2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)題型練7大題專項五解析幾何綜合問題理含解析

題型練7大題專項(五)解析幾何綜合問題題型練第70頁

一、解答題1.(2024全國Ⅱ,理19)已知橢圓C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合,C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A,B兩點(diǎn),交C2于C,(1)求C1的離心率;(2)設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn).若|MF|=5,求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程.解：(1)由已知可設(shè)C2的方程為y2=4cx,其中c=a不妨設(shè)A,C在第一象限,由題設(shè)得A,B的縱坐標(biāo)分別為b2a,-b2a;C,D的縱坐標(biāo)分別為2c,-2c,故|AB|=2b由|CD|=43|AB|得4c=8b23a,即3×c解得ca=-2(舍去),ca=12(2)由(1)知a=2c,b=3c,故C1:x24c設(shè)M(x0,y0),則x024c2+y023c2=1,由于C2的準(zhǔn)線為x=-c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5-c,代入①得(5-c)24c2+4(5-c)3c=1,所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為x236+y

227=1,C22.已知橢圓C:x2a2+y2b2=(1)求橢圓C的方程;(2)不垂直于坐標(biāo)軸的直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),以AB為直徑的圓過原點(diǎn),且線段AB的垂直平分線交y軸于點(diǎn)P0,-32,求直線l的方程.解：(1)由題意得ca=32,1故橢圓C的方程是x24+y2=(2)設(shè)直線l的方程為y=kx+t,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立y=kx+t,x24+y2=1,消去y,得(1+4k2則有x1+x2=-8kt1+4k2,xΔ>0?4k2+1>t2,y1+y2=kx1+t+kx2+t=k(x1+x2)+2t=2ty1y2=(kx1+t)(kx2+t)=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2=k24t2-41+4k因為以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn),所以O(shè)A⊥OB,x1x2+y1y2=0.因為x1x2+y1y2=4t2所以5t2=4+4k2.因為Δ>0,所以4k2+1>t2,解得t<-32或t>又設(shè)A,B的中點(diǎn)為D(m,n),則m=x1+x因為直線PD與直線l垂直,所以kPD=-1k=-由t1+4k當(dāng)t=-35時,Δ>0不成立.當(dāng)t=1時,k=±1所以直線l的方程為y=12x+1或y=-12x+3.(2024全國Ⅰ,理20)已知A,B分別為橢圓E:x2a2+y2=1(a>1)的左、右頂點(diǎn),G為E的上頂點(diǎn),AG·GB=8.P為直線x=6上的動點(diǎn),PA與E的另一交點(diǎn)為C,PB(1)求E的方程;(2)證明:直線CD過定點(diǎn).答案：(1)解由題設(shè)得點(diǎn)A(-a,0),B(a,0),G(0,1).則AG=(a,1),GB=(a,-1).由AG·GB=8得a2-1=8,即a=所以E的方程為x29+y2=(2)證明設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),P(6,t).若t≠0,設(shè)直線CD的方程為x=my+n,由題意可知-3<n<3.因為直線PA的方程為y=t9(x+3),所以y1=t9(x1+直線PB的方程為y=t3(x-3),所以y2=t3(x2-可得3y1(x2-3)=y2(x1+3).由于x229+y22可得27y1y2=-(x1+3)(x2+3),即(27+m2)y1y2+m(n+3)·(y1+y2)+(n+3)2=0.①將x=my+n代入x29+y2=1得(m2+9)y2+2mny+n2-9=所以y1+y2=-2mnm2+9,y1代入①式得(27+m2)(n2-9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0.解得n=-3(舍去),n=3故直線CD的方程為x=my+32,即直線CD過定點(diǎn)若t=0,則直線CD的方程為y=0,過點(diǎn)3綜上,直線CD過定點(diǎn)34.已知拋物線C:y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2).過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)A,B,且直線PA交y軸于點(diǎn)M,直線PB交y軸于點(diǎn)N.(1)求直線l的斜率的取值范圍;(2)設(shè)O為原點(diǎn),QM=λQO,QN=μQO,求證答案：(1)解因為拋物線y2=2px經(jīng)過點(diǎn)P(1,2),所以4=2p,解得p=2,所以拋物線的方程為y2=4x.由題意可知直線l的斜率存在且不為0,設(shè)直線l的方程為y=kx+1(k≠0).由y2=4x,y=kx+1,得k2x2依題意,Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0,解得k<0或0<k<1.又PA,PB與y軸相交,故直線l不過點(diǎn)(1,-2),從而k≠-3.所以直線l斜率的取值范圍是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).(2)證明設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2).由(1)知x1+x2=-2k-4k2,x直線PA的方程為y-2=y1-2x令x=0,得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM=-y1+2x1-1同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN=-kx2由QM=λQO,QN得λ=1-yM,μ=1-yN.所以1=x=1k-1所以1λ+5.已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn).(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明AR∥FQ;(2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程.解：由題知點(diǎn)F1設(shè)l1:y=a,l2:y=b,則ab≠0,且點(diǎn)Aa22,a,Bb22,b,記過A,B兩點(diǎn)的直線為l,則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0.(1)證明:由于點(diǎn)F在線段AB上,故1+ab=0.記AR的斜率為k1,FQ的斜率為k2,則k1=a-b1+所以AR∥FQ.(2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0),則S△ABF=12|b-a||FD|=12|b-a|x1-12由題設(shè)可得2×12|b-a|所以x1=0(舍去),x1=1.設(shè)滿意條件的AB的中點(diǎn)為E(x,y).當(dāng)AB與x軸不垂直時,由kAB=kDE可得2a+b=y而a+b2=y,所以y2=x-1(x當(dāng)AB與x軸垂直時,E與D重合.所以,所求軌跡方程為y2=x-1.6.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12,且圓x2+y2-(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線y=mx+n與橢圓C只有一個公共點(diǎn)M,且與直線x=4相交于點(diǎn)N,問x軸上是否存在點(diǎn)P,使得以MN為直徑的圓恒過點(diǎn)P?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.解：(1)由e=12(其中e為橢圓C的離心率),得a2-b2a2=1-b2又圓x2+y2-2x-3y=0的圓心為1,32在橢圓C上,所以1聯(lián)立3a2故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+(2)聯(lián)立y=mx+n,x24+y23=1,消去y,整理得(3+4m2因為直線y=mx+n與橢圓C只有一個公共點(diǎn)M,所以Δ=64m2n2-4(3+4m2)(4n2-12)=0,即n2=3+4m2.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xM,yM),則xM=-4