根式類型三角換元輔助三用形

x=usin/X

?Ja2-x:上