2025年北師大版高二數(shù)學(xué)下冊月考試卷

…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………內(nèi)…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………※※請※※不※※要※※在※※裝※※訂※※線※※內(nèi)※※答※※題※※…………○…………外…………○…………裝…………○…………訂…………○…………線…………○…………第=page22頁，總=sectionpages22頁第=page11頁，總=sectionpages11頁2025年北師大版高二數(shù)學(xué)下冊月考試卷42考試試卷考試范圍：全部知識點(diǎn)；考試時間：120分鐘學(xué)校：______姓名：______班級：______考號：______總分欄題號一二三四五六總分得分評卷人得分一、選擇題(共6題，共12分)1、以正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)O，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則與共線的向量的坐標(biāo)可以是（）

A.

B.

C.

D.

2、曲線f（x）=x3+x﹣2在p0處的切線平行于直線y=4x﹣1，則p0的坐標(biāo)為（）A.（1，0）B.（2，8）C.（1，0）或（﹣1，﹣4）D.（2，8）或（﹣1，﹣4）3、定義在（-1；1）上的函數(shù)f（x）滿足：

（1）對任意x，y∈（-1，1），都有

（2）對任意x∈（-1；0），都有f（x）＞0．

若R=f（0），則P；Q、R的大小關(guān)系為（）

A.P＜R＜Q

B.Q＜R＜P

C.P＜Q＜R

D.Q＜P＜R

4、【題文】如圖.程序輸出的結(jié)果則判斷框中應(yīng)填（）

A.B.C.D.5、不等式2x2﹣x﹣1＞0的解集是（）A.（﹣1）B.（1，+∞）C.（﹣∞，1）∪（2，+∞）D.（﹣∞，﹣）∪（1，+∞）6、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+x+x2+x3++xn+2=（x≠1，n∈N+）成立時，驗(yàn)證n=1的過程中左邊的式子是（）A.1B.1+xC.1+x+x2D.1+x+x2+x3評卷人得分二、填空題(共7題，共14分)7、如圖是某幾何體的三視圖，其中正視圖、俯視圖的長均為4，寬分別為2與3，側(cè)視圖是等腰三角形，則該幾何體的體積是____．8、【題文】一個口袋中裝有2個白球和3個紅球，每次從袋中摸出兩個球，若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎，則中獎的概率為_________．9、【題文】甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下（單位：t/hm2）

其中產(chǎn)量比較穩(wěn)定的小麥品種是____．10、【題文】等比數(shù)列中，若則____;11、若命題“?x∈R，x2+ax+1＜0”是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____12、P為△ABC所在平面外一點(diǎn)，AC=a，連接PA、PB、PC，得△PAB和△PBC都是邊長為a的等邊三角形，則平面ABC和平面PAC的位置關(guān)系為______．13、已知復(fù)數(shù)z1=-1+2i，z2=1-i，z3=3-2i，其中i為虛數(shù)單位，它們所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C．若則x+y的值是______．評卷人得分三、作圖題(共9題，共18分)14、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

15、A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最?。ㄈ鐖D所示）16、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）17、著名的“將軍飲馬”問題：有一位將軍騎著馬要從A地走到B地；但途中要到水邊喂馬喝一次水，則將軍怎樣走最近？

18、A是銳角MON內(nèi)部任意一點(diǎn)，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點(diǎn)B，C，組成三角形，使三角形周長最小．（如圖所示）19、已知，A，B在直線l的兩側(cè)，在l上求一點(diǎn)，使得PA+PB最?。ㄈ鐖D所示）20、分別畫一個三棱錐和一個四棱臺．評卷人得分四、解答題(共3題，共12分)21、【題文】甲、乙兩艘貨輪都要在某個泊位?？?小時，假定它們在一晝夜的時間段中隨機(jī)到達(dá)，試求兩船中有一艘在停泊位時，另一艘船必須等待的概率．22、【題文】（本小題滿分12分）

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知a+b=5，c=且

（1）求角C的大?。?/p>

（2）求△ABC的面積.23、已知點(diǎn)A（2；-2），B（4，6）．

（Ⅰ）求直線AB的方程；

（Ⅱ）求過點(diǎn)C（-2，0）且與AB垂直的直線方程．評卷人得分五、計算題(共2題，共16分)24、1.（本小題滿分12分）已知函數(shù)在處取得極值.(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若關(guān)于x的方程在[，2]上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(3)證明：(參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931).25、1.（本小題滿分10分）某班組織知識競賽，已知題目共有10道，隨機(jī)抽取3道讓某人回答，規(guī)定至少要答對其中2道才能通過初試，他只能答對其中6道，試求：（1）抽到他能答對題目數(shù)的分布列；（2）他能通過初試的概率。評卷人得分六、綜合題(共3題，共12分)26、如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為（-1，0），（3，0），（0，3），過AB，C三點(diǎn)的拋物的對稱軸為直線l，D為對稱軸l上一動點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）求當(dāng)AD+CD最小時點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）以點(diǎn)A為圓心；以AD為半徑作⊙A．

①證明：當(dāng)AD+CD最小時；直線BD與⊙A相切；

②寫出直線BD與⊙A相切時，D點(diǎn)的另一個坐標(biāo)：____．27、（2015·安徽）設(shè)橢圓E的方程為+=1(ab0),點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，b），點(diǎn)M在線段AB上，滿足=2直線OM的斜率為28、已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S6=51，a5=13．參考答案一、選擇題(共6題，共12分)1、C【分析】

由圖形可知，B1點(diǎn)在正方體的上底面上；

設(shè)正方體的棱長為：1；

∴B1點(diǎn)的坐標(biāo)是（1；1，1）

則與共線的向量的坐標(biāo)可以是

故選C．

【解析】【答案】設(shè)正方體的棱長為：1，由圖形可知，B1點(diǎn)在正方體的上底面上，B1點(diǎn)的縱標(biāo)同C的縱標(biāo)相同，B1在面A1B1C1D1上，得到點(diǎn)的豎標(biāo)為1，根據(jù)B1點(diǎn)在棱上的位置，寫出B1點(diǎn)的橫標(biāo)，從而得到的B1坐標(biāo)，最后寫出向量的坐標(biāo)及與共線的向量的坐標(biāo)即可．

2、C【分析】試題分析：由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，∵切線平行于直線y=4x-1，∴3x2+1=4，解之得x=±1，當(dāng)x=1時，y=0；當(dāng)x=-1時，y=-4．∴切點(diǎn)P0的坐標(biāo)為（1，0）和（-1，-4），故選B．考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義【解析】【答案】C3、D【分析】

∵x∈（-1，1），

∴f（0）-f（0）=f（）=f（0）；解得f（0）=0，即R=f（0）=0．

f（0）-f（x）=f（）=f（-x）；解得f（-x）=-f（x），∴f（x）是奇函數(shù)．

∵對任意x∈（-1，0），都有f（x）＞0，故當(dāng)x∈（0，1）時，都有f（x）＜0，＜0．

令-1＜x＜y＜1，∵x-y＜0，1-xy＞0，∴＜0．

又+1==∵1+x＞0，1-y＞0，1-xy＞0，∴＞-1；

∴＞0；∴f（x）在（-1，1）上為單調(diào)遞減；

從而可得f（）＜＜0；

故＜0．

由于=f（）=f（）=f（）+f（）=f（）-f（）；

∴=++++

=．

由于f（）＜0，∴P=＞f（）．

綜上可得；Q＜P＜R；

故選D．

【解析】【答案】利用題設(shè)條件，先推導(dǎo)出f（0）=0=R，f（x）是奇函數(shù)，f（x）在（-1，1）上為單調(diào)遞減．把化為f（）-f（），可得P=＞由此能求出P；Q、R的大小關(guān)系．

4、B【分析】【解析】

試題分析：按照程序框圖執(zhí)行如下：

因?yàn)檩敵龅慕Y(jié)果為

故此時判斷條件應(yīng)為：或

考點(diǎn)：1、程序框圖的運(yùn)算；2、循環(huán)語句.【解析】【答案】B5、D【分析】【解答】解：原不等式同解于（2x+1）（x﹣1）＞0

∴x＞1或x＜-

故選：D

【分析】將不等式的左邊分解因式得到相應(yīng)的方程的根；利用二次方程解集的形式寫出解集．6、D【分析】解：當(dāng)n=1時，等式左邊成立的式子是1+x+x2+x3；

故選：D

根據(jù)等式的特點(diǎn)，得到等式左邊式子從1開始進(jìn)行相加，以xn+2結(jié)束，當(dāng)n=1時，以x3結(jié)束進(jìn)行判斷即可．

本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，比較基礎(chǔ)．【解析】【答案】D二、填空題(共7題，共14分)7、略

【分析】【解析】試題分析：由三視圖知：原幾何體是一個三棱柱，三棱柱的高為4，底面是等腰三角形，等腰三角形中一邊的長為3，此邊的高為2，所以該幾何體的體積為考點(diǎn)：三視圖；棱柱的體積公式?！窘馕觥俊敬鸢浮?28、略

【分析】【解析】

試題分析：口袋中五個球分別記為從中摸出兩球的方法有：共種，其中顏色相同的有共四種，有古典概率的求法可知．

考點(diǎn)：古典概率的求法．【解析】【答案】9、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】甲10、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】18011、（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）【分析】【解答】解：∵命題“存在實(shí)數(shù)x，使x2+ax+1＜0”的否定是任意實(shí)數(shù)x，使x2+ax+1≥0；

命題否定是假命題；

∴△=a2﹣4＞0

∴a＜﹣2或a＞2

故答案為：（﹣∞；﹣2）∪（2，+∞）．

【分析】根據(jù)所給的特稱命題的否定任意實(shí)數(shù)x，使x2+ax+1≥0，根據(jù)命題否定是假命題，得到判別式大于0，解不等式即可．12、略

【分析】解：∵PA=PB=PC=AB=BC=a，

取AC中點(diǎn)D；連結(jié)PD；BD；

則PD⊥AC；BD⊥AC；

則∠BDP為二面角P-AC-B的平面角．

又AC=a，∴PD=BD=．

在△PBD中，PB2=BD2+PD2；

∴∠PDB=90°．

∴面PAC⊥面ABC．

故答案為：面PAC⊥面ABC．

取AC中點(diǎn)D；連結(jié)PD；BD，∠BDP為二面角P-AC-B的平面角．由此能推導(dǎo)出面PAC⊥面ABC．

本題考查直線與直線的位置關(guān)系的判斷，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．【解析】面PAC⊥面ABC13、略

【分析】解：∵復(fù)數(shù)z1=-1+2i，z2=1-i，z3=3-2i；它們所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C．

∴A（-1；2）B（1，-1）C（3，-2）

∵點(diǎn)的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的坐標(biāo)相同；

∵

∴（3；-2）=x（-1，2）+y（1，-1）

∴-x+y=3；

2x-y=-2

∴x=1；y=4

∴x+y=5

故答案為：5

根據(jù)復(fù)數(shù)和點(diǎn)對應(yīng)；寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)與以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量的坐標(biāo)相同，把坐標(biāo)代入所給的關(guān)于向量的等式，求出x，y的值．

本題考查向量和復(fù)數(shù)的知識，解題的關(guān)鍵是看清題目中要用的向量的坐標(biāo)，正確寫出坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．【解析】5三、作圖題(共9題，共18分)14、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，AB′與河面的交點(diǎn)C即為所求．【解析】【解答】解：作B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可知；C點(diǎn)即為所求．

15、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'，關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，連接A'A''，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'；關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．16、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．【解析】【解答】解：連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P；

這樣PA+PB最小；

理由是兩點(diǎn)之間，線段最短．17、略

【分析】【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，AB′與河面的交點(diǎn)C即為所求．【解析】【解答】解：作B點(diǎn)與河面的對稱點(diǎn)B′；連接AB′，可得到馬喝水的地方C；

如圖所示；

由對稱的性質(zhì)可知AB′=AC+BC；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短的性質(zhì)可知；C點(diǎn)即為所求．

18、略

【分析】【分析】作出A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'，關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，連接A'A''，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可判斷出使三角形周長最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A關(guān)于OM的對稱點(diǎn)A'；關(guān)于ON的A對稱點(diǎn)A''，與OM；ON相交于B、C，連接ABC即為所求三角形．

證明：∵A與A'關(guān)于OM對稱；A與A″關(guān)于ON對稱；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，A'A''為△ABC的最小值．19、略

【分析】【分析】顯然根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)．【解析】【解答】解：連接兩點(diǎn)與直線的交點(diǎn)即為所求作的點(diǎn)P；

這樣PA+PB最??；

理由是兩點(diǎn)之間，線段最短．20、解：畫三棱錐可分三步完成。

第一步：畫底面﹣﹣畫一個三角形；

第二步：確定頂點(diǎn)﹣﹣在底面外任一點(diǎn)；

第三步：畫側(cè)棱﹣﹣連接頂點(diǎn)與底面三角形各頂點(diǎn)．

畫四棱可分三步完成。

第一步：畫一個四棱錐；

第二步：在四棱錐一條側(cè)棱上取一點(diǎn)；從這點(diǎn)開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段；

第三步：將多余線段擦去．

【分析】【分析】畫三棱錐和畫四棱臺都是需要先畫底面，再確定平面外一點(diǎn)連接這點(diǎn)與底面上的頂點(diǎn)，得到錐體，在畫四棱臺時，在四棱錐一條側(cè)棱上取一點(diǎn)，從這點(diǎn)開始，順次在各個面內(nèi)畫與底面對應(yīng)線段平行的線段，將多余線段擦去，得到圖形．四、解答題(共3題，共12分)21、略

【分析】【解析】

試題分析：因?yàn)榧住⒁覂纱谝粫円沟臅r間中任何一個時間到達(dá)時等可能的，所以船在哪個時間到達(dá)的概率只與該時間段的長度有關(guān)，而與該時間段的位置無關(guān)，這符合幾何概型的條件。設(shè)甲、乙兩船到達(dá)泊位的時刻分別為x，y，試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域是一個正方形，若有一艘船必須等待，則作出不等式組表示的平面區(qū)域，根據(jù)幾何概型的求法，所求概率為兩部分面積之比，

試題解析：設(shè)甲、乙兩船到達(dá)泊位的時刻分別為x，y.則作出如圖所示的區(qū)域．

本題中，區(qū)域D的面積S1＝242；

區(qū)域d的面積S2＝242－182.∴P＝＝＝

即兩船中有一艘在停泊位時另一船必須等待的概率為

考點(diǎn)：幾何概型的求法.【解析】【答案】22、略

【分析】【解析】（1）解：∵A+B+C=180°由

∴整理，得4分。

解得：5分∵∴C=60°6分。

（2）解：由余弦定理得：c2=a2+b2－2abcosC，即7=a2+b2－ab∴7=(a+b)2-3ab

由條件a+b=5得7=25－3ab9分ab=610分。

∴12分。

所以面積．【解析】【答案】（1）C=60°

（2）23、略

【分析】

（I）利用斜率計算公式；點(diǎn)斜式即可得出；

（II）利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系；點(diǎn)斜式即可得出．

本題考查了斜率計算公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、點(diǎn)斜式，屬于基礎(chǔ)題．【解析】解：（Ⅰ）由已知，直線AB的斜率

所以直線AB的方程為y+2=4（x-2）；即4x-y-10=0．

（Ⅱ）設(shè)所求直線l的斜率為k'，則k?k'=-1，解得．

所以直線l的方程為即x+4y+2=0．五、計算題(共2題，共16分)24、略

【分析】【解析】

(1)f'(x)＝1＋，由題意，得f'(1)＝0Ta＝02分(2)由(1)知f(x)＝x－lnx∴f(x)＋2x＝x2＋bóx－lnx＋2x＝x2＋bóx2－3x＋lnx＋b＝0設(shè)g(x)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)則g'(x)＝2x－3＋＝4分當(dāng)x變化時，g'(x)，g(x)的變化情況如下表。x(0，)(，1)1(1，2)2g'(x)＋0－0＋G(x)↗極大值↘極小值↗b－2＋ln2當(dāng)x＝1時，g(x)最小值＝g(1)＝b－2，g()＝b－－ln2，g(2)＝b－2＋ln2∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有兩個不相等的實(shí)數(shù)根高考+資-源-網(wǎng)由TT＋ln2≤b≤28分(3)∵k－f(k)＝lnk∴nk＝2ó(n∈N，n≥2)設(shè)Φ(x)＝lnx－(x2－1)則Φ'(x)＝－＝當(dāng)x≥2時，Φ'(x)＜0T函數(shù)Φ(x)在[2，＋∞)上是減函數(shù)，∴Φ(x)≤Φ(2)＝ln2－＜0Tlnx＜(x2－1)∴當(dāng)x≥2時，∴＞2[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋()]＝2(1＋－)＝.∴原不等式成立.12分'【解析】【答案】(1)a＝0(2)＋ln2≤b≤2(3)原不等式成立.25、略

【分析】解(1)設(shè)隨機(jī)抽出的三道題目某人能答對的道數(shù)為X，且X=0、1、2、3，X服從超幾何分布，高考+資-源-網(wǎng)分布列如下：。X0123P即。X0123P8分(2)10分【解析】【答案】(1)。X0123P(2)2/3六、綜合題(共3題，共12分)26、略

【分析】【分析】（1）由待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式．

（2）連接BC；交直線l于點(diǎn)D，根據(jù)拋物線對稱軸的性質(zhì)，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線l對稱，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“兩點(diǎn)之間，線段最短”的原理可知：D在直線BC上AD+CD最短，所以D是直線l與直線BC的交點(diǎn)；

設(shè)出直線BC的解析式為y=kx+b；可用待定系數(shù)法求得BC直線的解析式，故可求得BC與直線l的交點(diǎn)D的坐標(biāo)．

（3）由（2）可知，當(dāng)AD+CD最短時，D在直線BC上，由于已知A，B，C，D四點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)線段之間的長度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC與圓相切．由于AB⊥l，故由垂徑定理知及切線長定理知，另一點(diǎn)D與現(xiàn)在的點(diǎn)D關(guān)于x軸對稱，所以另一點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+1）（x-3）．（1分）

將（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴拋物線的解析式為y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）連接BC；交直線l于點(diǎn)D．

∵點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于直線l對稱；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“兩點(diǎn)之間；線段最短”的原理可知：

此時AD+CD最??；點(diǎn)D的位置即為所求．（5分）

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b；

由直線BC過點(diǎn)（3；0），（0，3）；

得

解這個方程組，得

∴直線BC的解析式為y=-x+3．（6分）

由（1）知：對稱軸l為；即x=1．

將x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1；2）．（7分）

說明：用相似三角形或三角函數(shù)求點(diǎn)D的坐標(biāo)也可；答案正確給（2分）．

（3）①連接AD．設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)記為點(diǎn)E．

由（2）知：當(dāng)AD+CD最小時