2025屆高考數(shù)學(xué)一輪知能訓(xùn)練第八章立體幾何第4講直線平面平行的判定與性質(zhì)含解析

PAGE7-第4講直線、平面平行的判定與性質(zhì)1．(2024年安徽)已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正確的是()A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行C．若α，β不平行，則在α內(nèi)不存在與β平行的直線D．若m，n不平行，則m與n不行能垂直于同一平面2．如圖X8-4-1所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AA1和BB1的中點(diǎn)，過EF的平面EFGH分別交BC和AD于G，H，則GH與AB的位置關(guān)系是()A．平行B．相交C．異面D．平行或異面圖X8-4-1圖X8-4-23．如圖X8-4-2所示，P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對角線交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出下列五個結(jié)論：①PD∥平面AMC；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正確的個數(shù)是()A．1B．2C．3D．44．(2024年北京)設(shè)α，β是兩個不同的平面，m是直線且m?α.“m∥β”是“α∥β”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5．(2024年河南試驗(yàn)中學(xué)模擬)如圖X8-4-3，P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，F(xiàn)為PC上一點(diǎn)，當(dāng)PA∥平面EBF時，eq\f(PF,FC)＝()圖X8-4-3A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,2)6．如圖X8-4-4，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱AB，BC，CC1的中點(diǎn)，P是底面ABC內(nèi)一動點(diǎn)，若直線D1P與平面EFG不存在公共點(diǎn)，則三角形PBB1的面積的最小值為()圖X8-4-4A.eq\f(\r(2),2)B．1C.eq\r(2)D．27．(2024年山西太原模擬)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1cm，過AC作平行于體對角線BD1的截面，則截面面積為________cm2.8．設(shè)α，β，γ是三個平面，a，b是兩條不同直線，有下列三個條件：①a∥γ，b?β；②a∥γ，b∥β；③b∥β，a?γ.假如命題“α∩β＝a，b?γ，且________，則a∥b”為真命題．可以在橫線處填入的條件是________(把全部正確的序號填上)．9．(多選)如圖X8-4-5，在棱長均相等的四棱錐P-ABCD中，O為底面正方形的中心，M，N分別為側(cè)棱PA，PB的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的有()圖X8-4-5A．PD∥平面OMNB．平面PCD∥平面OMNC．直線PD與直線MN所成角的大小為90°D．ON⊥PB10．(多選)如圖X8-4-6，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是邊長為4的正方形，AA1＝3，則()圖X8-4-6A．異面直線A1B與B1D1所成角的余弦值為eq\f(2\r(2),5)B．異面直線A1B與B1D1所成角的余弦值為eq\f(3,5)C．A1B∥平面B1D1CD．點(diǎn)B1到平面A1BD1的距離為eq\f(12,5)11．如圖X8-4-7，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點(diǎn)，求證：(1)直線EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.圖X8-4-712．如圖X8-4-8，在多面體ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∠BAD＝60°，AB＝2，DE＝EF＝1.(1)求證：BC∥EF；(2)求三棱錐B-DEF的體積．圖X8-4-813．如圖X8-4-9，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，PD＝DC＝4，AD＝2，E為PC的中點(diǎn)．(1)求三棱錐A-PDE的體積；(2)AC邊上是否存在一點(diǎn)M，使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的長；若不存在，請說明理由．圖X8-4-9

第4講直線、平面平行的判定與性質(zhì)1．D解析：若α，β垂直于同一平面，則α，β可以相交、平行，故A不正確；若m，n平行于同一平面，則m，n可以平行、重合、相交、異面，故B不正確；若α，β不平行，但平面α內(nèi)會存在平行于β的直線，如平面α中平行于α，β交線的直線；D.其逆否命題為“若m與n垂直于同一平面，則m，n平行”是真命題，故D項(xiàng)正確．故選D.2．A解析：由長方體性質(zhì)知：EF∥平面ABCD，∵EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ABCD＝GH，∴EF∥GH.又∵EF∥AB，∴GH∥AB.故選A.3．C解析：矩形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，∴O為BD的中點(diǎn)．在△PBD中，M是PB的中點(diǎn)，∴OM是△PBD的中位線，OM∥PD，則PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.∵M(jìn)∈PB，∴OM與平面PBA，平面PBC相交．4．B解析：若m∥β，則平面α，β可能相交也可能平行，不能推出α∥β；反過來，若α∥β，m?α，則有m∥β.故“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分條件．5．D解析：如圖D209，連接AC交BE于G，連接FG，∵PA∥平面EBF，PA?平面PAC，平面PAC∩平面BEF＝FG，∴PA∥FG，∴eq\f(PF,FC)＝eq\f(AG,GC).又AD∥BC，E為AD的中點(diǎn)，∴eq\f(AG,GC)＝eq\f(AE,BC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(PF,FC)＝eq\f(1,2).圖D209圖D2106．C解析：如圖D210，延展平面EFG，可得截面EFGHQR，其中H、Q、R分別是所在棱的中點(diǎn)，直線D1P與平面EFG不存在公共點(diǎn)，∴D1P∥平面EFGHQR，由中位線定理可得AC∥EF，EF在平面EFGHQR內(nèi)，AC在平面EFGHQR外，∴AC∥平面EFGHQR，∵D1P與AC在平面D1AC內(nèi)相交，∴平面D1AC∥平面EFGHQR，∴P在AC上時，直線D1P與平面EFG不存在公共點(diǎn)，∵BO與AC垂直，∴P與O重合時BP最小，此時，三角形PBB1的面積最小，最小值為eq\f(1,2)×2×eq\r(2)＝eq\r(2).故選C.7.eq\f(\r(6),4)解析：如圖D211所示，截面ACE∥BD1，平面BDD1∩平面ACE＝EF，其中F為AC與BD的交點(diǎn)，∴E為DD1的中點(diǎn)．∴S△ACE＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(6),4)(cm2)．圖D2118．①③解析：由線面平行的性質(zhì)定理可知，①正確；當(dāng)b∥β，a?γ時，a和b在同一平面內(nèi)，且沒有公共點(diǎn)，∴平行，③正確．故應(yīng)填入的條件為①或③.9．ABD10．ACD解析：∵A1B∥D1C，∴∠B1D1C即為異面直線A1B與B1D1所成角，又∵B1D1＝4eq\r(2)，D1C＝5，B1C＝5，∴cos∠B1D1C＝eq\f(B1D\o\al(2,1)＋D1C2－B1C2,2B1D1×D1C)＝eq\f(2\r(2),5)，故A正確，B錯誤；∵A1B∥D1C，A1B?平面B1D1C，D1C?平面B1D1C，∴A1B∥平面B1D1C，故C正確；∵V＝V，即eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×A1B1×A1D1×B1B＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×A1B×A1D1×h，解得h＝eq\f(12,5)，故D正確．故選ACD.11．證明：(1)如圖D212，連接SB，圖D212∵E，G分別是BC，SC的中點(diǎn)，∴EG∥SB.又∵SB?平面BDD1B1，EG?平面BDD1B1，∴直線EG∥平面BDD1B1.(2)如圖D212，連接SD，∵F，G分別是DC，SC的中點(diǎn)，∴FG∥SD.又∵SD?平面BDD1B1，F(xiàn)G?平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1.由(1)知，EG∥平面BDD1B1，且EG?平面EFG.FG?平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.12．(1)證明：∵AD∥BC，AD?平面ADEF，BC?平面ADEF，∴BC∥平面ADEF.又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF＝EF，∴BC∥EF.圖D213(2)解：如圖D213，過點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H.∵DE⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，∴DE⊥BH.∵AD?平面ADEF，DE?平面ADEF，AD∩DE＝D，∴BH⊥平面ADEF.∴BH是三棱錐B－DEF的高．在Rt△ABH中，∠BAD＝60°，AB＝2，故BH＝eq\r(3).∵DE⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴DE⊥AD.由(1)知BC∥EF，且AD∥BC，∴AD∥EF，∴DE⊥EF.∴三棱錐B－DEF的體積V＝eq\f(1,3)×S△DEF×BH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),6).13．解：(1)如圖D214，∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥AD.又∵ABCD是矩形，∴AD⊥CD.∵PD∩CD＝D，∴AD⊥平面PCD，∴AD是三棱錐A-PDE的高．∵E為PC的中點(diǎn)，且PD＝DC＝4，∴S△PDE＝eq\f(1,2)S△PDC＝eq\f(1,2)×(eq\f(1,